MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfco2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dfco2 5313
Description: Alternate definition of a class composition, using only one bound variable. (Contributed by NM, 19-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
dfco2  |-  ( A  o.  B )  = 
U_ x  e.  _V  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem dfco2
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relco 5312 . 2  |-  Rel  ( A  o.  B )
2 reliun 4932 . . 3  |-  ( Rel  U_ x  e.  _V  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) )  <->  A. x  e.  _V  Rel  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) ) )
3 relxp 4920 . . . 4  |-  Rel  (
( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) )
43a1i 11 . . 3  |-  ( x  e.  _V  ->  Rel  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) ) )
52, 4mprgbir 2752 . 2  |-  Rel  U_ x  e.  _V  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x }
) )
6 vex 3016 . . . 4  |-  y  e. 
_V
7 vex 3016 . . . 4  |-  z  e. 
_V
8 opelco2g 4980 . . . 4  |-  ( ( y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( <. y ,  z
>.  e.  ( A  o.  B )  <->  E. x
( <. y ,  x >.  e.  B  /\  <. x ,  z >.  e.  A
) ) )
96, 7, 8mp2an 683 . . 3  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( A  o.  B
)  <->  E. x ( <.
y ,  x >.  e.  B  /\  <. x ,  z >.  e.  A
) )
10 eliun 4253 . . . 4  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  U_ x  e.  _V  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) )  <->  E. x  e.  _V  <.
y ,  z >.  e.  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) ) )
11 rexv 3030 . . . 4  |-  ( E. x  e.  _V  <. y ,  z >.  e.  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) )  <->  E. x <. y ,  z >.  e.  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) ) )
12 opelxp 4842 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) )  <->  ( y  e.  ( `' B " { x } )  /\  z  e.  ( A " { x } ) ) )
13 vex 3016 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
1413, 6elimasn 5171 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( `' B " { x } )  <->  <. x ,  y >.  e.  `' B )
1513, 6opelcnv 4994 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' B  <->  <. y ,  x >.  e.  B )
1614, 15bitri 257 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( `' B " { x } )  <->  <. y ,  x >.  e.  B )
1713, 7elimasn 5171 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( A " { x } )  <->  <. x ,  z >.  e.  A )
1816, 17anbi12i 708 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( `' B " { x } )  /\  z  e.  ( A " {
x } ) )  <-> 
( <. y ,  x >.  e.  B  /\  <. x ,  z >.  e.  A
) )
1912, 18bitri 257 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) )  <->  ( <. y ,  x >.  e.  B  /\  <. x ,  z
>.  e.  A ) )
2019exbii 1722 . . . 4  |-  ( E. x <. y ,  z
>.  e.  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x }
) )  <->  E. x
( <. y ,  x >.  e.  B  /\  <. x ,  z >.  e.  A
) )
2110, 11, 203bitrri 280 . . 3  |-  ( E. x ( <. y ,  x >.  e.  B  /\  <. x ,  z
>.  e.  A )  <->  <. y ,  z >.  e.  U_ x  e.  _V  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x }
) ) )
229, 21bitri 257 . 2  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( A  o.  B
)  <->  <. y ,  z
>.  e.  U_ x  e. 
_V  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x }
) ) )
231, 5, 22eqrelriiv 4907 1  |-  ( A  o.  B )  = 
U_ x  e.  _V  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1448   E.wex 1667    e. wcel 1891   E.wrex 2738   _Vcvv 3013   {csn 3936   <.cop 3942   U_ciun 4248    X. cxp 4810   `'ccnv 4811   "cima 4815    o. ccom 4816   Rel wrel 4817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1673  ax-4 1686  ax-5 1762  ax-6 1809  ax-7 1855  ax-9 1900  ax-10 1919  ax-11 1924  ax-12 1937  ax-13 2092  ax-ext 2432  ax-sep 4497  ax-nul 4506  ax-pr 4612
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 988  df-tru 1451  df-ex 1668  df-nf 1672  df-sb 1802  df-eu 2304  df-mo 2305  df-clab 2439  df-cleq 2445  df-clel 2448  df-nfc 2582  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3015  df-sbc 3236  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-nul 3700  df-if 3850  df-sn 3937  df-pr 3939  df-op 3943  df-iun 4250  df-br 4375  df-opab 4434  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825
This theorem is referenced by:  dfco2a  5314
  Copyright terms: Public domain W3C validator