Theorem dfco2 4393

Description: Alternate definition of a class composition, using only one bound variable.

Assertion

Ref	Expression
dfco2	|- (A o. B) = U_x e. _V ((`'B"{x}) X. (A"{x}))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem dfco2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 4392	. 2 |- Rel (A o. B)
2		reliun 4101	. . 3 |- (Rel U_x e. _V ((`'B"{x}) X. (A"{x})) <-> A.x e. _V Rel ((`'B"{x}) X. (A"{x})))
3		relxp 4088	. . . 4 |- Rel ((`'B"{x}) X. (A"{x}))
4	3	a1i 8	. . 3 |- (x e. _V -> Rel ((`'B"{x}) X. (A"{x})))
5	2, 4	mprgbir 2163	. 2 |- Rel U_x e. _V ((`'B"{x}) X. (A"{x}))
6		visset 2295	. . . 4 |- y e. _V
7		visset 2295	. . . 4 |- z e. _V
8		opelco2g 4133	. . . 4 |- ((y e. _V /\ z e. _V) -> (<.y, z>. e. (A o. B) <-> E.x(<.y, x>. e. B /\ <.x, z>. e. A)))
9	6, 7, 8	mp2an 761	. . 3 |- (<.y, z>. e. (A o. B) <-> E.x(<.y, x>. e. B /\ <.x, z>. e. A))
10		eliun 3259	. . . 4 |- (<.y, z>. e. U_x e. _V ((`'B"{x}) X. (A"{x})) <-> E.x e. _V <.y, z>. e. ((`'B"{x}) X. (A"{x})))
11		rexv 2306	. . . 4 |- (E.x e. _V <.y, z>. e. ((`'B"{x}) X. (A"{x})) <-> E.x<.y, z>. e. ((`'B"{x}) X. (A"{x})))
12	7	opelxp 4036	. . . . . 6 |- (<.y, z>. e. ((`'B"{x}) X. (A"{x})) <-> (y e. (`'B"{x}) /\ z e. (A"{x})))
13		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
14	13, 6	elimasn 4289	. . . . . . . 8 |- (y e. (`'B"{x}) <-> <.x, y>. e. `'B)
15	13, 6	opelcnv 4143	. . . . . . . 8 |- (<.x, y>. e. `'B <-> <.y, x>. e. B)
16	14, 15	bitri 190	. . . . . . 7 |- (y e. (`'B"{x}) <-> <.y, x>. e. B)
17	13, 7	elimasn 4289	. . . . . . 7 |- (z e. (A"{x}) <-> <.x, z>. e. A)
18	16, 17	anbi12i 540	. . . . . 6 |- ((y e. (`'B"{x}) /\ z e. (A"{x})) <-> (<.y, x>. e. B /\ <.x, z>. e. A))
19	12, 18	bitri 190	. . . . 5 |- (<.y, z>. e. ((`'B"{x}) X. (A"{x})) <-> (<.y, x>. e. B /\ <.x, z>. e. A))
20	19	exbii 1398	. . . 4 |- (E.x<.y, z>. e. ((`'B"{x}) X. (A"{x})) <-> E.x(<.y, x>. e. B /\ <.x, z>. e. A))
21	10, 11, 20	3bitrri 195	. . 3 |- (E.x(<.y, x>. e. B /\ <.x, z>. e. A) <-> <.y, z>. e. U_x e. _V ((`'B"{x}) X. (A"{x})))
22	9, 21	bitri 190	. 2 |- (<.y, z>. e. (A o. B) <-> <.y, z>. e. U_x e. _V ((`'B"{x}) X. (A"{x})))
23	1, 5, 22	eqrelriv 4080	1 |- (A o. B) = U_x e. _V ((`'B"{x}) X. (A"{x}))

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  E.wrex 2106  _Vcvv 2292  {csn 3044  <.cop 3046  U_ciun 3255   X. cxp 3984  `'ccnv 3985  "cima 3989   o. ccom 3990  Rel wrel 3991

This theorem is referenced by:  dfco2a 4394  dfco2aOLD 4395

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007

Copyright terms: Public domain