MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfco2 Structured version   Unicode version

Theorem dfco2 5414
Description: Alternate definition of a class composition, using only one bound variable. (Contributed by NM, 19-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
dfco2  |-  ( A  o.  B )  = 
U_ x  e.  _V  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem dfco2
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relco 5413 . 2  |-  Rel  ( A  o.  B )
2 reliun 5035 . . 3  |-  ( Rel  U_ x  e.  _V  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) )  <->  A. x  e.  _V  Rel  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) ) )
3 relxp 5023 . . . 4  |-  Rel  (
( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) )
43a1i 11 . . 3  |-  ( x  e.  _V  ->  Rel  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) ) )
52, 4mprgbir 2746 . 2  |-  Rel  U_ x  e.  _V  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x }
) )
6 vex 3037 . . . 4  |-  y  e. 
_V
7 vex 3037 . . . 4  |-  z  e. 
_V
8 opelco2g 5083 . . . 4  |-  ( ( y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( <. y ,  z
>.  e.  ( A  o.  B )  <->  E. x
( <. y ,  x >.  e.  B  /\  <. x ,  z >.  e.  A
) ) )
96, 7, 8mp2an 670 . . 3  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( A  o.  B
)  <->  E. x ( <.
y ,  x >.  e.  B  /\  <. x ,  z >.  e.  A
) )
10 eliun 4248 . . . 4  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  U_ x  e.  _V  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) )  <->  E. x  e.  _V  <.
y ,  z >.  e.  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) ) )
11 rexv 3049 . . . 4  |-  ( E. x  e.  _V  <. y ,  z >.  e.  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) )  <->  E. x <. y ,  z >.  e.  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) ) )
12 opelxp 4943 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) )  <->  ( y  e.  ( `' B " { x } )  /\  z  e.  ( A " { x } ) ) )
13 vex 3037 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
1413, 6elimasn 5274 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( `' B " { x } )  <->  <. x ,  y >.  e.  `' B )
1513, 6opelcnv 5097 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' B  <->  <. y ,  x >.  e.  B )
1614, 15bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( `' B " { x } )  <->  <. y ,  x >.  e.  B )
1713, 7elimasn 5274 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( A " { x } )  <->  <. x ,  z >.  e.  A )
1816, 17anbi12i 695 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( `' B " { x } )  /\  z  e.  ( A " {
x } ) )  <-> 
( <. y ,  x >.  e.  B  /\  <. x ,  z >.  e.  A
) )
1912, 18bitri 249 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) )  <->  ( <. y ,  x >.  e.  B  /\  <. x ,  z
>.  e.  A ) )
2019exbii 1675 . . . 4  |-  ( E. x <. y ,  z
>.  e.  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x }
) )  <->  E. x
( <. y ,  x >.  e.  B  /\  <. x ,  z >.  e.  A
) )
2110, 11, 203bitrri 272 . . 3  |-  ( E. x ( <. y ,  x >.  e.  B  /\  <. x ,  z
>.  e.  A )  <->  <. y ,  z >.  e.  U_ x  e.  _V  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x }
) ) )
229, 21bitri 249 . 2  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( A  o.  B
)  <->  <. y ,  z
>.  e.  U_ x  e. 
_V  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x }
) ) )
231, 5, 22eqrelriiv 5010 1  |-  ( A  o.  B )  = 
U_ x  e.  _V  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399   E.wex 1620    e. wcel 1826   E.wrex 2733   _Vcvv 3034   {csn 3944   <.cop 3950   U_ciun 4243    X. cxp 4911   `'ccnv 4912   "cima 4916    o. ccom 4917   Rel wrel 4918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pr 4601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926
This theorem is referenced by:  dfco2a  5415
  Copyright terms: Public domain W3C validator