Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfbigcup2 Structured version   Unicode version

Theorem dfbigcup2 29711
Description:  Bigcup using maps-to notation. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
dfbigcup2  |-  Bigcup  =  ( x  e.  _V  |->  U. x )

Proof of Theorem dfbigcup2
Dummy variables  y 
z  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relbigcup 29709 . 2  |-  Rel  Bigcup
2 mptrel 5139 . 2  |-  Rel  (
x  e.  _V  |->  U. x )
3 eqcom 2466 . . 3  |-  ( U. y  =  z  <->  z  =  U. y )
4 vex 3112 . . . 4  |-  z  e. 
_V
54brbigcup 29710 . . 3  |-  ( y
Bigcup z  <->  U. y  =  z )
6 vex 3112 . . . 4  |-  y  e. 
_V
7 eleq1 2529 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  _V  <->  y  e.  _V ) )
8 unieq 4259 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  U. x  =  U. y )
98eqeq2d 2471 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
t  =  U. x  <->  t  =  U. y ) )
107, 9anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  _V  /\  t  =  U. x
)  <->  ( y  e. 
_V  /\  t  =  U. y ) ) )
116biantrur 506 . . . . 5  |-  ( t  =  U. y  <->  ( y  e.  _V  /\  t  = 
U. y ) )
1210, 11syl6bbr 263 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  _V  /\  t  =  U. x
)  <->  t  =  U. y ) )
13 eqeq1 2461 . . . 4  |-  ( t  =  z  ->  (
t  =  U. y  <->  z  =  U. y ) )
14 df-mpt 4517 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  |->  U. x
)  =  { <. x ,  t >.  |  ( x  e.  _V  /\  t  =  U. x
) }
156, 4, 12, 13, 14brab 4779 . . 3  |-  ( y ( x  e.  _V  |->  U. x ) z  <->  z  =  U. y )
163, 5, 153bitr4i 277 . 2  |-  ( y
Bigcup z  <->  y ( x  e.  _V  |->  U. x
) z )
171, 2, 16eqbrriv 5107 1  |-  Bigcup  =  ( x  e.  _V  |->  U. x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109   U.cuni 4251   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   Bigcupcbigcup 29645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-symdif 3725  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-eprel 4800  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fo 5600  df-fv 5602  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-txp 29665  df-bigcup 29669
This theorem is referenced by:  fobigcup  29712
  Copyright terms: Public domain W3C validator