Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfbigcup2 Structured version   Unicode version

Theorem dfbigcup2 27928
Description:  Bigcup using maps-to notation. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
dfbigcup2  |-  Bigcup  =  ( x  e.  _V  |->  U. x )

Proof of Theorem dfbigcup2
Dummy variables  y 
z  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relbigcup 27926 . 2  |-  Rel  Bigcup
2 mptrel 27577 . 2  |-  Rel  (
x  e.  _V  |->  U. x )
3 eqcom 2443 . . 3  |-  ( U. y  =  z  <->  z  =  U. y )
4 vex 2973 . . . 4  |-  z  e. 
_V
54brbigcup 27927 . . 3  |-  ( y
Bigcup z  <->  U. y  =  z )
6 vex 2973 . . . 4  |-  y  e. 
_V
7 eleq1 2501 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  _V  <->  y  e.  _V ) )
8 unieq 4097 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  U. x  =  U. y )
98eqeq2d 2452 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
t  =  U. x  <->  t  =  U. y ) )
107, 9anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  _V  /\  t  =  U. x
)  <->  ( y  e. 
_V  /\  t  =  U. y ) ) )
116biantrur 506 . . . . 5  |-  ( t  =  U. y  <->  ( y  e.  _V  /\  t  = 
U. y ) )
1210, 11syl6bbr 263 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  _V  /\  t  =  U. x
)  <->  t  =  U. y ) )
13 eqeq1 2447 . . . 4  |-  ( t  =  z  ->  (
t  =  U. y  <->  z  =  U. y ) )
14 df-mpt 4350 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  |->  U. x
)  =  { <. x ,  t >.  |  ( x  e.  _V  /\  t  =  U. x
) }
156, 4, 12, 13, 14brab 4609 . . 3  |-  ( y ( x  e.  _V  |->  U. x ) z  <->  z  =  U. y )
163, 5, 153bitr4i 277 . 2  |-  ( y
Bigcup z  <->  y ( x  e.  _V  |->  U. x
) z )
171, 2, 16eqbrriv 4933 1  |-  Bigcup  =  ( x  e.  _V  |->  U. x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2970   U.cuni 4089   class class class wbr 4290    e. cmpt 4348   Bigcupcbigcup 27862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-eprel 4630  df-id 4634  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-fo 5422  df-fv 5424  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-symdif 27847  df-txp 27882  df-bigcup 27886
This theorem is referenced by:  fobigcup  27929
  Copyright terms: Public domain W3C validator