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Theorem dfbi1ALT 196
Description: Alternate proof of dfbi1 195. This proof, discovered by Gregory Bush on 8-Mar-2004, has several curious properties. First, it has only 17 steps directly from the axioms and df-bi 189, compared to over 800 steps were the proof of dfbi1 195 expanded into axioms. Second, step 2 demands only the property of "true"; any axiom (or theorem) could be used. It might be thought, therefore, that it is in some sense redundant, but in fact no proof is shorter than this (measured by number of steps). Third, it illustrates how intermediate steps can "blow up" in size even in short proofs. Fourth, the compressed proof is only 182 bytes (or 17 bytes in D-proof notation), but the generated web page is over 200kB with intermediate steps that are essentially incomprehensible to humans (other than Gregory Bush). If there were an obfuscated code contest for proofs, this would be a contender. This "blowing up" and incomprehensibility of the intermediate steps vividly demonstrate the advantages of using many layered intermediate theorems, since each theorem is easier to understand. (Contributed by Gregory Bush, 10-Mar-2004.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dfbi1ALT  |-  ( (
ph 
<->  ps )  <->  -.  (
( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )

Proof of Theorem dfbi1ALT
StepHypRef Expression
1 df-bi 189 . 2  |-  -.  (
( ( ph  <->  ps )  ->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
) )  ->  -.  ( -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) )
2 ax-1 6 . . 3  |-  ( ch 
->  ( th  ->  ch ) )
3 ax-1 6 . . . . 5  |-  ( -.  ( -.  ( ( ( ph  <->  ps )  ->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
) )  ->  -.  ( -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) )  -> 
( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) ) )  ->  ( (
( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( (
( ph  <->  ps )  ->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) )  -> 
( ph  <->  ps ) ) ) )  ->  -.  ( -.  ( ( ( ph  <->  ps )  ->  -.  (
( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( -.  ( (
ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) )  -> 
( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) ) ) ) )
4 df-bi 189 . . . . . . . . 9  |-  -.  (
( ( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
) )  ->  -.  ( ( ( ph  <->  ps )  ->  -.  (
( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( -.  ( (
ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) ) )  ->  -.  ( -.  ( ( ( ph  <->  ps )  ->  -.  (
( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( -.  ( (
ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) )  -> 
( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) ) ) )
5 ax-1 6 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( ( (
ph 
<->  ps )  <->  -.  (
( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( ( ( ph  <->  ps )  ->  -.  (
( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( -.  ( (
ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) ) )  ->  -.  ( -.  ( ( ( ph  <->  ps )  ->  -.  (
( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( -.  ( (
ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) )  -> 
( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) ) ) )  ->  ( -.  -.  ( ch  ->  ( th  ->  ch )
)  ->  -.  (
( ( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
) )  ->  -.  ( ( ( ph  <->  ps )  ->  -.  (
( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( -.  ( (
ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) ) )  ->  -.  ( -.  ( ( ( ph  <->  ps )  ->  -.  (
( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( -.  ( (
ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) )  -> 
( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) ) ) ) ) )
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
-.  ( ch  ->  ( th  ->  ch )
)  ->  -.  (
( ( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
) )  ->  -.  ( ( ( ph  <->  ps )  ->  -.  (
( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( -.  ( (
ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) ) )  ->  -.  ( -.  ( ( ( ph  <->  ps )  ->  -.  (
( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( -.  ( (
ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) )  -> 
( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) ) ) ) )
7 ax-3 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  -.  ( ch 
->  ( th  ->  ch ) )  ->  -.  ( ( ( (
ph 
<->  ps )  <->  -.  (
( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( ( ( ph  <->  ps )  ->  -.  (
( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( -.  ( (
ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) ) )  ->  -.  ( -.  ( ( ( ph  <->  ps )  ->  -.  (
( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( -.  ( (
ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) )  -> 
( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) ) ) ) )  -> 
( ( ( ( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( (
( ph  <->  ps )  ->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) )  -> 
( ph  <->  ps ) ) ) )  ->  -.  ( -.  ( ( ( ph  <->  ps )  ->  -.  (
( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( -.  ( (
ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) )  -> 
( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) ) ) )  ->  -.  ( ch  ->  ( th 
->  ch ) ) ) )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
) )  ->  -.  ( ( ( ph  <->  ps )  ->  -.  (
( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( -.  ( (
ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) ) )  ->  -.  ( -.  ( ( ( ph  <->  ps )  ->  -.  (
( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( -.  ( (
ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) )  -> 
( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) ) ) )  ->  -.  ( ch  ->  ( th 
->  ch ) ) )
9 ax-1 6 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph 
<->  ps )  <->  -.  (
( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( ( ( ph  <->  ps )  ->  -.  (
( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( -.  ( (
ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) ) )  ->  -.  ( -.  ( ( ( ph  <->  ps )  ->  -.  (
( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( -.  ( (
ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) )  -> 
( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) ) ) )  ->  -.  ( ch  ->  ( th 
->  ch ) ) )  ->  ( -.  ( -.  ( ( ( ph  <->  ps )  ->  -.  (
( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( -.  ( (
ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) )  -> 
( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) ) )  ->  ( (
( ( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
) )  ->  -.  ( ( ( ph  <->  ps )  ->  -.  (
( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( -.  ( (
ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) ) )  ->  -.  ( -.  ( ( ( ph  <->  ps )  ->  -.  (
( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( -.  ( (
ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) )  -> 
( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) ) ) )  ->  -.  ( ch  ->  ( th 
->  ch ) ) ) ) )
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( -.  ( -.  ( ( ( ph  <->  ps )  ->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
) )  ->  -.  ( -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) )  -> 
( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) ) )  ->  ( (
( ( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
) )  ->  -.  ( ( ( ph  <->  ps )  ->  -.  (
( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( -.  ( (
ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) ) )  ->  -.  ( -.  ( ( ( ph  <->  ps )  ->  -.  (
( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( -.  ( (
ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) )  -> 
( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) ) ) )  ->  -.  ( ch  ->  ( th 
->  ch ) ) ) )
11 ax-2 7 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( -.  (
( ( ph  <->  ps )  ->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
) )  ->  -.  ( -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) )  -> 
( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) ) )  ->  ( (
( ( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
) )  ->  -.  ( ( ( ph  <->  ps )  ->  -.  (
( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( -.  ( (
ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) ) )  ->  -.  ( -.  ( ( ( ph  <->  ps )  ->  -.  (
( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( -.  ( (
ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) )  -> 
( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) ) ) )  ->  -.  ( ch  ->  ( th 
->  ch ) ) ) )  ->  ( ( -.  ( -.  ( ( ( ph  <->  ps )  ->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
) )  ->  -.  ( -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) )  -> 
( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) ) )  ->  ( (
( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( (
( ph  <->  ps )  ->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) )  -> 
( ph  <->  ps ) ) ) )  ->  -.  ( -.  ( ( ( ph  <->  ps )  ->  -.  (
( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( -.  ( (
ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) )  -> 
( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) ) ) ) )  -> 
( -.  ( -.  ( ( ( ph  <->  ps )  ->  -.  (
( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( -.  ( (
ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) )  -> 
( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) ) )  ->  -.  ( ch  ->  ( th  ->  ch ) ) ) ) )
1210, 11ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( -.  (
( ( ph  <->  ps )  ->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
) )  ->  -.  ( -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) )  -> 
( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) ) )  ->  ( (
( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( (
( ph  <->  ps )  ->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) )  -> 
( ph  <->  ps ) ) ) )  ->  -.  ( -.  ( ( ( ph  <->  ps )  ->  -.  (
( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( -.  ( (
ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) )  -> 
( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) ) ) ) )  -> 
( -.  ( -.  ( ( ( ph  <->  ps )  ->  -.  (
( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( -.  ( (
ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) )  -> 
( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) ) )  ->  -.  ( ch  ->  ( th  ->  ch ) ) ) )
133, 12ax-mp 5 . . . 4  |-  ( -.  ( -.  ( ( ( ph  <->  ps )  ->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
) )  ->  -.  ( -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) )  -> 
( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) ) )  ->  -.  ( ch  ->  ( th  ->  ch ) ) )
14 ax-3 8 . . . 4  |-  ( ( -.  ( -.  (
( ( ph  <->  ps )  ->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
) )  ->  -.  ( -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) )  -> 
( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) ) )  ->  -.  ( ch  ->  ( th  ->  ch ) ) )  -> 
( ( ch  ->  ( th  ->  ch )
)  ->  ( -.  ( ( ( ph  <->  ps )  ->  -.  (
( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( -.  ( (
ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) )  -> 
( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) ) ) ) )
1513, 14ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( ch  ->  ( th  ->  ch ) )  -> 
( -.  ( ( ( ph  <->  ps )  ->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
) )  ->  -.  ( -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) )  -> 
( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) ) ) )
162, 15ax-mp 5 . 2  |-  ( -.  ( ( ( ph  <->  ps )  ->  -.  (
( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )  ->  -.  ( -.  ( (
ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( ph  <->  ps ) ) )  -> 
( ( ph  <->  ps )  <->  -.  ( ( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) ) )
171, 16ax-mp 5 1  |-  ( (
ph 
<->  ps )  <->  -.  (
( ph  ->  ps )  ->  -.  ( ps  ->  ph ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8
This theorem depends on definitions:  df-bi 189
This theorem is referenced by: (None)
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