Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfacbasgrp Structured version   Unicode version

Theorem dfacbasgrp 29464
Description: A choice equivalent in abstract algebra: All nonempty sets admit a group structure. From http://mathoverflow.net/a/12988. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfacbasgrp  |-  (CHOICE  <->  ( Base " Grp )  =  ( _V  \  { (/) } ) )

Proof of Theorem dfacbasgrp
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac10 8306 . 2  |-  (CHOICE  <->  dom  card  =  _V )
2 basfn 29456 . . . . . . . . . 10  |-  Base  Fn  _V
3 ssv 3376 . . . . . . . . . 10  |-  Grp  C_  _V
4 fvelimab 5747 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
Base  Fn  _V  /\  Grp  C_ 
_V )  ->  (
x  e.  ( Base " Grp )  <->  E. y  e.  Grp  ( Base `  y
)  =  x ) )
52, 3, 4mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( Base " Grp ) 
<->  E. y  e.  Grp  ( Base `  y )  =  x )
6 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  y )  =  (
Base `  y )
76grpbn0 15567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  Grp  ->  ( Base `  y )  =/=  (/) )
8 neeq1 2616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
Base `  y )  =  x  ->  ( (
Base `  y )  =/=  (/)  <->  x  =/=  (/) ) )
97, 8syl5ibcom 220 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  Grp  ->  (
( Base `  y )  =  x  ->  x  =/=  (/) ) )
109rexlimiv 2835 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  Grp  ( Base `  y )  =  x  ->  x  =/=  (/) )
115, 10sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( Base " Grp )  ->  x  =/=  (/) )
1211adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  card  =  _V  /\  x  e.  ( Base " Grp ) )  ->  x  =/=  (/) )
13 vex 2975 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
1412, 13jctil 537 . . . . . 6  |-  ( ( dom  card  =  _V  /\  x  e.  ( Base " Grp ) )  -> 
( x  e.  _V  /\  x  =/=  (/) ) )
15 ablgrp 16282 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  Abel  ->  x  e. 
Grp )
1615ssriv 3360 . . . . . . . 8  |-  Abel  C_  Grp
17 imass2 5204 . . . . . . . 8  |-  ( Abel  C_  Grp  ->  ( Base "
Abel )  C_  ( Base " Grp ) )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( Base " Abel )  C_  ( Base " Grp )
19 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( dom  card  =  _V  /\  ( x  e.  _V  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  e.  _V )
20 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( dom  card  =  _V  /\  ( x  e.  _V  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  dom  card  =  _V )
2119, 20eleqtrrd 2520 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  card  =  _V  /\  ( x  e.  _V  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  e.  dom  card )
22 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  card  =  _V  /\  ( x  e.  _V  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  =/=  (/) )
23 isnumbasgrplem3 29461 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  dom  card  /\  x  =/=  (/) )  ->  x  e.  ( Base "
Abel ) )
2421, 22, 23syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  card  =  _V  /\  ( x  e.  _V  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  e.  (
Base " Abel ) )
2518, 24sseldi 3354 . . . . . 6  |-  ( ( dom  card  =  _V  /\  ( x  e.  _V  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  e.  (
Base " Grp ) )
2614, 25impbida 828 . . . . 5  |-  ( dom 
card  =  _V  ->  ( x  e.  ( Base " Grp )  <->  ( x  e.  _V  /\  x  =/=  (/) ) ) )
27 eldifsn 4000 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( _V  \  { (/) } )  <->  ( x  e.  _V  /\  x  =/=  (/) ) )
2826, 27syl6bbr 263 . . . 4  |-  ( dom 
card  =  _V  ->  ( x  e.  ( Base " Grp )  <->  x  e.  ( _V  \  { (/) } ) ) )
2928eqrdv 2441 . . 3  |-  ( dom 
card  =  _V  ->  (
Base " Grp )  =  ( _V  \  { (/)
} ) )
30 fvex 5701 . . . . . . . . . 10  |-  (har `  x )  e.  _V
3113, 30unex 6378 . . . . . . . . 9  |-  ( x  u.  (har `  x
) )  e.  _V
32 ssun2 3520 . . . . . . . . . 10  |-  (har `  x )  C_  (
x  u.  (har `  x ) )
33 harn0 29458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  _V  ->  (har `  x )  =/=  (/) )
3413, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  (har `  x )  =/=  (/)
35 ssn0 3670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (har `  x )  C_  ( x  u.  (har `  x ) )  /\  (har `  x )  =/=  (/) )  ->  ( x  u.  (har `  x
) )  =/=  (/) )
3632, 34, 35mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( x  u.  (har `  x
) )  =/=  (/)
37 eldifsn 4000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  u.  (har `  x ) )  e.  ( _V  \  { (/)
} )  <->  ( (
x  u.  (har `  x ) )  e. 
_V  /\  ( x  u.  (har `  x )
)  =/=  (/) ) )
3831, 36, 37mpbir2an 911 . . . . . . . 8  |-  ( x  u.  (har `  x
) )  e.  ( _V  \  { (/) } )
3938a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
Base " Grp )  =  ( _V  \  { (/)
} )  ->  (
x  u.  (har `  x ) )  e.  ( _V  \  { (/)
} ) )
40 id 22 . . . . . . 7  |-  ( (
Base " Grp )  =  ( _V  \  { (/)
} )  ->  ( Base " Grp )  =  ( _V  \  { (/)
} ) )
4139, 40eleqtrrd 2520 . . . . . 6  |-  ( (
Base " Grp )  =  ( _V  \  { (/)
} )  ->  (
x  u.  (har `  x ) )  e.  ( Base " Grp ) )
42 isnumbasgrp 29463 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom  card  <->  ( x  u.  (har `  x )
)  e.  ( Base " Grp ) )
4341, 42sylibr 212 . . . . 5  |-  ( (
Base " Grp )  =  ( _V  \  { (/)
} )  ->  x  e.  dom  card )
4413a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
Base " Grp )  =  ( _V  \  { (/)
} )  ->  x  e.  _V )
4543, 442thd 240 . . . 4  |-  ( (
Base " Grp )  =  ( _V  \  { (/)
} )  ->  (
x  e.  dom  card  <->  x  e.  _V ) )
4645eqrdv 2441 . . 3  |-  ( (
Base " Grp )  =  ( _V  \  { (/)
} )  ->  dom  card 
=  _V )
4729, 46impbii 188 . 2  |-  ( dom 
card  =  _V  <->  ( Base " Grp )  =  ( _V  \  { (/) } ) )
481, 47bitri 249 1  |-  (CHOICE  <->  ( Base " Grp )  =  ( _V  \  { (/) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   E.wrex 2716   _Vcvv 2972    \ cdif 3325    u. cun 3326    C_ wss 3328   (/)c0 3637   {csn 3877   dom cdm 4840   "cima 4843    Fn wfn 5413   ` cfv 5418  harchar 7771   cardccrd 8105  CHOICEwac 8285   Basecbs 14174   Grpcgrp 15410   Abelcabel 16278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-tpos 6745  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-seqom 6903  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-omul 6925  df-er 7101  df-ec 7103  df-qs 7107  df-map 7216  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-oi 7724  df-har 7773  df-wdom 7774  df-card 8109  df-acn 8112  df-ac 8286  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-rp 10992  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-mod 11709  df-seq 11807  df-hash 12104  df-dvds 13536  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-0g 14380  df-prds 14386  df-pws 14388  df-imas 14446  df-divs 14447  df-mnd 15415  df-mhm 15464  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-mulg 15548  df-subg 15678  df-nsg 15679  df-eqg 15680  df-ghm 15745  df-gim 15787  df-gic 15788  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-cring 16648  df-oppr 16715  df-dvdsr 16733  df-rnghom 16806  df-subrg 16863  df-lmod 16950  df-lss 17014  df-lsp 17053  df-sra 17253  df-rgmod 17254  df-lidl 17255  df-rsp 17256  df-2idl 17314  df-cnfld 17819  df-zring 17884  df-zrh 17935  df-zn 17938  df-dsmm 18157  df-frlm 18172
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator