Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfacbasgrp Structured version   Unicode version

Theorem dfacbasgrp 31033
Description: A choice equivalent in abstract algebra: All nonempty sets admit a group structure. From http://mathoverflow.net/a/12988. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfacbasgrp  |-  (CHOICE  <->  ( Base " Grp )  =  ( _V  \  { (/) } ) )

Proof of Theorem dfacbasgrp
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac10 8520 . 2  |-  (CHOICE  <->  dom  card  =  _V )
2 basfn 31025 . . . . . . . . . 10  |-  Base  Fn  _V
3 ssv 3509 . . . . . . . . . 10  |-  Grp  C_  _V
4 fvelimab 5914 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
Base  Fn  _V  /\  Grp  C_ 
_V )  ->  (
x  e.  ( Base " Grp )  <->  E. y  e.  Grp  ( Base `  y
)  =  x ) )
52, 3, 4mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( Base " Grp ) 
<->  E. y  e.  Grp  ( Base `  y )  =  x )
6 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  y )  =  (
Base `  y )
76grpbn0 16058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  Grp  ->  ( Base `  y )  =/=  (/) )
8 neeq1 2724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
Base `  y )  =  x  ->  ( (
Base `  y )  =/=  (/)  <->  x  =/=  (/) ) )
97, 8syl5ibcom 220 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  Grp  ->  (
( Base `  y )  =  x  ->  x  =/=  (/) ) )
109rexlimiv 2929 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  Grp  ( Base `  y )  =  x  ->  x  =/=  (/) )
115, 10sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( Base " Grp )  ->  x  =/=  (/) )
1211adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  card  =  _V  /\  x  e.  ( Base " Grp ) )  ->  x  =/=  (/) )
13 vex 3098 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
1412, 13jctil 537 . . . . . 6  |-  ( ( dom  card  =  _V  /\  x  e.  ( Base " Grp ) )  -> 
( x  e.  _V  /\  x  =/=  (/) ) )
15 ablgrp 16782 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  Abel  ->  x  e. 
Grp )
1615ssriv 3493 . . . . . . . 8  |-  Abel  C_  Grp
17 imass2 5362 . . . . . . . 8  |-  ( Abel  C_  Grp  ->  ( Base "
Abel )  C_  ( Base " Grp ) )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( Base " Abel )  C_  ( Base " Grp )
19 simprl 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( dom  card  =  _V  /\  ( x  e.  _V  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  e.  _V )
20 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( dom  card  =  _V  /\  ( x  e.  _V  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  dom  card  =  _V )
2119, 20eleqtrrd 2534 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  card  =  _V  /\  ( x  e.  _V  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  e.  dom  card )
22 simprr 757 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  card  =  _V  /\  ( x  e.  _V  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  =/=  (/) )
23 isnumbasgrplem3 31030 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  dom  card  /\  x  =/=  (/) )  ->  x  e.  ( Base "
Abel ) )
2421, 22, 23syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  card  =  _V  /\  ( x  e.  _V  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  e.  (
Base " Abel ) )
2518, 24sseldi 3487 . . . . . 6  |-  ( ( dom  card  =  _V  /\  ( x  e.  _V  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  e.  (
Base " Grp ) )
2614, 25impbida 832 . . . . 5  |-  ( dom 
card  =  _V  ->  ( x  e.  ( Base " Grp )  <->  ( x  e.  _V  /\  x  =/=  (/) ) ) )
27 eldifsn 4140 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( _V  \  { (/) } )  <->  ( x  e.  _V  /\  x  =/=  (/) ) )
2826, 27syl6bbr 263 . . . 4  |-  ( dom 
card  =  _V  ->  ( x  e.  ( Base " Grp )  <->  x  e.  ( _V  \  { (/) } ) ) )
2928eqrdv 2440 . . 3  |-  ( dom 
card  =  _V  ->  (
Base " Grp )  =  ( _V  \  { (/)
} ) )
30 fvex 5866 . . . . . . . . . 10  |-  (har `  x )  e.  _V
3113, 30unex 6583 . . . . . . . . 9  |-  ( x  u.  (har `  x
) )  e.  _V
32 ssun2 3653 . . . . . . . . . 10  |-  (har `  x )  C_  (
x  u.  (har `  x ) )
33 harn0 31027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  _V  ->  (har `  x )  =/=  (/) )
3413, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  (har `  x )  =/=  (/)
35 ssn0 3804 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (har `  x )  C_  ( x  u.  (har `  x ) )  /\  (har `  x )  =/=  (/) )  ->  ( x  u.  (har `  x
) )  =/=  (/) )
3632, 34, 35mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( x  u.  (har `  x
) )  =/=  (/)
37 eldifsn 4140 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  u.  (har `  x ) )  e.  ( _V  \  { (/)
} )  <->  ( (
x  u.  (har `  x ) )  e. 
_V  /\  ( x  u.  (har `  x )
)  =/=  (/) ) )
3831, 36, 37mpbir2an 920 . . . . . . . 8  |-  ( x  u.  (har `  x
) )  e.  ( _V  \  { (/) } )
3938a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
Base " Grp )  =  ( _V  \  { (/)
} )  ->  (
x  u.  (har `  x ) )  e.  ( _V  \  { (/)
} ) )
40 id 22 . . . . . . 7  |-  ( (
Base " Grp )  =  ( _V  \  { (/)
} )  ->  ( Base " Grp )  =  ( _V  \  { (/)
} ) )
4139, 40eleqtrrd 2534 . . . . . 6  |-  ( (
Base " Grp )  =  ( _V  \  { (/)
} )  ->  (
x  u.  (har `  x ) )  e.  ( Base " Grp ) )
42 isnumbasgrp 31032 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom  card  <->  ( x  u.  (har `  x )
)  e.  ( Base " Grp ) )
4341, 42sylibr 212 . . . . 5  |-  ( (
Base " Grp )  =  ( _V  \  { (/)
} )  ->  x  e.  dom  card )
4413a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
Base " Grp )  =  ( _V  \  { (/)
} )  ->  x  e.  _V )
4543, 442thd 240 . . . 4  |-  ( (
Base " Grp )  =  ( _V  \  { (/)
} )  ->  (
x  e.  dom  card  <->  x  e.  _V ) )
4645eqrdv 2440 . . 3  |-  ( (
Base " Grp )  =  ( _V  \  { (/)
} )  ->  dom  card 
=  _V )
4729, 46impbii 188 . 2  |-  ( dom 
card  =  _V  <->  ( Base " Grp )  =  ( _V  \  { (/) } ) )
481, 47bitri 249 1  |-  (CHOICE  <->  ( Base " Grp )  =  ( _V  \  { (/) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   E.wrex 2794   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    u. cun 3459    C_ wss 3461   (/)c0 3770   {csn 4014   dom cdm 4989   "cima 4992    Fn wfn 5573   ` cfv 5578  harchar 7985   cardccrd 8319  CHOICEwac 8499   Basecbs 14614   Grpcgrp 16032   Abelcabl 16778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6957  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-seqom 7115  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-ec 7315  df-qs 7319  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-oi 7938  df-har 7987  df-wdom 7988  df-card 8323  df-acn 8326  df-ac 8500  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-rp 11232  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-mod 11979  df-seq 12090  df-hash 12388  df-dvds 13969  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-0g 14821  df-prds 14827  df-pws 14829  df-imas 14887  df-qus 14888  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-mhm 15945  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-sbg 16038  df-mulg 16039  df-subg 16177  df-nsg 16178  df-eqg 16179  df-ghm 16244  df-gim 16286  df-gic 16287  df-cmn 16779  df-abl 16780  df-mgp 17121  df-ur 17133  df-ring 17179  df-cring 17180  df-oppr 17251  df-dvdsr 17269  df-rnghom 17343  df-subrg 17406  df-lmod 17493  df-lss 17558  df-lsp 17597  df-sra 17797  df-rgmod 17798  df-lidl 17799  df-rsp 17800  df-2idl 17859  df-cnfld 18400  df-zring 18468  df-zrh 18519  df-zn 18522  df-dsmm 18741  df-frlm 18756
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator