Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfacbasgrp Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dfacbasgrp 36038
Description: A choice equivalent in abstract algebra: All nonempty sets admit a group structure. From http://mathoverflow.net/a/12988. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfacbasgrp  |-  (CHOICE  <->  ( Base " Grp )  =  ( _V  \  { (/) } ) )

Proof of Theorem dfacbasgrp
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac10 8585 . 2  |-  (CHOICE  <->  dom  card  =  _V )
2 basfn 36030 . . . . . . . . . 10  |-  Base  Fn  _V
3 ssv 3438 . . . . . . . . . 10  |-  Grp  C_  _V
4 fvelimab 5936 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
Base  Fn  _V  /\  Grp  C_ 
_V )  ->  (
x  e.  ( Base " Grp )  <->  E. y  e.  Grp  ( Base `  y
)  =  x ) )
52, 3, 4mp2an 686 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( Base " Grp ) 
<->  E. y  e.  Grp  ( Base `  y )  =  x )
6 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  y )  =  (
Base `  y )
76grpbn0 16773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  Grp  ->  ( Base `  y )  =/=  (/) )
8 neeq1 2705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
Base `  y )  =  x  ->  ( (
Base `  y )  =/=  (/)  <->  x  =/=  (/) ) )
97, 8syl5ibcom 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  Grp  ->  (
( Base `  y )  =  x  ->  x  =/=  (/) ) )
109rexlimiv 2867 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  Grp  ( Base `  y )  =  x  ->  x  =/=  (/) )
115, 10sylbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( Base " Grp )  ->  x  =/=  (/) )
1211adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  card  =  _V  /\  x  e.  ( Base " Grp ) )  ->  x  =/=  (/) )
13 vex 3034 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
1412, 13jctil 546 . . . . . 6  |-  ( ( dom  card  =  _V  /\  x  e.  ( Base " Grp ) )  -> 
( x  e.  _V  /\  x  =/=  (/) ) )
15 ablgrp 17513 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  Abel  ->  x  e. 
Grp )
1615ssriv 3422 . . . . . . . 8  |-  Abel  C_  Grp
17 imass2 5210 . . . . . . . 8  |-  ( Abel  C_  Grp  ->  ( Base "
Abel )  C_  ( Base " Grp ) )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( Base " Abel )  C_  ( Base " Grp )
19 simprl 772 . . . . . . . . 9  |-  ( ( dom  card  =  _V  /\  ( x  e.  _V  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  e.  _V )
20 simpl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( dom  card  =  _V  /\  ( x  e.  _V  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  dom  card  =  _V )
2119, 20eleqtrrd 2552 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  card  =  _V  /\  ( x  e.  _V  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  e.  dom  card )
22 simprr 774 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  card  =  _V  /\  ( x  e.  _V  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  =/=  (/) )
23 isnumbasgrplem3 36035 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  dom  card  /\  x  =/=  (/) )  ->  x  e.  ( Base "
Abel ) )
2421, 22, 23syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  card  =  _V  /\  ( x  e.  _V  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  e.  (
Base " Abel ) )
2518, 24sseldi 3416 . . . . . 6  |-  ( ( dom  card  =  _V  /\  ( x  e.  _V  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  e.  (
Base " Grp ) )
2614, 25impbida 850 . . . . 5  |-  ( dom 
card  =  _V  ->  ( x  e.  ( Base " Grp )  <->  ( x  e.  _V  /\  x  =/=  (/) ) ) )
27 eldifsn 4088 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( _V  \  { (/) } )  <->  ( x  e.  _V  /\  x  =/=  (/) ) )
2826, 27syl6bbr 271 . . . 4  |-  ( dom 
card  =  _V  ->  ( x  e.  ( Base " Grp )  <->  x  e.  ( _V  \  { (/) } ) ) )
2928eqrdv 2469 . . 3  |-  ( dom 
card  =  _V  ->  (
Base " Grp )  =  ( _V  \  { (/)
} ) )
30 fvex 5889 . . . . . . . . . 10  |-  (har `  x )  e.  _V
3113, 30unex 6608 . . . . . . . . 9  |-  ( x  u.  (har `  x
) )  e.  _V
32 ssun2 3589 . . . . . . . . . 10  |-  (har `  x )  C_  (
x  u.  (har `  x ) )
33 harn0 36032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  _V  ->  (har `  x )  =/=  (/) )
3413, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  (har `  x )  =/=  (/)
35 ssn0 3770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (har `  x )  C_  ( x  u.  (har `  x ) )  /\  (har `  x )  =/=  (/) )  ->  ( x  u.  (har `  x
) )  =/=  (/) )
3632, 34, 35mp2an 686 . . . . . . . . 9  |-  ( x  u.  (har `  x
) )  =/=  (/)
37 eldifsn 4088 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  u.  (har `  x ) )  e.  ( _V  \  { (/)
} )  <->  ( (
x  u.  (har `  x ) )  e. 
_V  /\  ( x  u.  (har `  x )
)  =/=  (/) ) )
3831, 36, 37mpbir2an 934 . . . . . . . 8  |-  ( x  u.  (har `  x
) )  e.  ( _V  \  { (/) } )
3938a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
Base " Grp )  =  ( _V  \  { (/)
} )  ->  (
x  u.  (har `  x ) )  e.  ( _V  \  { (/)
} ) )
40 id 22 . . . . . . 7  |-  ( (
Base " Grp )  =  ( _V  \  { (/)
} )  ->  ( Base " Grp )  =  ( _V  \  { (/)
} ) )
4139, 40eleqtrrd 2552 . . . . . 6  |-  ( (
Base " Grp )  =  ( _V  \  { (/)
} )  ->  (
x  u.  (har `  x ) )  e.  ( Base " Grp ) )
42 isnumbasgrp 36037 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom  card  <->  ( x  u.  (har `  x )
)  e.  ( Base " Grp ) )
4341, 42sylibr 217 . . . . 5  |-  ( (
Base " Grp )  =  ( _V  \  { (/)
} )  ->  x  e.  dom  card )
4413a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
Base " Grp )  =  ( _V  \  { (/)
} )  ->  x  e.  _V )
4543, 442thd 248 . . . 4  |-  ( (
Base " Grp )  =  ( _V  \  { (/)
} )  ->  (
x  e.  dom  card  <->  x  e.  _V ) )
4645eqrdv 2469 . . 3  |-  ( (
Base " Grp )  =  ( _V  \  { (/)
} )  ->  dom  card 
=  _V )
4729, 46impbii 192 . 2  |-  ( dom 
card  =  _V  <->  ( Base " Grp )  =  ( _V  \  { (/) } ) )
481, 47bitri 257 1  |-  (CHOICE  <->  ( Base " Grp )  =  ( _V  \  { (/) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    u. cun 3388    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   dom cdm 4839   "cima 4842    Fn wfn 5584   ` cfv 5589  harchar 8089   cardccrd 8387  CHOICEwac 8564   Basecbs 15199   Grpcgrp 16747   Abelcabl 17509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-seqom 7183  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-har 8091  df-wdom 8092  df-card 8391  df-acn 8394  df-ac 8565  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-hash 12554  df-dvds 14383  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-0g 15418  df-prds 15424  df-pws 15426  df-imas 15485  df-qus 15487  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-nsg 16893  df-eqg 16894  df-ghm 16959  df-gim 17001  df-gic 17002  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-rnghom 18021  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-lidl 18475  df-rsp 18476  df-2idl 18533  df-cnfld 19048  df-zring 19117  df-zrh 19152  df-zn 19155  df-dsmm 19372  df-frlm 19387
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator