Theorem dfacacn 8413

Description: A choice equivalent: every set has choice sets of every length. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfacacn	|- (CHOICE <-> A. xAC x = _V )

Proof of Theorem dfacacn

Dummy variables f g y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3073	. . . 4 |- x e. _V
2		acacni 8412	. . . 4 |- ( (CHOICE /\ x e. _V ) -> AC x = _V )
3	1, 2	mpan2 671	. . 3 |- (CHOICE -> AC x = _V )
4	3	alrimiv 1686	. 2 |- (CHOICE -> A. xAC x = _V )
5		vex 3073	. . . . . . 7 |- y e. _V
6		difexg 4540	. . . . . . 7 |- ( y e. _V -> ( y \ { (/) } ) e. _V )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( y \ { (/) } ) e. _V
8		acneq 8316	. . . . . . 7 |- ( x = ( y \ { (/) } ) -> AC x = AC ( y \ { (/) } ) )
9	8	eqeq1d 2453	. . . . . 6 |- ( x = ( y \ { (/) } ) -> (AC x = _V <-> AC ( y \ { (/) } ) = _V ) )
10	7, 9	spcv 3161	. . . . 5 |- ( A. xAC x = _V -> AC ( y \ { (/) } ) = _V )
11	5	uniex 6478	. . . . . . 7 |- U. y e. _V
12		id 22	. . . . . . 7 |- (AC ( y \ { (/) } ) = _V -> AC ( y \ { (/) } ) = _V )
13	11, 12	syl5eleqr 2546	. . . . . 6 |- (AC ( y \ { (/) } ) = _V -> U. y e. AC ( y \ { (/) } ) )
14		eldifi 3578	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( y \ { (/) } ) -> z e. y )
15		elssuni 4221	. . . . . . . . 9 |- ( z e. y -> z C_ U. y )
16	14, 15	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( y \ { (/) } ) -> z C_ U. y )
17		eldifsni 4101	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( y \ { (/) } ) -> z =/= (/) )
18	16, 17	jca 532	. . . . . . 7 |- ( z e. ( y \ { (/) } ) -> ( z C_ U. y /\ z =/= (/) ) )
19	18	rgen 2891	. . . . . 6 |- A. z e. ( y \ { (/) } ) ( z C_ U. y /\ z =/= (/) )
20		acni2 8319	. . . . . 6 |- ( ( U. y e. AC ( y \ { (/) } ) /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( z C_ U. y /\ z =/= (/) ) ) -> E. g ( g : ( y \ { (/) } ) --> U. y /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z ) )
21	13, 19, 20	sylancl 662	. . . . 5 |- (AC ( y \ { (/) } ) = _V -> E. g ( g : ( y \ { (/) } ) --> U. y /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z ) )
22	5	mptex 6049	. . . . . . 7 |- ( x e. y |-> ( g ` x ) ) e. _V
23		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( g : ( y \ { (/) } ) --> U. y /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z ) -> A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z )
24		eldifsn 4100	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( y \ { (/) } ) <-> ( z e. y /\ z =/= (/) ) )
25	24	imbi1i 325	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ( y \ { (/) } ) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) <-> ( ( z e. y /\ z =/= (/) ) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) )
26		fveq2 5791	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z -> ( g ` x ) = ( g ` z ) )
27		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. y |-> ( g ` x ) ) = ( x e. y |-> ( g ` x ) )
28		fvex 5801	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g ` z ) e. _V
29	26, 27, 28	fvmpt 5875	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. y -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) = ( g ` z ) )
30	14, 29	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( y \ { (/) } ) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) = ( g ` z ) )
31	30	eleq1d 2520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( y \ { (/) } ) -> ( ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z <-> ( g ` z ) e. z ) )
32	31	pm5.74i 245	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ( y \ { (/) } ) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) <-> ( z e. ( y \ { (/) } ) -> ( g ` z ) e. z ) )
33		impexp 446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. y /\ z =/= (/) ) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) <-> ( z e. y -> ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) ) )
34	25, 32, 33	3bitr3i 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ( y \ { (/) } ) -> ( g ` z ) e. z ) <-> ( z e. y -> ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) ) )
35	34	ralbii2 2829	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z <-> A. z e. y ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) )
36	23, 35	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( g : ( y \ { (/) } ) --> U. y /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z ) -> A. z e. y ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) )
37		fvrn0 5813	. . . . . . . . . . 11 |- ( g ` x ) e. ( ran g u. { (/) } )
38	37	rgenw 2893	. . . . . . . . . 10 |- A. x e. y ( g ` x ) e. ( ran g u. { (/) } )
39	27	fmpt 5965	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. y ( g ` x ) e. ( ran g u. { (/) } ) <-> ( x e. y |-> ( g ` x ) ) : y --> ( ran g u. { (/) } ) )
40	38, 39	mpbi 208	. . . . . . . . 9 |- ( x e. y |-> ( g ` x ) ) : y --> ( ran g u. { (/) } )
41		ffn 5659	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) : y --> ( ran g u. { (/) } ) -> ( x e. y |-> ( g ` x ) ) Fn y )
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( x e. y |-> ( g ` x ) ) Fn y
43	36, 42	jctil 537	. . . . . . 7 |- ( ( g : ( y \ { (/) } ) --> U. y /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z ) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) ) )
44		fneq1 5599	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( x e. y |-> ( g ` x ) ) -> ( f Fn y <-> ( x e. y |-> ( g ` x ) ) Fn y ) )
45		fveq1 5790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( x e. y |-> ( g ` x ) ) -> ( f ` z ) = ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) )
46	45	eleq1d 2520	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( x e. y |-> ( g ` x ) ) -> ( ( f ` z ) e. z <-> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) )
47	46	imbi2d 316	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( x e. y |-> ( g ` x ) ) -> ( ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) ) )
48	47	ralbidv 2838	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( x e. y |-> ( g ` x ) ) -> ( A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> A. z e. y ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) ) )
49	44, 48	anbi12d 710	. . . . . . . 8 |- ( f = ( x e. y |-> ( g ` x ) ) -> ( ( f Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) <-> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) ) ) )
50	49	spcegv 3156	. . . . . . 7 |- ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) e. _V -> ( ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) ) -> E. f ( f Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) ) )
51	22, 43, 50	mpsyl 63	. . . . . 6 |- ( ( g : ( y \ { (/) } ) --> U. y /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z ) -> E. f ( f Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
52	51	exlimiv 1689	. . . . 5 |- ( E. g ( g : ( y \ { (/) } ) --> U. y /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z ) -> E. f ( f Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
53	10, 21, 52	3syl 20	. . . 4 |- ( A. xAC x = _V -> E. f ( f Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
54	53	alrimiv 1686	. . 3 |- ( A. xAC x = _V -> A. y E. f ( f Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
55		dfac4 8395	. . 3 |- (CHOICE <-> A. y E. f ( f Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
56	54, 55	sylibr 212	. 2 |- ( A. xAC x = _V -> CHOICE )
57	4, 56	impbii 188	1 |- (CHOICE <-> A. xAC x = _V )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1368   = wceq 1370   E.wex 1587   e. wcel 1758   =/= wne 2644   A.wral 2795   _Vcvv 3070   \ cdif 3425   u. cun 3426   C_ wss 3428   (/)c0 3737   {csn 3977   U.cuni 4191   |-> cmpt 4450   ran crn 4941   Fn wfn 5513   -->wf 5514   ` cfv 5518  AC wacn 8211  CHOICEwac 8388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-er 7203  df-map 7318  df-en 7413  df-dom 7414  df-card 8212  df-acn 8215  df-ac 8389

This theorem is referenced by:  dfac13  8414