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Theorem dfacacn 8571
Description: A choice equivalent: every set has choice sets of every length. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfacacn  |-  (CHOICE  <->  A. xAC  x  =  _V )

Proof of Theorem dfacacn
Dummy variables  f 
g  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3048 . . . 4  |-  x  e. 
_V
2 acacni 8570 . . . 4  |-  ( (CHOICE  /\  x  e.  _V )  -> AC  x  =  _V )
31, 2mpan2 677 . . 3  |-  (CHOICE  -> AC  x  =  _V )
43alrimiv 1773 . 2  |-  (CHOICE  ->  A. xAC  x  =  _V )
5 vex 3048 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
6 difexg 4551 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  \  { (/) } )  e.  _V )
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( y 
\  { (/) } )  e.  _V
8 acneq 8474 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  \  { (/) } )  -> AC  x  = AC  ( y  \  { (/)
} ) )
98eqeq1d 2453 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  \  { (/) } )  -> 
(AC  x  =  _V  <-> AC  (
y  \  { (/) } )  =  _V ) )
107, 9spcv 3140 . . . . 5  |-  ( A. xAC  x  =  _V  -> AC  (
y  \  { (/) } )  =  _V )
115uniex 6587 . . . . . . 7  |-  U. y  e.  _V
12 id 22 . . . . . . 7  |-  (AC  (
y  \  { (/) } )  =  _V  -> AC  ( y 
\  { (/) } )  =  _V )
1311, 12syl5eleqr 2536 . . . . . 6  |-  (AC  (
y  \  { (/) } )  =  _V  ->  U. y  e. AC  ( y  \  { (/)
} ) )
14 eldifi 3555 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( y  \  { (/) } )  -> 
z  e.  y )
15 elssuni 4227 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  y  ->  z  C_ 
U. y )
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( y  \  { (/) } )  -> 
z  C_  U. y
)
17 eldifsni 4098 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( y  \  { (/) } )  -> 
z  =/=  (/) )
1816, 17jca 535 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( y  \  { (/) } )  -> 
( z  C_  U. y  /\  z  =/=  (/) ) )
1918rgen 2747 . . . . . 6  |-  A. z  e.  ( y  \  { (/)
} ) ( z 
C_  U. y  /\  z  =/=  (/) )
20 acni2 8477 . . . . . 6  |-  ( ( U. y  e. AC  ( y 
\  { (/) } )  /\  A. z  e.  ( y  \  { (/)
} ) ( z 
C_  U. y  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  E. g ( g : ( y  \  { (/)
} ) --> U. y  /\  A. z  e.  ( y  \  { (/) } ) ( g `  z )  e.  z ) )
2113, 19, 20sylancl 668 . . . . 5  |-  (AC  (
y  \  { (/) } )  =  _V  ->  E. g
( g : ( y  \  { (/) } ) --> U. y  /\  A. z  e.  ( y  \  { (/) } ) ( g `  z )  e.  z ) )
225mptex 6136 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  y  |->  ( g `
 x ) )  e.  _V
23 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g : ( y 
\  { (/) } ) --> U. y  /\  A. z  e.  ( y  \  { (/) } ) ( g `  z )  e.  z )  ->  A. z  e.  (
y  \  { (/) } ) ( g `  z
)  e.  z )
24 eldifsn 4097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( y  \  { (/) } )  <->  ( z  e.  y  /\  z  =/=  (/) ) )
2524imbi1i 327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ( y 
\  { (/) } )  ->  ( ( x  e.  y  |->  ( g `
 x ) ) `
 z )  e.  z )  <->  ( (
z  e.  y  /\  z  =/=  (/) )  ->  (
( x  e.  y 
|->  ( g `  x
) ) `  z
)  e.  z ) )
26 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
g `  x )  =  ( g `  z ) )
27 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  y  |->  ( g `
 x ) )  =  ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )
28 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g `
 z )  e. 
_V
2926, 27, 28fvmpt 5948 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  y  ->  (
( x  e.  y 
|->  ( g `  x
) ) `  z
)  =  ( g `
 z ) )
3014, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( y  \  { (/) } )  -> 
( ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) `  z )  =  ( g `  z ) )
3130eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( y  \  { (/) } )  -> 
( ( ( x  e.  y  |->  ( g `
 x ) ) `
 z )  e.  z  <->  ( g `  z )  e.  z ) )
3231pm5.74i 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ( y 
\  { (/) } )  ->  ( ( x  e.  y  |->  ( g `
 x ) ) `
 z )  e.  z )  <->  ( z  e.  ( y  \  { (/)
} )  ->  (
g `  z )  e.  z ) )
33 impexp 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  y  /\  z  =/=  (/) )  -> 
( ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) `  z )  e.  z )  <->  ( z  e.  y  ->  ( z  =/=  (/)  ->  ( (
x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) `  z )  e.  z ) ) )
3425, 32, 333bitr3i 279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ( y 
\  { (/) } )  ->  ( g `  z )  e.  z )  <->  ( z  e.  y  ->  ( z  =/=  (/)  ->  ( (
x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) `  z )  e.  z ) ) )
3534ralbii2 2817 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  ( y  \  { (/) } ) ( g `  z )  e.  z  <->  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( (
x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) `  z )  e.  z ) )
3623, 35sylib 200 . . . . . . . 8  |-  ( ( g : ( y 
\  { (/) } ) --> U. y  /\  A. z  e.  ( y  \  { (/) } ) ( g `  z )  e.  z )  ->  A. z  e.  y 
( z  =/=  (/)  ->  (
( x  e.  y 
|->  ( g `  x
) ) `  z
)  e.  z ) )
37 fvrn0 5887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g `
 x )  e.  ( ran  g  u. 
{ (/) } )
3837rgenw 2749 . . . . . . . . . 10  |-  A. x  e.  y  ( g `  x )  e.  ( ran  g  u.  { (/)
} )
3927fmpt 6043 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  y  (
g `  x )  e.  ( ran  g  u. 
{ (/) } )  <->  ( x  e.  y  |->  ( g `
 x ) ) : y --> ( ran  g  u.  { (/) } ) )
4038, 39mpbi 212 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  y  |->  ( g `
 x ) ) : y --> ( ran  g  u.  { (/) } )
41 ffn 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) : y --> ( ran  g  u.  { (/)
} )  ->  (
x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  Fn  y )
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  y  |->  ( g `
 x ) )  Fn  y
4336, 42jctil 540 . . . . . . 7  |-  ( ( g : ( y 
\  { (/) } ) --> U. y  /\  A. z  e.  ( y  \  { (/) } ) ( g `  z )  e.  z )  -> 
( ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( (
x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) `  z )  e.  z ) ) )
44 fneq1 5664 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  -> 
( f  Fn  y  <->  ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  Fn  y ) )
45 fveq1 5864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  -> 
( f `  z
)  =  ( ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) `  z ) )
4645eleq1d 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  -> 
( ( f `  z )  e.  z  <-> 
( ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) `  z )  e.  z ) )
4746imbi2d 318 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  -> 
( ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  ( ( x  e.  y  |->  ( g `
 x ) ) `
 z )  e.  z ) ) )
4847ralbidv 2827 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  -> 
( A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  <->  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  (
( x  e.  y 
|->  ( g `  x
) ) `  z
)  e.  z ) ) )
4944, 48anbi12d 717 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  -> 
( ( f  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )  <->  ( (
x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  (
( x  e.  y 
|->  ( g `  x
) ) `  z
)  e.  z ) ) ) )
5049spcegv 3135 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  e.  _V  ->  ( ( ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( (
x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) `  z )  e.  z ) )  ->  E. f ( f  Fn  y  /\  A. z  e.  y  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) ) )
5122, 43, 50mpsyl 65 . . . . . 6  |-  ( ( g : ( y 
\  { (/) } ) --> U. y  /\  A. z  e.  ( y  \  { (/) } ) ( g `  z )  e.  z )  ->  E. f ( f  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) ) )
5251exlimiv 1776 . . . . 5  |-  ( E. g ( g : ( y  \  { (/)
} ) --> U. y  /\  A. z  e.  ( y  \  { (/) } ) ( g `  z )  e.  z )  ->  E. f
( f  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
5310, 21, 523syl 18 . . . 4  |-  ( A. xAC  x  =  _V  ->  E. f ( f  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) ) )
5453alrimiv 1773 . . 3  |-  ( A. xAC  x  =  _V  ->  A. y E. f ( f  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
55 dfac4 8553 . . 3  |-  (CHOICE  <->  A. y E. f ( f  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) ) )
5654, 55sylibr 216 . 2  |-  ( A. xAC  x  =  _V  -> CHOICE )
574, 56impbii 191 1  |-  (CHOICE  <->  A. xAC  x  =  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371   A.wal 1442    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   _Vcvv 3045    \ cdif 3401    u. cun 3402    C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   U.cuni 4198    |-> cmpt 4461   ran crn 4835    Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582  AC wacn 8372  CHOICEwac 8546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-card 8373  df-acn 8376  df-ac 8547
This theorem is referenced by:  dfac13  8572
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