Theorem dfacacn 8538

Description: A choice equivalent: every set has choice sets of every length. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfacacn	|- (CHOICE <-> A. xAC x = _V )

Proof of Theorem dfacacn

Dummy variables f g y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3112	. . . 4 |- x e. _V
2		acacni 8537	. . . 4 |- ( (CHOICE /\ x e. _V ) -> AC x = _V )
3	1, 2	mpan2 671	. . 3 |- (CHOICE -> AC x = _V )
4	3	alrimiv 1720	. 2 |- (CHOICE -> A. xAC x = _V )
5		vex 3112	. . . . . . 7 |- y e. _V
6		difexg 4604	. . . . . . 7 |- ( y e. _V -> ( y \ { (/) } ) e. _V )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( y \ { (/) } ) e. _V
8		acneq 8441	. . . . . . 7 |- ( x = ( y \ { (/) } ) -> AC x = AC ( y \ { (/) } ) )
9	8	eqeq1d 2459	. . . . . 6 |- ( x = ( y \ { (/) } ) -> (AC x = _V <-> AC ( y \ { (/) } ) = _V ) )
10	7, 9	spcv 3200	. . . . 5 |- ( A. xAC x = _V -> AC ( y \ { (/) } ) = _V )
11	5	uniex 6595	. . . . . . 7 |- U. y e. _V
12		id 22	. . . . . . 7 |- (AC ( y \ { (/) } ) = _V -> AC ( y \ { (/) } ) = _V )
13	11, 12	syl5eleqr 2552	. . . . . 6 |- (AC ( y \ { (/) } ) = _V -> U. y e. AC ( y \ { (/) } ) )
14		eldifi 3622	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( y \ { (/) } ) -> z e. y )
15		elssuni 4281	. . . . . . . . 9 |- ( z e. y -> z C_ U. y )
16	14, 15	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( y \ { (/) } ) -> z C_ U. y )
17		eldifsni 4158	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( y \ { (/) } ) -> z =/= (/) )
18	16, 17	jca 532	. . . . . . 7 |- ( z e. ( y \ { (/) } ) -> ( z C_ U. y /\ z =/= (/) ) )
19	18	rgen 2817	. . . . . 6 |- A. z e. ( y \ { (/) } ) ( z C_ U. y /\ z =/= (/) )
20		acni2 8444	. . . . . 6 |- ( ( U. y e. AC ( y \ { (/) } ) /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( z C_ U. y /\ z =/= (/) ) ) -> E. g ( g : ( y \ { (/) } ) --> U. y /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z ) )
21	13, 19, 20	sylancl 662	. . . . 5 |- (AC ( y \ { (/) } ) = _V -> E. g ( g : ( y \ { (/) } ) --> U. y /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z ) )
22	5	mptex 6144	. . . . . . 7 |- ( x e. y |-> ( g ` x ) ) e. _V
23		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( g : ( y \ { (/) } ) --> U. y /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z ) -> A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z )
24		eldifsn 4157	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( y \ { (/) } ) <-> ( z e. y /\ z =/= (/) ) )
25	24	imbi1i 325	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ( y \ { (/) } ) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) <-> ( ( z e. y /\ z =/= (/) ) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) )
26		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z -> ( g ` x ) = ( g ` z ) )
27		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. y |-> ( g ` x ) ) = ( x e. y |-> ( g ` x ) )
28		fvex 5882	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g ` z ) e. _V
29	26, 27, 28	fvmpt 5956	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. y -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) = ( g ` z ) )
30	14, 29	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( y \ { (/) } ) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) = ( g ` z ) )
31	30	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( y \ { (/) } ) -> ( ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z <-> ( g ` z ) e. z ) )
32	31	pm5.74i 245	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ( y \ { (/) } ) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) <-> ( z e. ( y \ { (/) } ) -> ( g ` z ) e. z ) )
33		impexp 446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. y /\ z =/= (/) ) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) <-> ( z e. y -> ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) ) )
34	25, 32, 33	3bitr3i 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ( y \ { (/) } ) -> ( g ` z ) e. z ) <-> ( z e. y -> ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) ) )
35	34	ralbii2 2886	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z <-> A. z e. y ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) )
36	23, 35	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( g : ( y \ { (/) } ) --> U. y /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z ) -> A. z e. y ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) )
37		fvrn0 5894	. . . . . . . . . . 11 |- ( g ` x ) e. ( ran g u. { (/) } )
38	37	rgenw 2818	. . . . . . . . . 10 |- A. x e. y ( g ` x ) e. ( ran g u. { (/) } )
39	27	fmpt 6053	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. y ( g ` x ) e. ( ran g u. { (/) } ) <-> ( x e. y |-> ( g ` x ) ) : y --> ( ran g u. { (/) } ) )
40	38, 39	mpbi 208	. . . . . . . . 9 |- ( x e. y |-> ( g ` x ) ) : y --> ( ran g u. { (/) } )
41		ffn 5737	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) : y --> ( ran g u. { (/) } ) -> ( x e. y |-> ( g ` x ) ) Fn y )
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( x e. y |-> ( g ` x ) ) Fn y
43	36, 42	jctil 537	. . . . . . 7 |- ( ( g : ( y \ { (/) } ) --> U. y /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z ) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) ) )
44		fneq1 5675	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( x e. y |-> ( g ` x ) ) -> ( f Fn y <-> ( x e. y |-> ( g ` x ) ) Fn y ) )
45		fveq1 5871	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( x e. y |-> ( g ` x ) ) -> ( f ` z ) = ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) )
46	45	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( x e. y |-> ( g ` x ) ) -> ( ( f ` z ) e. z <-> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) )
47	46	imbi2d 316	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( x e. y |-> ( g ` x ) ) -> ( ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) ) )
48	47	ralbidv 2896	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( x e. y |-> ( g ` x ) ) -> ( A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> A. z e. y ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) ) )
49	44, 48	anbi12d 710	. . . . . . . 8 |- ( f = ( x e. y |-> ( g ` x ) ) -> ( ( f Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) <-> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) ) ) )
50	49	spcegv 3195	. . . . . . 7 |- ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) e. _V -> ( ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) ) -> E. f ( f Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) ) )
51	22, 43, 50	mpsyl 63	. . . . . 6 |- ( ( g : ( y \ { (/) } ) --> U. y /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z ) -> E. f ( f Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
52	51	exlimiv 1723	. . . . 5 |- ( E. g ( g : ( y \ { (/) } ) --> U. y /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z ) -> E. f ( f Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
53	10, 21, 52	3syl 20	. . . 4 |- ( A. xAC x = _V -> E. f ( f Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
54	53	alrimiv 1720	. . 3 |- ( A. xAC x = _V -> A. y E. f ( f Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
55		dfac4 8520	. . 3 |- (CHOICE <-> A. y E. f ( f Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
56	54, 55	sylibr 212	. 2 |- ( A. xAC x = _V -> CHOICE )
57	4, 56	impbii 188	1 |- (CHOICE <-> A. xAC x = _V )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1393   = wceq 1395   E.wex 1613   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   _Vcvv 3109   \ cdif 3468   u. cun 3469   C_ wss 3471   (/)c0 3793   {csn 4032   U.cuni 4251   |-> cmpt 4515   ran crn 5009   Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  AC wacn 8336  CHOICEwac 8513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-card 8337  df-acn 8340  df-ac 8514

This theorem is referenced by:  dfac13  8539