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Theorem dfacacn 8413
Description: A choice equivalent: every set has choice sets of every length. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfacacn  |-  (CHOICE  <->  A. xAC  x  =  _V )

Proof of Theorem dfacacn
Dummy variables  f 
g  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3073 . . . 4  |-  x  e. 
_V
2 acacni 8412 . . . 4  |-  ( (CHOICE  /\  x  e.  _V )  -> AC  x  =  _V )
31, 2mpan2 671 . . 3  |-  (CHOICE  -> AC  x  =  _V )
43alrimiv 1686 . 2  |-  (CHOICE  ->  A. xAC  x  =  _V )
5 vex 3073 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
6 difexg 4540 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  \  { (/) } )  e.  _V )
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( y 
\  { (/) } )  e.  _V
8 acneq 8316 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  \  { (/) } )  -> AC  x  = AC  ( y  \  { (/)
} ) )
98eqeq1d 2453 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  \  { (/) } )  -> 
(AC  x  =  _V  <-> AC  (
y  \  { (/) } )  =  _V ) )
107, 9spcv 3161 . . . . 5  |-  ( A. xAC  x  =  _V  -> AC  (
y  \  { (/) } )  =  _V )
115uniex 6478 . . . . . . 7  |-  U. y  e.  _V
12 id 22 . . . . . . 7  |-  (AC  (
y  \  { (/) } )  =  _V  -> AC  ( y 
\  { (/) } )  =  _V )
1311, 12syl5eleqr 2546 . . . . . 6  |-  (AC  (
y  \  { (/) } )  =  _V  ->  U. y  e. AC  ( y  \  { (/)
} ) )
14 eldifi 3578 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( y  \  { (/) } )  -> 
z  e.  y )
15 elssuni 4221 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  y  ->  z  C_ 
U. y )
1614, 15syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( y  \  { (/) } )  -> 
z  C_  U. y
)
17 eldifsni 4101 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( y  \  { (/) } )  -> 
z  =/=  (/) )
1816, 17jca 532 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( y  \  { (/) } )  -> 
( z  C_  U. y  /\  z  =/=  (/) ) )
1918rgen 2891 . . . . . 6  |-  A. z  e.  ( y  \  { (/)
} ) ( z 
C_  U. y  /\  z  =/=  (/) )
20 acni2 8319 . . . . . 6  |-  ( ( U. y  e. AC  ( y 
\  { (/) } )  /\  A. z  e.  ( y  \  { (/)
} ) ( z 
C_  U. y  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  E. g ( g : ( y  \  { (/)
} ) --> U. y  /\  A. z  e.  ( y  \  { (/) } ) ( g `  z )  e.  z ) )
2113, 19, 20sylancl 662 . . . . 5  |-  (AC  (
y  \  { (/) } )  =  _V  ->  E. g
( g : ( y  \  { (/) } ) --> U. y  /\  A. z  e.  ( y  \  { (/) } ) ( g `  z )  e.  z ) )
225mptex 6049 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  y  |->  ( g `
 x ) )  e.  _V
23 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g : ( y 
\  { (/) } ) --> U. y  /\  A. z  e.  ( y  \  { (/) } ) ( g `  z )  e.  z )  ->  A. z  e.  (
y  \  { (/) } ) ( g `  z
)  e.  z )
24 eldifsn 4100 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( y  \  { (/) } )  <->  ( z  e.  y  /\  z  =/=  (/) ) )
2524imbi1i 325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ( y 
\  { (/) } )  ->  ( ( x  e.  y  |->  ( g `
 x ) ) `
 z )  e.  z )  <->  ( (
z  e.  y  /\  z  =/=  (/) )  ->  (
( x  e.  y 
|->  ( g `  x
) ) `  z
)  e.  z ) )
26 fveq2 5791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
g `  x )  =  ( g `  z ) )
27 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  y  |->  ( g `
 x ) )  =  ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )
28 fvex 5801 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g `
 z )  e. 
_V
2926, 27, 28fvmpt 5875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  y  ->  (
( x  e.  y 
|->  ( g `  x
) ) `  z
)  =  ( g `
 z ) )
3014, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( y  \  { (/) } )  -> 
( ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) `  z )  =  ( g `  z ) )
3130eleq1d 2520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( y  \  { (/) } )  -> 
( ( ( x  e.  y  |->  ( g `
 x ) ) `
 z )  e.  z  <->  ( g `  z )  e.  z ) )
3231pm5.74i 245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ( y 
\  { (/) } )  ->  ( ( x  e.  y  |->  ( g `
 x ) ) `
 z )  e.  z )  <->  ( z  e.  ( y  \  { (/)
} )  ->  (
g `  z )  e.  z ) )
33 impexp 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  y  /\  z  =/=  (/) )  -> 
( ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) `  z )  e.  z )  <->  ( z  e.  y  ->  ( z  =/=  (/)  ->  ( (
x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) `  z )  e.  z ) ) )
3425, 32, 333bitr3i 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ( y 
\  { (/) } )  ->  ( g `  z )  e.  z )  <->  ( z  e.  y  ->  ( z  =/=  (/)  ->  ( (
x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) `  z )  e.  z ) ) )
3534ralbii2 2829 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  ( y  \  { (/) } ) ( g `  z )  e.  z  <->  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( (
x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) `  z )  e.  z ) )
3623, 35sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( g : ( y 
\  { (/) } ) --> U. y  /\  A. z  e.  ( y  \  { (/) } ) ( g `  z )  e.  z )  ->  A. z  e.  y 
( z  =/=  (/)  ->  (
( x  e.  y 
|->  ( g `  x
) ) `  z
)  e.  z ) )
37 fvrn0 5813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g `
 x )  e.  ( ran  g  u. 
{ (/) } )
3837rgenw 2893 . . . . . . . . . 10  |-  A. x  e.  y  ( g `  x )  e.  ( ran  g  u.  { (/)
} )
3927fmpt 5965 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  y  (
g `  x )  e.  ( ran  g  u. 
{ (/) } )  <->  ( x  e.  y  |->  ( g `
 x ) ) : y --> ( ran  g  u.  { (/) } ) )
4038, 39mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  y  |->  ( g `
 x ) ) : y --> ( ran  g  u.  { (/) } )
41 ffn 5659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) : y --> ( ran  g  u.  { (/)
} )  ->  (
x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  Fn  y )
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  y  |->  ( g `
 x ) )  Fn  y
4336, 42jctil 537 . . . . . . 7  |-  ( ( g : ( y 
\  { (/) } ) --> U. y  /\  A. z  e.  ( y  \  { (/) } ) ( g `  z )  e.  z )  -> 
( ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( (
x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) `  z )  e.  z ) ) )
44 fneq1 5599 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  -> 
( f  Fn  y  <->  ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  Fn  y ) )
45 fveq1 5790 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  -> 
( f `  z
)  =  ( ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) `  z ) )
4645eleq1d 2520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  -> 
( ( f `  z )  e.  z  <-> 
( ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) `  z )  e.  z ) )
4746imbi2d 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  -> 
( ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  ( ( x  e.  y  |->  ( g `
 x ) ) `
 z )  e.  z ) ) )
4847ralbidv 2838 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  -> 
( A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  <->  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  (
( x  e.  y 
|->  ( g `  x
) ) `  z
)  e.  z ) ) )
4944, 48anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  -> 
( ( f  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )  <->  ( (
x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  (
( x  e.  y 
|->  ( g `  x
) ) `  z
)  e.  z ) ) ) )
5049spcegv 3156 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  e.  _V  ->  ( ( ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( (
x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) `  z )  e.  z ) )  ->  E. f ( f  Fn  y  /\  A. z  e.  y  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) ) )
5122, 43, 50mpsyl 63 . . . . . 6  |-  ( ( g : ( y 
\  { (/) } ) --> U. y  /\  A. z  e.  ( y  \  { (/) } ) ( g `  z )  e.  z )  ->  E. f ( f  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) ) )
5251exlimiv 1689 . . . . 5  |-  ( E. g ( g : ( y  \  { (/)
} ) --> U. y  /\  A. z  e.  ( y  \  { (/) } ) ( g `  z )  e.  z )  ->  E. f
( f  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
5310, 21, 523syl 20 . . . 4  |-  ( A. xAC  x  =  _V  ->  E. f ( f  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) ) )
5453alrimiv 1686 . . 3  |-  ( A. xAC  x  =  _V  ->  A. y E. f ( f  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
55 dfac4 8395 . . 3  |-  (CHOICE  <->  A. y E. f ( f  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) ) )
5654, 55sylibr 212 . 2  |-  ( A. xAC  x  =  _V  -> CHOICE )
574, 56impbii 188 1  |-  (CHOICE  <->  A. xAC  x  =  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1368    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   _Vcvv 3070    \ cdif 3425    u. cun 3426    C_ wss 3428   (/)c0 3737   {csn 3977   U.cuni 4191    |-> cmpt 4450   ran crn 4941    Fn wfn 5513   -->wf 5514   ` cfv 5518  AC wacn 8211  CHOICEwac 8388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-er 7203  df-map 7318  df-en 7413  df-dom 7414  df-card 8212  df-acn 8215  df-ac 8389
This theorem is referenced by:  dfac13  8414
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