Theorem dfacacn 8571

Description: A choice equivalent: every set has choice sets of every length. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfacacn	|- (CHOICE <-> A. xAC x = _V )

Proof of Theorem dfacacn

Dummy variables f g y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3048	. . . 4 |- x e. _V
2		acacni 8570	. . . 4 |- ( (CHOICE /\ x e. _V ) -> AC x = _V )
3	1, 2	mpan2 677	. . 3 |- (CHOICE -> AC x = _V )
4	3	alrimiv 1773	. 2 |- (CHOICE -> A. xAC x = _V )
5		vex 3048	. . . . . . 7 |- y e. _V
6		difexg 4551	. . . . . . 7 |- ( y e. _V -> ( y \ { (/) } ) e. _V )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( y \ { (/) } ) e. _V
8		acneq 8474	. . . . . . 7 |- ( x = ( y \ { (/) } ) -> AC x = AC ( y \ { (/) } ) )
9	8	eqeq1d 2453	. . . . . 6 |- ( x = ( y \ { (/) } ) -> (AC x = _V <-> AC ( y \ { (/) } ) = _V ) )
10	7, 9	spcv 3140	. . . . 5 |- ( A. xAC x = _V -> AC ( y \ { (/) } ) = _V )
11	5	uniex 6587	. . . . . . 7 |- U. y e. _V
12		id 22	. . . . . . 7 |- (AC ( y \ { (/) } ) = _V -> AC ( y \ { (/) } ) = _V )
13	11, 12	syl5eleqr 2536	. . . . . 6 |- (AC ( y \ { (/) } ) = _V -> U. y e. AC ( y \ { (/) } ) )
14		eldifi 3555	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( y \ { (/) } ) -> z e. y )
15		elssuni 4227	. . . . . . . . 9 |- ( z e. y -> z C_ U. y )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( y \ { (/) } ) -> z C_ U. y )
17		eldifsni 4098	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( y \ { (/) } ) -> z =/= (/) )
18	16, 17	jca 535	. . . . . . 7 |- ( z e. ( y \ { (/) } ) -> ( z C_ U. y /\ z =/= (/) ) )
19	18	rgen 2747	. . . . . 6 |- A. z e. ( y \ { (/) } ) ( z C_ U. y /\ z =/= (/) )
20		acni2 8477	. . . . . 6 |- ( ( U. y e. AC ( y \ { (/) } ) /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( z C_ U. y /\ z =/= (/) ) ) -> E. g ( g : ( y \ { (/) } ) --> U. y /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z ) )
21	13, 19, 20	sylancl 668	. . . . 5 |- (AC ( y \ { (/) } ) = _V -> E. g ( g : ( y \ { (/) } ) --> U. y /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z ) )
22	5	mptex 6136	. . . . . . 7 |- ( x e. y |-> ( g ` x ) ) e. _V
23		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( g : ( y \ { (/) } ) --> U. y /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z ) -> A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z )
24		eldifsn 4097	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( y \ { (/) } ) <-> ( z e. y /\ z =/= (/) ) )
25	24	imbi1i 327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ( y \ { (/) } ) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) <-> ( ( z e. y /\ z =/= (/) ) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) )
26		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z -> ( g ` x ) = ( g ` z ) )
27		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. y |-> ( g ` x ) ) = ( x e. y |-> ( g ` x ) )
28		fvex 5875	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g ` z ) e. _V
29	26, 27, 28	fvmpt 5948	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. y -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) = ( g ` z ) )
30	14, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( y \ { (/) } ) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) = ( g ` z ) )
31	30	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( y \ { (/) } ) -> ( ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z <-> ( g ` z ) e. z ) )
32	31	pm5.74i 249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ( y \ { (/) } ) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) <-> ( z e. ( y \ { (/) } ) -> ( g ` z ) e. z ) )
33		impexp 448	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. y /\ z =/= (/) ) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) <-> ( z e. y -> ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) ) )
34	25, 32, 33	3bitr3i 279	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ( y \ { (/) } ) -> ( g ` z ) e. z ) <-> ( z e. y -> ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) ) )
35	34	ralbii2 2817	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z <-> A. z e. y ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) )
36	23, 35	sylib 200	. . . . . . . 8 |- ( ( g : ( y \ { (/) } ) --> U. y /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z ) -> A. z e. y ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) )
37		fvrn0 5887	. . . . . . . . . . 11 |- ( g ` x ) e. ( ran g u. { (/) } )
38	37	rgenw 2749	. . . . . . . . . 10 |- A. x e. y ( g ` x ) e. ( ran g u. { (/) } )
39	27	fmpt 6043	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. y ( g ` x ) e. ( ran g u. { (/) } ) <-> ( x e. y |-> ( g ` x ) ) : y --> ( ran g u. { (/) } ) )
40	38, 39	mpbi 212	. . . . . . . . 9 |- ( x e. y |-> ( g ` x ) ) : y --> ( ran g u. { (/) } )
41		ffn 5728	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) : y --> ( ran g u. { (/) } ) -> ( x e. y |-> ( g ` x ) ) Fn y )
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( x e. y |-> ( g ` x ) ) Fn y
43	36, 42	jctil 540	. . . . . . 7 |- ( ( g : ( y \ { (/) } ) --> U. y /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z ) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) ) )
44		fneq1 5664	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( x e. y |-> ( g ` x ) ) -> ( f Fn y <-> ( x e. y |-> ( g ` x ) ) Fn y ) )
45		fveq1 5864	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( x e. y |-> ( g ` x ) ) -> ( f ` z ) = ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) )
46	45	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( x e. y |-> ( g ` x ) ) -> ( ( f ` z ) e. z <-> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) )
47	46	imbi2d 318	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( x e. y |-> ( g ` x ) ) -> ( ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) ) )
48	47	ralbidv 2827	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( x e. y |-> ( g ` x ) ) -> ( A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> A. z e. y ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) ) )
49	44, 48	anbi12d 717	. . . . . . . 8 |- ( f = ( x e. y |-> ( g ` x ) ) -> ( ( f Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) <-> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) ) ) )
50	49	spcegv 3135	. . . . . . 7 |- ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) e. _V -> ( ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) ) -> E. f ( f Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) ) )
51	22, 43, 50	mpsyl 65	. . . . . 6 |- ( ( g : ( y \ { (/) } ) --> U. y /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z ) -> E. f ( f Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
52	51	exlimiv 1776	. . . . 5 |- ( E. g ( g : ( y \ { (/) } ) --> U. y /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z ) -> E. f ( f Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
53	10, 21, 52	3syl 18	. . . 4 |- ( A. xAC x = _V -> E. f ( f Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
54	53	alrimiv 1773	. . 3 |- ( A. xAC x = _V -> A. y E. f ( f Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
55		dfac4 8553	. . 3 |- (CHOICE <-> A. y E. f ( f Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
56	54, 55	sylibr 216	. 2 |- ( A. xAC x = _V -> CHOICE )
57	4, 56	impbii 191	1 |- (CHOICE <-> A. xAC x = _V )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   A.wal 1442   = wceq 1444   E.wex 1663   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   _Vcvv 3045   \ cdif 3401   u. cun 3402   C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   U.cuni 4198   |-> cmpt 4461   ran crn 4835   Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582  AC wacn 8372  CHOICEwac 8546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-card 8373  df-acn 8376  df-ac 8547

This theorem is referenced by:  dfac13  8572