Theorem dfacacn 8510

Description: A choice equivalent: every set has choice sets of every length. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfacacn	|- (CHOICE <-> A. xAC x = _V )

Proof of Theorem dfacacn

Dummy variables f g y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3109	. . . 4 |- x e. _V
2		acacni 8509	. . . 4 |- ( (CHOICE /\ x e. _V ) -> AC x = _V )
3	1, 2	mpan2 671	. . 3 |- (CHOICE -> AC x = _V )
4	3	alrimiv 1690	. 2 |- (CHOICE -> A. xAC x = _V )
5		vex 3109	. . . . . . 7 |- y e. _V
6		difexg 4588	. . . . . . 7 |- ( y e. _V -> ( y \ { (/) } ) e. _V )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( y \ { (/) } ) e. _V
8		acneq 8413	. . . . . . 7 |- ( x = ( y \ { (/) } ) -> AC x = AC ( y \ { (/) } ) )
9	8	eqeq1d 2462	. . . . . 6 |- ( x = ( y \ { (/) } ) -> (AC x = _V <-> AC ( y \ { (/) } ) = _V ) )
10	7, 9	spcv 3197	. . . . 5 |- ( A. xAC x = _V -> AC ( y \ { (/) } ) = _V )
11	5	uniex 6571	. . . . . . 7 |- U. y e. _V
12		id 22	. . . . . . 7 |- (AC ( y \ { (/) } ) = _V -> AC ( y \ { (/) } ) = _V )
13	11, 12	syl5eleqr 2555	. . . . . 6 |- (AC ( y \ { (/) } ) = _V -> U. y e. AC ( y \ { (/) } ) )
14		eldifi 3619	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( y \ { (/) } ) -> z e. y )
15		elssuni 4268	. . . . . . . . 9 |- ( z e. y -> z C_ U. y )
16	14, 15	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( y \ { (/) } ) -> z C_ U. y )
17		eldifsni 4146	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( y \ { (/) } ) -> z =/= (/) )
18	16, 17	jca 532	. . . . . . 7 |- ( z e. ( y \ { (/) } ) -> ( z C_ U. y /\ z =/= (/) ) )
19	18	rgen 2817	. . . . . 6 |- A. z e. ( y \ { (/) } ) ( z C_ U. y /\ z =/= (/) )
20		acni2 8416	. . . . . 6 |- ( ( U. y e. AC ( y \ { (/) } ) /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( z C_ U. y /\ z =/= (/) ) ) -> E. g ( g : ( y \ { (/) } ) --> U. y /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z ) )
21	13, 19, 20	sylancl 662	. . . . 5 |- (AC ( y \ { (/) } ) = _V -> E. g ( g : ( y \ { (/) } ) --> U. y /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z ) )
22	5	mptex 6122	. . . . . . 7 |- ( x e. y |-> ( g ` x ) ) e. _V
23		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( g : ( y \ { (/) } ) --> U. y /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z ) -> A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z )
24		eldifsn 4145	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( y \ { (/) } ) <-> ( z e. y /\ z =/= (/) ) )
25	24	imbi1i 325	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ( y \ { (/) } ) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) <-> ( ( z e. y /\ z =/= (/) ) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) )
26		fveq2 5857	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z -> ( g ` x ) = ( g ` z ) )
27		eqid 2460	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. y |-> ( g ` x ) ) = ( x e. y |-> ( g ` x ) )
28		fvex 5867	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g ` z ) e. _V
29	26, 27, 28	fvmpt 5941	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. y -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) = ( g ` z ) )
30	14, 29	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( y \ { (/) } ) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) = ( g ` z ) )
31	30	eleq1d 2529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( y \ { (/) } ) -> ( ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z <-> ( g ` z ) e. z ) )
32	31	pm5.74i 245	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ( y \ { (/) } ) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) <-> ( z e. ( y \ { (/) } ) -> ( g ` z ) e. z ) )
33		impexp 446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. y /\ z =/= (/) ) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) <-> ( z e. y -> ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) ) )
34	25, 32, 33	3bitr3i 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ( y \ { (/) } ) -> ( g ` z ) e. z ) <-> ( z e. y -> ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) ) )
35	34	ralbii2 2886	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z <-> A. z e. y ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) )
36	23, 35	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( g : ( y \ { (/) } ) --> U. y /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z ) -> A. z e. y ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) )
37		fvrn0 5879	. . . . . . . . . . 11 |- ( g ` x ) e. ( ran g u. { (/) } )
38	37	rgenw 2818	. . . . . . . . . 10 |- A. x e. y ( g ` x ) e. ( ran g u. { (/) } )
39	27	fmpt 6033	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. y ( g ` x ) e. ( ran g u. { (/) } ) <-> ( x e. y |-> ( g ` x ) ) : y --> ( ran g u. { (/) } ) )
40	38, 39	mpbi 208	. . . . . . . . 9 |- ( x e. y |-> ( g ` x ) ) : y --> ( ran g u. { (/) } )
41		ffn 5722	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) : y --> ( ran g u. { (/) } ) -> ( x e. y |-> ( g ` x ) ) Fn y )
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( x e. y |-> ( g ` x ) ) Fn y
43	36, 42	jctil 537	. . . . . . 7 |- ( ( g : ( y \ { (/) } ) --> U. y /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z ) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) ) )
44		fneq1 5660	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( x e. y |-> ( g ` x ) ) -> ( f Fn y <-> ( x e. y |-> ( g ` x ) ) Fn y ) )
45		fveq1 5856	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( x e. y |-> ( g ` x ) ) -> ( f ` z ) = ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) )
46	45	eleq1d 2529	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( x e. y |-> ( g ` x ) ) -> ( ( f ` z ) e. z <-> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) )
47	46	imbi2d 316	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( x e. y |-> ( g ` x ) ) -> ( ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) ) )
48	47	ralbidv 2896	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( x e. y |-> ( g ` x ) ) -> ( A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> A. z e. y ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) ) )
49	44, 48	anbi12d 710	. . . . . . . 8 |- ( f = ( x e. y |-> ( g ` x ) ) -> ( ( f Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) <-> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) ) ) )
50	49	spcegv 3192	. . . . . . 7 |- ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) e. _V -> ( ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) ) -> E. f ( f Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) ) )
51	22, 43, 50	mpsyl 63	. . . . . 6 |- ( ( g : ( y \ { (/) } ) --> U. y /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z ) -> E. f ( f Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
52	51	exlimiv 1693	. . . . 5 |- ( E. g ( g : ( y \ { (/) } ) --> U. y /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z ) -> E. f ( f Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
53	10, 21, 52	3syl 20	. . . 4 |- ( A. xAC x = _V -> E. f ( f Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
54	53	alrimiv 1690	. . 3 |- ( A. xAC x = _V -> A. y E. f ( f Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
55		dfac4 8492	. . 3 |- (CHOICE <-> A. y E. f ( f Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
56	54, 55	sylibr 212	. 2 |- ( A. xAC x = _V -> CHOICE )
57	4, 56	impbii 188	1 |- (CHOICE <-> A. xAC x = _V )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1372   = wceq 1374   E.wex 1591   e. wcel 1762   =/= wne 2655   A.wral 2807   _Vcvv 3106   \ cdif 3466   u. cun 3467   C_ wss 3469   (/)c0 3778   {csn 4020   U.cuni 4238   |-> cmpt 4498   ran crn 4993   Fn wfn 5574   -->wf 5575   ` cfv 5579  AC wacn 8308  CHOICEwac 8485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-card 8309  df-acn 8312  df-ac 8486

This theorem is referenced by:  dfac13  8511