MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac9 Unicode version

Theorem dfac9 7646
Description: Equivalence of the axiom of choice with a statement related to ac9 7994; definition AC3 of [Schechter] p. 139. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac9  |-  (CHOICE  <->  A. f
( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f
)  ->  X_ x  e. 
dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) ) )
Distinct variable group:    x, f

Proof of Theorem dfac9
StepHypRef Expression
1 dfac3 7632 . 2  |-  (CHOICE  <->  A. s E. g A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
2 vex 2730 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
32rnex 4849 . . . . . 6  |-  ran  f  e.  _V
4 raleq 2689 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ran  f  -> 
( A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t )  <->  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) ) )
54exbidv 2005 . . . . . 6  |-  ( s  =  ran  f  -> 
( E. g A. t  e.  s  (
t  =/=  (/)  ->  (
g `  t )  e.  t )  <->  E. g A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) ) )
63, 5cla4v 2811 . . . . 5  |-  ( A. s E. g A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t )  ->  E. g A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
7 df-nel 2415 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  e/ 
ran  f  <->  -.  (/)  e.  ran  f )
87biimpi 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  e/ 
ran  f  ->  -.  (/) 
e.  ran  f )
98ad2antlr 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  /\  x  e.  dom  f )  ->  -.  (/) 
e.  ran  f )
10 fvelrn 5513 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  f  /\  x  e.  dom  f )  -> 
( f `  x
)  e.  ran  f
)
1110adantlr 698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  /\  x  e.  dom  f )  ->  (
f `  x )  e.  ran  f )
12 eleq1 2313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  x )  =  (/)  ->  ( ( f `  x )  e.  ran  f  <->  (/)  e.  ran  f ) )
1311, 12syl5ibcom 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  /\  x  e.  dom  f )  ->  (
( f `  x
)  =  (/)  ->  (/)  e.  ran  f ) )
1413necon3bd 2449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  /\  x  e.  dom  f )  ->  ( -.  (/)  e.  ran  f  ->  ( f `  x
)  =/=  (/) ) )
159, 14mpd 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  /\  x  e.  dom  f )  ->  (
f `  x )  =/=  (/) )
1615adantlr 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f
)  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  /\  x  e.  dom  f )  -> 
( f `  x
)  =/=  (/) )
17 simpll 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  ->  Fun  f )
1817, 10sylan 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f
)  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  /\  x  e.  dom  f )  -> 
( f `  x
)  e.  ran  f
)
19 simplr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f
)  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  /\  x  e.  dom  f )  ->  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
20 neeq1 2420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( f `  x )  ->  (
t  =/=  (/)  <->  ( f `  x )  =/=  (/) ) )
21 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  ( f `  x )  ->  (
g `  t )  =  ( g `  ( f `  x
) ) )
22 id 21 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  ( f `  x )  ->  t  =  ( f `  x ) )
2321, 22eleq12d 2321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( f `  x )  ->  (
( g `  t
)  e.  t  <->  ( g `  ( f `  x
) )  e.  ( f `  x ) ) )
2420, 23imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( f `  x )  ->  (
( t  =/=  (/)  ->  (
g `  t )  e.  t )  <->  ( (
f `  x )  =/=  (/)  ->  ( g `  ( f `  x
) )  e.  ( f `  x ) ) ) )
2524rcla4va 2819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  ran  f  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  ->  (
( f `  x
)  =/=  (/)  ->  (
g `  ( f `  x ) )  e.  ( f `  x
) ) )
2618, 19, 25syl2anc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f
)  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  /\  x  e.  dom  f )  -> 
( ( f `  x )  =/=  (/)  ->  (
g `  ( f `  x ) )  e.  ( f `  x
) ) )
2716, 26mpd 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f
)  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  /\  x  e.  dom  f )  -> 
( g `  (
f `  x )
)  e.  ( f `
 x ) )
2827ralrimiva 2588 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  ->  A. x  e.  dom  f ( g `
 ( f `  x ) )  e.  ( f `  x
) )
292dmex 4848 . . . . . . . . . 10  |-  dom  f  e.  _V
30 mptelixpg 6739 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  f  e.  _V  ->  ( ( x  e.  dom  f  |->  ( g `  ( f `  x
) ) )  e.  X_ x  e.  dom  f ( f `  x )  <->  A. x  e.  dom  f ( g `
 ( f `  x ) )  e.  ( f `  x
) ) )
3129, 30ax-mp 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  dom  f  |->  ( g `  (
f `  x )
) )  e.  X_ x  e.  dom  f ( f `  x )  <->  A. x  e.  dom  f ( g `  ( f `  x
) )  e.  ( f `  x ) )
3228, 31sylibr 205 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  ->  (
x  e.  dom  f  |->  ( g `  (
f `  x )
) )  e.  X_ x  e.  dom  f ( f `  x ) )
33 ne0i 3368 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  dom  f  |->  ( g `  (
f `  x )
) )  e.  X_ x  e.  dom  f ( f `  x )  ->  X_ x  e.  dom  f ( f `  x )  =/=  (/) )
3432, 33syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  ->  X_ x  e.  dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) )
3534ex 425 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f )  ->  ( A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t )  ->  X_ x  e. 
dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) ) )
3635exlimdv 1932 . . . . 5  |-  ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f )  ->  ( E. g A. t  e. 
ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t )  ->  X_ x  e. 
dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) ) )
376, 36syl5com 28 . . . 4  |-  ( A. s E. g A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t )  ->  ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f )  ->  X_ x  e.  dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) ) )
3837alrimiv 2012 . . 3  |-  ( A. s E. g A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t )  ->  A. f
( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f
)  ->  X_ x  e. 
dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) ) )
39 fnresi 5218 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  ( s  \  { (/)
} ) )  Fn  ( s  \  { (/)
} )
40 fnfun 5198 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  ( s  \  { (/) } ) )  Fn  ( s  \  { (/) } )  ->  Fun  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) ) )
4139, 40ax-mp 10 . . . . . 6  |-  Fun  (  _I  |`  ( s  \  { (/) } ) )
42 0ex 4047 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
4342snid 3571 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  { (/)
}
44 elndif 3217 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  { (/) }  ->  -.  (/) 
e.  ( s  \  { (/) } ) )
4543, 44ax-mp 10 . . . . . 6  |-  -.  (/)  e.  ( s  \  { (/) } )
46 vex 2730 . . . . . . . . 9  |-  s  e. 
_V
47 difexg 4058 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  _V  ->  (
s  \  { (/) } )  e.  _V )
4846, 47ax-mp 10 . . . . . . . 8  |-  ( s 
\  { (/) } )  e.  _V
49 resiexg 4904 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  \  { (/) } )  e.  _V  ->  (  _I  |`  ( s  \  { (/) } ) )  e.  _V )
5048, 49ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  ( s  \  { (/)
} ) )  e. 
_V
51 funeq 5132 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ( Fun  f 
<->  Fun  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) ) ) )
52 rneq 4811 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ran  f  =  ran  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) ) )
53 rnresi 4935 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  (  _I  |`  ( s  \  { (/) } ) )  =  ( s  \  { (/) } )
5452, 53syl6eq 2301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ran  f  =  ( s  \  { (/)
} ) )
5554eleq2d 2320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ( (/)  e.  ran  f 
<->  (/)  e.  ( s  \  { (/) } ) ) )
5655notbid 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ( -.  (/) 
e.  ran  f  <->  -.  (/)  e.  ( s  \  { (/) } ) ) )
577, 56syl5bb 250 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ( (/)  e/  ran  f 
<->  -.  (/)  e.  ( s 
\  { (/) } ) ) )
5851, 57anbi12d 694 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f )  <->  ( Fun  (  _I  |`  ( s 
\  { (/) } ) )  /\  -.  (/)  e.  ( s  \  { (/) } ) ) ) )
59 dmeq 4786 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  dom  f  =  dom  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) ) )
60 dmresi 4912 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (  _I  |`  ( s  \  { (/) } ) )  =  ( s  \  { (/) } )
6159, 60syl6eq 2301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  dom  f  =  ( s  \  { (/)
} ) )
62 ixpeq1 6713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom  f  =  ( s 
\  { (/) } )  ->  X_ x  e.  dom  f ( f `  x )  =  X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) ( f `  x ) )
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  X_ x  e. 
dom  f ( f `
 x )  = 
X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) ( f `  x ) )
64 fveq1 5376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ( f `  x )  =  ( (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) ) `  x ) )
65 fvresi 5563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( s  \  { (/) } )  -> 
( (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) ) `  x )  =  x )
6664, 65sylan9eq 2305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  (  _I  |`  ( s  \  { (/)
} ) )  /\  x  e.  ( s  \  { (/) } ) )  ->  ( f `  x )  =  x )
6766ralrimiva 2588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  A. x  e.  ( s  \  { (/)
} ) ( f `
 x )  =  x )
68 ixpeq2 6716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  ( s  \  { (/) } ) ( f `  x )  =  x  ->  X_ x  e.  ( s  \  { (/)
} ) ( f `
 x )  = 
X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) x )
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  X_ x  e.  ( s  \  { (/)
} ) ( f `
 x )  = 
X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) x )
7063, 69eqtrd 2285 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  X_ x  e. 
dom  f ( f `
 x )  = 
X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) x )
7170neeq1d 2425 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ( X_ x  e.  dom  f ( f `  x )  =/=  (/)  <->  X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) x  =/=  (/) ) )
7258, 71imbi12d 313 . . . . . . 7  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ( (
( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  -> 
X_ x  e.  dom  f ( f `  x )  =/=  (/) )  <->  ( ( Fun  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  /\  -.  (/)  e.  ( s  \  { (/) } ) )  ->  X_ x  e.  ( s  \  { (/)
} ) x  =/=  (/) ) ) )
7350, 72cla4v 2811 . . . . . 6  |-  ( A. f ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f )  ->  X_ x  e.  dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) )  ->  ( ( Fun  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  /\  -.  (/)  e.  ( s  \  { (/) } ) )  ->  X_ x  e.  ( s  \  { (/)
} ) x  =/=  (/) ) )
7441, 45, 73mp2ani 662 . . . . 5  |-  ( A. f ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f )  ->  X_ x  e.  dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) )  ->  X_ x  e.  ( s  \  { (/)
} ) x  =/=  (/) )
75 n0 3371 . . . . . 6  |-  ( X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) x  =/=  (/)  <->  E. g  g  e.  X_ x  e.  (
s  \  { (/) } ) x )
76 vex 2730 . . . . . . . . 9  |-  g  e. 
_V
7776elixp 6709 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) x  <->  ( g  Fn  ( s  \  { (/)
} )  /\  A. x  e.  ( s  \  { (/) } ) ( g `  x )  e.  x ) )
78 eldifsn 3653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( s  \  { (/) } )  <->  ( x  e.  s  /\  x  =/=  (/) ) )
7978imbi1i 317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( s 
\  { (/) } )  ->  ( g `  x )  e.  x
)  <->  ( ( x  e.  s  /\  x  =/=  (/) )  ->  (
g `  x )  e.  x ) )
80 impexp 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  s  /\  x  =/=  (/) )  -> 
( g `  x
)  e.  x )  <-> 
( x  e.  s  ->  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) ) )
8179, 80bitri 242 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( s 
\  { (/) } )  ->  ( g `  x )  e.  x
)  <->  ( x  e.  s  ->  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) ) )
8281ralbii2 2535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  ( s  \  { (/) } ) ( g `  x )  e.  x  <->  A. x  e.  s  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )
83 neeq1 2420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  t  ->  (
x  =/=  (/)  <->  t  =/=  (/) ) )
84 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  t  ->  (
g `  x )  =  ( g `  t ) )
85 id 21 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  t  ->  x  =  t )
8684, 85eleq12d 2321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  t  ->  (
( g `  x
)  e.  x  <->  ( g `  t )  e.  t ) )
8783, 86imbi12d 313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  t  ->  (
( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x )  <->  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) ) )
8887cbvralv 2708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  s  (
x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x )  <->  A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
8982, 88bitri 242 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ( s  \  { (/) } ) ( g `  x )  e.  x  <->  A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
9089biimpi 188 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( s  \  { (/) } ) ( g `  x )  e.  x  ->  A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
9190adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  Fn  ( s 
\  { (/) } )  /\  A. x  e.  ( s  \  { (/)
} ) ( g `
 x )  e.  x )  ->  A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
9277, 91sylbi 189 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) x  ->  A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
9392eximi 1574 . . . . . 6  |-  ( E. g  g  e.  X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) x  ->  E. g A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
9475, 93sylbi 189 . . . . 5  |-  ( X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) x  =/=  (/)  ->  E. g A. t  e.  s 
( t  =/=  (/)  ->  (
g `  t )  e.  t ) )
9574, 94syl 17 . . . 4  |-  ( A. f ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f )  ->  X_ x  e.  dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) )  ->  E. g A. t  e.  s 
( t  =/=  (/)  ->  (
g `  t )  e.  t ) )
9695alrimiv 2012 . . 3  |-  ( A. f ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f )  ->  X_ x  e.  dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) )  ->  A. s E. g A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
9738, 96impbii 182 . 2  |-  ( A. s E. g A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t )  <->  A. f ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f )  ->  X_ x  e.  dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) ) )
981, 97bitri 242 1  |-  (CHOICE  <->  A. f
( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f
)  ->  X_ x  e. 
dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1532   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412    e/ wnel 2413   A.wral 2509   _Vcvv 2727    \ cdif 3075   (/)c0 3362   {csn 3544    e. cmpt 3974    _I cid 4197   dom cdm 4580   ran crn 4581    |` cres 4582   Fun wfun 4586    Fn wfn 4587   ` cfv 4592   X_cixp 6703  CHOICEwac 7626
This theorem is referenced by:  dfac14  17144  dfac21  26330
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ixp 6704  df-ac 7627
  Copyright terms: Public domain W3C validator