Theorem dfac8clem 8207

Description: Lemma for dfac8c 8208. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
dfac8clem.1	|- F = ( s e. ( A \ { (/) } ) |-> ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) )

Assertion

Ref	Expression
dfac8clem	|- ( A e. B -> ( E. r r We U. A -> E. f A. z e. A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )

Distinct variable groups:   a, b, f, r, s, z, A   B, r, s   f, F, z

Allowed substitution hints:   B( z, f, a, b)   F( s, r, a, b)

Proof of Theorem dfac8clem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4005	. . . . . . 7 |- ( s e. ( A \ { (/) } ) <-> ( s e. A /\ s =/= (/) ) )
2		elssuni 4126	. . . . . . . . 9 |- ( s e. A -> s C_ U. A )
3	2	ad2antrl 727	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> s C_ U. A )
4		simplr 754	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> r We U. A )
5		vex 2980	. . . . . . . . . . 11 |- r e. _V
6		exse2 6522	. . . . . . . . . . 11 |- ( r e. _V -> r Se U. A )
7	5, 6	mp1i 12	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> r Se U. A )
8		simprr 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> s =/= (/) )
9		wereu2 4722	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( r We U. A /\ r Se U. A ) /\ ( s C_ U. A /\ s =/= (/) ) ) -> E! a e. s A. b e. s -. b r a )
10	4, 7, 3, 8, 9	syl22anc 1219	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> E! a e. s A. b e. s -. b r a )
11		riotacl 6072	. . . . . . . . 9 |- ( E! a e. s A. b e. s -. b r a -> ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) e. s )
12	10, 11	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) e. s )
13	3, 12	sseldd 3362	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) e. U. A )
14	1, 13	sylan2b 475	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ s e. ( A \ { (/) } ) ) -> ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) e. U. A )
15		dfac8clem.1	. . . . . 6 |- F = ( s e. ( A \ { (/) } ) |-> ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) )
16	14, 15	fmptd 5872	. . . . 5 |- ( ( A e. B /\ r We U. A ) -> F : ( A \ { (/) } ) --> U. A )
17		difexg 4445	. . . . . 6 |- ( A e. B -> ( A \ { (/) } ) e. _V )
18	17	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( A e. B /\ r We U. A ) -> ( A \ { (/) } ) e. _V )
19		uniexg 6382	. . . . . 6 |- ( A e. B -> U. A e. _V )
20	19	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( A e. B /\ r We U. A ) -> U. A e. _V )
21		fex2 6537	. . . . 5 |- ( ( F : ( A \ { (/) } ) --> U. A /\ ( A \ { (/) } ) e. _V /\ U. A e. _V ) -> F e. _V )
22	16, 18, 20, 21	syl3anc 1218	. . . 4 |- ( ( A e. B /\ r We U. A ) -> F e. _V )
23		riotaex 6061	. . . . . . . . . . 11 |- ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) e. _V
24	15	fvmpt2 5786	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s e. ( A \ { (/) } ) /\ ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) e. _V ) -> ( F ` s ) = ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) )
25	23, 24	mpan2 671	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A \ { (/) } ) -> ( F ` s ) = ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) )
26	1, 25	sylbir 213	. . . . . . . . 9 |- ( ( s e. A /\ s =/= (/) ) -> ( F ` s ) = ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) )
27	26	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> ( F ` s ) = ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) )
28	27, 12	eqeltrd 2517	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> ( F ` s ) e. s )
29	28	expr 615	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ s e. A ) -> ( s =/= (/) -> ( F ` s ) e. s ) )
30	29	ralrimiva 2804	. . . . 5 |- ( ( A e. B /\ r We U. A ) -> A. s e. A ( s =/= (/) -> ( F ` s ) e. s ) )
31		nfv 1673	. . . . . . 7 |- F/ s z =/= (/)
32		nfmpt1 4386	. . . . . . . . . 10 |- F/_ s ( s e. ( A \ { (/) } ) |-> ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) )
33	15, 32	nfcxfr 2581	. . . . . . . . 9 |- F/_ s F
34		nfcv 2584	. . . . . . . . 9 |- F/_ s z
35	33, 34	nffv 5703	. . . . . . . 8 |- F/_ s ( F ` z )
36	35	nfel1 2594	. . . . . . 7 |- F/ s ( F ` z ) e. z
37	31, 36	nfim 1853	. . . . . 6 |- F/ s ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z )
38		nfv 1673	. . . . . 6 |- F/ z ( s =/= (/) -> ( F ` s ) e. s )
39		neeq1 2621	. . . . . . 7 |- ( z = s -> ( z =/= (/) <-> s =/= (/) ) )
40		fveq2 5696	. . . . . . . 8 |- ( z = s -> ( F ` z ) = ( F ` s ) )
41		id 22	. . . . . . . 8 |- ( z = s -> z = s )
42	40, 41	eleq12d 2511	. . . . . . 7 |- ( z = s -> ( ( F ` z ) e. z <-> ( F ` s ) e. s ) )
43	39, 42	imbi12d 320	. . . . . 6 |- ( z = s -> ( ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) <-> ( s =/= (/) -> ( F ` s ) e. s ) ) )
44	37, 38, 43	cbvral 2948	. . . . 5 |- ( A. z e. A ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) <-> A. s e. A ( s =/= (/) -> ( F ` s ) e. s ) )
45	30, 44	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( A e. B /\ r We U. A ) -> A. z e. A ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) )
46		fveq1 5695	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f ` z ) = ( F ` z ) )
47	46	eleq1d 2509	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( f ` z ) e. z <-> ( F ` z ) e. z ) )
48	47	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) ) )
49	48	ralbidv 2740	. . . . 5 |- ( f = F -> ( A. z e. A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> A. z e. A ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) ) )
50	49	spcegv 3063	. . . 4 |- ( F e. _V -> ( A. z e. A ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) -> E. f A. z e. A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
51	22, 45, 50	sylc 60	. . 3 |- ( ( A e. B /\ r We U. A ) -> E. f A. z e. A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) )
52	51	ex 434	. 2 |- ( A e. B -> ( r We U. A -> E. f A. z e. A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
53	52	exlimdv 1690	1 |- ( A e. B -> ( E. r r We U. A -> E. f A. z e. A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   =/= wne 2611   A.wral 2720   E!wreu 2722   _Vcvv 2977   \ cdif 3330   C_ wss 3333   (/)c0 3642   {csn 3882   U.cuni 4096   class class class wbr 4297   e. cmpt 4355   Se wse 4682   We wwe 4683   -->wf 5419   ` cfv 5423   iota_crio 6056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-fv 5431  df-riota 6057

This theorem is referenced by:  dfac8c  8208