Theorem dfac8clem 8463

Description: Lemma for dfac8c 8464. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
dfac8clem.1	|- F = ( s e. ( A \ { (/) } ) |-> ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) )

Assertion

Ref	Expression
dfac8clem	|- ( A e. B -> ( E. r r We U. A -> E. f A. z e. A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )

Distinct variable groups:   a, b, f, r, s, z, A   B, r, s   f, F, z

Allowed substitution hints:   B( z, f, a, b)   F( s, r, a, b)

Proof of Theorem dfac8clem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4097	. . . . . . 7 |- ( s e. ( A \ { (/) } ) <-> ( s e. A /\ s =/= (/) ) )
2		elssuni 4227	. . . . . . . . 9 |- ( s e. A -> s C_ U. A )
3	2	ad2antrl 734	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> s C_ U. A )
4		simplr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> r We U. A )
5		vex 3048	. . . . . . . . . . 11 |- r e. _V
6		exse2 6732	. . . . . . . . . . 11 |- ( r e. _V -> r Se U. A )
7	5, 6	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> r Se U. A )
8		simprr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> s =/= (/) )
9		wereu2 4831	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( r We U. A /\ r Se U. A ) /\ ( s C_ U. A /\ s =/= (/) ) ) -> E! a e. s A. b e. s -. b r a )
10	4, 7, 3, 8, 9	syl22anc 1269	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> E! a e. s A. b e. s -. b r a )
11		riotacl 6266	. . . . . . . . 9 |- ( E! a e. s A. b e. s -. b r a -> ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) e. s )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) e. s )
13	3, 12	sseldd 3433	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) e. U. A )
14	1, 13	sylan2b 478	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ s e. ( A \ { (/) } ) ) -> ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) e. U. A )
15		dfac8clem.1	. . . . . 6 |- F = ( s e. ( A \ { (/) } ) |-> ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) )
16	14, 15	fmptd 6046	. . . . 5 |- ( ( A e. B /\ r We U. A ) -> F : ( A \ { (/) } ) --> U. A )
17		difexg 4551	. . . . . 6 |- ( A e. B -> ( A \ { (/) } ) e. _V )
18	17	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( A e. B /\ r We U. A ) -> ( A \ { (/) } ) e. _V )
19		uniexg 6588	. . . . . 6 |- ( A e. B -> U. A e. _V )
20	19	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( A e. B /\ r We U. A ) -> U. A e. _V )
21		fex2 6748	. . . . 5 |- ( ( F : ( A \ { (/) } ) --> U. A /\ ( A \ { (/) } ) e. _V /\ U. A e. _V ) -> F e. _V )
22	16, 18, 20, 21	syl3anc 1268	. . . 4 |- ( ( A e. B /\ r We U. A ) -> F e. _V )
23		riotaex 6256	. . . . . . . . . . 11 |- ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) e. _V
24	15	fvmpt2 5957	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s e. ( A \ { (/) } ) /\ ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) e. _V ) -> ( F ` s ) = ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) )
25	23, 24	mpan2 677	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A \ { (/) } ) -> ( F ` s ) = ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) )
26	1, 25	sylbir 217	. . . . . . . . 9 |- ( ( s e. A /\ s =/= (/) ) -> ( F ` s ) = ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) )
27	26	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> ( F ` s ) = ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) )
28	27, 12	eqeltrd 2529	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> ( F ` s ) e. s )
29	28	expr 620	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ s e. A ) -> ( s =/= (/) -> ( F ` s ) e. s ) )
30	29	ralrimiva 2802	. . . . 5 |- ( ( A e. B /\ r We U. A ) -> A. s e. A ( s =/= (/) -> ( F ` s ) e. s ) )
31		nfv 1761	. . . . . . 7 |- F/ s z =/= (/)
32		nfmpt1 4492	. . . . . . . . . 10 |- F/_ s ( s e. ( A \ { (/) } ) |-> ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) )
33	15, 32	nfcxfr 2590	. . . . . . . . 9 |- F/_ s F
34		nfcv 2592	. . . . . . . . 9 |- F/_ s z
35	33, 34	nffv 5872	. . . . . . . 8 |- F/_ s ( F ` z )
36	35	nfel1 2606	. . . . . . 7 |- F/ s ( F ` z ) e. z
37	31, 36	nfim 2003	. . . . . 6 |- F/ s ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z )
38		nfv 1761	. . . . . 6 |- F/ z ( s =/= (/) -> ( F ` s ) e. s )
39		neeq1 2686	. . . . . . 7 |- ( z = s -> ( z =/= (/) <-> s =/= (/) ) )
40		fveq2 5865	. . . . . . . 8 |- ( z = s -> ( F ` z ) = ( F ` s ) )
41		id 22	. . . . . . . 8 |- ( z = s -> z = s )
42	40, 41	eleq12d 2523	. . . . . . 7 |- ( z = s -> ( ( F ` z ) e. z <-> ( F ` s ) e. s ) )
43	39, 42	imbi12d 322	. . . . . 6 |- ( z = s -> ( ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) <-> ( s =/= (/) -> ( F ` s ) e. s ) ) )
44	37, 38, 43	cbvral 3015	. . . . 5 |- ( A. z e. A ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) <-> A. s e. A ( s =/= (/) -> ( F ` s ) e. s ) )
45	30, 44	sylibr 216	. . . 4 |- ( ( A e. B /\ r We U. A ) -> A. z e. A ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) )
46		fveq1 5864	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f ` z ) = ( F ` z ) )
47	46	eleq1d 2513	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( f ` z ) e. z <-> ( F ` z ) e. z ) )
48	47	imbi2d 318	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) ) )
49	48	ralbidv 2827	. . . . 5 |- ( f = F -> ( A. z e. A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> A. z e. A ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) ) )
50	49	spcegv 3135	. . . 4 |- ( F e. _V -> ( A. z e. A ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) -> E. f A. z e. A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
51	22, 45, 50	sylc 62	. . 3 |- ( ( A e. B /\ r We U. A ) -> E. f A. z e. A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) )
52	51	ex 436	. 2 |- ( A e. B -> ( r We U. A -> E. f A. z e. A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
53	52	exlimdv 1779	1 |- ( A e. B -> ( E. r r We U. A -> E. f A. z e. A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1444   E.wex 1663   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   E!wreu 2739   _Vcvv 3045   \ cdif 3401   C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   U.cuni 4198   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   Se wse 4791   We wwe 4792   -->wf 5578   ` cfv 5582   iota_crio 6251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-fv 5590  df-riota 6252

This theorem is referenced by:  dfac8c  8464