Theorem dfac8clem 8481

Description: Lemma for dfac8c 8482. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
dfac8clem.1	|- F = ( s e. ( A \ { (/) } ) |-> ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) )

Assertion

Ref	Expression
dfac8clem	|- ( A e. B -> ( E. r r We U. A -> E. f A. z e. A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )

Distinct variable groups:   a, b, f, r, s, z, A   B, r, s   f, F, z

Allowed substitution hints:   B( z, f, a, b)   F( s, r, a, b)

Proof of Theorem dfac8clem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4088	. . . . . . 7 |- ( s e. ( A \ { (/) } ) <-> ( s e. A /\ s =/= (/) ) )
2		elssuni 4219	. . . . . . . . 9 |- ( s e. A -> s C_ U. A )
3	2	ad2antrl 742	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> s C_ U. A )
4		simplr 770	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> r We U. A )
5		vex 3034	. . . . . . . . . . 11 |- r e. _V
6		exse2 6751	. . . . . . . . . . 11 |- ( r e. _V -> r Se U. A )
7	5, 6	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> r Se U. A )
8		simprr 774	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> s =/= (/) )
9		wereu2 4836	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( r We U. A /\ r Se U. A ) /\ ( s C_ U. A /\ s =/= (/) ) ) -> E! a e. s A. b e. s -. b r a )
10	4, 7, 3, 8, 9	syl22anc 1293	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> E! a e. s A. b e. s -. b r a )
11		riotacl 6284	. . . . . . . . 9 |- ( E! a e. s A. b e. s -. b r a -> ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) e. s )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) e. s )
13	3, 12	sseldd 3419	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) e. U. A )
14	1, 13	sylan2b 483	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ s e. ( A \ { (/) } ) ) -> ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) e. U. A )
15		dfac8clem.1	. . . . . 6 |- F = ( s e. ( A \ { (/) } ) |-> ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) )
16	14, 15	fmptd 6061	. . . . 5 |- ( ( A e. B /\ r We U. A ) -> F : ( A \ { (/) } ) --> U. A )
17		difexg 4545	. . . . . 6 |- ( A e. B -> ( A \ { (/) } ) e. _V )
18	17	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( A e. B /\ r We U. A ) -> ( A \ { (/) } ) e. _V )
19		uniexg 6607	. . . . . 6 |- ( A e. B -> U. A e. _V )
20	19	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( A e. B /\ r We U. A ) -> U. A e. _V )
21		fex2 6767	. . . . 5 |- ( ( F : ( A \ { (/) } ) --> U. A /\ ( A \ { (/) } ) e. _V /\ U. A e. _V ) -> F e. _V )
22	16, 18, 20, 21	syl3anc 1292	. . . 4 |- ( ( A e. B /\ r We U. A ) -> F e. _V )
23		riotaex 6274	. . . . . . . . . . 11 |- ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) e. _V
24	15	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s e. ( A \ { (/) } ) /\ ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) e. _V ) -> ( F ` s ) = ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) )
25	23, 24	mpan2 685	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A \ { (/) } ) -> ( F ` s ) = ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) )
26	1, 25	sylbir 218	. . . . . . . . 9 |- ( ( s e. A /\ s =/= (/) ) -> ( F ` s ) = ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) )
27	26	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> ( F ` s ) = ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) )
28	27, 12	eqeltrd 2549	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> ( F ` s ) e. s )
29	28	expr 626	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ s e. A ) -> ( s =/= (/) -> ( F ` s ) e. s ) )
30	29	ralrimiva 2809	. . . . 5 |- ( ( A e. B /\ r We U. A ) -> A. s e. A ( s =/= (/) -> ( F ` s ) e. s ) )
31		nfv 1769	. . . . . . 7 |- F/ s z =/= (/)
32		nfmpt1 4485	. . . . . . . . . 10 |- F/_ s ( s e. ( A \ { (/) } ) |-> ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) )
33	15, 32	nfcxfr 2610	. . . . . . . . 9 |- F/_ s F
34		nfcv 2612	. . . . . . . . 9 |- F/_ s z
35	33, 34	nffv 5886	. . . . . . . 8 |- F/_ s ( F ` z )
36	35	nfel1 2626	. . . . . . 7 |- F/ s ( F ` z ) e. z
37	31, 36	nfim 2023	. . . . . 6 |- F/ s ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z )
38		nfv 1769	. . . . . 6 |- F/ z ( s =/= (/) -> ( F ` s ) e. s )
39		neeq1 2705	. . . . . . 7 |- ( z = s -> ( z =/= (/) <-> s =/= (/) ) )
40		fveq2 5879	. . . . . . . 8 |- ( z = s -> ( F ` z ) = ( F ` s ) )
41		id 22	. . . . . . . 8 |- ( z = s -> z = s )
42	40, 41	eleq12d 2543	. . . . . . 7 |- ( z = s -> ( ( F ` z ) e. z <-> ( F ` s ) e. s ) )
43	39, 42	imbi12d 327	. . . . . 6 |- ( z = s -> ( ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) <-> ( s =/= (/) -> ( F ` s ) e. s ) ) )
44	37, 38, 43	cbvral 3001	. . . . 5 |- ( A. z e. A ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) <-> A. s e. A ( s =/= (/) -> ( F ` s ) e. s ) )
45	30, 44	sylibr 217	. . . 4 |- ( ( A e. B /\ r We U. A ) -> A. z e. A ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) )
46		fveq1 5878	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f ` z ) = ( F ` z ) )
47	46	eleq1d 2533	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( f ` z ) e. z <-> ( F ` z ) e. z ) )
48	47	imbi2d 323	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) ) )
49	48	ralbidv 2829	. . . . 5 |- ( f = F -> ( A. z e. A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> A. z e. A ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) ) )
50	49	spcegv 3121	. . . 4 |- ( F e. _V -> ( A. z e. A ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) -> E. f A. z e. A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
51	22, 45, 50	sylc 61	. . 3 |- ( ( A e. B /\ r We U. A ) -> E. f A. z e. A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) )
52	51	ex 441	. 2 |- ( A e. B -> ( r We U. A -> E. f A. z e. A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
53	52	exlimdv 1787	1 |- ( A e. B -> ( E. r r We U. A -> E. f A. z e. A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E!wreu 2758   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   U.cuni 4190   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   Se wse 4796   We wwe 4797   -->wf 5585   ` cfv 5589   iota_crio 6269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-fv 5597  df-riota 6270

This theorem is referenced by:  dfac8c  8482