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Theorem dfac8clem 8207
Description: Lemma for dfac8c 8208. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
dfac8clem.1  |-  F  =  ( s  e.  ( A  \  { (/) } )  |->  ( iota_ a  e.  s  A. b  e.  s  -.  b r a ) )
Assertion
Ref Expression
dfac8clem  |-  ( A  e.  B  ->  ( E. r  r  We  U. A  ->  E. f A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
f, r, s, z, A    B, r, s    f, F, z
Allowed substitution hints:    B( z, f, a, b)    F( s, r, a, b)

Proof of Theorem dfac8clem
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4005 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ( A  \  { (/) } )  <->  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )
2 elssuni 4126 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  A  ->  s  C_ 
U. A )
32ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )  -> 
s  C_  U. A )
4 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )  -> 
r  We  U. A
)
5 vex 2980 . . . . . . . . . . 11  |-  r  e. 
_V
6 exse2 6522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  _V  ->  r Se  U. A )
75, 6mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )  -> 
r Se  U. A )
8 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )  -> 
s  =/=  (/) )
9 wereu2 4722 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( r  We  U. A  /\  r Se  U. A
)  /\  ( s  C_ 
U. A  /\  s  =/=  (/) ) )  ->  E! a  e.  s  A. b  e.  s  -.  b r a )
104, 7, 3, 8, 9syl22anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )  ->  E! a  e.  s  A. b  e.  s  -.  b r a )
11 riotacl 6072 . . . . . . . . 9  |-  ( E! a  e.  s  A. b  e.  s  -.  b r a  -> 
( iota_ a  e.  s 
A. b  e.  s  -.  b r a )  e.  s )
1210, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )  -> 
( iota_ a  e.  s 
A. b  e.  s  -.  b r a )  e.  s )
133, 12sseldd 3362 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )  -> 
( iota_ a  e.  s 
A. b  e.  s  -.  b r a )  e.  U. A
)
141, 13sylan2b 475 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  s  e.  ( A  \  { (/) } ) )  ->  ( iota_ a  e.  s  A. b  e.  s  -.  b r a )  e.  U. A )
15 dfac8clem.1 . . . . . 6  |-  F  =  ( s  e.  ( A  \  { (/) } )  |->  ( iota_ a  e.  s  A. b  e.  s  -.  b r a ) )
1614, 15fmptd 5872 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A )  ->  F : ( A  \  { (/) } ) --> U. A )
17 difexg 4445 . . . . . 6  |-  ( A  e.  B  ->  ( A  \  { (/) } )  e.  _V )
1817adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A )  ->  ( A  \  { (/) } )  e. 
_V )
19 uniexg 6382 . . . . . 6  |-  ( A  e.  B  ->  U. A  e.  _V )
2019adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A )  ->  U. A  e.  _V )
21 fex2 6537 . . . . 5  |-  ( ( F : ( A 
\  { (/) } ) --> U. A  /\  ( A  \  { (/) } )  e.  _V  /\  U. A  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
2216, 18, 20, 21syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A )  ->  F  e.  _V )
23 riotaex 6061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( iota_ a  e.  s  A. b  e.  s  -.  b
r a )  e. 
_V
2415fvmpt2 5786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  ( A 
\  { (/) } )  /\  ( iota_ a  e.  s  A. b  e.  s  -.  b r a )  e.  _V )  ->  ( F `  s )  =  (
iota_ a  e.  s  A. b  e.  s  -.  b r a ) )
2523, 24mpan2 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A  \  { (/) } )  -> 
( F `  s
)  =  ( iota_ a  e.  s  A. b  e.  s  -.  b
r a ) )
261, 25sylbir 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) )  ->  ( F `  s )  =  ( iota_ a  e.  s  A. b  e.  s  -.  b r a ) )
2726adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )  -> 
( F `  s
)  =  ( iota_ a  e.  s  A. b  e.  s  -.  b
r a ) )
2827, 12eqeltrd 2517 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )  -> 
( F `  s
)  e.  s )
2928expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  s  e.  A )  ->  (
s  =/=  (/)  ->  ( F `  s )  e.  s ) )
3029ralrimiva 2804 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A )  ->  A. s  e.  A  ( s  =/=  (/)  ->  ( F `  s )  e.  s ) )
31 nfv 1673 . . . . . . 7  |-  F/ s  z  =/=  (/)
32 nfmpt1 4386 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ s
( s  e.  ( A  \  { (/) } )  |->  ( iota_ a  e.  s  A. b  e.  s  -.  b r a ) )
3315, 32nfcxfr 2581 . . . . . . . . 9  |-  F/_ s F
34 nfcv 2584 . . . . . . . . 9  |-  F/_ s
z
3533, 34nffv 5703 . . . . . . . 8  |-  F/_ s
( F `  z
)
3635nfel1 2594 . . . . . . 7  |-  F/ s ( F `  z
)  e.  z
3731, 36nfim 1853 . . . . . 6  |-  F/ s ( z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z )
38 nfv 1673 . . . . . 6  |-  F/ z ( s  =/=  (/)  ->  ( F `  s )  e.  s )
39 neeq1 2621 . . . . . . 7  |-  ( z  =  s  ->  (
z  =/=  (/)  <->  s  =/=  (/) ) )
40 fveq2 5696 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  s  ->  ( F `  z )  =  ( F `  s ) )
41 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  s  ->  z  =  s )
4240, 41eleq12d 2511 . . . . . . 7  |-  ( z  =  s  ->  (
( F `  z
)  e.  z  <->  ( F `  s )  e.  s ) )
4339, 42imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( z  =  s  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z )  <->  ( s  =/=  (/)  ->  ( F `  s )  e.  s ) ) )
4437, 38, 43cbvral 2948 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  A  (
z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z )  <->  A. s  e.  A  ( s  =/=  (/)  ->  ( F `  s )  e.  s ) )
4530, 44sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A )  ->  A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z ) )
46 fveq1 5695 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  z )  =  ( F `  z ) )
4746eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  z
)  e.  z  <->  ( F `  z )  e.  z ) )
4847imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z ) ) )
4948ralbidv 2740 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  <->  A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z ) ) )
5049spcegv 3063 . . . 4  |-  ( F  e.  _V  ->  ( A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z )  ->  E. f A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
5122, 45, 50sylc 60 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A )  ->  E. f A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )
5251ex 434 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  (
r  We  U. A  ->  E. f A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) ) )
5352exlimdv 1690 1  |-  ( A  e.  B  ->  ( E. r  r  We  U. A  ->  E. f A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   E!wreu 2722   _Vcvv 2977    \ cdif 3330    C_ wss 3333   (/)c0 3642   {csn 3882   U.cuni 4096   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   Se wse 4682    We wwe 4683   -->wf 5419   ` cfv 5423   iota_crio 6056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-fv 5431  df-riota 6057
This theorem is referenced by:  dfac8c  8208
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