Theorem dfac8clem 8404

Description: Lemma for dfac8c 8405. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
dfac8clem.1	|- F = ( s e. ( A \ { (/) } ) |-> ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) )

Assertion

Ref	Expression
dfac8clem	|- ( A e. B -> ( E. r r We U. A -> E. f A. z e. A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )

Distinct variable groups:   a, b, f, r, s, z, A   B, r, s   f, F, z

Allowed substitution hints:   B( z, f, a, b)   F( s, r, a, b)

Proof of Theorem dfac8clem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4141	. . . . . . 7 |- ( s e. ( A \ { (/) } ) <-> ( s e. A /\ s =/= (/) ) )
2		elssuni 4264	. . . . . . . . 9 |- ( s e. A -> s C_ U. A )
3	2	ad2antrl 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> s C_ U. A )
4		simplr 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> r We U. A )
5		vex 3109	. . . . . . . . . . 11 |- r e. _V
6		exse2 6712	. . . . . . . . . . 11 |- ( r e. _V -> r Se U. A )
7	5, 6	mp1i 12	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> r Se U. A )
8		simprr 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> s =/= (/) )
9		wereu2 4865	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( r We U. A /\ r Se U. A ) /\ ( s C_ U. A /\ s =/= (/) ) ) -> E! a e. s A. b e. s -. b r a )
10	4, 7, 3, 8, 9	syl22anc 1227	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> E! a e. s A. b e. s -. b r a )
11		riotacl 6246	. . . . . . . . 9 |- ( E! a e. s A. b e. s -. b r a -> ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) e. s )
12	10, 11	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) e. s )
13	3, 12	sseldd 3490	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) e. U. A )
14	1, 13	sylan2b 473	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ s e. ( A \ { (/) } ) ) -> ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) e. U. A )
15		dfac8clem.1	. . . . . 6 |- F = ( s e. ( A \ { (/) } ) |-> ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) )
16	14, 15	fmptd 6031	. . . . 5 |- ( ( A e. B /\ r We U. A ) -> F : ( A \ { (/) } ) --> U. A )
17		difexg 4585	. . . . . 6 |- ( A e. B -> ( A \ { (/) } ) e. _V )
18	17	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( A e. B /\ r We U. A ) -> ( A \ { (/) } ) e. _V )
19		uniexg 6570	. . . . . 6 |- ( A e. B -> U. A e. _V )
20	19	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( A e. B /\ r We U. A ) -> U. A e. _V )
21		fex2 6728	. . . . 5 |- ( ( F : ( A \ { (/) } ) --> U. A /\ ( A \ { (/) } ) e. _V /\ U. A e. _V ) -> F e. _V )
22	16, 18, 20, 21	syl3anc 1226	. . . 4 |- ( ( A e. B /\ r We U. A ) -> F e. _V )
23		riotaex 6236	. . . . . . . . . . 11 |- ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) e. _V
24	15	fvmpt2 5939	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s e. ( A \ { (/) } ) /\ ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) e. _V ) -> ( F ` s ) = ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) )
25	23, 24	mpan2 669	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A \ { (/) } ) -> ( F ` s ) = ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) )
26	1, 25	sylbir 213	. . . . . . . . 9 |- ( ( s e. A /\ s =/= (/) ) -> ( F ` s ) = ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) )
27	26	adantl 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> ( F ` s ) = ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) )
28	27, 12	eqeltrd 2542	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> ( F ` s ) e. s )
29	28	expr 613	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ s e. A ) -> ( s =/= (/) -> ( F ` s ) e. s ) )
30	29	ralrimiva 2868	. . . . 5 |- ( ( A e. B /\ r We U. A ) -> A. s e. A ( s =/= (/) -> ( F ` s ) e. s ) )
31		nfv 1712	. . . . . . 7 |- F/ s z =/= (/)
32		nfmpt1 4528	. . . . . . . . . 10 |- F/_ s ( s e. ( A \ { (/) } ) |-> ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) )
33	15, 32	nfcxfr 2614	. . . . . . . . 9 |- F/_ s F
34		nfcv 2616	. . . . . . . . 9 |- F/_ s z
35	33, 34	nffv 5855	. . . . . . . 8 |- F/_ s ( F ` z )
36	35	nfel1 2632	. . . . . . 7 |- F/ s ( F ` z ) e. z
37	31, 36	nfim 1925	. . . . . 6 |- F/ s ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z )
38		nfv 1712	. . . . . 6 |- F/ z ( s =/= (/) -> ( F ` s ) e. s )
39		neeq1 2735	. . . . . . 7 |- ( z = s -> ( z =/= (/) <-> s =/= (/) ) )
40		fveq2 5848	. . . . . . . 8 |- ( z = s -> ( F ` z ) = ( F ` s ) )
41		id 22	. . . . . . . 8 |- ( z = s -> z = s )
42	40, 41	eleq12d 2536	. . . . . . 7 |- ( z = s -> ( ( F ` z ) e. z <-> ( F ` s ) e. s ) )
43	39, 42	imbi12d 318	. . . . . 6 |- ( z = s -> ( ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) <-> ( s =/= (/) -> ( F ` s ) e. s ) ) )
44	37, 38, 43	cbvral 3077	. . . . 5 |- ( A. z e. A ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) <-> A. s e. A ( s =/= (/) -> ( F ` s ) e. s ) )
45	30, 44	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( A e. B /\ r We U. A ) -> A. z e. A ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) )
46		fveq1 5847	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f ` z ) = ( F ` z ) )
47	46	eleq1d 2523	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( f ` z ) e. z <-> ( F ` z ) e. z ) )
48	47	imbi2d 314	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) ) )
49	48	ralbidv 2893	. . . . 5 |- ( f = F -> ( A. z e. A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> A. z e. A ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) ) )
50	49	spcegv 3192	. . . 4 |- ( F e. _V -> ( A. z e. A ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) -> E. f A. z e. A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
51	22, 45, 50	sylc 60	. . 3 |- ( ( A e. B /\ r We U. A ) -> E. f A. z e. A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) )
52	51	ex 432	. 2 |- ( A e. B -> ( r We U. A -> E. f A. z e. A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
53	52	exlimdv 1729	1 |- ( A e. B -> ( E. r r We U. A -> E. f A. z e. A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1398   E.wex 1617   e. wcel 1823   =/= wne 2649   A.wral 2804   E!wreu 2806   _Vcvv 3106   \ cdif 3458   C_ wss 3461   (/)c0 3783   {csn 4016   U.cuni 4235   class class class wbr 4439   |-> cmpt 4497   Se wse 4825   We wwe 4826   -->wf 5566   ` cfv 5570   iota_crio 6231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-fv 5578  df-riota 6232

This theorem is referenced by:  dfac8c  8405