MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac8 Unicode version

Theorem dfac8 7971
Description: A proof of the equivalency of the Well Ordering Theorem weth 8331 and the Axiom of Choice ac7 8309. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
dfac8  |-  (CHOICE  <->  A. x E. r  r  We  x )
Distinct variable group:    x, r

Proof of Theorem dfac8
Dummy variables  f 
y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac3 7958 . 2  |-  (CHOICE  <->  A. y E. f A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )
2 vex 2919 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
32pwex 4342 . . . . . . 7  |-  ~P x  e.  _V
4 raleq 2864 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ~P x  -> 
( A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  <->  A. z  e.  ~P  x ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) ) )
54exbidv 1633 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ~P x  -> 
( E. f A. z  e.  y  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  <->  E. f A. z  e.  ~P  x ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) ) )
63, 5spcv 3002 . . . . . 6  |-  ( A. y E. f A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  ->  E. f A. z  e.  ~P  x ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )
7 dfac8a 7867 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  ->  ( E. f A. z  e. 
~P  x ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  ->  x  e.  dom  card ) )
82, 6, 7mpsyl 61 . . . . 5  |-  ( A. y E. f A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  ->  x  e.  dom  card )
9 dfac8b 7868 . . . . 5  |-  ( x  e.  dom  card  ->  E. r  r  We  x
)
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( A. y E. f A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  ->  E. r 
r  We  x )
1110alrimiv 1638 . . 3  |-  ( A. y E. f A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  ->  A. x E. r  r  We  x )
12 vex 2919 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
1312uniex 4664 . . . . . 6  |-  U. y  e.  _V
14 weeq2 4531 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U. y  -> 
( r  We  x  <->  r  We  U. y ) )
1514exbidv 1633 . . . . . 6  |-  ( x  =  U. y  -> 
( E. r  r  We  x  <->  E. r 
r  We  U. y
) )
1613, 15spcv 3002 . . . . 5  |-  ( A. x E. r  r  We  x  ->  E. r 
r  We  U. y
)
17 dfac8c 7870 . . . . 5  |-  ( y  e.  _V  ->  ( E. r  r  We  U. y  ->  E. f A. z  e.  y 
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
1812, 16, 17mpsyl 61 . . . 4  |-  ( A. x E. r  r  We  x  ->  E. f A. z  e.  y 
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )
1918alrimiv 1638 . . 3  |-  ( A. x E. r  r  We  x  ->  A. y E. f A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )
2011, 19impbii 181 . 2  |-  ( A. y E. f A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  <->  A. x E. r 
r  We  x )
211, 20bitri 241 1  |-  (CHOICE  <->  A. x E. r  r  We  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   _Vcvv 2916   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   U.cuni 3975    We wwe 4500   dom cdm 4837   ` cfv 5413   cardccrd 7778  CHOICEwac 7952
This theorem is referenced by:  dfac10  7973  weth  8331  dfac11  27028
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-suc 4547  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6508  df-recs 6592  df-en 7069  df-card 7782  df-ac 7953
  Copyright terms: Public domain W3C validator