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Theorem dfac5lem5 8576
Description: Lemma for dfac5 8577. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
dfac5lem.1  |-  A  =  { u  |  ( u  =/=  (/)  /\  E. t  e.  h  u  =  ( { t }  X.  t ) ) }
dfac5lem.2  |-  B  =  ( U. A  i^i  y )
dfac5lem.3  |-  ( ph  <->  A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) ) )
Assertion
Ref Expression
dfac5lem5  |-  ( ph  ->  E. f A. w  e.  h  ( w  =/=  (/)  ->  ( f `  w )  e.  w
) )
Distinct variable groups:    x, f,
z, y, w, v, u, t, h    z, B, w, f    x, A, y, z, w
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, v, u, t, f, h)    A( v, u, t, f, h)    B( x, y, v, u, t, h)

Proof of Theorem dfac5lem5
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac5lem.1 . . 3  |-  A  =  { u  |  ( u  =/=  (/)  /\  E. t  e.  h  u  =  ( { t }  X.  t ) ) }
2 dfac5lem.2 . . 3  |-  B  =  ( U. A  i^i  y )
3 dfac5lem.3 . . 3  |-  ( ph  <->  A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) ) )
41, 2, 3dfac5lem4 8575 . 2  |-  ( ph  ->  E. y A. z  e.  A  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) )
5 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  =/=  (/)  /\  w  e.  h )  ->  w  e.  h )
65a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  A  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  ->  ( ( w  =/=  (/)  /\  w  e.  h
)  ->  w  e.  h ) )
7 ineq1 3618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( { w }  X.  w )  -> 
( z  i^i  y
)  =  ( ( { w }  X.  w )  i^i  y
) )
87eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( { w }  X.  w )  -> 
( v  e.  ( z  i^i  y )  <-> 
v  e.  ( ( { w }  X.  w )  i^i  y
) ) )
98eubidv 2339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( { w }  X.  w )  -> 
( E! v  v  e.  ( z  i^i  y )  <->  E! v 
v  e.  ( ( { w }  X.  w )  i^i  y
) ) )
109rspccv 3133 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  A  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  ->  ( ( { w }  X.  w )  e.  A  ->  E! v 
v  e.  ( ( { w }  X.  w )  i^i  y
) ) )
111dfac5lem3 8574 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { w }  X.  w )  e.  A  <->  ( w  =/=  (/)  /\  w  e.  h ) )
12 dfac5lem1 8572 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! v  v  e.  ( ( { w }  X.  w )  i^i  y
)  <->  E! g ( g  e.  w  /\  <. w ,  g >.  e.  y ) )
1310, 11, 123imtr3g 277 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  A  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  ->  ( ( w  =/=  (/)  /\  w  e.  h
)  ->  E! g
( g  e.  w  /\  <. w ,  g
>.  e.  y ) ) )
146, 13jcad 542 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  A  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  ->  ( ( w  =/=  (/)  /\  w  e.  h
)  ->  ( w  e.  h  /\  E! g ( g  e.  w  /\  <. w ,  g
>.  e.  y ) ) ) )
152eleq2i 2541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
w ,  g >.  e.  B  <->  <. w ,  g
>.  e.  ( U. A  i^i  y ) )
16 elin 3608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
w ,  g >.  e.  ( U. A  i^i  y )  <->  ( <. w ,  g >.  e.  U. A  /\  <. w ,  g
>.  e.  y ) )
171dfac5lem2 8573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
w ,  g >.  e.  U. A  <->  ( w  e.  h  /\  g  e.  w ) )
1817anbi1i 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. w ,  g >.  e.  U. A  /\  <. w ,  g >.  e.  y )  <->  ( ( w  e.  h  /\  g  e.  w )  /\  <. w ,  g >.  e.  y ) )
19 anass 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w  e.  h  /\  g  e.  w
)  /\  <. w ,  g >.  e.  y
)  <->  ( w  e.  h  /\  ( g  e.  w  /\  <. w ,  g >.  e.  y ) ) )
2018, 19bitri 257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
<. w ,  g >.  e.  U. A  /\  <. w ,  g >.  e.  y )  <->  ( w  e.  h  /\  ( g  e.  w  /\  <. w ,  g >.  e.  y ) ) )
2115, 16, 203bitri 279 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
w ,  g >.  e.  B  <->  ( w  e.  h  /\  ( g  e.  w  /\  <. w ,  g >.  e.  y ) ) )
2221eubii 2341 . . . . . . . . 9  |-  ( E! g <. w ,  g
>.  e.  B  <->  E! g
( w  e.  h  /\  ( g  e.  w  /\  <. w ,  g
>.  e.  y ) ) )
23 euanv 2383 . . . . . . . . 9  |-  ( E! g ( w  e.  h  /\  ( g  e.  w  /\  <. w ,  g >.  e.  y ) )  <->  ( w  e.  h  /\  E! g ( g  e.  w  /\  <. w ,  g
>.  e.  y ) ) )
2422, 23bitr2i 258 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  h  /\  E! g ( g  e.  w  /\  <. w ,  g >.  e.  y ) )  <->  E! g <. w ,  g >.  e.  B )
2514, 24syl6ib 234 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  A  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  ->  ( ( w  =/=  (/)  /\  w  e.  h
)  ->  E! g <. w ,  g >.  e.  B ) )
26 euex 2343 . . . . . . . 8  |-  ( E! g <. w ,  g
>.  e.  B  ->  E. g <. w ,  g >.  e.  B )
27 nfeu1 2329 . . . . . . . . . 10  |-  F/ g E! g <. w ,  g >.  e.  B
28 nfv 1769 . . . . . . . . . 10  |-  F/ g ( B `  w
)  e.  w
2927, 28nfim 2023 . . . . . . . . 9  |-  F/ g ( E! g <.
w ,  g >.  e.  B  ->  ( B `
 w )  e.  w )
3021simprbi 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
w ,  g >.  e.  B  ->  ( g  e.  w  /\  <. w ,  g >.  e.  y ) )
3130simpld 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
w ,  g >.  e.  B  ->  g  e.  w )
32 tz6.12 5896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
<. w ,  g >.  e.  B  /\  E! g
<. w ,  g >.  e.  B )  ->  ( B `  w )  =  g )
3332eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. w ,  g >.  e.  B  /\  E! g
<. w ,  g >.  e.  B )  ->  (
( B `  w
)  e.  w  <->  g  e.  w ) )
3433biimparc 495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  e.  w  /\  ( <. w ,  g
>.  e.  B  /\  E! g <. w ,  g
>.  e.  B ) )  ->  ( B `  w )  e.  w
)
3534exp32 616 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  w  ->  ( <. w ,  g >.  e.  B  ->  ( E! g <. w ,  g
>.  e.  B  ->  ( B `  w )  e.  w ) ) )
3631, 35mpcom 36 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
w ,  g >.  e.  B  ->  ( E! g <. w ,  g
>.  e.  B  ->  ( B `  w )  e.  w ) )
3729, 36exlimi 2015 . . . . . . . 8  |-  ( E. g <. w ,  g
>.  e.  B  ->  ( E! g <. w ,  g
>.  e.  B  ->  ( B `  w )  e.  w ) )
3826, 37mpcom 36 . . . . . . 7  |-  ( E! g <. w ,  g
>.  e.  B  ->  ( B `  w )  e.  w )
3925, 38syl6 33 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  A  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  ->  ( ( w  =/=  (/)  /\  w  e.  h
)  ->  ( B `  w )  e.  w
) )
4039expcomd 445 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  A  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  ->  ( w  e.  h  ->  ( w  =/=  (/)  ->  ( B `  w )  e.  w ) ) )
4140ralrimiv 2808 . . . 4  |-  ( A. z  e.  A  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  ->  A. w  e.  h  ( w  =/=  (/)  ->  ( B `  w )  e.  w ) )
42 vex 3034 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
4342inex2 4538 . . . . . 6  |-  ( U. A  i^i  y )  e. 
_V
442, 43eqeltri 2545 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
45 fveq1 5878 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  B  ->  (
f `  w )  =  ( B `  w ) )
4645eleq1d 2533 . . . . . . 7  |-  ( f  =  B  ->  (
( f `  w
)  e.  w  <->  ( B `  w )  e.  w
) )
4746imbi2d 323 . . . . . 6  |-  ( f  =  B  ->  (
( w  =/=  (/)  ->  (
f `  w )  e.  w )  <->  ( w  =/=  (/)  ->  ( B `  w )  e.  w
) ) )
4847ralbidv 2829 . . . . 5  |-  ( f  =  B  ->  ( A. w  e.  h  ( w  =/=  (/)  ->  (
f `  w )  e.  w )  <->  A. w  e.  h  ( w  =/=  (/)  ->  ( B `  w )  e.  w
) ) )
4944, 48spcev 3127 . . . 4  |-  ( A. w  e.  h  (
w  =/=  (/)  ->  ( B `  w )  e.  w )  ->  E. f A. w  e.  h  ( w  =/=  (/)  ->  (
f `  w )  e.  w ) )
5041, 49syl 17 . . 3  |-  ( A. z  e.  A  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  ->  E. f A. w  e.  h  ( w  =/=  (/)  ->  ( f `  w )  e.  w
) )
5150exlimiv 1784 . 2  |-  ( E. y A. z  e.  A  E! v  v  e.  ( z  i^i  y )  ->  E. f A. w  e.  h  ( w  =/=  (/)  ->  (
f `  w )  e.  w ) )
524, 51syl 17 1  |-  ( ph  ->  E. f A. w  e.  h  ( w  =/=  (/)  ->  ( f `  w )  e.  w
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376   A.wal 1450    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   E!weu 2319   {cab 2457    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    i^i cin 3389   (/)c0 3722   {csn 3959   <.cop 3965   U.cuni 4190    X. cxp 4837   ` cfv 5589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-dm 4849  df-rn 4850  df-iota 5553  df-fv 5597
This theorem is referenced by:  dfac5  8577
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