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Theorem dfac5lem5 8409
Description: Lemma for dfac5 8410. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
dfac5lem.1  |-  A  =  { u  |  ( u  =/=  (/)  /\  E. t  e.  h  u  =  ( { t }  X.  t ) ) }
dfac5lem.2  |-  B  =  ( U. A  i^i  y )
dfac5lem.3  |-  ( ph  <->  A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) ) )
Assertion
Ref Expression
dfac5lem5  |-  ( ph  ->  E. f A. w  e.  h  ( w  =/=  (/)  ->  ( f `  w )  e.  w
) )
Distinct variable groups:    x, f,
z, y, w, v, u, t, h    z, B, w, f    x, A, y, z, w
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, v, u, t, f, h)    A( v, u, t, f, h)    B( x, y, v, u, t, h)

Proof of Theorem dfac5lem5
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac5lem.1 . . 3  |-  A  =  { u  |  ( u  =/=  (/)  /\  E. t  e.  h  u  =  ( { t }  X.  t ) ) }
2 dfac5lem.2 . . 3  |-  B  =  ( U. A  i^i  y )
3 dfac5lem.3 . . 3  |-  ( ph  <->  A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) ) )
41, 2, 3dfac5lem4 8408 . 2  |-  ( ph  ->  E. y A. z  e.  A  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) )
5 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  =/=  (/)  /\  w  e.  h )  ->  w  e.  h )
65a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  A  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  ->  ( ( w  =/=  (/)  /\  w  e.  h
)  ->  w  e.  h ) )
7 ineq1 3654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( { w }  X.  w )  -> 
( z  i^i  y
)  =  ( ( { w }  X.  w )  i^i  y
) )
87eleq2d 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( { w }  X.  w )  -> 
( v  e.  ( z  i^i  y )  <-> 
v  e.  ( ( { w }  X.  w )  i^i  y
) ) )
98eubidv 2285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( { w }  X.  w )  -> 
( E! v  v  e.  ( z  i^i  y )  <->  E! v 
v  e.  ( ( { w }  X.  w )  i^i  y
) ) )
109rspccv 3176 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  A  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  ->  ( ( { w }  X.  w )  e.  A  ->  E! v 
v  e.  ( ( { w }  X.  w )  i^i  y
) ) )
111dfac5lem3 8407 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { w }  X.  w )  e.  A  <->  ( w  =/=  (/)  /\  w  e.  h ) )
12 dfac5lem1 8405 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! v  v  e.  ( ( { w }  X.  w )  i^i  y
)  <->  E! g ( g  e.  w  /\  <. w ,  g >.  e.  y ) )
1310, 11, 123imtr3g 269 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  A  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  ->  ( ( w  =/=  (/)  /\  w  e.  h
)  ->  E! g
( g  e.  w  /\  <. w ,  g
>.  e.  y ) ) )
146, 13jcad 533 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  A  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  ->  ( ( w  =/=  (/)  /\  w  e.  h
)  ->  ( w  e.  h  /\  E! g ( g  e.  w  /\  <. w ,  g
>.  e.  y ) ) ) )
152eleq2i 2532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
w ,  g >.  e.  B  <->  <. w ,  g
>.  e.  ( U. A  i^i  y ) )
16 elin 3648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
w ,  g >.  e.  ( U. A  i^i  y )  <->  ( <. w ,  g >.  e.  U. A  /\  <. w ,  g
>.  e.  y ) )
171dfac5lem2 8406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
w ,  g >.  e.  U. A  <->  ( w  e.  h  /\  g  e.  w ) )
1817anbi1i 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. w ,  g >.  e.  U. A  /\  <. w ,  g >.  e.  y )  <->  ( ( w  e.  h  /\  g  e.  w )  /\  <. w ,  g >.  e.  y ) )
19 anass 649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w  e.  h  /\  g  e.  w
)  /\  <. w ,  g >.  e.  y
)  <->  ( w  e.  h  /\  ( g  e.  w  /\  <. w ,  g >.  e.  y ) ) )
2018, 19bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
<. w ,  g >.  e.  U. A  /\  <. w ,  g >.  e.  y )  <->  ( w  e.  h  /\  ( g  e.  w  /\  <. w ,  g >.  e.  y ) ) )
2115, 16, 203bitri 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
w ,  g >.  e.  B  <->  ( w  e.  h  /\  ( g  e.  w  /\  <. w ,  g >.  e.  y ) ) )
2221eubii 2287 . . . . . . . . 9  |-  ( E! g <. w ,  g
>.  e.  B  <->  E! g
( w  e.  h  /\  ( g  e.  w  /\  <. w ,  g
>.  e.  y ) ) )
23 euanv 2347 . . . . . . . . 9  |-  ( E! g ( w  e.  h  /\  ( g  e.  w  /\  <. w ,  g >.  e.  y ) )  <->  ( w  e.  h  /\  E! g ( g  e.  w  /\  <. w ,  g
>.  e.  y ) ) )
2422, 23bitr2i 250 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  h  /\  E! g ( g  e.  w  /\  <. w ,  g >.  e.  y ) )  <->  E! g <. w ,  g >.  e.  B )
2514, 24syl6ib 226 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  A  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  ->  ( ( w  =/=  (/)  /\  w  e.  h
)  ->  E! g <. w ,  g >.  e.  B ) )
26 euex 2290 . . . . . . . 8  |-  ( E! g <. w ,  g
>.  e.  B  ->  E. g <. w ,  g >.  e.  B )
27 nfeu1 2275 . . . . . . . . . 10  |-  F/ g E! g <. w ,  g >.  e.  B
28 nfv 1674 . . . . . . . . . 10  |-  F/ g ( B `  w
)  e.  w
2927, 28nfim 1858 . . . . . . . . 9  |-  F/ g ( E! g <.
w ,  g >.  e.  B  ->  ( B `
 w )  e.  w )
3021simprbi 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
w ,  g >.  e.  B  ->  ( g  e.  w  /\  <. w ,  g >.  e.  y ) )
3130simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
w ,  g >.  e.  B  ->  g  e.  w )
32 tz6.12 5817 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
<. w ,  g >.  e.  B  /\  E! g
<. w ,  g >.  e.  B )  ->  ( B `  w )  =  g )
3332eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. w ,  g >.  e.  B  /\  E! g
<. w ,  g >.  e.  B )  ->  (
( B `  w
)  e.  w  <->  g  e.  w ) )
3433biimparc 487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  e.  w  /\  ( <. w ,  g
>.  e.  B  /\  E! g <. w ,  g
>.  e.  B ) )  ->  ( B `  w )  e.  w
)
3534exp32 605 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  w  ->  ( <. w ,  g >.  e.  B  ->  ( E! g <. w ,  g
>.  e.  B  ->  ( B `  w )  e.  w ) ) )
3631, 35mpcom 36 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
w ,  g >.  e.  B  ->  ( E! g <. w ,  g
>.  e.  B  ->  ( B `  w )  e.  w ) )
3729, 36exlimi 1850 . . . . . . . 8  |-  ( E. g <. w ,  g
>.  e.  B  ->  ( E! g <. w ,  g
>.  e.  B  ->  ( B `  w )  e.  w ) )
3826, 37mpcom 36 . . . . . . 7  |-  ( E! g <. w ,  g
>.  e.  B  ->  ( B `  w )  e.  w )
3925, 38syl6 33 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  A  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  ->  ( ( w  =/=  (/)  /\  w  e.  h
)  ->  ( B `  w )  e.  w
) )
4039expcomd 438 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  A  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  ->  ( w  e.  h  ->  ( w  =/=  (/)  ->  ( B `  w )  e.  w ) ) )
4140ralrimiv 2828 . . . 4  |-  ( A. z  e.  A  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  ->  A. w  e.  h  ( w  =/=  (/)  ->  ( B `  w )  e.  w ) )
42 vex 3081 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
4342inex2 4543 . . . . . 6  |-  ( U. A  i^i  y )  e. 
_V
442, 43eqeltri 2538 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
45 fveq1 5799 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  B  ->  (
f `  w )  =  ( B `  w ) )
4645eleq1d 2523 . . . . . . 7  |-  ( f  =  B  ->  (
( f `  w
)  e.  w  <->  ( B `  w )  e.  w
) )
4746imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( f  =  B  ->  (
( w  =/=  (/)  ->  (
f `  w )  e.  w )  <->  ( w  =/=  (/)  ->  ( B `  w )  e.  w
) ) )
4847ralbidv 2846 . . . . 5  |-  ( f  =  B  ->  ( A. w  e.  h  ( w  =/=  (/)  ->  (
f `  w )  e.  w )  <->  A. w  e.  h  ( w  =/=  (/)  ->  ( B `  w )  e.  w
) ) )
4944, 48spcev 3170 . . . 4  |-  ( A. w  e.  h  (
w  =/=  (/)  ->  ( B `  w )  e.  w )  ->  E. f A. w  e.  h  ( w  =/=  (/)  ->  (
f `  w )  e.  w ) )
5041, 49syl 16 . . 3  |-  ( A. z  e.  A  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  ->  E. f A. w  e.  h  ( w  =/=  (/)  ->  ( f `  w )  e.  w
) )
5150exlimiv 1689 . 2  |-  ( E. y A. z  e.  A  E! v  v  e.  ( z  i^i  y )  ->  E. f A. w  e.  h  ( w  =/=  (/)  ->  (
f `  w )  e.  w ) )
524, 51syl 16 1  |-  ( ph  ->  E. f A. w  e.  h  ( w  =/=  (/)  ->  ( f `  w )  e.  w
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1368    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   E!weu 2262   {cab 2439    =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800   _Vcvv 3078    i^i cin 3436   (/)c0 3746   {csn 3986   <.cop 3992   U.cuni 4200    X. cxp 4947   ` cfv 5527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-opab 4460  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-dm 4959  df-rn 4960  df-iota 5490  df-fv 5535
This theorem is referenced by:  dfac5  8410
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