Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac5 Unicode version

Theorem dfac5 7965
 Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice. The right-hand side is Theorem 6M(4) of [Enderton] p. 151 and asserts that given a family of mutually disjoint nonempty sets, a set exists containing exactly one member from each set in the family. The proof does not depend on AC. (Contributed by NM, 11-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac5 CHOICE
Distinct variable group:   ,,,,

Proof of Theorem dfac5
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac4 7959 . . 3 CHOICE
2 neeq1 2575 . . . . . . . . . . . . 13
32cbvralv 2892 . . . . . . . . . . . 12
43anbi2i 676 . . . . . . . . . . 11
5 r19.26 2798 . . . . . . . . . . 11
64, 5bitr4i 244 . . . . . . . . . 10
7 pm3.35 571 . . . . . . . . . . . 12
87ancoms 440 . . . . . . . . . . 11
98ralimi 2741 . . . . . . . . . 10
106, 9sylbi 188 . . . . . . . . 9
11 r19.26 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12 elin 3490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13 fvelrnb 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1413biimpac 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
15 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
16 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1715, 16eleq12d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
18 neeq2 2576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
19 ineq2 3496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2019eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2118, 20imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2217, 21anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2322rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
24 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2524biimpar 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
26 minel 3643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2726ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2827imim2d 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2928imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3029necon4ad 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3130imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3225, 31sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
33 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
34 eqeq2 2413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
35 eqcom 2406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3634, 35syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3733, 36syl5ib 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3837ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3932, 38mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4039exp32 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4123, 40syl6com 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4241com14 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4342rexlimdv 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4414, 43syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4544exp3a 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4645com4t 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4746imp4b 574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4812, 47syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4911, 48sylan2br 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5049anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5150adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15
52 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
53 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5452, 53eleq12d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5554rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
56 fnfvelrn 5826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5756expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5855, 57anim12d 547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
59 elin 3490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6058, 59syl6ibr 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6160exp3a 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6261com13 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6362imp31 422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
64 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6563, 64syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6665adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
6751, 66impbid 184 . . . . . . . . . . . . . 14
6867ex 424 . . . . . . . . . . . . 13
6968alrimdv 1640 . . . . . . . . . . . 12
70 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . 14
71 eqeq2 2413 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7271bibi2d 310 . . . . . . . . . . . . . . 15
7372albidv 1632 . . . . . . . . . . . . . 14
7470, 73spcev 3003 . . . . . . . . . . . . 13
75 df-eu 2258 . . . . . . . . . . . . 13
7674, 75sylibr 204 . . . . . . . . . . . 12
7769, 76syl6 31 . . . . . . . . . . 11
7877ralimdva 2744 . . . . . . . . . 10
7978ex 424 . . . . . . . . 9
8010, 79syl5 30 . . . . . . . 8
8180exp3a 426 . . . . . . 7
8281imp4b 574 . . . . . 6
83 vex 2919 . . . . . . . 8
8483rnex 5092 . . . . . . 7
85 ineq2 3496 . . . . . . . . . 10
8685eleq2d 2471 . . . . . . . . 9
8786eubidv 2262 . . . . . . . 8
8887ralbidv 2686 . . . . . . 7
8984, 88spcev 3003 . . . . . 6
9082, 89syl6 31 . . . . 5
9190exlimiv 1641 . . . 4
9291alimi 1565 . . 3
931, 92sylbi 188 . 2 CHOICE
94 eqid 2404 . . . . 5
95 eqid 2404 . . . . 5
96 biid 228 . . . . 5
9794, 95, 96dfac5lem5 7964 . . . 4
9897alrimiv 1638 . . 3
99 dfac3 7958 . . 3 CHOICE
10098, 99sylibr 204 . 2 CHOICE
10193, 100impbii 181 1 CHOICE
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359  wal 1546  wex 1547   wceq 1649   wcel 1721  weu 2254  cab 2390   wne 2567  wral 2666  wrex 2667   cin 3279  c0 3588  csn 3774  cuni 3975   cxp 4835   crn 4838   wfn 5408  cfv 5413  CHOICEwac 7952 This theorem is referenced by:  dfackm  8002  ac8  8328 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ac 7953
 Copyright terms: Public domain W3C validator