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Theorem dfac4 8284
Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice. The right-hand side is Axiom AC of [BellMachover] p. 488. The proof does not depend on AC. (Contributed by NM, 24-Mar-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac4  |-  (CHOICE  <->  A. x E. f ( f  Fn  x  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) ) )
Distinct variable group:    x, f, z

Proof of Theorem dfac4
Dummy variables  y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac3 8283 . 2  |-  (CHOICE  <->  A. x E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )
2 fveq1 5685 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  y  ->  (
f `  z )  =  ( y `  z ) )
32eleq1d 2504 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  y  ->  (
( f `  z
)  e.  z  <->  ( y `  z )  e.  z ) )
43imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( f  =  y  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  ( y `  z )  e.  z ) ) )
54ralbidv 2730 . . . . . 6  |-  ( f  =  y  ->  ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  <->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( y `  z )  e.  z ) ) )
65cbvexv 1972 . . . . 5  |-  ( E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  <->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( y `  z )  e.  z ) )
7 fvex 5696 . . . . . . . . 9  |-  ( y `
 w )  e. 
_V
8 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  x  |->  ( y `
 w ) )  =  ( w  e.  x  |->  ( y `  w ) )
97, 8fnmpti 5534 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  x  |->  ( y `
 w ) )  Fn  x
10 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  z  ->  (
y `  w )  =  ( y `  z ) )
11 fvex 5696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y `
 z )  e. 
_V
1210, 8, 11fvmpt 5769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  x  ->  (
( w  e.  x  |->  ( y `  w
) ) `  z
)  =  ( y `
 z ) )
1312eleq1d 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  x  ->  (
( ( w  e.  x  |->  ( y `  w ) ) `  z )  e.  z  <-> 
( y `  z
)  e.  z ) )
1413imbi2d 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  x  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  (
( w  e.  x  |->  ( y `  w
) ) `  z
)  e.  z )  <-> 
( z  =/=  (/)  ->  (
y `  z )  e.  z ) ) )
1514ralbiia 2742 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
( w  e.  x  |->  ( y `  w
) ) `  z
)  e.  z )  <->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
y `  z )  e.  z ) )
1615anbi2i 694 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( w  e.  x  |->  ( y `  w
) )  Fn  x  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
( w  e.  x  |->  ( y `  w
) ) `  z
)  e.  z ) )  <->  ( ( w  e.  x  |->  ( y `
 w ) )  Fn  x  /\  A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
y `  z )  e.  z ) ) )
179, 16mpbiran 909 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w  e.  x  |->  ( y `  w
) )  Fn  x  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
( w  e.  x  |->  ( y `  w
) ) `  z
)  e.  z ) )  <->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
y `  z )  e.  z ) )
18 fvrn0 5707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y `
 w )  e.  ( ran  y  u. 
{ (/) } )
1918rgenw 2778 . . . . . . . . . 10  |-  A. w  e.  x  ( y `  w )  e.  ( ran  y  u.  { (/)
} )
208fmpt 5859 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. w  e.  x  (
y `  w )  e.  ( ran  y  u. 
{ (/) } )  <->  ( w  e.  x  |->  ( y `
 w ) ) : x --> ( ran  y  u.  { (/) } ) )
2119, 20mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  x  |->  ( y `
 w ) ) : x --> ( ran  y  u.  { (/) } )
22 vex 2970 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
23 vex 2970 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
2423rnex 6507 . . . . . . . . . 10  |-  ran  y  e.  _V
25 p0ex 4474 . . . . . . . . . 10  |-  { (/) }  e.  _V
2624, 25unex 6373 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  y  u.  { (/) } )  e.  _V
27 fex2 6527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( w  e.  x  |->  ( y `  w
) ) : x --> ( ran  y  u. 
{ (/) } )  /\  x  e.  _V  /\  ( ran  y  u.  { (/) } )  e.  _V )  ->  ( w  e.  x  |->  ( y `  w
) )  e.  _V )
2821, 22, 26, 27mp3an 1314 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  x  |->  ( y `
 w ) )  e.  _V
29 fneq1 5494 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( w  e.  x  |->  ( y `  w ) )  -> 
( f  Fn  x  <->  ( w  e.  x  |->  ( y `  w ) )  Fn  x ) )
30 fveq1 5685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( w  e.  x  |->  ( y `  w ) )  -> 
( f `  z
)  =  ( ( w  e.  x  |->  ( y `  w ) ) `  z ) )
3130eleq1d 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( w  e.  x  |->  ( y `  w ) )  -> 
( ( f `  z )  e.  z  <-> 
( ( w  e.  x  |->  ( y `  w ) ) `  z )  e.  z ) )
3231imbi2d 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( w  e.  x  |->  ( y `  w ) )  -> 
( ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  ( ( w  e.  x  |->  ( y `
 w ) ) `
 z )  e.  z ) ) )
3332ralbidv 2730 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( w  e.  x  |->  ( y `  w ) )  -> 
( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  <->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
( w  e.  x  |->  ( y `  w
) ) `  z
)  e.  z ) ) )
3429, 33anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( w  e.  x  |->  ( y `  w ) )  -> 
( ( f  Fn  x  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )  <->  ( (
w  e.  x  |->  ( y `  w ) )  Fn  x  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
( w  e.  x  |->  ( y `  w
) ) `  z
)  e.  z ) ) ) )
3528, 34spcev 3059 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w  e.  x  |->  ( y `  w
) )  Fn  x  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
( w  e.  x  |->  ( y `  w
) ) `  z
)  e.  z ) )  ->  E. f
( f  Fn  x  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
3617, 35sylbir 213 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
y `  z )  e.  z )  ->  E. f
( f  Fn  x  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
3736exlimiv 1688 . . . . 5  |-  ( E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( y `  z )  e.  z )  ->  E. f
( f  Fn  x  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
386, 37sylbi 195 . . . 4  |-  ( E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  ->  E. f
( f  Fn  x  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
39 exsimpr 1645 . . . 4  |-  ( E. f ( f  Fn  x  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )  ->  E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )
4038, 39impbii 188 . . 3  |-  ( E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  <->  E. f ( f  Fn  x  /\  A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
4140albii 1610 . 2  |-  ( A. x E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  <->  A. x E. f
( f  Fn  x  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
421, 41bitri 249 1  |-  (CHOICE  <->  A. x E. f ( f  Fn  x  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710   _Vcvv 2967    u. cun 3321   (/)c0 3632   {csn 3872    e. cmpt 4345   ran crn 4836    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  CHOICEwac 8277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ac 8278
This theorem is referenced by:  dfac5  8290  dfacacn  8302  ac5  8638
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