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Theorem dfac2a 8522
Description: Our Axiom of Choice (in the form of ac3 8854) implies the Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49. The proof uses neither AC nor the Axiom of Regularity. See dfac2 8523 for the converse (which does use the Axiom of Regularity). (Contributed by NM, 5-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac2a  |-  ( A. x E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  -> CHOICE )
Distinct variable group:    x, z, y, w, v

Proof of Theorem dfac2a
Dummy variables  f  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 riotauni 6262 . . . . . . . . 9  |-  ( E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  ( iota_ w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  =  U. { w  e.  z  |  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) } )
2 riotacl 6271 . . . . . . . . 9  |-  ( E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  ( iota_ w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  e.  z )
31, 2eqeltrrd 2556 . . . . . . . 8  |-  ( E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  U. { w  e.  z  |  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) }  e.  z )
4 elequ2 1772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  z  ->  (
w  e.  u  <->  w  e.  z ) )
5 elequ1 1770 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  z  ->  (
u  e.  v  <->  z  e.  v ) )
65anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  z  ->  (
( u  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
76rexbidv 2978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  z  ->  ( E. v  e.  y 
( u  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
84, 7anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  z  ->  (
( w  e.  u  /\  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) )  <->  ( w  e.  z  /\  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) ) )
98abbidv 2603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  z  ->  { w  |  ( w  e.  u  /\  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) ) }  =  { w  |  ( w  e.  z  /\  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) } )
10 df-rab 2826 . . . . . . . . . . . 12  |-  { w  e.  u  |  E. v  e.  y  (
u  e.  v  /\  w  e.  v ) }  =  { w  |  ( w  e.  u  /\  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) ) }
11 df-rab 2826 . . . . . . . . . . . 12  |-  { w  e.  z  |  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v ) }  =  { w  |  ( w  e.  z  /\  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) }
129, 10, 113eqtr4g 2533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  z  ->  { w  e.  u  |  E. v  e.  y  (
u  e.  v  /\  w  e.  v ) }  =  { w  e.  z  |  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v ) } )
1312unieqd 4261 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  z  ->  U. {
w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) }  =  U. { w  e.  z  |  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) } )
14 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  x  |->  U. {
w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } )  =  ( u  e.  x  |-> 
U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } )
15 vex 3121 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
_V
1615rabex 4604 . . . . . . . . . . 11  |-  { w  e.  z  |  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v ) }  e.  _V
1716uniex 6591 . . . . . . . . . 10  |-  U. {
w  e.  z  |  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) }  e.  _V
1813, 14, 17fvmpt 5957 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  x  ->  (
( u  e.  x  |-> 
U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } ) `
 z )  = 
U. { w  e.  z  |  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) } )
1918eleq1d 2536 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  x  ->  (
( ( u  e.  x  |->  U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } ) `
 z )  e.  z  <->  U. { w  e.  z  |  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) }  e.  z ) )
203, 19syl5ibr 221 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  x  ->  ( E! w  e.  z  E. v  e.  y 
( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  ( (
u  e.  x  |->  U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } ) `  z )  e.  z ) )
2120imim2d 52 . . . . . 6  |-  ( z  e.  x  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  ( z  =/=  (/)  ->  ( (
u  e.  x  |->  U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } ) `  z )  e.  z ) ) )
2221ralimia 2858 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( (
u  e.  x  |->  U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } ) `  z )  e.  z ) )
23 ssrab2 3590 . . . . . . . . . . 11  |-  { w  e.  u  |  E. v  e.  y  (
u  e.  v  /\  w  e.  v ) }  C_  u
24 elssuni 4281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  x  ->  u  C_ 
U. x )
2523, 24syl5ss 3520 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  x  ->  { w  e.  u  |  E. v  e.  y  (
u  e.  v  /\  w  e.  v ) }  C_  U. x )
2625unissd 4275 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  x  ->  U. {
w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) }  C_  U. U. x )
27 vex 3121 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
2827uniex 6591 . . . . . . . . . . 11  |-  U. x  e.  _V
2928uniex 6591 . . . . . . . . . 10  |-  U. U. x  e.  _V
3029elpw2 4617 . . . . . . . . 9  |-  ( U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) }  e.  ~P U.
U. x  <->  U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  (
u  e.  v  /\  w  e.  v ) }  C_  U. U. x
)
3126, 30sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  x  ->  U. {
w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) }  e.  ~P U.
U. x )
3214, 31fmpti 6055 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  x  |->  U. {
w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } ) : x --> ~P U. U. x
3329pwex 4636 . . . . . . 7  |-  ~P U. U. x  e.  _V
34 fex2 6750 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  x  |-> 
U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } ) : x --> ~P U. U. x  /\  x  e. 
_V  /\  ~P U. U. x  e.  _V )  ->  ( u  e.  x  |-> 
U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } )  e.  _V )
3532, 27, 33, 34mp3an 1324 . . . . . 6  |-  ( u  e.  x  |->  U. {
w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } )  e. 
_V
36 fveq1 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( u  e.  x  |->  U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } )  ->  ( f `  z )  =  ( ( u  e.  x  |-> 
U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } ) `
 z ) )
3736eleq1d 2536 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( u  e.  x  |->  U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } )  ->  ( ( f `
 z )  e.  z  <->  ( ( u  e.  x  |->  U. {
w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } ) `  z )  e.  z ) )
3837imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( u  e.  x  |->  U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } )  ->  ( ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  ( ( u  e.  x  |->  U. {
w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } ) `  z )  e.  z ) ) )
3938ralbidv 2906 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( u  e.  x  |->  U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } )  ->  ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  <->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
( u  e.  x  |-> 
U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } ) `
 z )  e.  z ) ) )
4035, 39spcev 3210 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
( u  e.  x  |-> 
U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } ) `
 z )  e.  z )  ->  E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )
4122, 40syl 16 . . . 4  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )
4241exlimiv 1698 . . 3  |-  ( E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  ->  E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )
4342alimi 1614 . 2  |-  ( A. x E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  ->  A. x E. f A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )
44 dfac3 8514 . 2  |-  (CHOICE  <->  A. x E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )
4543, 44sylibr 212 1  |-  ( A. x E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  -> CHOICE )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1377    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   {cab 2452    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   E!wreu 2819   {crab 2821   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   (/)c0 3790   ~Pcpw 4016   U.cuni 4251    |-> cmpt 4511   -->wf 5590   ` cfv 5594   iota_crio 6255  CHOICEwac 8508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ac 8509
This theorem is referenced by:  dfac2  8523  axac2  8858
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