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Theorem dfac21 29438
Description: Tychonoff's theorem is a choice equivalent. Definition AC21 of Schechter p. 461. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac21  |-  (CHOICE  <->  A. f
( f : dom  f
--> Comp  ->  ( Xt_ `  f )  e.  Comp ) )

Proof of Theorem dfac21
Dummy variables  g 
y  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2990 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
21dmex 6526 . . . . . 6  |-  dom  f  e.  _V
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Comp )  ->  dom  f  e. 
_V )
4 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Comp )  ->  f : dom  f --> Comp )
5 fvex 5716 . . . . . . . 8  |-  ( Xt_ `  f )  e.  _V
65uniex 6391 . . . . . . 7  |-  U. ( Xt_ `  f )  e. 
_V
7 acufl 19505 . . . . . . . 8  |-  (CHOICE  -> UFL  =  _V )
87adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Comp )  -> UFL  =  _V )
96, 8syl5eleqr 2530 . . . . . 6  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Comp )  ->  U. ( Xt_ `  f )  e. UFL )
10 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Comp )  -> CHOICE )
11 dfac10 8321 . . . . . . . 8  |-  (CHOICE  <->  dom  card  =  _V )
1210, 11sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Comp )  ->  dom  card  =  _V )
136, 12syl5eleqr 2530 . . . . . 6  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Comp )  ->  U. ( Xt_ `  f )  e. 
dom  card )
149, 13elind 3555 . . . . 5  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Comp )  ->  U. ( Xt_ `  f )  e.  (UFL  i^i  dom  card )
)
15 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Xt_ `  f )  =  (
Xt_ `  f )
16 eqid 2443 . . . . . 6  |-  U. ( Xt_ `  f )  = 
U. ( Xt_ `  f
)
1715, 16ptcmpg 19644 . . . . 5  |-  ( ( dom  f  e.  _V  /\  f : dom  f --> Comp  /\  U. ( Xt_ `  f )  e.  (UFL 
i^i  dom  card ) )  -> 
( Xt_ `  f )  e.  Comp )
183, 4, 14, 17syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Comp )  ->  ( Xt_ `  f )  e.  Comp )
1918ex 434 . . 3  |-  (CHOICE  ->  (
f : dom  f --> Comp  ->  ( Xt_ `  f
)  e.  Comp )
)
2019alrimiv 1685 . 2  |-  (CHOICE  ->  A. f
( f : dom  f
--> Comp  ->  ( Xt_ `  f )  e.  Comp ) )
21 fvex 5716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g `
 y )  e. 
_V
22 kelac2lem 29436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g `  y )  e.  _V  ->  ( topGen `
 { ( g `
 y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } )  e.  Comp )
2321, 22mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  /\  y  e.  dom  g )  ->  ( topGen `
 { ( g `
 y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } )  e.  Comp )
24 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  dom  g  |->  (
topGen `  { ( g `
 y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) )  =  ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) )
2523, 24fmptd 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g )  ->  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) : dom  g --> Comp )
26 ffdm 5587 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) : dom  g --> Comp  ->  ( ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) ) : dom  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) --> Comp  /\  dom  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) )  C_  dom  g ) )
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g )  ->  (
( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) ) : dom  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) --> Comp  /\  dom  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) )  C_  dom  g ) )
2827simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g )  ->  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) : dom  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) ) --> Comp )
29 vex 2990 . . . . . . . . . 10  |-  g  e. 
_V
3029dmex 6526 . . . . . . . . 9  |-  dom  g  e.  _V
3130mptex 5963 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  dom  g  |->  (
topGen `  { ( g `
 y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) )  e. 
_V
32 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) )  ->  f  =  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) ) )
33 dmeq 5055 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) )  ->  dom  f  =  dom  ( y  e.  dom  g  |->  (
topGen `  { ( g `
 y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) )
3432, 33feq12d 5563 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) )  ->  (
f : dom  f --> Comp  <-> 
( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) ) : dom  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) --> Comp ) )
35 fveq2 5706 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) )  ->  ( Xt_ `  f )  =  ( Xt_ `  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) ) )
3635eleq1d 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) )  ->  (
( Xt_ `  f )  e.  Comp  <->  ( Xt_ `  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) )  e.  Comp ) )
3734, 36imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) )  ->  (
( f : dom  f
--> Comp  ->  ( Xt_ `  f )  e.  Comp ) 
<->  ( ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) ) : dom  ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) ) --> Comp  ->  ( Xt_ `  ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) ) )  e.  Comp ) ) )
3831, 37spcv 3078 . . . . . . 7  |-  ( A. f ( f : dom  f --> Comp  ->  (
Xt_ `  f )  e.  Comp )  ->  (
( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) ) : dom  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) --> Comp 
->  ( Xt_ `  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) )  e.  Comp ) )
3928, 38syl5com 30 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g )  ->  ( A. f ( f : dom  f --> Comp  ->  (
Xt_ `  f )  e.  Comp )  ->  ( Xt_ `  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) ) )  e. 
Comp ) )
40 fvex 5716 . . . . . . . . 9  |-  ( g `
 x )  e. 
_V
4140a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
)  /\  ( Xt_ `  ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) ) )  e.  Comp )  /\  x  e.  dom  g )  ->  (
g `  x )  e.  _V )
42 df-nel 2623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e/ 
ran  g  <->  -.  (/)  e.  ran  g )
4342biimpi 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e/ 
ran  g  ->  -.  (/) 
e.  ran  g )
4443ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  /\  x  e.  dom  g )  ->  -.  (/) 
e.  ran  g )
45 fvelrn 5854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  g  /\  x  e.  dom  g )  -> 
( g `  x
)  e.  ran  g
)
4645adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  /\  x  e.  dom  g )  ->  (
g `  x )  e.  ran  g )
47 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g `  x )  =  (/)  ->  ( ( g `  x )  e.  ran  g  <->  (/)  e.  ran  g ) )
4846, 47syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  /\  x  e.  dom  g )  ->  (
( g `  x
)  =  (/)  ->  (/)  e.  ran  g ) )
4948necon3bd 2660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  /\  x  e.  dom  g )  ->  ( -.  (/)  e.  ran  g  ->  ( g `  x
)  =/=  (/) ) )
5044, 49mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  /\  x  e.  dom  g )  ->  (
g `  x )  =/=  (/) )
5150adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
)  /\  ( Xt_ `  ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) ) )  e.  Comp )  /\  x  e.  dom  g )  ->  (
g `  x )  =/=  (/) )
52 fveq2 5706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
g `  y )  =  ( g `  x ) )
5352unieqd 4116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  U. (
g `  y )  =  U. ( g `  x ) )
5453pweqd 3880 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  ~P U. ( g `  y
)  =  ~P U. ( g `  x
) )
5554sneqd 3904 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  { ~P U. ( g `  y
) }  =  { ~P U. ( g `  x ) } )
5652, 55preq12d 3977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y
) } }  =  { ( g `  x ) ,  { ~P U. ( g `  x ) } }
)
5756fveq2d 5710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  ( topGen `
 { ( g `
 y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } )  =  (
topGen `  { ( g `
 x ) ,  { ~P U. (
g `  x ) } } ) )
5857cbvmptv 4398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  dom  g  |->  (
topGen `  { ( g `
 y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) )  =  ( x  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  x
) ,  { ~P U. ( g `  x
) } } ) )
5958fveq2i 5709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Xt_ `  ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) ) )  =  (
Xt_ `  ( x  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  x ) ,  { ~P U. ( g `  x ) } }
) ) )
6059eleq1i 2506 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
Xt_ `  ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) ) )  e. 
Comp 
<->  ( Xt_ `  (
x  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  x ) ,  { ~P U. (
g `  x ) } } ) ) )  e.  Comp )
6160biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( (
Xt_ `  ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) ) )  e. 
Comp  ->  ( Xt_ `  (
x  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  x ) ,  { ~P U. (
g `  x ) } } ) ) )  e.  Comp )
6261adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  /\  ( Xt_ `  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) )  e.  Comp )  ->  ( Xt_ `  ( x  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  x ) ,  { ~P U. ( g `  x ) } }
) ) )  e. 
Comp )
6341, 51, 62kelac2 29437 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  /\  ( Xt_ `  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) )  e.  Comp )  ->  X_ x  e.  dom  g ( g `
 x )  =/=  (/) )
6463ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g )  ->  (
( Xt_ `  ( y  e.  dom  g  |->  (
topGen `  { ( g `
 y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) )  e.  Comp  ->  X_ x  e.  dom  g ( g `
 x )  =/=  (/) ) )
6539, 64syld 44 . . . . 5  |-  ( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g )  ->  ( A. f ( f : dom  f --> Comp  ->  (
Xt_ `  f )  e.  Comp )  ->  X_ x  e.  dom  g ( g `
 x )  =/=  (/) ) )
6665com12 31 . . . 4  |-  ( A. f ( f : dom  f --> Comp  ->  (
Xt_ `  f )  e.  Comp )  ->  (
( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  -> 
X_ x  e.  dom  g ( g `  x )  =/=  (/) ) )
6766alrimiv 1685 . . 3  |-  ( A. f ( f : dom  f --> Comp  ->  (
Xt_ `  f )  e.  Comp )  ->  A. g
( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
)  ->  X_ x  e. 
dom  g ( g `
 x )  =/=  (/) ) )
68 dfac9 8320 . . 3  |-  (CHOICE  <->  A. g
( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
)  ->  X_ x  e. 
dom  g ( g `
 x )  =/=  (/) ) )
6967, 68sylibr 212 . 2  |-  ( A. f ( f : dom  f --> Comp  ->  (
Xt_ `  f )  e.  Comp )  -> CHOICE )
7020, 69impbii 188 1  |-  (CHOICE  <->  A. f
( f : dom  f
--> Comp  ->  ( Xt_ `  f )  e.  Comp ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620    e/ wnel 2621   _Vcvv 2987    i^i cin 3342    C_ wss 3343   (/)c0 3652   ~Pcpw 3875   {csn 3892   {cpr 3894   U.cuni 4106    e. cmpt 4365   dom cdm 4855   ran crn 4856   Fun wfun 5427   -->wf 5429   ` cfv 5433   X_cixp 7278   cardccrd 8120  CHOICEwac 8300   topGenctg 14391   Xt_cpt 14392   Compccmp 19004  UFLcufl 19488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-iin 4189  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-se 4695  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-isom 5442  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-rpss 6375  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-2o 6936  df-oadd 6939  df-omul 6940  df-er 7116  df-map 7231  df-ixp 7279  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-fi 7676  df-wdom 7789  df-card 8124  df-acn 8127  df-ac 8301  df-cda 8352  df-topgen 14397  df-pt 14398  df-fbas 17829  df-fg 17830  df-top 18518  df-bases 18520  df-topon 18521  df-cld 18638  df-ntr 18639  df-cls 18640  df-nei 18717  df-cmp 19005  df-fil 19434  df-ufil 19489  df-ufl 19490  df-flim 19527  df-fcls 19529
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