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Theorem dfac21 30946
Description: Tychonoff's theorem is a choice equivalent. Definition AC21 of Schechter p. 461. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac21  |-  (CHOICE  <->  A. f
( f : dom  f
--> Comp  ->  ( Xt_ `  f )  e.  Comp ) )

Proof of Theorem dfac21
Dummy variables  g 
y  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3121 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
21dmex 6728 . . . . . 6  |-  dom  f  e.  _V
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Comp )  ->  dom  f  e. 
_V )
4 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Comp )  ->  f : dom  f --> Comp )
5 fvex 5882 . . . . . . . 8  |-  ( Xt_ `  f )  e.  _V
65uniex 6591 . . . . . . 7  |-  U. ( Xt_ `  f )  e. 
_V
7 acufl 20284 . . . . . . . 8  |-  (CHOICE  -> UFL  =  _V )
87adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Comp )  -> UFL  =  _V )
96, 8syl5eleqr 2562 . . . . . 6  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Comp )  ->  U. ( Xt_ `  f )  e. UFL )
10 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Comp )  -> CHOICE )
11 dfac10 8529 . . . . . . . 8  |-  (CHOICE  <->  dom  card  =  _V )
1210, 11sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Comp )  ->  dom  card  =  _V )
136, 12syl5eleqr 2562 . . . . . 6  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Comp )  ->  U. ( Xt_ `  f )  e. 
dom  card )
149, 13elind 3693 . . . . 5  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Comp )  ->  U. ( Xt_ `  f )  e.  (UFL  i^i  dom  card )
)
15 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Xt_ `  f )  =  (
Xt_ `  f )
16 eqid 2467 . . . . . 6  |-  U. ( Xt_ `  f )  = 
U. ( Xt_ `  f
)
1715, 16ptcmpg 20423 . . . . 5  |-  ( ( dom  f  e.  _V  /\  f : dom  f --> Comp  /\  U. ( Xt_ `  f )  e.  (UFL 
i^i  dom  card ) )  -> 
( Xt_ `  f )  e.  Comp )
183, 4, 14, 17syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Comp )  ->  ( Xt_ `  f )  e.  Comp )
1918ex 434 . . 3  |-  (CHOICE  ->  (
f : dom  f --> Comp  ->  ( Xt_ `  f
)  e.  Comp )
)
2019alrimiv 1695 . 2  |-  (CHOICE  ->  A. f
( f : dom  f
--> Comp  ->  ( Xt_ `  f )  e.  Comp ) )
21 fvex 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g `
 y )  e. 
_V
22 kelac2lem 30944 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g `  y )  e.  _V  ->  ( topGen `
 { ( g `
 y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } )  e.  Comp )
2321, 22mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  /\  y  e.  dom  g )  ->  ( topGen `
 { ( g `
 y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } )  e.  Comp )
24 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  dom  g  |->  (
topGen `  { ( g `
 y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) )  =  ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) )
2523, 24fmptd 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g )  ->  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) : dom  g --> Comp )
26 ffdm 5751 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) : dom  g --> Comp  ->  ( ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) ) : dom  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) --> Comp  /\  dom  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) )  C_  dom  g ) )
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g )  ->  (
( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) ) : dom  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) --> Comp  /\  dom  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) )  C_  dom  g ) )
2827simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g )  ->  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) : dom  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) ) --> Comp )
29 vex 3121 . . . . . . . . . 10  |-  g  e. 
_V
3029dmex 6728 . . . . . . . . 9  |-  dom  g  e.  _V
3130mptex 6142 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  dom  g  |->  (
topGen `  { ( g `
 y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) )  e. 
_V
32 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) )  ->  f  =  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) ) )
33 dmeq 5209 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) )  ->  dom  f  =  dom  ( y  e.  dom  g  |->  (
topGen `  { ( g `
 y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) )
3432, 33feq12d 5726 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) )  ->  (
f : dom  f --> Comp  <-> 
( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) ) : dom  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) --> Comp ) )
35 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) )  ->  ( Xt_ `  f )  =  ( Xt_ `  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) ) )
3635eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) )  ->  (
( Xt_ `  f )  e.  Comp  <->  ( Xt_ `  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) )  e.  Comp ) )
3734, 36imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) )  ->  (
( f : dom  f
--> Comp  ->  ( Xt_ `  f )  e.  Comp ) 
<->  ( ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) ) : dom  ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) ) --> Comp  ->  ( Xt_ `  ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) ) )  e.  Comp ) ) )
3831, 37spcv 3209 . . . . . . 7  |-  ( A. f ( f : dom  f --> Comp  ->  (
Xt_ `  f )  e.  Comp )  ->  (
( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) ) : dom  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) --> Comp 
->  ( Xt_ `  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) )  e.  Comp ) )
3928, 38syl5com 30 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g )  ->  ( A. f ( f : dom  f --> Comp  ->  (
Xt_ `  f )  e.  Comp )  ->  ( Xt_ `  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) ) )  e. 
Comp ) )
40 fvex 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( g `
 x )  e. 
_V
4140a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
)  /\  ( Xt_ `  ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) ) )  e.  Comp )  /\  x  e.  dom  g )  ->  (
g `  x )  e.  _V )
42 df-nel 2665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e/ 
ran  g  <->  -.  (/)  e.  ran  g )
4342biimpi 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e/ 
ran  g  ->  -.  (/) 
e.  ran  g )
4443ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  /\  x  e.  dom  g )  ->  -.  (/) 
e.  ran  g )
45 fvelrn 6025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  g  /\  x  e.  dom  g )  -> 
( g `  x
)  e.  ran  g
)
4645adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  /\  x  e.  dom  g )  ->  (
g `  x )  e.  ran  g )
47 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g `  x )  =  (/)  ->  ( ( g `  x )  e.  ran  g  <->  (/)  e.  ran  g ) )
4846, 47syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  /\  x  e.  dom  g )  ->  (
( g `  x
)  =  (/)  ->  (/)  e.  ran  g ) )
4948necon3bd 2679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  /\  x  e.  dom  g )  ->  ( -.  (/)  e.  ran  g  ->  ( g `  x
)  =/=  (/) ) )
5044, 49mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  /\  x  e.  dom  g )  ->  (
g `  x )  =/=  (/) )
5150adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
)  /\  ( Xt_ `  ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) ) )  e.  Comp )  /\  x  e.  dom  g )  ->  (
g `  x )  =/=  (/) )
52 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
g `  y )  =  ( g `  x ) )
5352unieqd 4261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  U. (
g `  y )  =  U. ( g `  x ) )
5453pweqd 4021 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  ~P U. ( g `  y
)  =  ~P U. ( g `  x
) )
5554sneqd 4045 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  { ~P U. ( g `  y
) }  =  { ~P U. ( g `  x ) } )
5652, 55preq12d 4120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y
) } }  =  { ( g `  x ) ,  { ~P U. ( g `  x ) } }
)
5756fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  ( topGen `
 { ( g `
 y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } )  =  (
topGen `  { ( g `
 x ) ,  { ~P U. (
g `  x ) } } ) )
5857cbvmptv 4544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  dom  g  |->  (
topGen `  { ( g `
 y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) )  =  ( x  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  x
) ,  { ~P U. ( g `  x
) } } ) )
5958fveq2i 5875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Xt_ `  ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) ) )  =  (
Xt_ `  ( x  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  x ) ,  { ~P U. ( g `  x ) } }
) ) )
6059eleq1i 2544 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
Xt_ `  ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) ) )  e. 
Comp 
<->  ( Xt_ `  (
x  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  x ) ,  { ~P U. (
g `  x ) } } ) ) )  e.  Comp )
6160biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( (
Xt_ `  ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) ) )  e. 
Comp  ->  ( Xt_ `  (
x  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  x ) ,  { ~P U. (
g `  x ) } } ) ) )  e.  Comp )
6261adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  /\  ( Xt_ `  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) )  e.  Comp )  ->  ( Xt_ `  ( x  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  x ) ,  { ~P U. ( g `  x ) } }
) ) )  e. 
Comp )
6341, 51, 62kelac2 30945 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  /\  ( Xt_ `  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) )  e.  Comp )  ->  X_ x  e.  dom  g ( g `
 x )  =/=  (/) )
6463ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g )  ->  (
( Xt_ `  ( y  e.  dom  g  |->  (
topGen `  { ( g `
 y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) )  e.  Comp  ->  X_ x  e.  dom  g ( g `
 x )  =/=  (/) ) )
6539, 64syld 44 . . . . 5  |-  ( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g )  ->  ( A. f ( f : dom  f --> Comp  ->  (
Xt_ `  f )  e.  Comp )  ->  X_ x  e.  dom  g ( g `
 x )  =/=  (/) ) )
6665com12 31 . . . 4  |-  ( A. f ( f : dom  f --> Comp  ->  (
Xt_ `  f )  e.  Comp )  ->  (
( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  -> 
X_ x  e.  dom  g ( g `  x )  =/=  (/) ) )
6766alrimiv 1695 . . 3  |-  ( A. f ( f : dom  f --> Comp  ->  (
Xt_ `  f )  e.  Comp )  ->  A. g
( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
)  ->  X_ x  e. 
dom  g ( g `
 x )  =/=  (/) ) )
68 dfac9 8528 . . 3  |-  (CHOICE  <->  A. g
( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
)  ->  X_ x  e. 
dom  g ( g `
 x )  =/=  (/) ) )
6967, 68sylibr 212 . 2  |-  ( A. f ( f : dom  f --> Comp  ->  (
Xt_ `  f )  e.  Comp )  -> CHOICE )
7020, 69impbii 188 1  |-  (CHOICE  <->  A. f
( f : dom  f
--> Comp  ->  ( Xt_ `  f )  e.  Comp ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    e/ wnel 2663   _Vcvv 3118    i^i cin 3480    C_ wss 3481   (/)c0 3790   ~Pcpw 4016   {csn 4033   {cpr 4035   U.cuni 4251    |-> cmpt 4511   dom cdm 5005   ran crn 5006   Fun wfun 5588   -->wf 5590   ` cfv 5594   X_cixp 7481   cardccrd 8328  CHOICEwac 8508   topGenctg 14709   Xt_cpt 14710   Compccmp 19752  UFLcufl 20267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-rpss 6575  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-map 7434  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fi 7883  df-wdom 7997  df-card 8332  df-acn 8335  df-ac 8509  df-cda 8560  df-topgen 14715  df-pt 14716  df-fbas 18284  df-fg 18285  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-nei 19465  df-cmp 19753  df-fil 20213  df-ufil 20268  df-ufl 20269  df-flim 20306  df-fcls 20308
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