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Theorem dfac2 8579
Description: Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49 implies of our Axiom of Choice (in the form of ac3 8910). The proof does not make use of AC. Note that the Axiom of Regularity is used by the proof. Specifically, elirrv 8130 and preleq 8140 that are referenced in the proof each make use of Regularity for their derivations. (The reverse implication can be derived without using Regularity; see dfac2a 8578.) TODO: Fix label in comment, and put label changes into list at top of set.mm. (Contributed by NM, 5-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac2  |-  (CHOICE  <->  A. x E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w, v

Proof of Theorem dfac2
Dummy variables  u  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac3 8570 . . 3  |-  (CHOICE  <->  A. x E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )
2 nfra1 2785 . . . . . . 7  |-  F/ z A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )
3 rsp 2773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
z  e.  x  -> 
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
4 equid 1863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  z  =  z
5 neeq1 2705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  z  ->  (
u  =/=  (/)  <->  z  =/=  (/) ) )
6 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  z  ->  (
u  =  z  <->  z  =  z ) )
75, 6anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  =  z  ->  (
( u  =/=  (/)  /\  u  =  z )  <->  ( z  =/=  (/)  /\  z  =  z ) ) )
87rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  x  /\  ( z  =/=  (/)  /\  z  =  z ) )  ->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  u  =  z ) )
94, 8mpanr2 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  u  =  z ) )
10 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  =  z  ->  (
f `  u )  =  ( f `  z ) )
1110preq1d 4048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  z  ->  { ( f `  u ) ,  u }  =  { ( f `  z ) ,  u } )
12 preq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  z  ->  { ( f `  z ) ,  u }  =  { ( f `  z ) ,  z } )
1311, 12eqtr2d 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  =  z  ->  { ( f `  z ) ,  z }  =  { ( f `  u ) ,  u } )
1413anim2i 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  =/=  (/)  /\  u  =  z )  -> 
( u  =/=  (/)  /\  {
( f `  z
) ,  z }  =  { ( f `
 u ) ,  u } ) )
1514reximi 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  u  =  z )  ->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  {
( f `  z
) ,  z }  =  { ( f `
 u ) ,  u } ) )
169, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  { ( f `  z ) ,  z }  =  { ( f `  u ) ,  u } ) )
17 prex 4642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { ( f `  z ) ,  z }  e.  _V
18 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  =  { ( f `
 z ) ,  z }  ->  (
g  =  { ( f `  u ) ,  u }  <->  { (
f `  z ) ,  z }  =  { ( f `  u ) ,  u } ) )
1918anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g  =  { ( f `
 z ) ,  z }  ->  (
( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } )  <->  ( u  =/=  (/)  /\  { ( f `  z ) ,  z }  =  { ( f `  u ) ,  u } ) ) )
2019rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  =  { ( f `
 z ) ,  z }  ->  ( E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } )  <->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  { ( f `  z ) ,  z }  =  { ( f `  u ) ,  u } ) ) )
2117, 20elab 3173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { ( f `  z
) ,  z }  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  <->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  { ( f `  z ) ,  z }  =  { ( f `  u ) ,  u } ) )
2216, 21sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  { ( f `  z ) ,  z }  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) } )
23 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e. 
_V
2423prid2 4072 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  z  e. 
{ ( f `  z ) ,  z }
25 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f `
 z )  e. 
_V
2625prid1 4071 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f `
 z )  e. 
{ ( f `  z ) ,  z }
2724, 26pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  { ( f `
 z ) ,  z }  /\  (
f `  z )  e.  { ( f `  z ) ,  z } )
28 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  { ( f `
 z ) ,  z }  ->  (
z  e.  v  <->  z  e.  { ( f `  z
) ,  z } ) )
29 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  { ( f `
 z ) ,  z }  ->  (
( f `  z
)  e.  v  <->  ( f `  z )  e.  {
( f `  z
) ,  z } ) )
3028, 29anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  { ( f `
 z ) ,  z }  ->  (
( z  e.  v  /\  ( f `  z )  e.  v )  <->  ( z  e. 
{ ( f `  z ) ,  z }  /\  ( f `
 z )  e. 
{ ( f `  z ) ,  z } ) ) )
3130rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { ( f `  z ) ,  z }  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  /\  (
z  e.  { ( f `  z ) ,  z }  /\  ( f `  z
)  e.  { ( f `  z ) ,  z } ) )  ->  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  ( f `  z
)  e.  v ) )
3222, 27, 31sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  ( f `  z
)  e.  v ) )
33 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( f `  z )  ->  (
w  e.  z  <->  ( f `  z )  e.  z ) )
34 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  ( f `  z )  ->  (
w  e.  v  <->  ( f `  z )  e.  v ) )
3534anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  ( f `  z )  ->  (
( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  ( z  e.  v  /\  ( f `
 z )  e.  v ) ) )
3635rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( f `  z )  ->  ( E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  ( f `  z
)  e.  v ) ) )
3733, 36anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( f `  z )  ->  (
( w  e.  z  /\  E. v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  <->  ( ( f `
 z )  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  ( f `  z
)  e.  v ) ) ) )
3825, 37spcev 3127 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f `  z
)  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  ( z  e.  v  /\  (
f `  z )  e.  v ) )  ->  E. w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
3932, 38sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f `  z
)  e.  z  /\  ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  E. w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
4039ex 441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  z )  e.  z  ->  (
( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) )
413, 40syl8 71 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
z  e.  x  -> 
( z  =/=  (/)  ->  (
( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) ) ) )
4241impd 438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  -> 
( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w
( w  e.  z  /\  E. v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) ) )
4342pm2.43d 49 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) )
44 df-rex 2762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E. v
( v  e.  {
g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  /\  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
45 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  v  e. 
_V
46 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( g  =  v  ->  (
g  =  { ( f `  u ) ,  u }  <->  v  =  { ( f `  u ) ,  u } ) )
4746anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g  =  v  ->  (
( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } )  <->  ( u  =/=  (/)  /\  v  =  { ( f `  u ) ,  u } ) ) )
4847rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  =  v  ->  ( E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } )  <->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  v  =  { ( f `  u ) ,  u } ) ) )
4945, 48elab 3173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  <->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  v  =  { ( f `  u ) ,  u } ) )
50 neeq1 2705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  =  u  ->  (
z  =/=  (/)  <->  u  =/=  (/) ) )
51 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  =  u  ->  (
f `  z )  =  ( f `  u ) )
5251eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  =  u  ->  (
( f `  z
)  e.  z  <->  ( f `  u )  e.  z ) )
53 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  =  u  ->  (
( f `  u
)  e.  z  <->  ( f `  u )  e.  u
) )
5452, 53bitrd 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  =  u  ->  (
( f `  z
)  e.  z  <->  ( f `  u )  e.  u
) )
5550, 54imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  =  u  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  <->  ( u  =/=  (/)  ->  ( f `  u )  e.  u
) ) )
5655rspccv 3133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
u  e.  x  -> 
( u  =/=  (/)  ->  (
f `  u )  e.  u ) ) )
57 elirrv 8130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  -.  w  e.  w
58 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( w  =  z  ->  (
w  e.  w  <->  w  e.  z ) )
5957, 58mtbii 309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( w  =  z  ->  -.  w  e.  z )
6059con2i 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( w  e.  z  ->  -.  w  =  z )
61 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  w  e. 
_V
62 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( f `
 u )  e. 
_V
63 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  u  e. 
_V
6461, 23, 62, 63prel12 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( -.  w  =  z  -> 
( { w ,  z }  =  {
( f `  u
) ,  u }  <->  ( w  e.  { ( f `  u ) ,  u }  /\  z  e.  { (
f `  u ) ,  u } ) ) )
65 ancom 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( w  e.  v  /\  z  e.  v )  <->  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )
)
66 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
w  e.  v  <->  w  e.  { ( f `  u
) ,  u }
) )
67 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
z  e.  v  <->  z  e.  { ( f `  u
) ,  u }
) )
6866, 67anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
( w  e.  v  /\  z  e.  v )  <->  ( w  e. 
{ ( f `  u ) ,  u }  /\  z  e.  {
( f `  u
) ,  u }
) ) )
6965, 68syl5rbbr 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
( w  e.  {
( f `  u
) ,  u }  /\  z  e.  { ( f `  u ) ,  u } )  <-> 
( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
7064, 69sylan9bbr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( v  =  { ( f `  u ) ,  u }  /\  -.  w  =  z
)  ->  ( {
w ,  z }  =  { ( f `
 u ) ,  u }  <->  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
7160, 70sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( v  =  { ( f `  u ) ,  u }  /\  w  e.  z )  ->  ( { w ,  z }  =  {
( f `  u
) ,  u }  <->  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
7271adantrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( v  =  { ( f `  u ) ,  u }  /\  ( w  e.  z  /\  ( f `  u
)  e.  u ) )  ->  ( {
w ,  z }  =  { ( f `
 u ) ,  u }  <->  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
7372pm5.32da 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
( ( w  e.  z  /\  ( f `
 u )  e.  u )  /\  {
w ,  z }  =  { ( f `
 u ) ,  u } )  <->  ( (
w  e.  z  /\  ( f `  u
)  e.  u )  /\  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) ) )
7461, 23, 62, 63preleq 8140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( w  e.  z  /\  ( f `  u )  e.  u
)  /\  { w ,  z }  =  { ( f `  u ) ,  u } )  ->  (
w  =  ( f `
 u )  /\  z  =  u )
)
7573, 74syl6bir 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
( ( w  e.  z  /\  ( f `
 u )  e.  u )  /\  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  ( w  =  ( f `  u )  /\  z  =  u ) ) )
7651eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  =  u  ->  (
w  =  ( f `
 z )  <->  w  =  ( f `  u
) ) )
7776biimparc 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( w  =  ( f `
 u )  /\  z  =  u )  ->  w  =  ( f `
 z ) )
7875, 77syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
( ( w  e.  z  /\  ( f `
 u )  e.  u )  /\  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  w  =  ( f `  z
) ) )
7978exp4c 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
w  e.  z  -> 
( ( f `  u )  e.  u  ->  ( ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z ) ) ) ) )
8079com13 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( f `  u )  e.  u  ->  (
w  e.  z  -> 
( v  =  {
( f `  u
) ,  u }  ->  ( ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z ) ) ) ) )
8156, 80syl8 71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
u  e.  x  -> 
( u  =/=  (/)  ->  (
w  e.  z  -> 
( v  =  {
( f `  u
) ,  u }  ->  ( ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z ) ) ) ) ) ) )
8281com4r 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  z  ->  ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
u  e.  x  -> 
( u  =/=  (/)  ->  (
v  =  { ( f `  u ) ,  u }  ->  ( ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z
) ) ) ) ) ) )
8382imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( w  e.  z  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )  -> 
( u  e.  x  ->  ( u  =/=  (/)  ->  (
v  =  { ( f `  u ) ,  u }  ->  ( ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z
) ) ) ) ) )
8483imp4a 600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  e.  z  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )  -> 
( u  e.  x  ->  ( ( u  =/=  (/)  /\  v  =  {
( f `  u
) ,  u }
)  ->  ( (
z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `
 z ) ) ) ) )
8584com3l 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  e.  x  ->  (
( u  =/=  (/)  /\  v  =  { ( f `  u ) ,  u } )  ->  (
( w  e.  z  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )  ->  (
( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z
) ) ) ) )
8685rexlimiv 2867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  v  =  { ( f `  u ) ,  u } )  ->  (
( w  e.  z  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )  ->  (
( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z
) ) ) )
8749, 86sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  ->  ( ( w  e.  z  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )  ->  (
( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z
) ) ) )
8887expd 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  ->  ( w  e.  z  -> 
( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  ->  ( (
z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `
 z ) ) ) ) )
8988com13 82 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
w  e.  z  -> 
( v  e.  {
g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  ->  ( ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z
) ) ) ) )
9089imp4b 601 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  w  e.  z )  ->  (
( v  e.  {
g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  /\  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  ->  w  =  ( f `  z ) ) )
9190exlimdv 1787 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  w  e.  z )  ->  ( E. v ( v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  /\  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  ->  w  =  ( f `  z ) ) )
9244, 91syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  w  e.  z )  ->  ( E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z ) ) )
9392expimpd 614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
( w  e.  z  /\  E. v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  w  =  ( f `  z
) ) )
9493alrimiv 1781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  A. w
( ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  w  =  ( f `  z
) ) )
95 mo2icl 3205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. w ( ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  w  =  ( f `  z
) )  ->  E* w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  E* w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
9743, 96jctird 553 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  -> 
( E. w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  /\  E* w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) ) )
98 df-reu 2763 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! w  e.  z  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E! w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
99 eu5 2345 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  <->  ( E. w
( w  e.  z  /\  E. v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  /\  E* w
( w  e.  z  /\  E. v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) )
10098, 99bitri 257 . . . . . . . . 9  |-  ( E! w  e.  z  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  ( E. w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  /\  E* w
( w  e.  z  /\  E. v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) )
10197, 100syl6ibr 235 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
102101expd 443 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
z  e.  x  -> 
( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) )
1032, 102ralrimi 2800 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
104 vex 3034 . . . . . . . . . . . 12  |-  f  e. 
_V
105104rnex 6746 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  f  e.  _V
106 p0ex 4588 . . . . . . . . . . 11  |-  { (/) }  e.  _V
107105, 106unex 6608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  f  u.  { (/) } )  e.  _V
108 vex 3034 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
109107, 108unex 6608 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ran  f  u.  { (/)
} )  u.  x
)  e.  _V
110109pwex 4584 . . . . . . . 8  |-  ~P (
( ran  f  u.  {
(/) } )  u.  x
)  e.  _V
111 ssun1 3588 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  f  u.  { (/) } )  C_  ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x )
112 fvrn0 5901 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f `
 u )  e.  ( ran  f  u. 
{ (/) } )
113111, 112sselii 3415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f `
 u )  e.  ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x )
114 elun2 3593 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  x  ->  u  e.  ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) )
115 prssi 4119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f `  u
)  e.  ( ( ran  f  u.  { (/)
} )  u.  x
)  /\  u  e.  ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) )  ->  { ( f `  u ) ,  u }  C_  ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) )
116113, 114, 115sylancr 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  x  ->  { ( f `  u ) ,  u }  C_  ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) )
117 prex 4642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { ( f `  u ) ,  u }  e.  _V
118117elpw 3948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { ( f `  u
) ,  u }  e.  ~P ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x )  <->  { ( f `  u ) ,  u }  C_  ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) )
119116, 118sylibr 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  x  ->  { ( f `  u ) ,  u }  e.  ~P ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) )
120 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
g  e.  ~P (
( ran  f  u.  {
(/) } )  u.  x
)  <->  { ( f `  u ) ,  u }  e.  ~P (
( ran  f  u.  {
(/) } )  u.  x
) ) )
121119, 120syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  x  ->  (
g  =  { ( f `  u ) ,  u }  ->  g  e.  ~P ( ( ran  f  u.  { (/)
} )  u.  x
) ) )
122121adantld 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  x  ->  (
( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } )  ->  g  e.  ~P ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) ) )
123122rexlimiv 2867 . . . . . . . . 9  |-  ( E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } )  ->  g  e.  ~P ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) )
124123abssi 3490 . . . . . . . 8  |-  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  C_  ~P ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x )
125110, 124ssexi 4541 . . . . . . 7  |-  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  e.  _V
126 rexeq 2974 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  ->  ( E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E. v  e.  {
g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
127126reubidv 2961 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  ->  ( E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E! w  e.  z  E. v  e.  {
g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
128127imbi2d 323 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  ->  ( ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) )
129128ralbidv 2829 . . . . . . 7  |-  ( y  =  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  ->  ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  <->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) )
130125, 129spcev 3127 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
131103, 130syl 17 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
132131exlimiv 1784 . . . 4  |-  ( E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
133132alimi 1692 . . 3  |-  ( A. x E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  ->  A. x E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
1341, 133sylbi 200 . 2  |-  (CHOICE  ->  A. x E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
135 dfac2a 8578 . 2  |-  ( A. x E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  -> CHOICE )
136134, 135impbii 192 1  |-  (CHOICE  <->  A. x E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376   A.wal 1450    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   E!weu 2319   E*wmo 2320   {cab 2457    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   E!wreu 2758    u. cun 3388    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   {cpr 3961   ran crn 4840   ` cfv 5589  CHOICEwac 8564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-reg 8125
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-eprel 4750  df-id 4754  df-fr 4798  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ac 8565
This theorem is referenced by:  dfac7  8580
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