Theorem dfac2 7967

Description: Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49 implies of our Axiom of Choice (in the form of ac3 8298). The proof does not make use of AC. Note that the Axiom of Regularity is used by the proof. Specifically, elirrv 7521 and preleq 7528 that are referenced in the proof each make use of Regularity for their derivations. (The reverse implication can be derived without using Regularity; see dfac2a 7966.) TODO: Fix label in comment, and put label changes into list at top of set.mm. (Contributed by NM, 5-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfac2	|- (CHOICE <-> A. x E. y A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, w, v

Proof of Theorem dfac2

Dummy variables u f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfac3 7958	. . 3 |- (CHOICE <-> A. x E. f A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) )
2		nfra1 2716	. . . . . . 7 |- F/ z A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z )
3		rsp 2726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( z e. x -> ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
4		equid 1684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- z = z
5		neeq1 2575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( u = z -> ( u =/= (/) <-> z =/= (/) ) )
6		eqeq1 2410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( u = z -> ( u = z <-> z = z ) )
7	5, 6	anbi12d 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( u = z -> ( ( u =/= (/) /\ u = z ) <-> ( z =/= (/) /\ z = z ) ) )
8	7	rspcev 3012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. x /\ ( z =/= (/) /\ z = z ) ) -> E. u e. x ( u =/= (/) /\ u = z ) )
9	4, 8	mpanr2 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. x /\ z =/= (/) ) -> E. u e. x ( u =/= (/) /\ u = z ) )
10		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( u = z -> ( f ` u ) = ( f ` z ) )
11	10	preq1d 3849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( u = z -> { ( f ` u ) , u } = { ( f ` z ) , u } )
12		preq2 3844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( u = z -> { ( f ` z ) , u } = { ( f ` z ) , z } )
13	11, 12	eqtr2d 2437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( u = z -> { ( f ` z ) , z } = { ( f ` u ) , u } )
14	13	anim2i 553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( u =/= (/) /\ u = z ) -> ( u =/= (/) /\ { ( f ` z ) , z } = { ( f ` u ) , u } ) )
15	14	reximi 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. u e. x ( u =/= (/) /\ u = z ) -> E. u e. x ( u =/= (/) /\ { ( f ` z ) , z } = { ( f ` u ) , u } ) )
16	9, 15	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. x /\ z =/= (/) ) -> E. u e. x ( u =/= (/) /\ { ( f ` z ) , z } = { ( f ` u ) , u } ) )
17		prex 4366	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { ( f ` z ) , z } e. _V
18		eqeq1 2410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( g = { ( f ` z ) , z } -> ( g = { ( f ` u ) , u } <-> { ( f ` z ) , z } = { ( f ` u ) , u } ) )
19	18	anbi2d 685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( g = { ( f ` z ) , z } -> ( ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) <-> ( u =/= (/) /\ { ( f ` z ) , z } = { ( f ` u ) , u } ) ) )
20	19	rexbidv 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( g = { ( f ` z ) , z } -> ( E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) <-> E. u e. x ( u =/= (/) /\ { ( f ` z ) , z } = { ( f ` u ) , u } ) ) )
21	17, 20	elab 3042	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { ( f ` z ) , z } e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } <-> E. u e. x ( u =/= (/) /\ { ( f ` z ) , z } = { ( f ` u ) , u } ) )
22	16, 21	sylibr 204	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. x /\ z =/= (/) ) -> { ( f ` z ) , z } e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } )
23		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- z e. _V
24	23	prid2 3873	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- z e. { ( f ` z ) , z }
25		fvex 5701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f ` z ) e. _V
26	25	prid1 3872	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f ` z ) e. { ( f ` z ) , z }
27	24, 26	pm3.2i 442	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. { ( f ` z ) , z } /\ ( f ` z ) e. { ( f ` z ) , z } )
28		eleq2 2465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v = { ( f ` z ) , z } -> ( z e. v <-> z e. { ( f ` z ) , z } ) )
29		eleq2 2465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v = { ( f ` z ) , z } -> ( ( f ` z ) e. v <-> ( f ` z ) e. { ( f ` z ) , z } ) )
30	28, 29	anbi12d 692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v = { ( f ` z ) , z } -> ( ( z e. v /\ ( f ` z ) e. v ) <-> ( z e. { ( f ` z ) , z } /\ ( f ` z ) e. { ( f ` z ) , z } ) ) )
31	30	rspcev 3012	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( { ( f ` z ) , z } e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } /\ ( z e. { ( f ` z ) , z } /\ ( f ` z ) e. { ( f ` z ) , z } ) ) -> E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ ( f ` z ) e. v ) )
32	22, 27, 31	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. x /\ z =/= (/) ) -> E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ ( f ` z ) e. v ) )
33		eleq1 2464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = ( f ` z ) -> ( w e. z <-> ( f ` z ) e. z ) )
34		eleq1 2464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = ( f ` z ) -> ( w e. v <-> ( f ` z ) e. v ) )
35	34	anbi2d 685	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = ( f ` z ) -> ( ( z e. v /\ w e. v ) <-> ( z e. v /\ ( f ` z ) e. v ) ) )
36	35	rexbidv 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = ( f ` z ) -> ( E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) <-> E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ ( f ` z ) e. v ) ) )
37	33, 36	anbi12d 692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = ( f ` z ) -> ( ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) <-> ( ( f ` z ) e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ ( f ` z ) e. v ) ) ) )
38	25, 37	spcev 3003	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f ` z ) e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ ( f ` z ) e. v ) ) -> E. w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) )
39	32, 38	sylan2 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f ` z ) e. z /\ ( z e. x /\ z =/= (/) ) ) -> E. w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) )
40	39	ex 424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f ` z ) e. z -> ( ( z e. x /\ z =/= (/) ) -> E. w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) )
41	3, 40	syl8 67	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( z e. x -> ( z =/= (/) -> ( ( z e. x /\ z =/= (/) ) -> E. w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) ) ) )
42	41	imp3a 421	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( ( z e. x /\ z =/= (/) ) -> ( ( z e. x /\ z =/= (/) ) -> E. w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) ) )
43	42	pm2.43d 46	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( ( z e. x /\ z =/= (/) ) -> E. w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) )
44		df-rex 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) <-> E. v ( v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } /\ ( z e. v /\ w e. v ) ) )
45		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- v e. _V
46		eqeq1 2410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( g = v -> ( g = { ( f ` u ) , u } <-> v = { ( f ` u ) , u } ) )
47	46	anbi2d 685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( g = v -> ( ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) <-> ( u =/= (/) /\ v = { ( f ` u ) , u } ) ) )
48	47	rexbidv 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( g = v -> ( E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) <-> E. u e. x ( u =/= (/) /\ v = { ( f ` u ) , u } ) ) )
49	45, 48	elab 3042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } <-> E. u e. x ( u =/= (/) /\ v = { ( f ` u ) , u } ) )
50		neeq1 2575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( z = u -> ( z =/= (/) <-> u =/= (/) ) )
51		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( z = u -> ( f ` z ) = ( f ` u ) )
52	51	eleq1d 2470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( z = u -> ( ( f ` z ) e. z <-> ( f ` u ) e. z ) )
53		eleq2 2465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( z = u -> ( ( f ` u ) e. z <-> ( f ` u ) e. u ) )
54	52, 53	bitrd 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( z = u -> ( ( f ` z ) e. z <-> ( f ` u ) e. u ) )
55	50, 54	imbi12d 312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( z = u -> ( ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> ( u =/= (/) -> ( f ` u ) e. u ) ) )
56	55	rspccv 3009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( u e. x -> ( u =/= (/) -> ( f ` u ) e. u ) ) )
57		elirrv 7521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- -. w e. w
58		eleq2 2465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( w = z -> ( w e. w <-> w e. z ) )
59	57, 58	mtbii 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( w = z -> -. w e. z )
60	59	con2i 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( w e. z -> -. w = z )
61		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- w e. _V
62		fvex 5701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( f ` u ) e. _V
63		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- u e. _V
64	61, 23, 62, 63	prel12 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( -. w = z -> ( { w , z } = { ( f ` u ) , u } <-> ( w e. { ( f ` u ) , u } /\ z e. { ( f ` u ) , u } ) ) )
65		ancom 438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( w e. v /\ z e. v ) <-> ( z e. v /\ w e. v ) )
66		eleq2 2465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( v = { ( f ` u ) , u } -> ( w e. v <-> w e. { ( f ` u ) , u } ) )
67		eleq2 2465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( v = { ( f ` u ) , u } -> ( z e. v <-> z e. { ( f ` u ) , u } ) )
68	66, 67	anbi12d 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( v = { ( f ` u ) , u } -> ( ( w e. v /\ z e. v ) <-> ( w e. { ( f ` u ) , u } /\ z e. { ( f ` u ) , u } ) ) )
69	65, 68	syl5rbbr 252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( v = { ( f ` u ) , u } -> ( ( w e. { ( f ` u ) , u } /\ z e. { ( f ` u ) , u } ) <-> ( z e. v /\ w e. v ) ) )
70	64, 69	sylan9bbr 682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( v = { ( f ` u ) , u } /\ -. w = z ) -> ( { w , z } = { ( f ` u ) , u } <-> ( z e. v /\ w e. v ) ) )
71	60, 70	sylan2 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( v = { ( f ` u ) , u } /\ w e. z ) -> ( { w , z } = { ( f ` u ) , u } <-> ( z e. v /\ w e. v ) ) )
72	71	adantrr 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( v = { ( f ` u ) , u } /\ ( w e. z /\ ( f ` u ) e. u ) ) -> ( { w , z } = { ( f ` u ) , u } <-> ( z e. v /\ w e. v ) ) )
73	72	pm5.32da 623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( v = { ( f ` u ) , u } -> ( ( ( w e. z /\ ( f ` u ) e. u ) /\ { w , z } = { ( f ` u ) , u } ) <-> ( ( w e. z /\ ( f ` u ) e. u ) /\ ( z e. v /\ w e. v ) ) ) )
74	61, 23, 62, 63	preleq 7528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( w e. z /\ ( f ` u ) e. u ) /\ { w , z } = { ( f ` u ) , u } ) -> ( w = ( f ` u ) /\ z = u ) )
75	73, 74	syl6bir 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( v = { ( f ` u ) , u } -> ( ( ( w e. z /\ ( f ` u ) e. u ) /\ ( z e. v /\ w e. v ) ) -> ( w = ( f ` u ) /\ z = u ) ) )
76	51	eqeq2d 2415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( z = u -> ( w = ( f ` z ) <-> w = ( f ` u ) ) )
77	76	biimparc 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( w = ( f ` u ) /\ z = u ) -> w = ( f ` z ) )
78	75, 77	syl6 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( v = { ( f ` u ) , u } -> ( ( ( w e. z /\ ( f ` u ) e. u ) /\ ( z e. v /\ w e. v ) ) -> w = ( f ` z ) ) )
79	78	exp4c 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( v = { ( f ` u ) , u } -> ( w e. z -> ( ( f ` u ) e. u -> ( ( z e. v /\ w e. v ) -> w = ( f ` z ) ) ) ) )
80	79	com13 76	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( f ` u ) e. u -> ( w e. z -> ( v = { ( f ` u ) , u } -> ( ( z e. v /\ w e. v ) -> w = ( f ` z ) ) ) ) )
81	56, 80	syl8 67	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( u e. x -> ( u =/= (/) -> ( w e. z -> ( v = { ( f ` u ) , u } -> ( ( z e. v /\ w e. v ) -> w = ( f ` z ) ) ) ) ) ) )
82	81	com4r 82	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w e. z -> ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( u e. x -> ( u =/= (/) -> ( v = { ( f ` u ) , u } -> ( ( z e. v /\ w e. v ) -> w = ( f ` z ) ) ) ) ) ) )
83	82	imp 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( w e. z /\ A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) -> ( u e. x -> ( u =/= (/) -> ( v = { ( f ` u ) , u } -> ( ( z e. v /\ w e. v ) -> w = ( f ` z ) ) ) ) ) )
84	83	imp4a 573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( w e. z /\ A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) -> ( u e. x -> ( ( u =/= (/) /\ v = { ( f ` u ) , u } ) -> ( ( z e. v /\ w e. v ) -> w = ( f ` z ) ) ) ) )
85	84	com3l 77	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( u e. x -> ( ( u =/= (/) /\ v = { ( f ` u ) , u } ) -> ( ( w e. z /\ A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) -> ( ( z e. v /\ w e. v ) -> w = ( f ` z ) ) ) ) )
86	85	rexlimiv 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( E. u e. x ( u =/= (/) /\ v = { ( f ` u ) , u } ) -> ( ( w e. z /\ A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) -> ( ( z e. v /\ w e. v ) -> w = ( f ` z ) ) ) )
87	49, 86	sylbi 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } -> ( ( w e. z /\ A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) -> ( ( z e. v /\ w e. v ) -> w = ( f ` z ) ) ) )
88	87	exp3a 426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } -> ( w e. z -> ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( ( z e. v /\ w e. v ) -> w = ( f ` z ) ) ) ) )
89	88	com13 76	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( w e. z -> ( v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } -> ( ( z e. v /\ w e. v ) -> w = ( f ` z ) ) ) ) )
90	89	imp4b 574	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ w e. z ) -> ( ( v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } /\ ( z e. v /\ w e. v ) ) -> w = ( f ` z ) ) )
91	90	exlimdv 1643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ w e. z ) -> ( E. v ( v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } /\ ( z e. v /\ w e. v ) ) -> w = ( f ` z ) ) )
92	44, 91	syl5bi 209	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ w e. z ) -> ( E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) -> w = ( f ` z ) ) )
93	92	expimpd 587	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) -> w = ( f ` z ) ) )
94	93	alrimiv 1638	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> A. w ( ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) -> w = ( f ` z ) ) )
95		mo2icl 3073	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. w ( ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) -> w = ( f ` z ) ) -> E* w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) )
96	94, 95	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> E* w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) )
97	43, 96	jctird 529	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( ( z e. x /\ z =/= (/) ) -> ( E. w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) /\ E* w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) ) )
98		df-reu 2673	. . . . . . . . . 10 |- ( E! w e. z E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) <-> E! w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) )
99		eu5 2292	. . . . . . . . . 10 |- ( E! w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) <-> ( E. w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) /\ E* w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) )
100	98, 99	bitri 241	. . . . . . . . 9 |- ( E! w e. z E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) <-> ( E. w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) /\ E* w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) )
101	97, 100	syl6ibr 219	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( ( z e. x /\ z =/= (/) ) -> E! w e. z E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) )
102	101	exp3a 426	. . . . . . 7 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( z e. x -> ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) )
103	2, 102	ralrimi 2747	. . . . . 6 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) )
104		vex 2919	. . . . . . . . . . . 12 |- f e. _V
105	104	rnex 5092	. . . . . . . . . . 11 |- ran f e. _V
106		p0ex 4346	. . . . . . . . . . 11 |- { (/) } e. _V
107	105, 106	unex 4666	. . . . . . . . . 10 |- ( ran f u. { (/) } ) e. _V
108		vex 2919	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
109	107, 108	unex 4666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) e. _V
110	109	pwex 4342	. . . . . . . 8 |- ~P ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) e. _V
111		ssun1 3470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ran f u. { (/) } ) C_ ( ( ran f u. { (/) } ) u. x )
112		fvrn0 5712	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f ` u ) e. ( ran f u. { (/) } )
113	111, 112	sselii 3305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f ` u ) e. ( ( ran f u. { (/) } ) u. x )
114		elun2 3475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. x -> u e. ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) )
115		prssi 3914	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f ` u ) e. ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) /\ u e. ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) ) -> { ( f ` u ) , u } C_ ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) )
116	113, 114, 115	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. x -> { ( f ` u ) , u } C_ ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) )
117		prex 4366	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { ( f ` u ) , u } e. _V
118	117	elpw 3765	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { ( f ` u ) , u } e. ~P ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) <-> { ( f ` u ) , u } C_ ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) )
119	116, 118	sylibr 204	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. x -> { ( f ` u ) , u } e. ~P ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) )
120		eleq1 2464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = { ( f ` u ) , u } -> ( g e. ~P ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) <-> { ( f ` u ) , u } e. ~P ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) ) )
121	119, 120	syl5ibrcom 214	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. x -> ( g = { ( f ` u ) , u } -> g e. ~P ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) ) )
122	121	adantld 454	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. x -> ( ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) -> g e. ~P ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) ) )
123	122	rexlimiv 2784	. . . . . . . . 9 |- ( E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) -> g e. ~P ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) )
124	123	abssi 3378	. . . . . . . 8 |- { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } C_ ~P ( ( ran f u. { (/) } ) u. x )
125	110, 124	ssexi 4308	. . . . . . 7 |- { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } e. _V
126		rexeq 2865	. . . . . . . . . 10 |- ( y = { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } -> ( E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) <-> E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) )
127	126	reubidv 2852	. . . . . . . . 9 |- ( y = { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } -> ( E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) <-> E! w e. z E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) )
128	127	imbi2d 308	. . . . . . . 8 |- ( y = { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } -> ( ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) <-> ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) )
129	128	ralbidv 2686	. . . . . . 7 |- ( y = { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } -> ( A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) <-> A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) )
130	125, 129	spcev 3003	. . . . . 6 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) -> E. y A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) )
131	103, 130	syl 16	. . . . 5 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> E. y A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) )
132	131	exlimiv 1641	. . . 4 |- ( E. f A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> E. y A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) )
133	132	alimi 1565	. . 3 |- ( A. x E. f A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> A. x E. y A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) )
134	1, 133	sylbi 188	. 2 |- (CHOICE -> A. x E. y A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) )
135		dfac2a 7966	. 2 |- ( A. x E. y A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) -> CHOICE )
136	134, 135	impbii 181	1 |- (CHOICE <-> A. x E. y A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547   = wceq 1649   e. wcel 1721   E!weu 2254   E*wmo 2255   {cab 2390   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   E!wreu 2668   u. cun 3278   C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   {cpr 3775   ran crn 4838   ` cfv 5413  CHOICEwac 7952

This theorem is referenced by:  dfac7  7968

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-reg 7516

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-eprel 4454  df-id 4458  df-fr 4501  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-riota 6508  df-ac 7953