Theorem dfac2 8292

Description: Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49 implies of our Axiom of Choice (in the form of ac3 8623). The proof does not make use of AC. Note that the Axiom of Regularity is used by the proof. Specifically, elirrv 7804 and preleq 7815 that are referenced in the proof each make use of Regularity for their derivations. (The reverse implication can be derived without using Regularity; see dfac2a 8291.) TODO: Fix label in comment, and put label changes into list at top of set.mm. (Contributed by NM, 5-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfac2	|- (CHOICE <-> A. x E. y A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, w, v

Proof of Theorem dfac2

Dummy variables u f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfac3 8283	. . 3 |- (CHOICE <-> A. x E. f A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) )
2		nfra1 2760	. . . . . . 7 |- F/ z A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z )
3		rsp 2770	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( z e. x -> ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
4		equid 1729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- z = z
5		neeq1 2610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( u = z -> ( u =/= (/) <-> z =/= (/) ) )
6		eqeq1 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( u = z -> ( u = z <-> z = z ) )
7	5, 6	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( u = z -> ( ( u =/= (/) /\ u = z ) <-> ( z =/= (/) /\ z = z ) ) )
8	7	rspcev 3066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. x /\ ( z =/= (/) /\ z = z ) ) -> E. u e. x ( u =/= (/) /\ u = z ) )
9	4, 8	mpanr2 684	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. x /\ z =/= (/) ) -> E. u e. x ( u =/= (/) /\ u = z ) )
10		fveq2 5684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( u = z -> ( f ` u ) = ( f ` z ) )
11	10	preq1d 3953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( u = z -> { ( f ` u ) , u } = { ( f ` z ) , u } )
12		preq2 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( u = z -> { ( f ` z ) , u } = { ( f ` z ) , z } )
13	11, 12	eqtr2d 2470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( u = z -> { ( f ` z ) , z } = { ( f ` u ) , u } )
14	13	anim2i 569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( u =/= (/) /\ u = z ) -> ( u =/= (/) /\ { ( f ` z ) , z } = { ( f ` u ) , u } ) )
15	14	reximi 2817	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. u e. x ( u =/= (/) /\ u = z ) -> E. u e. x ( u =/= (/) /\ { ( f ` z ) , z } = { ( f ` u ) , u } ) )
16	9, 15	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. x /\ z =/= (/) ) -> E. u e. x ( u =/= (/) /\ { ( f ` z ) , z } = { ( f ` u ) , u } ) )
17		prex 4527	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { ( f ` z ) , z } e. _V
18		eqeq1 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( g = { ( f ` z ) , z } -> ( g = { ( f ` u ) , u } <-> { ( f ` z ) , z } = { ( f ` u ) , u } ) )
19	18	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( g = { ( f ` z ) , z } -> ( ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) <-> ( u =/= (/) /\ { ( f ` z ) , z } = { ( f ` u ) , u } ) ) )
20	19	rexbidv 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( g = { ( f ` z ) , z } -> ( E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) <-> E. u e. x ( u =/= (/) /\ { ( f ` z ) , z } = { ( f ` u ) , u } ) ) )
21	17, 20	elab 3099	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { ( f ` z ) , z } e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } <-> E. u e. x ( u =/= (/) /\ { ( f ` z ) , z } = { ( f ` u ) , u } ) )
22	16, 21	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. x /\ z =/= (/) ) -> { ( f ` z ) , z } e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } )
23		vex 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- z e. _V
24	23	prid2 3977	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- z e. { ( f ` z ) , z }
25		fvex 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f ` z ) e. _V
26	25	prid1 3976	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f ` z ) e. { ( f ` z ) , z }
27	24, 26	pm3.2i 455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. { ( f ` z ) , z } /\ ( f ` z ) e. { ( f ` z ) , z } )
28		eleq2 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v = { ( f ` z ) , z } -> ( z e. v <-> z e. { ( f ` z ) , z } ) )
29		eleq2 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v = { ( f ` z ) , z } -> ( ( f ` z ) e. v <-> ( f ` z ) e. { ( f ` z ) , z } ) )
30	28, 29	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v = { ( f ` z ) , z } -> ( ( z e. v /\ ( f ` z ) e. v ) <-> ( z e. { ( f ` z ) , z } /\ ( f ` z ) e. { ( f ` z ) , z } ) ) )
31	30	rspcev 3066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( { ( f ` z ) , z } e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } /\ ( z e. { ( f ` z ) , z } /\ ( f ` z ) e. { ( f ` z ) , z } ) ) -> E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ ( f ` z ) e. v ) )
32	22, 27, 31	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. x /\ z =/= (/) ) -> E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ ( f ` z ) e. v ) )
33		eleq1 2497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = ( f ` z ) -> ( w e. z <-> ( f ` z ) e. z ) )
34		eleq1 2497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = ( f ` z ) -> ( w e. v <-> ( f ` z ) e. v ) )
35	34	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = ( f ` z ) -> ( ( z e. v /\ w e. v ) <-> ( z e. v /\ ( f ` z ) e. v ) ) )
36	35	rexbidv 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = ( f ` z ) -> ( E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) <-> E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ ( f ` z ) e. v ) ) )
37	33, 36	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = ( f ` z ) -> ( ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) <-> ( ( f ` z ) e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ ( f ` z ) e. v ) ) ) )
38	25, 37	spcev 3057	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f ` z ) e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ ( f ` z ) e. v ) ) -> E. w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) )
39	32, 38	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f ` z ) e. z /\ ( z e. x /\ z =/= (/) ) ) -> E. w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) )
40	39	ex 434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f ` z ) e. z -> ( ( z e. x /\ z =/= (/) ) -> E. w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) )
41	3, 40	syl8 70	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( z e. x -> ( z =/= (/) -> ( ( z e. x /\ z =/= (/) ) -> E. w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) ) ) )
42	41	impd 431	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( ( z e. x /\ z =/= (/) ) -> ( ( z e. x /\ z =/= (/) ) -> E. w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) ) )
43	42	pm2.43d 48	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( ( z e. x /\ z =/= (/) ) -> E. w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) )
44		df-rex 2715	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) <-> E. v ( v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } /\ ( z e. v /\ w e. v ) ) )
45		vex 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- v e. _V
46		eqeq1 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( g = v -> ( g = { ( f ` u ) , u } <-> v = { ( f ` u ) , u } ) )
47	46	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( g = v -> ( ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) <-> ( u =/= (/) /\ v = { ( f ` u ) , u } ) ) )
48	47	rexbidv 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( g = v -> ( E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) <-> E. u e. x ( u =/= (/) /\ v = { ( f ` u ) , u } ) ) )
49	45, 48	elab 3099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } <-> E. u e. x ( u =/= (/) /\ v = { ( f ` u ) , u } ) )
50		neeq1 2610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( z = u -> ( z =/= (/) <-> u =/= (/) ) )
51		fveq2 5684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( z = u -> ( f ` z ) = ( f ` u ) )
52	51	eleq1d 2503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( z = u -> ( ( f ` z ) e. z <-> ( f ` u ) e. z ) )
53		eleq2 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( z = u -> ( ( f ` u ) e. z <-> ( f ` u ) e. u ) )
54	52, 53	bitrd 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( z = u -> ( ( f ` z ) e. z <-> ( f ` u ) e. u ) )
55	50, 54	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( z = u -> ( ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> ( u =/= (/) -> ( f ` u ) e. u ) ) )
56	55	rspccv 3063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( u e. x -> ( u =/= (/) -> ( f ` u ) e. u ) ) )
57		elirrv 7804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- -. w e. w
58		eleq2 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( w = z -> ( w e. w <-> w e. z ) )
59	57, 58	mtbii 302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( w = z -> -. w e. z )
60	59	con2i 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( w e. z -> -. w = z )
61		vex 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- w e. _V
62		fvex 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( f ` u ) e. _V
63		vex 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- u e. _V
64	61, 23, 62, 63	prel12 4042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( -. w = z -> ( { w , z } = { ( f ` u ) , u } <-> ( w e. { ( f ` u ) , u } /\ z e. { ( f ` u ) , u } ) ) )
65		ancom 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( w e. v /\ z e. v ) <-> ( z e. v /\ w e. v ) )
66		eleq2 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( v = { ( f ` u ) , u } -> ( w e. v <-> w e. { ( f ` u ) , u } ) )
67		eleq2 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( v = { ( f ` u ) , u } -> ( z e. v <-> z e. { ( f ` u ) , u } ) )
68	66, 67	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( v = { ( f ` u ) , u } -> ( ( w e. v /\ z e. v ) <-> ( w e. { ( f ` u ) , u } /\ z e. { ( f ` u ) , u } ) ) )
69	65, 68	syl5rbbr 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( v = { ( f ` u ) , u } -> ( ( w e. { ( f ` u ) , u } /\ z e. { ( f ` u ) , u } ) <-> ( z e. v /\ w e. v ) ) )
70	64, 69	sylan9bbr 700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( v = { ( f ` u ) , u } /\ -. w = z ) -> ( { w , z } = { ( f ` u ) , u } <-> ( z e. v /\ w e. v ) ) )
71	60, 70	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( v = { ( f ` u ) , u } /\ w e. z ) -> ( { w , z } = { ( f ` u ) , u } <-> ( z e. v /\ w e. v ) ) )
72	71	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( v = { ( f ` u ) , u } /\ ( w e. z /\ ( f ` u ) e. u ) ) -> ( { w , z } = { ( f ` u ) , u } <-> ( z e. v /\ w e. v ) ) )
73	72	pm5.32da 641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( v = { ( f ` u ) , u } -> ( ( ( w e. z /\ ( f ` u ) e. u ) /\ { w , z } = { ( f ` u ) , u } ) <-> ( ( w e. z /\ ( f ` u ) e. u ) /\ ( z e. v /\ w e. v ) ) ) )
74	61, 23, 62, 63	preleq 7815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( w e. z /\ ( f ` u ) e. u ) /\ { w , z } = { ( f ` u ) , u } ) -> ( w = ( f ` u ) /\ z = u ) )
75	73, 74	syl6bir 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( v = { ( f ` u ) , u } -> ( ( ( w e. z /\ ( f ` u ) e. u ) /\ ( z e. v /\ w e. v ) ) -> ( w = ( f ` u ) /\ z = u ) ) )
76	51	eqeq2d 2448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( z = u -> ( w = ( f ` z ) <-> w = ( f ` u ) ) )
77	76	biimparc 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( w = ( f ` u ) /\ z = u ) -> w = ( f ` z ) )
78	75, 77	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( v = { ( f ` u ) , u } -> ( ( ( w e. z /\ ( f ` u ) e. u ) /\ ( z e. v /\ w e. v ) ) -> w = ( f ` z ) ) )
79	78	exp4c 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( v = { ( f ` u ) , u } -> ( w e. z -> ( ( f ` u ) e. u -> ( ( z e. v /\ w e. v ) -> w = ( f ` z ) ) ) ) )
80	79	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( f ` u ) e. u -> ( w e. z -> ( v = { ( f ` u ) , u } -> ( ( z e. v /\ w e. v ) -> w = ( f ` z ) ) ) ) )
81	56, 80	syl8 70	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( u e. x -> ( u =/= (/) -> ( w e. z -> ( v = { ( f ` u ) , u } -> ( ( z e. v /\ w e. v ) -> w = ( f ` z ) ) ) ) ) ) )
82	81	com4r 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w e. z -> ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( u e. x -> ( u =/= (/) -> ( v = { ( f ` u ) , u } -> ( ( z e. v /\ w e. v ) -> w = ( f ` z ) ) ) ) ) ) )
83	82	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( w e. z /\ A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) -> ( u e. x -> ( u =/= (/) -> ( v = { ( f ` u ) , u } -> ( ( z e. v /\ w e. v ) -> w = ( f ` z ) ) ) ) ) )
84	83	imp4a 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( w e. z /\ A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) -> ( u e. x -> ( ( u =/= (/) /\ v = { ( f ` u ) , u } ) -> ( ( z e. v /\ w e. v ) -> w = ( f ` z ) ) ) ) )
85	84	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( u e. x -> ( ( u =/= (/) /\ v = { ( f ` u ) , u } ) -> ( ( w e. z /\ A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) -> ( ( z e. v /\ w e. v ) -> w = ( f ` z ) ) ) ) )
86	85	rexlimiv 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( E. u e. x ( u =/= (/) /\ v = { ( f ` u ) , u } ) -> ( ( w e. z /\ A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) -> ( ( z e. v /\ w e. v ) -> w = ( f ` z ) ) ) )
87	49, 86	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } -> ( ( w e. z /\ A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) -> ( ( z e. v /\ w e. v ) -> w = ( f ` z ) ) ) )
88	87	expd 436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } -> ( w e. z -> ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( ( z e. v /\ w e. v ) -> w = ( f ` z ) ) ) ) )
89	88	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( w e. z -> ( v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } -> ( ( z e. v /\ w e. v ) -> w = ( f ` z ) ) ) ) )
90	89	imp4b 590	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ w e. z ) -> ( ( v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } /\ ( z e. v /\ w e. v ) ) -> w = ( f ` z ) ) )
91	90	exlimdv 1690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ w e. z ) -> ( E. v ( v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } /\ ( z e. v /\ w e. v ) ) -> w = ( f ` z ) ) )
92	44, 91	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ w e. z ) -> ( E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) -> w = ( f ` z ) ) )
93	92	expimpd 603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) -> w = ( f ` z ) ) )
94	93	alrimiv 1685	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> A. w ( ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) -> w = ( f ` z ) ) )
95		mo2icl 3131	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. w ( ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) -> w = ( f ` z ) ) -> E* w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) )
96	94, 95	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> E* w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) )
97	43, 96	jctird 544	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( ( z e. x /\ z =/= (/) ) -> ( E. w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) /\ E* w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) ) )
98		df-reu 2716	. . . . . . . . . 10 |- ( E! w e. z E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) <-> E! w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) )
99		eu5 2281	. . . . . . . . . 10 |- ( E! w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) <-> ( E. w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) /\ E* w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) )
100	98, 99	bitri 249	. . . . . . . . 9 |- ( E! w e. z E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) <-> ( E. w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) /\ E* w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) )
101	97, 100	syl6ibr 227	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( ( z e. x /\ z =/= (/) ) -> E! w e. z E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) )
102	101	expd 436	. . . . . . 7 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( z e. x -> ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) )
103	2, 102	ralrimi 2791	. . . . . 6 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) )
104		vex 2969	. . . . . . . . . . . 12 |- f e. _V
105	104	rnex 6507	. . . . . . . . . . 11 |- ran f e. _V
106		p0ex 4472	. . . . . . . . . . 11 |- { (/) } e. _V
107	105, 106	unex 6373	. . . . . . . . . 10 |- ( ran f u. { (/) } ) e. _V
108		vex 2969	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
109	107, 108	unex 6373	. . . . . . . . 9 |- ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) e. _V
110	109	pwex 4468	. . . . . . . 8 |- ~P ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) e. _V
111		ssun1 3512	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ran f u. { (/) } ) C_ ( ( ran f u. { (/) } ) u. x )
112		fvrn0 5705	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f ` u ) e. ( ran f u. { (/) } )
113	111, 112	sselii 3346	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f ` u ) e. ( ( ran f u. { (/) } ) u. x )
114		elun2 3517	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. x -> u e. ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) )
115		prssi 4022	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f ` u ) e. ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) /\ u e. ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) ) -> { ( f ` u ) , u } C_ ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) )
116	113, 114, 115	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. x -> { ( f ` u ) , u } C_ ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) )
117		prex 4527	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { ( f ` u ) , u } e. _V
118	117	elpw 3859	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { ( f ` u ) , u } e. ~P ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) <-> { ( f ` u ) , u } C_ ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) )
119	116, 118	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. x -> { ( f ` u ) , u } e. ~P ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) )
120		eleq1 2497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = { ( f ` u ) , u } -> ( g e. ~P ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) <-> { ( f ` u ) , u } e. ~P ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) ) )
121	119, 120	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. x -> ( g = { ( f ` u ) , u } -> g e. ~P ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) ) )
122	121	adantld 467	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. x -> ( ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) -> g e. ~P ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) ) )
123	122	rexlimiv 2829	. . . . . . . . 9 |- ( E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) -> g e. ~P ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) )
124	123	abssi 3420	. . . . . . . 8 |- { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } C_ ~P ( ( ran f u. { (/) } ) u. x )
125	110, 124	ssexi 4430	. . . . . . 7 |- { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } e. _V
126		rexeq 2912	. . . . . . . . . 10 |- ( y = { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } -> ( E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) <-> E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) )
127	126	reubidv 2899	. . . . . . . . 9 |- ( y = { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } -> ( E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) <-> E! w e. z E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) )
128	127	imbi2d 316	. . . . . . . 8 |- ( y = { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } -> ( ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) <-> ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) )
129	128	ralbidv 2729	. . . . . . 7 |- ( y = { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } -> ( A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) <-> A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) )
130	125, 129	spcev 3057	. . . . . 6 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) -> E. y A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) )
131	103, 130	syl 16	. . . . 5 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> E. y A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) )
132	131	exlimiv 1688	. . . 4 |- ( E. f A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> E. y A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) )
133	132	alimi 1604	. . 3 |- ( A. x E. f A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> A. x E. y A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) )
134	1, 133	sylbi 195	. 2 |- (CHOICE -> A. x E. y A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) )
135		dfac2a 8291	. 2 |- ( A. x E. y A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) -> CHOICE )
136	134, 135	impbii 188	1 |- (CHOICE <-> A. x E. y A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1367   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   E!weu 2252   E*wmo 2253   {cab 2423   =/= wne 2600   A.wral 2709   E.wrex 2710   E!wreu 2711   u. cun 3319   C_ wss 3321   (/)c0 3630   ~Pcpw 3853   {csn 3870   {cpr 3872   ran crn 4833   ` cfv 5411  CHOICEwac 8277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-reg 7799

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-op 3877  df-uni 4085  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-eprel 4624  df-id 4628  df-fr 4671  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-fv 5419  df-riota 6045  df-ac 8278

This theorem is referenced by:  dfac7  8293