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Theorem dfac2 8502
Description: Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49 implies of our Axiom of Choice (in the form of ac3 8833). The proof does not make use of AC. Note that the Axiom of Regularity is used by the proof. Specifically, elirrv 8015 and preleq 8025 that are referenced in the proof each make use of Regularity for their derivations. (The reverse implication can be derived without using Regularity; see dfac2a 8501.) TODO: Fix label in comment, and put label changes into list at top of set.mm. (Contributed by NM, 5-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac2  |-  (CHOICE  <->  A. x E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w, v

Proof of Theorem dfac2
Dummy variables  u  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac3 8493 . . 3  |-  (CHOICE  <->  A. x E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )
2 nfra1 2835 . . . . . . 7  |-  F/ z A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )
3 rsp 2820 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
z  e.  x  -> 
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
4 equid 1796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  z  =  z
5 neeq1 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  z  ->  (
u  =/=  (/)  <->  z  =/=  (/) ) )
6 eqeq1 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  z  ->  (
u  =  z  <->  z  =  z ) )
75, 6anbi12d 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  =  z  ->  (
( u  =/=  (/)  /\  u  =  z )  <->  ( z  =/=  (/)  /\  z  =  z ) ) )
87rspcev 3207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  x  /\  ( z  =/=  (/)  /\  z  =  z ) )  ->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  u  =  z ) )
94, 8mpanr2 682 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  u  =  z ) )
10 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  =  z  ->  (
f `  u )  =  ( f `  z ) )
1110preq1d 4101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  z  ->  { ( f `  u ) ,  u }  =  { ( f `  z ) ,  u } )
12 preq2 4096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  z  ->  { ( f `  z ) ,  u }  =  { ( f `  z ) ,  z } )
1311, 12eqtr2d 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  =  z  ->  { ( f `  z ) ,  z }  =  { ( f `  u ) ,  u } )
1413anim2i 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  =/=  (/)  /\  u  =  z )  -> 
( u  =/=  (/)  /\  {
( f `  z
) ,  z }  =  { ( f `
 u ) ,  u } ) )
1514reximi 2922 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  u  =  z )  ->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  {
( f `  z
) ,  z }  =  { ( f `
 u ) ,  u } ) )
169, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  { ( f `  z ) ,  z }  =  { ( f `  u ) ,  u } ) )
17 prex 4679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { ( f `  z ) ,  z }  e.  _V
18 eqeq1 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  =  { ( f `
 z ) ,  z }  ->  (
g  =  { ( f `  u ) ,  u }  <->  { (
f `  z ) ,  z }  =  { ( f `  u ) ,  u } ) )
1918anbi2d 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g  =  { ( f `
 z ) ,  z }  ->  (
( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } )  <->  ( u  =/=  (/)  /\  { ( f `  z ) ,  z }  =  { ( f `  u ) ,  u } ) ) )
2019rexbidv 2965 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  =  { ( f `
 z ) ,  z }  ->  ( E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } )  <->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  { ( f `  z ) ,  z }  =  { ( f `  u ) ,  u } ) ) )
2117, 20elab 3243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { ( f `  z
) ,  z }  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  <->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  { ( f `  z ) ,  z }  =  { ( f `  u ) ,  u } ) )
2216, 21sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  { ( f `  z ) ,  z }  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) } )
23 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e. 
_V
2423prid2 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  z  e. 
{ ( f `  z ) ,  z }
25 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f `
 z )  e. 
_V
2625prid1 4124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f `
 z )  e. 
{ ( f `  z ) ,  z }
2724, 26pm3.2i 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  { ( f `
 z ) ,  z }  /\  (
f `  z )  e.  { ( f `  z ) ,  z } )
28 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  { ( f `
 z ) ,  z }  ->  (
z  e.  v  <->  z  e.  { ( f `  z
) ,  z } ) )
29 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  { ( f `
 z ) ,  z }  ->  (
( f `  z
)  e.  v  <->  ( f `  z )  e.  {
( f `  z
) ,  z } ) )
3028, 29anbi12d 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  { ( f `
 z ) ,  z }  ->  (
( z  e.  v  /\  ( f `  z )  e.  v )  <->  ( z  e. 
{ ( f `  z ) ,  z }  /\  ( f `
 z )  e. 
{ ( f `  z ) ,  z } ) ) )
3130rspcev 3207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { ( f `  z ) ,  z }  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  /\  (
z  e.  { ( f `  z ) ,  z }  /\  ( f `  z
)  e.  { ( f `  z ) ,  z } ) )  ->  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  ( f `  z
)  e.  v ) )
3222, 27, 31sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  ( f `  z
)  e.  v ) )
33 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( f `  z )  ->  (
w  e.  z  <->  ( f `  z )  e.  z ) )
34 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  ( f `  z )  ->  (
w  e.  v  <->  ( f `  z )  e.  v ) )
3534anbi2d 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  ( f `  z )  ->  (
( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  ( z  e.  v  /\  ( f `
 z )  e.  v ) ) )
3635rexbidv 2965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( f `  z )  ->  ( E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  ( f `  z
)  e.  v ) ) )
3733, 36anbi12d 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( f `  z )  ->  (
( w  e.  z  /\  E. v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  <->  ( ( f `
 z )  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  ( f `  z
)  e.  v ) ) ) )
3825, 37spcev 3198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f `  z
)  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  ( z  e.  v  /\  (
f `  z )  e.  v ) )  ->  E. w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
3932, 38sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f `  z
)  e.  z  /\  ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  E. w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
4039ex 432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  z )  e.  z  ->  (
( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) )
413, 40syl8 70 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
z  e.  x  -> 
( z  =/=  (/)  ->  (
( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) ) ) )
4241impd 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  -> 
( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w
( w  e.  z  /\  E. v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) ) )
4342pm2.43d 48 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) )
44 df-rex 2810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E. v
( v  e.  {
g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  /\  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
45 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  v  e. 
_V
46 eqeq1 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( g  =  v  ->  (
g  =  { ( f `  u ) ,  u }  <->  v  =  { ( f `  u ) ,  u } ) )
4746anbi2d 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g  =  v  ->  (
( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } )  <->  ( u  =/=  (/)  /\  v  =  { ( f `  u ) ,  u } ) ) )
4847rexbidv 2965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  =  v  ->  ( E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } )  <->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  v  =  { ( f `  u ) ,  u } ) ) )
4945, 48elab 3243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  <->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  v  =  { ( f `  u ) ,  u } ) )
50 neeq1 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  =  u  ->  (
z  =/=  (/)  <->  u  =/=  (/) ) )
51 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  =  u  ->  (
f `  z )  =  ( f `  u ) )
5251eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  =  u  ->  (
( f `  z
)  e.  z  <->  ( f `  u )  e.  z ) )
53 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  =  u  ->  (
( f `  u
)  e.  z  <->  ( f `  u )  e.  u
) )
5452, 53bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  =  u  ->  (
( f `  z
)  e.  z  <->  ( f `  u )  e.  u
) )
5550, 54imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  =  u  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  <->  ( u  =/=  (/)  ->  ( f `  u )  e.  u
) ) )
5655rspccv 3204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
u  e.  x  -> 
( u  =/=  (/)  ->  (
f `  u )  e.  u ) ) )
57 elirrv 8015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  -.  w  e.  w
58 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( w  =  z  ->  (
w  e.  w  <->  w  e.  z ) )
5957, 58mtbii 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( w  =  z  ->  -.  w  e.  z )
6059con2i 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( w  e.  z  ->  -.  w  =  z )
61 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  w  e. 
_V
62 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( f `
 u )  e. 
_V
63 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  u  e. 
_V
6461, 23, 62, 63prel12 4193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( -.  w  =  z  -> 
( { w ,  z }  =  {
( f `  u
) ,  u }  <->  ( w  e.  { ( f `  u ) ,  u }  /\  z  e.  { (
f `  u ) ,  u } ) ) )
65 ancom 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( w  e.  v  /\  z  e.  v )  <->  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )
)
66 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
w  e.  v  <->  w  e.  { ( f `  u
) ,  u }
) )
67 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
z  e.  v  <->  z  e.  { ( f `  u
) ,  u }
) )
6866, 67anbi12d 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
( w  e.  v  /\  z  e.  v )  <->  ( w  e. 
{ ( f `  u ) ,  u }  /\  z  e.  {
( f `  u
) ,  u }
) ) )
6965, 68syl5rbbr 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
( w  e.  {
( f `  u
) ,  u }  /\  z  e.  { ( f `  u ) ,  u } )  <-> 
( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
7064, 69sylan9bbr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( v  =  { ( f `  u ) ,  u }  /\  -.  w  =  z
)  ->  ( {
w ,  z }  =  { ( f `
 u ) ,  u }  <->  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
7160, 70sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( v  =  { ( f `  u ) ,  u }  /\  w  e.  z )  ->  ( { w ,  z }  =  {
( f `  u
) ,  u }  <->  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
7271adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( v  =  { ( f `  u ) ,  u }  /\  ( w  e.  z  /\  ( f `  u
)  e.  u ) )  ->  ( {
w ,  z }  =  { ( f `
 u ) ,  u }  <->  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
7372pm5.32da 639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
( ( w  e.  z  /\  ( f `
 u )  e.  u )  /\  {
w ,  z }  =  { ( f `
 u ) ,  u } )  <->  ( (
w  e.  z  /\  ( f `  u
)  e.  u )  /\  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) ) )
7461, 23, 62, 63preleq 8025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( w  e.  z  /\  ( f `  u )  e.  u
)  /\  { w ,  z }  =  { ( f `  u ) ,  u } )  ->  (
w  =  ( f `
 u )  /\  z  =  u )
)
7573, 74syl6bir 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
( ( w  e.  z  /\  ( f `
 u )  e.  u )  /\  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  ( w  =  ( f `  u )  /\  z  =  u ) ) )
7651eqeq2d 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  =  u  ->  (
w  =  ( f `
 z )  <->  w  =  ( f `  u
) ) )
7776biimparc 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( w  =  ( f `
 u )  /\  z  =  u )  ->  w  =  ( f `
 z ) )
7875, 77syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
( ( w  e.  z  /\  ( f `
 u )  e.  u )  /\  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  w  =  ( f `  z
) ) )
7978exp4c 606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
w  e.  z  -> 
( ( f `  u )  e.  u  ->  ( ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z ) ) ) ) )
8079com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( f `  u )  e.  u  ->  (
w  e.  z  -> 
( v  =  {
( f `  u
) ,  u }  ->  ( ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z ) ) ) ) )
8156, 80syl8 70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
u  e.  x  -> 
( u  =/=  (/)  ->  (
w  e.  z  -> 
( v  =  {
( f `  u
) ,  u }  ->  ( ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z ) ) ) ) ) ) )
8281com4r 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  z  ->  ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
u  e.  x  -> 
( u  =/=  (/)  ->  (
v  =  { ( f `  u ) ,  u }  ->  ( ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z
) ) ) ) ) ) )
8382imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( w  e.  z  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )  -> 
( u  e.  x  ->  ( u  =/=  (/)  ->  (
v  =  { ( f `  u ) ,  u }  ->  ( ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z
) ) ) ) ) )
8483imp4a 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  e.  z  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )  -> 
( u  e.  x  ->  ( ( u  =/=  (/)  /\  v  =  {
( f `  u
) ,  u }
)  ->  ( (
z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `
 z ) ) ) ) )
8584com3l 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  e.  x  ->  (
( u  =/=  (/)  /\  v  =  { ( f `  u ) ,  u } )  ->  (
( w  e.  z  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )  ->  (
( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z
) ) ) ) )
8685rexlimiv 2940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  v  =  { ( f `  u ) ,  u } )  ->  (
( w  e.  z  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )  ->  (
( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z
) ) ) )
8749, 86sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  ->  ( ( w  e.  z  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )  ->  (
( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z
) ) ) )
8887expd 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  ->  ( w  e.  z  -> 
( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  ->  ( (
z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `
 z ) ) ) ) )
8988com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
w  e.  z  -> 
( v  e.  {
g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  ->  ( ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z
) ) ) ) )
9089imp4b 588 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  w  e.  z )  ->  (
( v  e.  {
g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  /\  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  ->  w  =  ( f `  z ) ) )
9190exlimdv 1729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  w  e.  z )  ->  ( E. v ( v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  /\  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  ->  w  =  ( f `  z ) ) )
9244, 91syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  w  e.  z )  ->  ( E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z ) ) )
9392expimpd 601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
( w  e.  z  /\  E. v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  w  =  ( f `  z
) ) )
9493alrimiv 1724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  A. w
( ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  w  =  ( f `  z
) ) )
95 mo2icl 3275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. w ( ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  w  =  ( f `  z
) )  ->  E* w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  E* w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
9743, 96jctird 542 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  -> 
( E. w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  /\  E* w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) ) )
98 df-reu 2811 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! w  e.  z  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E! w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
99 eu5 2312 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  <->  ( E. w
( w  e.  z  /\  E. v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  /\  E* w
( w  e.  z  /\  E. v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) )
10098, 99bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( E! w  e.  z  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  ( E. w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  /\  E* w
( w  e.  z  /\  E. v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) )
10197, 100syl6ibr 227 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
102101expd 434 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
z  e.  x  -> 
( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) )
1032, 102ralrimi 2854 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
104 vex 3109 . . . . . . . . . . . 12  |-  f  e. 
_V
105104rnex 6707 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  f  e.  _V
106 p0ex 4624 . . . . . . . . . . 11  |-  { (/) }  e.  _V
107105, 106unex 6571 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  f  u.  { (/) } )  e.  _V
108 vex 3109 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
109107, 108unex 6571 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ran  f  u.  { (/)
} )  u.  x
)  e.  _V
110109pwex 4620 . . . . . . . 8  |-  ~P (
( ran  f  u.  {
(/) } )  u.  x
)  e.  _V
111 ssun1 3653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  f  u.  { (/) } )  C_  ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x )
112 fvrn0 5870 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f `
 u )  e.  ( ran  f  u. 
{ (/) } )
113111, 112sselii 3486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f `
 u )  e.  ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x )
114 elun2 3658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  x  ->  u  e.  ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) )
115 prssi 4172 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f `  u
)  e.  ( ( ran  f  u.  { (/)
} )  u.  x
)  /\  u  e.  ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) )  ->  { ( f `  u ) ,  u }  C_  ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) )
116113, 114, 115sylancr 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  x  ->  { ( f `  u ) ,  u }  C_  ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) )
117 prex 4679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { ( f `  u ) ,  u }  e.  _V
118117elpw 4005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { ( f `  u
) ,  u }  e.  ~P ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x )  <->  { ( f `  u ) ,  u }  C_  ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) )
119116, 118sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  x  ->  { ( f `  u ) ,  u }  e.  ~P ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) )
120 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
g  e.  ~P (
( ran  f  u.  {
(/) } )  u.  x
)  <->  { ( f `  u ) ,  u }  e.  ~P (
( ran  f  u.  {
(/) } )  u.  x
) ) )
121119, 120syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  x  ->  (
g  =  { ( f `  u ) ,  u }  ->  g  e.  ~P ( ( ran  f  u.  { (/)
} )  u.  x
) ) )
122121adantld 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  x  ->  (
( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } )  ->  g  e.  ~P ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) ) )
123122rexlimiv 2940 . . . . . . . . 9  |-  ( E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } )  ->  g  e.  ~P ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) )
124123abssi 3561 . . . . . . . 8  |-  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  C_  ~P ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x )
125110, 124ssexi 4582 . . . . . . 7  |-  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  e.  _V
126 rexeq 3052 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  ->  ( E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E. v  e.  {
g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
127126reubidv 3039 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  ->  ( E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E! w  e.  z  E. v  e.  {
g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
128127imbi2d 314 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  ->  ( ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) )
129128ralbidv 2893 . . . . . . 7  |-  ( y  =  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  ->  ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  <->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) )
130125, 129spcev 3198 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
131103, 130syl 16 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
132131exlimiv 1727 . . . 4  |-  ( E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
133132alimi 1638 . . 3  |-  ( A. x E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  ->  A. x E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
1341, 133sylbi 195 . 2  |-  (CHOICE  ->  A. x E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
135 dfac2a 8501 . 2  |-  ( A. x E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  -> CHOICE )
136134, 135impbii 188 1  |-  (CHOICE  <->  A. x E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367   A.wal 1396    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823   E!weu 2284   E*wmo 2285   {cab 2439    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   E!wreu 2806    u. cun 3459    C_ wss 3461   (/)c0 3783   ~Pcpw 3999   {csn 4016   {cpr 4018   ran crn 4989   ` cfv 5570  CHOICEwac 8487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-reg 8010
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-eprel 4780  df-id 4784  df-fr 4827  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ac 8488
This theorem is referenced by:  dfac7  8503
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