MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac14lem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dfac14lem 20680
Description: Lemma for dfac14 20681. By equipping  S  u.  { P } for some  P  e/  S with the particular point topology, we can show that  P is in the closure of  S; hence the sequence  P ( x ) is in the product of the closures, and we can utilize this instance of ptcls 20679 to extract an element of the closure of  X_ k  e.  I S. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dfac14lem.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
dfac14lem.s  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  e.  W )
dfac14lem.0  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  =/=  (/) )
dfac14lem.p  |-  P  =  ~P U. S
dfac14lem.r  |-  R  =  { y  e.  ~P ( S  u.  { P } )  |  ( P  e.  y  -> 
y  =  ( S  u.  { P }
) ) }
dfac14lem.j  |-  J  =  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  R ) )
dfac14lem.c  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  X_ x  e.  I  S )  = 
X_ x  e.  I 
( ( cls `  R
) `  S )
)
Assertion
Ref Expression
dfac14lem  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I  S  =/=  (/) )
Distinct variable groups:    x, I    y, P    ph, x    y, S
Allowed substitution hints:    ph( y)    P( x)    R( x, y)    S( x)    I( y)    J( x, y)    V( x, y)    W( x, y)

Proof of Theorem dfac14lem
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  ( P  e.  y  <->  P  e.  z ) )
2 eqeq1 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  (
y  =  ( S  u.  { P }
)  <->  z  =  ( S  u.  { P } ) ) )
31, 2imbi12d 326 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
( P  e.  y  ->  y  =  ( S  u.  { P } ) )  <->  ( P  e.  z  ->  z  =  ( S  u.  { P } ) ) ) )
4 dfac14lem.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  { y  e.  ~P ( S  u.  { P } )  |  ( P  e.  y  -> 
y  =  ( S  u.  { P }
) ) }
53, 4elrab2 3209 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  R  <->  ( z  e.  ~P ( S  u.  { P } )  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  ( S  u.  { P }
) ) ) )
6 dfac14lem.0 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  =/=  (/) )
76adantr 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  z  e.  ~P ( S  u.  { P } ) )  ->  S  =/=  (/) )
8 ineq1 3638 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( S  u.  { P } )  -> 
( z  i^i  S
)  =  ( ( S  u.  { P } )  i^i  S
) )
9 ssun1 3608 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  C_  ( S  u.  { P } )
10 dfss1 3648 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S 
C_  ( S  u.  { P } )  <->  ( ( S  u.  { P } )  i^i  S
)  =  S )
119, 10mpbi 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  u.  { P } )  i^i  S
)  =  S
128, 11syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( S  u.  { P } )  -> 
( z  i^i  S
)  =  S )
1312neeq1d 2694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( S  u.  { P } )  -> 
( ( z  i^i 
S )  =/=  (/)  <->  S  =/=  (/) ) )
147, 13syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  z  e.  ~P ( S  u.  { P } ) )  ->  ( z  =  ( S  u.  { P } )  ->  (
z  i^i  S )  =/=  (/) ) )
1514imim2d 54 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  z  e.  ~P ( S  u.  { P } ) )  ->  ( ( P  e.  z  ->  z  =  ( S  u.  { P } ) )  ->  ( P  e.  z  ->  ( z  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
1615expimpd 612 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( z  e.  ~P ( S  u.  { P } )  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  ( S  u.  { P } ) ) )  ->  ( P  e.  z  ->  ( z  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
175, 16syl5bi 225 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
z  e.  R  -> 
( P  e.  z  ->  ( z  i^i 
S )  =/=  (/) ) ) )
1817ralrimiv 2811 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  A. z  e.  R  ( P  e.  z  ->  ( z  i^i  S )  =/=  (/) ) )
19 dfac14lem.s . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  e.  W )
20 snex 4654 . . . . . . . . . . . 12  |-  { P }  e.  _V
21 unexg 6618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  W  /\  { P }  e.  _V )  ->  ( S  u.  { P } )  e. 
_V )
2219, 20, 21sylancl 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( S  u.  { P } )  e.  _V )
23 ssun2 3609 . . . . . . . . . . . 12  |-  { P }  C_  ( S  u.  { P } )
24 dfac14lem.p . . . . . . . . . . . . . 14  |-  P  =  ~P U. S
25 uniexg 6614 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  W  ->  U. S  e.  _V )
26 pwexg 4600 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. S  e.  _V  ->  ~P
U. S  e.  _V )
2719, 25, 263syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ~P U. S  e.  _V )
2824, 27syl5eqel 2543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  P  e.  _V )
29 snidg 4005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  _V  ->  P  e.  { P } )
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  P  e.  { P } )
3123, 30sseldi 3441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  P  e.  ( S  u.  { P } ) )
32 epttop 20072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  u.  { P } )  e.  _V  /\  P  e.  ( S  u.  { P }
) )  ->  { y  e.  ~P ( S  u.  { P }
)  |  ( P  e.  y  ->  y  =  ( S  u.  { P } ) ) }  e.  (TopOn `  ( S  u.  { P } ) ) )
3322, 31, 32syl2anc 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  { y  e.  ~P ( S  u.  { P }
)  |  ( P  e.  y  ->  y  =  ( S  u.  { P } ) ) }  e.  (TopOn `  ( S  u.  { P } ) ) )
344, 33syl5eqel 2543 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  (TopOn `  ( S  u.  { P } ) ) )
35 topontop 19989 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  (TopOn `  ( S  u.  { P } ) )  ->  R  e.  Top )
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Top )
37 toponuni 19990 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  (TopOn `  ( S  u.  { P } ) )  -> 
( S  u.  { P } )  =  U. R )
3834, 37syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( S  u.  { P } )  =  U. R )
399, 38syl5sseq 3491 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  C_ 
U. R )
4031, 38eleqtrd 2541 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  P  e.  U. R )
41 eqid 2461 . . . . . . . . 9  |-  U. R  =  U. R
4241elcls 20137 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  C_  U. R  /\  P  e.  U. R )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  R
) `  S )  <->  A. z  e.  R  ( P  e.  z  -> 
( z  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
4336, 39, 40, 42syl3anc 1276 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  R ) `  S )  <->  A. z  e.  R  ( P  e.  z  ->  ( z  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
4418, 43mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  P  e.  ( ( cls `  R
) `  S )
)
4544ralrimiva 2813 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  P  e.  ( ( cls `  R ) `  S ) )
46 dfac14lem.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
47 mptelixpg 7584 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  (
( x  e.  I  |->  P )  e.  X_ x  e.  I  (
( cls `  R
) `  S )  <->  A. x  e.  I  P  e.  ( ( cls `  R ) `  S
) ) )
4846, 47syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  P )  e.  X_ x  e.  I 
( ( cls `  R
) `  S )  <->  A. x  e.  I  P  e.  ( ( cls `  R ) `  S
) ) )
4945, 48mpbird 240 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  P )  e.  X_ x  e.  I  (
( cls `  R
) `  S )
)
50 ne0i 3748 . . . 4  |-  ( ( x  e.  I  |->  P )  e.  X_ x  e.  I  ( ( cls `  R ) `  S )  ->  X_ x  e.  I  ( ( cls `  R ) `  S )  =/=  (/) )
5149, 50syl 17 . . 3  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I 
( ( cls `  R
) `  S )  =/=  (/) )
52 dfac14lem.c . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  X_ x  e.  I  S )  = 
X_ x  e.  I 
( ( cls `  R
) `  S )
)
5334ralrimiva 2813 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  (TopOn `  ( S  u.  { P } ) ) )
54 dfac14lem.j . . . . . 6  |-  J  =  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  R ) )
5554pttopon 20659 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  A. x  e.  I  R  e.  (TopOn `  ( S  u.  { P } ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X_ x  e.  I 
( S  u.  { P } ) ) )
5646, 53, 55syl2anc 671 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X_ x  e.  I  ( S  u.  { P } ) ) )
57 topontop 19989 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X_ x  e.  I  ( S  u.  { P } ) )  ->  J  e.  Top )
58 cls0 20144 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( cls `  J
) `  (/) )  =  (/) )
5956, 57, 583syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  (/) )  =  (/) )
6051, 52, 593netr4d 2712 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  X_ x  e.  I  S )  =/=  ( ( cls `  J
) `  (/) ) )
61 fveq2 5887 . . 3  |-  ( X_ x  e.  I  S  =  (/)  ->  ( ( cls `  J ) `  X_ x  e.  I  S )  =  ( ( cls `  J ) `
 (/) ) )
6261necon3i 2667 . 2  |-  ( ( ( cls `  J
) `  X_ x  e.  I  S )  =/=  ( ( cls `  J
) `  (/) )  ->  X_ x  e.  I  S  =/=  (/) )
6360, 62syl 17 1  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I  S  =/=  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897    =/= wne 2632   A.wral 2748   {crab 2752   _Vcvv 3056    u. cun 3413    i^i cin 3414    C_ wss 3415   (/)c0 3742   ~Pcpw 3962   {csn 3979   U.cuni 4211    |-> cmpt 4474   ` cfv 5600   X_cixp 7547   Xt_cpt 15385   Topctop 19965  TopOnctopon 19966   clsccl 20081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-iin 4294  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-er 7388  df-ixp 7548  df-en 7595  df-fin 7598  df-fi 7950  df-topgen 15390  df-pt 15391  df-top 19969  df-bases 19970  df-topon 19971  df-cld 20082  df-ntr 20083  df-cls 20084
This theorem is referenced by:  dfac14  20681
  Copyright terms: Public domain W3C validator