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Theorem dfac14 19191
Description: Theorem ptcls 19189 is an equivalent of the axiom of choice. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac14  |-  (CHOICE  <->  A. f
( f : dom  f
--> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P U. ( f `
 k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `
 X_ k  e.  dom  f ( s `  k ) )  = 
X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) ) )
Distinct variable group:    f, k, s

Proof of Theorem dfac14
Dummy variables  g  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  x  ->  (
f `  k )  =  ( f `  x ) )
21unieqd 4101 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  x  ->  U. (
f `  k )  =  U. ( f `  x ) )
32pweqd 3865 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  x  ->  ~P U. ( f `  k
)  =  ~P U. ( f `  x
) )
43cbvixpv 7281 . . . . . . 7  |-  X_ k  e.  dom  f ~P U. ( f `  k
)  =  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `  x
)
54eleq2i 2507 . . . . . 6  |-  ( s  e.  X_ k  e.  dom  f ~P U. ( f `
 k )  <->  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `  x ) )
6 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  ->  f : dom  f
--> Top )
76feqmptd 5744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  ->  f  =  ( k  e.  dom  f  |->  ( f `  k
) ) )
87fveq2d 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  ->  ( Xt_ `  f
)  =  ( Xt_ `  ( k  e.  dom  f  |->  ( f `  k ) ) ) )
98fveq2d 5695 . . . . . . . 8  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  ->  ( cls `  ( Xt_ `  f ) )  =  ( cls `  ( Xt_ `  ( k  e. 
dom  f  |->  ( f `
 k ) ) ) ) )
109fveq1d 5693 . . . . . . 7  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  ->  ( ( cls `  ( Xt_ `  f
) ) `  X_ k  e.  dom  f ( s `
 k ) )  =  ( ( cls `  ( Xt_ `  (
k  e.  dom  f  |->  ( f `  k
) ) ) ) `
 X_ k  e.  dom  f ( s `  k ) ) )
11 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( Xt_ `  ( k  e.  dom  f  |->  ( f `  k ) ) )  =  ( Xt_ `  (
k  e.  dom  f  |->  ( f `  k
) ) )
12 vex 2975 . . . . . . . . . 10  |-  f  e. 
_V
1312dmex 6511 . . . . . . . . 9  |-  dom  f  e.  _V
1413a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  ->  dom  f  e.  _V )
156ffvelrnda 5843 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  /\  k  e.  dom  f )  ->  (
f `  k )  e.  Top )
16 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  U. (
f `  k )  =  U. ( f `  k )
1716toptopon 18538 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  k )  e.  Top  <->  ( f `  k )  e.  (TopOn `  U. ( f `  k ) ) )
1815, 17sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  /\  k  e.  dom  f )  ->  (
f `  k )  e.  (TopOn `  U. ( f `
 k ) ) )
19 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  ->  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P
U. ( f `  x ) )
2019, 5sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  ->  s  e.  X_ k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) )
21 vex 2975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  s  e. 
_V
2221elixp 7270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  X_ k  e.  dom  f ~P U. ( f `
 k )  <->  ( s  Fn  dom  f  /\  A. k  e.  dom  f ( s `  k )  e.  ~P U. (
f `  k )
) )
2322simprbi 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  X_ k  e.  dom  f ~P U. ( f `
 k )  ->  A. k  e.  dom  f ( s `  k )  e.  ~P U. ( f `  k
) )
2420, 23syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  ->  A. k  e.  dom  f ( s `  k )  e.  ~P U. ( f `  k
) )
2524r19.21bi 2814 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  /\  k  e.  dom  f )  ->  (
s `  k )  e.  ~P U. ( f `
 k ) )
2625elpwid 3870 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  /\  k  e.  dom  f )  ->  (
s `  k )  C_ 
U. ( f `  k ) )
27 fvex 5701 . . . . . . . . . 10  |-  ( s `
 k )  e. 
_V
2813, 27iunex 6557 . . . . . . . . 9  |-  U_ k  e.  dom  f ( s `
 k )  e. 
_V
29 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  -> CHOICE
)
30 acacni 8309 . . . . . . . . . 10  |-  ( (CHOICE  /\  dom  f  e.  _V )  -> AC  dom  f  =  _V )
3129, 13, 30sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  -> AC  dom  f  =  _V )
3228, 31syl5eleqr 2530 . . . . . . . 8  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  ->  U_ k  e.  dom  f ( s `  k )  e. AC  dom  f
)
3311, 14, 18, 26, 32ptclsg 19188 . . . . . . 7  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  ->  ( ( cls `  ( Xt_ `  (
k  e.  dom  f  |->  ( f `  k
) ) ) ) `
 X_ k  e.  dom  f ( s `  k ) )  = 
X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) )
3410, 33eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  ->  ( ( cls `  ( Xt_ `  f
) ) `  X_ k  e.  dom  f ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) )
355, 34sylan2b 475 . . . . 5  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ k  e.  dom  f ~P U. ( f `
 k ) )  ->  ( ( cls `  ( Xt_ `  f
) ) `  X_ k  e.  dom  f ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) )
3635ralrimiva 2799 . . . 4  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Top )  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P U. ( f `
 k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `
 X_ k  e.  dom  f ( s `  k ) )  = 
X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) )
3736ex 434 . . 3  |-  (CHOICE  ->  (
f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) ) )
3837alrimiv 1685 . 2  |-  (CHOICE  ->  A. f
( f : dom  f
--> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P U. ( f `
 k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `
 X_ k  e.  dom  f ( s `  k ) )  = 
X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) ) )
39 vex 2975 . . . . . . . 8  |-  g  e. 
_V
4039dmex 6511 . . . . . . 7  |-  dom  g  e.  _V
4140a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A. f ( f : dom  f --> Top 
->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  ->  dom  g  e.  _V )
42 fvex 5701 . . . . . . 7  |-  ( g `
 x )  e. 
_V
4342a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. f ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  /\  x  e.  dom  g )  -> 
( g `  x
)  e.  _V )
44 simplrr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. f ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  /\  x  e.  dom  g )  ->  (/) 
e/  ran  g )
45 df-nel 2609 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e/ 
ran  g  <->  -.  (/)  e.  ran  g )
4644, 45sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. f ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  /\  x  e.  dom  g )  ->  -.  (/)  e.  ran  g
)
47 funforn 5627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun  g  <->  g : dom  g -onto-> ran  g )
48 fof 5620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : dom  g -onto-> ran  g  ->  g : dom  g --> ran  g )
4947, 48sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun  g  ->  g : dom  g --> ran  g )
5049ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. f ( f : dom  f --> Top 
->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  ->  g : dom  g --> ran  g
)
5150ffvelrnda 5843 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. f ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  /\  x  e.  dom  g )  -> 
( g `  x
)  e.  ran  g
)
52 eleq1 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g `  x )  =  (/)  ->  ( ( g `  x )  e.  ran  g  <->  (/)  e.  ran  g ) )
5351, 52syl5ibcom 220 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. f ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  /\  x  e.  dom  g )  -> 
( ( g `  x )  =  (/)  -> 
(/)  e.  ran  g ) )
5453necon3bd 2645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. f ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  /\  x  e.  dom  g )  -> 
( -.  (/)  e.  ran  g  ->  ( g `  x )  =/=  (/) ) )
5546, 54mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. f ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  /\  x  e.  dom  g )  -> 
( g `  x
)  =/=  (/) )
56 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ~P U. ( g `  x
)  =  ~P U. ( g `  x
)
57 eqid 2443 . . . . . 6  |-  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) }  =  {
y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) }
58 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Xt_ `  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e. 
~P ( ( g `
 x )  u. 
{ ~P U. (
g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `
 x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) )  =  ( Xt_ `  (
x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } ) )
59 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. f ( f : dom  f --> Top 
->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  ->  Fun  g )
60 funfn 5447 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun  g  <->  g  Fn  dom  g )
6159, 60sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. f ( f : dom  f --> Top 
->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  ->  g  Fn  dom  g )
62 ssun1 3519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g `
 k )  C_  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )
63 fvex 5701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g `
 k )  e. 
_V
6463elpw 3866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g `  k )  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  <->  ( g `  k )  C_  (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) )
6562, 64mpbir 209 . . . . . . . . . 10  |-  ( g `
 k )  e. 
~P ( ( g `
 k )  u. 
{ ~P U. (
g `  k ) } )
6665rgenw 2783 . . . . . . . . 9  |-  A. k  e.  dom  g ( g `
 k )  e. 
~P ( ( g `
 k )  u. 
{ ~P U. (
g `  k ) } )
6766a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. f ( f : dom  f --> Top 
->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  ->  A. k  e.  dom  g ( g `
 k )  e. 
~P ( ( g `
 k )  u. 
{ ~P U. (
g `  k ) } ) )
6839elixp 7270 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  X_ k  e.  dom  g ~P ( ( g `
 k )  u. 
{ ~P U. (
g `  k ) } )  <->  ( g  Fn  dom  g  /\  A. k  e.  dom  g ( g `  k )  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) )
6961, 67, 68sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ( A. f ( f : dom  f --> Top 
->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  ->  g  e.  X_ k  e.  dom  g ~P ( ( g `
 k )  u. 
{ ~P U. (
g `  k ) } ) )
70 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. f ( f : dom  f --> Top 
->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  ->  A. f
( f : dom  f
--> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P U. ( f `
 k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `
 X_ k  e.  dom  f ( s `  k ) )  = 
X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) ) )
71 snex 4533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { ~P U. ( g `  x
) }  e.  _V
7242, 71unex 6378 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  e. 
_V
73 ssun2 3520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { ~P U. ( g `  x
) }  C_  (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )
7442uniex 6376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. (
g `  x )  e.  _V
7574pwex 4475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ~P U. ( g `  x
)  e.  _V
7675snid 3905 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ~P U. ( g `  x
)  e.  { ~P U. ( g `  x
) }
7773, 76sselii 3353 . . . . . . . . . . . 12  |-  ~P U. ( g `  x
)  e.  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )
78 epttop 18613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  e.  _V  /\  ~P U. ( g `  x
)  e.  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) )  ->  { y  e. 
~P ( ( g `
 x )  u. 
{ ~P U. (
g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `
 x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) }  e.  (TopOn `  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) )
7972, 77, 78mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) }  e.  (TopOn `  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) )
8079topontopi 18536 . . . . . . . . . 10  |-  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) }  e.  Top
8180a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. f ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  /\  x  e.  dom  g )  ->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) }  e.  Top )
82 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  =  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e. 
~P ( ( g `
 x )  u. 
{ ~P U. (
g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `
 x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )
8381, 82fmptd 5867 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. f ( f : dom  f --> Top 
->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  ->  (
x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } ) : dom  g
--> Top )
8440mptex 5948 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  e. 
_V
85 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  -> 
f  =  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) )
86 dmeq 5040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  ->  dom  f  =  dom  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e. 
~P ( ( g `
 x )  u. 
{ ~P U. (
g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `
 x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) )
8772pwex 4475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  e. 
_V
8887rabex 4443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) }  e.  _V
8988, 82dmmpti 5540 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (
x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } )  =  dom  g
9086, 89syl6eq 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  ->  dom  f  =  dom  g )
9185, 90feq12d 5548 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  -> 
( f : dom  f
--> Top  <->  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) : dom  g --> Top )
)
9290ixpeq1d 7275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  ->  X_ k  e.  dom  f ~P U. ( f `  k )  =  X_ k  e.  dom  g ~P
U. ( f `  k ) )
93 fveq1 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  -> 
( f `  k
)  =  ( ( x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } ) `  k
) )
94 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  k  ->  (
g `  x )  =  ( g `  k ) )
9594unieqd 4101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  k  ->  U. (
g `  x )  =  U. ( g `  k ) )
9695pweqd 3865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  k  ->  ~P U. ( g `  x
)  =  ~P U. ( g `  k
) )
9796sneqd 3889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  k  ->  { ~P U. ( g `  x
) }  =  { ~P U. ( g `  k ) } )
9894, 97uneq12d 3511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  k  ->  (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) )
9998pweqd 3865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  k  ->  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  =  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) )
10096eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  k  ->  ( ~P U. ( g `  x )  e.  y  <->  ~P U. ( g `  k )  e.  y ) )
10198eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  k  ->  (
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  <->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) )
102100, 101imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  k  ->  (
( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) )  <->  ( ~P U. ( g `  k
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) ) )
10399, 102rabeqbidv 2967 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  k  ->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) }  =  {
y  e.  ~P (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) } )
104 snex 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { ~P U. ( g `  k
) }  e.  _V
10563, 104unex 6378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  e. 
_V
106105pwex 4475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ~P (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  e. 
_V
107106rabex 4443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) }  e.  _V
108103, 82, 107fvmpt 5774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  dom  g  -> 
( ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) `  k )  =  {
y  e.  ~P (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) } )
10993, 108sylan9eq 2495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  =  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  /\  k  e.  dom  g )  ->  ( f `  k )  =  {
y  e.  ~P (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) } )
110109unieqd 4101 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  =  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  /\  k  e.  dom  g )  ->  U. ( f `  k )  =  U. { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `  k
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) } )
111 ssun2 3520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { ~P U. ( g `  k
) }  C_  (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )
11263uniex 6376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U. (
g `  k )  e.  _V
113112pwex 4475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ~P U. ( g `  k
)  e.  _V
114113snid 3905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ~P U. ( g `  k
)  e.  { ~P U. ( g `  k
) }
115111, 114sselii 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ~P U. ( g `  k
)  e.  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )
116 epttop 18613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  e.  _V  /\  ~P U. ( g `  k
)  e.  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) )  ->  { y  e. 
~P ( ( g `
 k )  u. 
{ ~P U. (
g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `
 k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) }  e.  (TopOn `  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) )
117105, 115, 116mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) }  e.  (TopOn `  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) )
118117toponunii 18537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  = 
U. { y  e. 
~P ( ( g `
 k )  u. 
{ ~P U. (
g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `
 k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) }
119110, 118syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  =  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  /\  k  e.  dom  g )  ->  U. ( f `  k )  =  ( ( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) )
120119pweqd 3865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  /\  k  e.  dom  g )  ->  ~P U. (
f `  k )  =  ~P ( ( g `
 k )  u. 
{ ~P U. (
g `  k ) } ) )
121120ixpeq2dva 7278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  ->  X_ k  e.  dom  g ~P U. ( f `  k )  =  X_ k  e.  dom  g ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) )
12292, 121eqtrd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  ->  X_ k  e.  dom  f ~P U. ( f `  k )  =  X_ k  e.  dom  g ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) )
123 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  -> 
( Xt_ `  f )  =  ( Xt_ `  (
x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } ) ) )
124123fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  -> 
( cls `  ( Xt_ `  f ) )  =  ( cls `  ( Xt_ `  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) ) ) )
12590ixpeq1d 7275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  ->  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
)  =  X_ k  e.  dom  g ( s `
 k ) )
126124, 125fveq12d 5697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  -> 
( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `
 X_ k  e.  dom  f ( s `  k ) )  =  ( ( cls `  ( Xt_ `  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) ) ) `  X_ k  e.  dom  g ( s `
 k ) ) )
12790ixpeq1d 7275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  ->  X_ k  e.  dom  f
( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) )  = 
X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) )
128109fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  =  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  /\  k  e.  dom  g )  ->  ( cls `  (
f `  k )
)  =  ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `  k
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) } ) )
129128fveq1d 5693 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  =  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  /\  k  e.  dom  g )  ->  ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
)  =  ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) } ) `  ( s `  k
) ) )
130129ixpeq2dva 7278 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  ->  X_ k  e.  dom  g
( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) )  = 
X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `  k
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) } ) `  (
s `  k )
) )
131127, 130eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  ->  X_ k  e.  dom  f
( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) )  = 
X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `  k
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) } ) `  (
s `  k )
) )
132126, 131eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  -> 
( ( ( cls `  ( Xt_ `  f
) ) `  X_ k  e.  dom  f ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
)  <->  ( ( cls `  ( Xt_ `  (
x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } ) ) ) `
 X_ k  e.  dom  g ( s `  k ) )  = 
X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `  k
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) } ) `  (
s `  k )
) ) )
133122, 132raleqbidv 2931 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  -> 
( A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P U. ( f `
 k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `
 X_ k  e.  dom  f ( s `  k ) )  = 
X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
)  <->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  g ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ( ( cls `  ( Xt_ `  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) ) ) `  X_ k  e.  dom  g ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `  k
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) } ) `  (
s `  k )
) ) )
13491, 133imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  -> 
( ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P U. ( f `  k
) ( ( cls `  ( Xt_ `  f
) ) `  X_ k  e.  dom  f ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) )  <->  ( (
x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } ) : dom  g
--> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  g ~P ( ( g `
 k )  u. 
{ ~P U. (
g `  k ) } ) ( ( cls `  ( Xt_ `  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e. 
~P ( ( g `
 x )  u. 
{ ~P U. (
g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `
 x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) ) ) `  X_ k  e.  dom  g ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `  k
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) } ) `  (
s `  k )
) ) ) )
13584, 134spcv 3063 . . . . . . . 8  |-  ( A. f ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P U. ( f `  k
) ( ( cls `  ( Xt_ `  f
) ) `  X_ k  e.  dom  f ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) )  ->  (
( x  e.  dom  g  |->  { y  e. 
~P ( ( g `
 x )  u. 
{ ~P U. (
g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `
 x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) : dom  g --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  g ~P (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ( ( cls `  ( Xt_ `  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) ) ) `  X_ k  e.  dom  g ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `  k
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) } ) `  (
s `  k )
) ) )
13670, 83, 135sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( A. f ( f : dom  f --> Top 
->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  g ~P ( ( g `
 k )  u. 
{ ~P U. (
g `  k ) } ) ( ( cls `  ( Xt_ `  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e. 
~P ( ( g `
 x )  u. 
{ ~P U. (
g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `
 x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) ) ) `  X_ k  e.  dom  g ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `  k
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) } ) `  (
s `  k )
) )
137 fveq1 5690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  g  ->  (
s `  k )  =  ( g `  k ) )
138137ixpeq2dv 7279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  g  ->  X_ k  e.  dom  g ( s `
 k )  = 
X_ k  e.  dom  g ( g `  k ) )
139 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  x  ->  (
g `  k )  =  ( g `  x ) )
140139cbvixpv 7281 . . . . . . . . . . 11  |-  X_ k  e.  dom  g ( g `
 k )  = 
X_ x  e.  dom  g ( g `  x )
141138, 140syl6eq 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  g  ->  X_ k  e.  dom  g ( s `
 k )  = 
X_ x  e.  dom  g ( g `  x ) )
142141fveq2d 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  g  ->  (
( cls `  ( Xt_ `  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) ) ) `  X_ k  e.  dom  g ( s `
 k ) )  =  ( ( cls `  ( Xt_ `  (
x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } ) ) ) `
 X_ x  e.  dom  g ( g `  x ) ) )
143137fveq2d 5695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  g  ->  (
( cls `  {
y  e.  ~P (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) } ) `  ( s `  k
) )  =  ( ( cls `  {
y  e.  ~P (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) } ) `  ( g `  k
) ) )
144143ixpeq2dv 7279 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  g  ->  X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) } ) `  ( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  {
y  e.  ~P (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) } ) `  ( g `  k
) ) )
145139unieqd 4101 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  x  ->  U. (
g `  k )  =  U. ( g `  x ) )
146145pweqd 3865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  x  ->  ~P U. ( g `  k
)  =  ~P U. ( g `  x
) )
147146sneqd 3889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  x  ->  { ~P U. ( g `  k
) }  =  { ~P U. ( g `  x ) } )
148139, 147uneq12d 3511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  x  ->  (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) )
149148pweqd 3865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  x  ->  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  =  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) )
150146eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  x  ->  ( ~P U. ( g `  k )  e.  y  <->  ~P U. ( g `  x )  e.  y ) )
151148eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  x  ->  (
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  <->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) )
152150, 151imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  x  ->  (
( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) )  <->  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) ) )
153149, 152rabeqbidv 2967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  x  ->  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) }  =  {
y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )
154153fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  x  ->  ( cls `  { y  e. 
~P ( ( g `
 k )  u. 
{ ~P U. (
g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `
 k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) } )  =  ( cls `  {
y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) )
155154, 139fveq12d 5697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  x  ->  (
( cls `  {
y  e.  ~P (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) } ) `  ( g `  k
) )  =  ( ( cls `  {
y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) `  ( g `  x
) ) )
156155cbvixpv 7281 . . . . . . . . . 10  |-  X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) } ) `  ( g `  k
) )  =  X_ x  e.  dom  g ( ( cls `  {
y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) `  ( g `  x
) )
157144, 156syl6eq 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  g  ->  X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) } ) `  ( s `  k
) )  =  X_ x  e.  dom  g ( ( cls `  {
y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) `  ( g `  x
) ) )
158142, 157eqeq12d 2457 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  g  ->  (
( ( cls `  ( Xt_ `  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) ) ) `  X_ k  e.  dom  g ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `  k
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) } ) `  (
s `  k )
)  <->  ( ( cls `  ( Xt_ `  (
x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } ) ) ) `
 X_ x  e.  dom  g ( g `  x ) )  = 
X_ x  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } ) `  (
g `  x )
) ) )
159158rspcv 3069 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  X_ k  e.  dom  g ~P ( ( g `
 k )  u. 
{ ~P U. (
g `  k ) } )  ->  ( A. s  e.  X_  k  e.  dom  g ~P (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ( ( cls `  ( Xt_ `  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) ) ) `  X_ k  e.  dom  g ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `  k
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) } ) `  (
s `  k )
)  ->  ( ( cls `  ( Xt_ `  (
x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } ) ) ) `
 X_ x  e.  dom  g ( g `  x ) )  = 
X_ x  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } ) `  (
g `  x )
) ) )
16069, 136, 159sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ( A. f ( f : dom  f --> Top 
->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  ->  (
( cls `  ( Xt_ `  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) ) ) `  X_ x  e.  dom  g ( g `
 x ) )  =  X_ x  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } ) `  (
g `  x )
) )
16141, 43, 55, 56, 57, 58, 160dfac14lem 19190 . . . . 5  |-  ( ( A. f ( f : dom  f --> Top 
->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  ->  X_ x  e.  dom  g ( g `
 x )  =/=  (/) )
162161ex 434 . . . 4  |-  ( A. f ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P U. ( f `  k
) ( ( cls `  ( Xt_ `  f
) ) `  X_ k  e.  dom  f ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) )  ->  (
( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  -> 
X_ x  e.  dom  g ( g `  x )  =/=  (/) ) )
163162alrimiv 1685 . . 3  |-  ( A. f ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P U. ( f `  k
) ( ( cls `  ( Xt_ `  f
) ) `  X_ k  e.  dom  f ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) )  ->  A. g
( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
)  ->  X_ x  e. 
dom  g ( g `
 x )  =/=  (/) ) )
164 dfac9 8305 . . 3  |-  (CHOICE  <->  A. g
( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
)  ->  X_ x  e. 
dom  g ( g `
 x )  =/=  (/) ) )
165163, 164sylibr 212 . 2  |-  ( A. f ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P U. ( f `  k
) ( ( cls `  ( Xt_ `  f
) ) `  X_ k  e.  dom  f ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) )  -> CHOICE )
16638, 165impbii 188 1  |-  (CHOICE  <->  A. f
( f : dom  f
--> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P U. ( f `
 k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `
 X_ k  e.  dom  f ( s `  k ) )  = 
X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606    e/ wnel 2607   A.wral 2715   {crab 2719   _Vcvv 2972    u. cun 3326    C_ wss 3328   (/)c0 3637   ~Pcpw 3860   {csn 3877   U.cuni 4091   U_ciun 4171    e. cmpt 4350   dom cdm 4840   ran crn 4841   Fun wfun 5412    Fn wfn 5413   -->wf 5414   -onto->wfo 5416   ` cfv 5418   X_cixp 7263  AC wacn 8108  CHOICEwac 8285   Xt_cpt 14377   Topctop 18498  TopOnctopon 18499   clsccl 18622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-fin 7314  df-fi 7661  df-card 8109  df-acn 8112  df-ac 8286  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625
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