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Theorem dfac14 20244
Description: Theorem ptcls 20242 is an equivalent of the axiom of choice. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac14  |-  (CHOICE  <->  A. f
( f : dom  f
--> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P U. ( f `
 k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `
 X_ k  e.  dom  f ( s `  k ) )  = 
X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) ) )
Distinct variable group:    f, k, s

Proof of Theorem dfac14
Dummy variables  g  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  x  ->  (
f `  k )  =  ( f `  x ) )
21unieqd 4261 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  x  ->  U. (
f `  k )  =  U. ( f `  x ) )
32pweqd 4020 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  x  ->  ~P U. ( f `  k
)  =  ~P U. ( f `  x
) )
43cbvixpv 7506 . . . . . . 7  |-  X_ k  e.  dom  f ~P U. ( f `  k
)  =  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `  x
)
54eleq2i 2535 . . . . . 6  |-  ( s  e.  X_ k  e.  dom  f ~P U. ( f `
 k )  <->  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `  x ) )
6 simplr 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  ->  f : dom  f
--> Top )
76feqmptd 5926 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  ->  f  =  ( k  e.  dom  f  |->  ( f `  k
) ) )
87fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  ->  ( Xt_ `  f
)  =  ( Xt_ `  ( k  e.  dom  f  |->  ( f `  k ) ) ) )
98fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  ->  ( cls `  ( Xt_ `  f ) )  =  ( cls `  ( Xt_ `  ( k  e. 
dom  f  |->  ( f `
 k ) ) ) ) )
109fveq1d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  ->  ( ( cls `  ( Xt_ `  f
) ) `  X_ k  e.  dom  f ( s `
 k ) )  =  ( ( cls `  ( Xt_ `  (
k  e.  dom  f  |->  ( f `  k
) ) ) ) `
 X_ k  e.  dom  f ( s `  k ) ) )
11 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( Xt_ `  ( k  e.  dom  f  |->  ( f `  k ) ) )  =  ( Xt_ `  (
k  e.  dom  f  |->  ( f `  k
) ) )
12 vex 3112 . . . . . . . . . 10  |-  f  e. 
_V
1312dmex 6732 . . . . . . . . 9  |-  dom  f  e.  _V
1413a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  ->  dom  f  e.  _V )
156ffvelrnda 6032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  /\  k  e.  dom  f )  ->  (
f `  k )  e.  Top )
16 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  U. (
f `  k )  =  U. ( f `  k )
1716toptopon 19560 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  k )  e.  Top  <->  ( f `  k )  e.  (TopOn `  U. ( f `  k ) ) )
1815, 17sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  /\  k  e.  dom  f )  ->  (
f `  k )  e.  (TopOn `  U. ( f `
 k ) ) )
19 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  ->  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P
U. ( f `  x ) )
2019, 5sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  ->  s  e.  X_ k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) )
21 vex 3112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  s  e. 
_V
2221elixp 7495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  X_ k  e.  dom  f ~P U. ( f `
 k )  <->  ( s  Fn  dom  f  /\  A. k  e.  dom  f ( s `  k )  e.  ~P U. (
f `  k )
) )
2322simprbi 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  X_ k  e.  dom  f ~P U. ( f `
 k )  ->  A. k  e.  dom  f ( s `  k )  e.  ~P U. ( f `  k
) )
2420, 23syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  ->  A. k  e.  dom  f ( s `  k )  e.  ~P U. ( f `  k
) )
2524r19.21bi 2826 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  /\  k  e.  dom  f )  ->  (
s `  k )  e.  ~P U. ( f `
 k ) )
2625elpwid 4025 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  /\  k  e.  dom  f )  ->  (
s `  k )  C_ 
U. ( f `  k ) )
27 fvex 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( s `
 k )  e. 
_V
2813, 27iunex 6779 . . . . . . . . 9  |-  U_ k  e.  dom  f ( s `
 k )  e. 
_V
29 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  -> CHOICE
)
30 acacni 8537 . . . . . . . . . 10  |-  ( (CHOICE  /\  dom  f  e.  _V )  -> AC  dom  f  =  _V )
3129, 13, 30sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  -> AC  dom  f  =  _V )
3228, 31syl5eleqr 2552 . . . . . . . 8  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  ->  U_ k  e.  dom  f ( s `  k )  e. AC  dom  f
)
3311, 14, 18, 26, 32ptclsg 20241 . . . . . . 7  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  ->  ( ( cls `  ( Xt_ `  (
k  e.  dom  f  |->  ( f `  k
) ) ) ) `
 X_ k  e.  dom  f ( s `  k ) )  = 
X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) )
3410, 33eqtrd 2498 . . . . . 6  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  ->  ( ( cls `  ( Xt_ `  f
) ) `  X_ k  e.  dom  f ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) )
355, 34sylan2b 475 . . . . 5  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ k  e.  dom  f ~P U. ( f `
 k ) )  ->  ( ( cls `  ( Xt_ `  f
) ) `  X_ k  e.  dom  f ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) )
3635ralrimiva 2871 . . . 4  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Top )  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P U. ( f `
 k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `
 X_ k  e.  dom  f ( s `  k ) )  = 
X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) )
3736ex 434 . . 3  |-  (CHOICE  ->  (
f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) ) )
3837alrimiv 1720 . 2  |-  (CHOICE  ->  A. f
( f : dom  f
--> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P U. ( f `
 k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `
 X_ k  e.  dom  f ( s `  k ) )  = 
X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) ) )
39 vex 3112 . . . . . . . 8  |-  g  e. 
_V
4039dmex 6732 . . . . . . 7  |-  dom  g  e.  _V
4140a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A. f ( f : dom  f --> Top 
->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  ->  dom  g  e.  _V )
42 fvex 5882 . . . . . . 7  |-  ( g `
 x )  e. 
_V
4342a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. f ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  /\  x  e.  dom  g )  -> 
( g `  x
)  e.  _V )
44 simplrr 762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. f ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  /\  x  e.  dom  g )  ->  (/) 
e/  ran  g )
45 df-nel 2655 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e/ 
ran  g  <->  -.  (/)  e.  ran  g )
4644, 45sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. f ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  /\  x  e.  dom  g )  ->  -.  (/)  e.  ran  g
)
47 funforn 5808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun  g  <->  g : dom  g -onto-> ran  g )
48 fof 5801 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : dom  g -onto-> ran  g  ->  g : dom  g --> ran  g )
4947, 48sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun  g  ->  g : dom  g --> ran  g )
5049ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. f ( f : dom  f --> Top 
->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  ->  g : dom  g --> ran  g
)
5150ffvelrnda 6032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. f ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  /\  x  e.  dom  g )  -> 
( g `  x
)  e.  ran  g
)
52 eleq1 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g `  x )  =  (/)  ->  ( ( g `  x )  e.  ran  g  <->  (/)  e.  ran  g ) )
5351, 52syl5ibcom 220 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. f ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  /\  x  e.  dom  g )  -> 
( ( g `  x )  =  (/)  -> 
(/)  e.  ran  g ) )
5453necon3bd 2669 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. f ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  /\  x  e.  dom  g )  -> 
( -.  (/)  e.  ran  g  ->  ( g `  x )  =/=  (/) ) )
5546, 54mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. f ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  /\  x  e.  dom  g )  -> 
( g `  x
)  =/=  (/) )
56 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ~P U. ( g `  x
)  =  ~P U. ( g `  x
)
57 eqid 2457 . . . . . 6  |-  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) }  =  {
y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) }
58 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( Xt_ `  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e. 
~P ( ( g `
 x )  u. 
{ ~P U. (
g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `
 x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) )  =  ( Xt_ `  (
x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } ) )
59 simprl 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. f ( f : dom  f --> Top 
->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  ->  Fun  g )
60 funfn 5623 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun  g  <->  g  Fn  dom  g )
6159, 60sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. f ( f : dom  f --> Top 
->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  ->  g  Fn  dom  g )
62 ssun1 3663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g `
 k )  C_  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )
63 fvex 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g `
 k )  e. 
_V
6463elpw 4021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g `  k )  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  <->  ( g `  k )  C_  (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) )
6562, 64mpbir 209 . . . . . . . . . 10  |-  ( g `
 k )  e. 
~P ( ( g `
 k )  u. 
{ ~P U. (
g `  k ) } )
6665rgenw 2818 . . . . . . . . 9  |-  A. k  e.  dom  g ( g `
 k )  e. 
~P ( ( g `
 k )  u. 
{ ~P U. (
g `  k ) } )
6766a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. f ( f : dom  f --> Top 
->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  ->  A. k  e.  dom  g ( g `
 k )  e. 
~P ( ( g `
 k )  u. 
{ ~P U. (
g `  k ) } ) )
6839elixp 7495 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  X_ k  e.  dom  g ~P ( ( g `
 k )  u. 
{ ~P U. (
g `  k ) } )  <->  ( g  Fn  dom  g  /\  A. k  e.  dom  g ( g `  k )  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) )
6961, 67, 68sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ( A. f ( f : dom  f --> Top 
->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  ->  g  e.  X_ k  e.  dom  g ~P ( ( g `
 k )  u. 
{ ~P U. (
g `  k ) } ) )
70 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. f ( f : dom  f --> Top 
->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  ->  A. f
( f : dom  f
--> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P U. ( f `
 k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `
 X_ k  e.  dom  f ( s `  k ) )  = 
X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) ) )
71 snex 4697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { ~P U. ( g `  x
) }  e.  _V
7242, 71unex 6597 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  e. 
_V
73 ssun2 3664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { ~P U. ( g `  x
) }  C_  (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )
7442uniex 6595 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. (
g `  x )  e.  _V
7574pwex 4639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ~P U. ( g `  x
)  e.  _V
7675snid 4060 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ~P U. ( g `  x
)  e.  { ~P U. ( g `  x
) }
7773, 76sselii 3496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ~P U. ( g `  x
)  e.  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )
78 epttop 19636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  e.  _V  /\  ~P U. ( g `  x
)  e.  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) )  ->  { y  e. 
~P ( ( g `
 x )  u. 
{ ~P U. (
g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `
 x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) }  e.  (TopOn `  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) )
7972, 77, 78mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) }  e.  (TopOn `  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) )
8079topontopi 19558 . . . . . . . . . 10  |-  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) }  e.  Top
8180a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. f ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  /\  x  e.  dom  g )  ->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) }  e.  Top )
82 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  =  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e. 
~P ( ( g `
 x )  u. 
{ ~P U. (
g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `
 x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )
8381, 82fmptd 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. f ( f : dom  f --> Top 
->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  ->  (
x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } ) : dom  g
--> Top )
8440mptex 6144 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  e. 
_V
85 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  -> 
f  =  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) )
86 dmeq 5213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  ->  dom  f  =  dom  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e. 
~P ( ( g `
 x )  u. 
{ ~P U. (
g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `
 x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) )
8772pwex 4639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  e. 
_V
8887rabex 4607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) }  e.  _V
8988, 82dmmpti 5716 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (
x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } )  =  dom  g
9086, 89syl6eq 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  ->  dom  f  =  dom  g )
9185, 90feq12d 5726 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  -> 
( f : dom  f
--> Top  <->  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) : dom  g --> Top )
)
9290ixpeq1d 7500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  ->  X_ k  e.  dom  f ~P U. ( f `  k )  =  X_ k  e.  dom  g ~P
U. ( f `  k ) )
93 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  -> 
( f `  k
)  =  ( ( x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } ) `  k
) )
94 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  k  ->  (
g `  x )  =  ( g `  k ) )
9594unieqd 4261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  k  ->  U. (
g `  x )  =  U. ( g `  k ) )
9695pweqd 4020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  k  ->  ~P U. ( g `  x
)  =  ~P U. ( g `  k
) )
9796sneqd 4044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  k  ->  { ~P U. ( g `  x
) }  =  { ~P U. ( g `  k ) } )
9894, 97uneq12d 3655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  k  ->  (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) )
9998pweqd 4020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  k  ->  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  =  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) )
10096eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  k  ->  ( ~P U. ( g `  x )  e.  y  <->  ~P U. ( g `  k )  e.  y ) )
10198eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  k  ->  (
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  <->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) )
102100, 101imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  k  ->  (
( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) )  <->  ( ~P U. ( g `  k
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) ) )
10399, 102rabeqbidv 3104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  k  ->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) }  =  {
y  e.  ~P (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) } )
104 snex 4697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { ~P U. ( g `  k
) }  e.  _V
10563, 104unex 6597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  e. 
_V
106105pwex 4639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ~P (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  e. 
_V
107106rabex 4607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) }  e.  _V
108103, 82, 107fvmpt 5956 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  dom  g  -> 
( ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) `  k )  =  {
y  e.  ~P (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) } )
10993, 108sylan9eq 2518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  =  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  /\  k  e.  dom  g )  ->  ( f `  k )  =  {
y  e.  ~P (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) } )
110109unieqd 4261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  =  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  /\  k  e.  dom  g )  ->  U. ( f `  k )  =  U. { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `  k
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) } )
111 ssun2 3664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { ~P U. ( g `  k
) }  C_  (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )
11263uniex 6595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U. (
g `  k )  e.  _V
113112pwex 4639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ~P U. ( g `  k
)  e.  _V
114113snid 4060 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ~P U. ( g `  k
)  e.  { ~P U. ( g `  k
) }
115111, 114sselii 3496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ~P U. ( g `  k
)  e.  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )
116 epttop 19636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  e.  _V  /\  ~P U. ( g `  k
)  e.  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) )  ->  { y  e. 
~P ( ( g `
 k )  u. 
{ ~P U. (
g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `
 k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) }  e.  (TopOn `  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) )
117105, 115, 116mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) }  e.  (TopOn `  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) )
118117toponunii 19559 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  = 
U. { y  e. 
~P ( ( g `
 k )  u. 
{ ~P U. (
g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `
 k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) }
119110, 118syl6eqr 2516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  =  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  /\  k  e.  dom  g )  ->  U. ( f `  k )  =  ( ( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) )
120119pweqd 4020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  /\  k  e.  dom  g )  ->  ~P U. (
f `  k )  =  ~P ( ( g `
 k )  u. 
{ ~P U. (
g `  k ) } ) )
121120ixpeq2dva 7503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  ->  X_ k  e.  dom  g ~P U. ( f `  k )  =  X_ k  e.  dom  g ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) )
12292, 121eqtrd 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  ->  X_ k  e.  dom  f ~P U. ( f `  k )  =  X_ k  e.  dom  g ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) )
123 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  -> 
( Xt_ `  f )  =  ( Xt_ `  (
x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } ) ) )
124123fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  -> 
( cls `  ( Xt_ `  f ) )  =  ( cls `  ( Xt_ `  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) ) ) )
12590ixpeq1d 7500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  ->  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
)  =  X_ k  e.  dom  g ( s `
 k ) )
126124, 125fveq12d 5878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  -> 
( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `
 X_ k  e.  dom  f ( s `  k ) )  =  ( ( cls `  ( Xt_ `  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) ) ) `  X_ k  e.  dom  g ( s `
 k ) ) )
12790ixpeq1d 7500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  ->  X_ k  e.  dom  f
( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) )  = 
X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) )
128109fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  =  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  /\  k  e.  dom  g )  ->  ( cls `  (
f `  k )
)  =  ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `  k
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) } ) )
129128fveq1d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  =  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  /\  k  e.  dom  g )  ->  ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
)  =  ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) } ) `  ( s `  k
) ) )
130129ixpeq2dva 7503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  ->  X_ k  e.  dom  g
( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) )  = 
X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `  k
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) } ) `  (
s `  k )
) )
131127, 130eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  ->  X_ k  e.  dom  f
( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) )  = 
X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `  k
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) } ) `  (
s `  k )
) )
132126, 131eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  -> 
( ( ( cls `  ( Xt_ `  f
) ) `  X_ k  e.  dom  f ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
)  <->  ( ( cls `  ( Xt_ `  (
x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } ) ) ) `
 X_ k  e.  dom  g ( s `  k ) )  = 
X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `  k
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) } ) `  (
s `  k )
) ) )
133122, 132raleqbidv 3068 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  -> 
( A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P U. ( f `
 k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `
 X_ k  e.  dom  f ( s `  k ) )  = 
X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
)  <->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  g ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ( ( cls `  ( Xt_ `  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) ) ) `  X_ k  e.  dom  g ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `  k
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) } ) `  (
s `  k )
) ) )
13491, 133imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  -> 
( ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P U. ( f `  k
) ( ( cls `  ( Xt_ `  f
) ) `  X_ k  e.  dom  f ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) )  <->  ( (
x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } ) : dom  g
--> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  g ~P ( ( g `
 k )  u. 
{ ~P U. (
g `  k ) } ) ( ( cls `  ( Xt_ `  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e. 
~P ( ( g `
 x )  u. 
{ ~P U. (
g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `
 x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) ) ) `  X_ k  e.  dom  g ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `  k
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) } ) `  (
s `  k )
) ) ) )
13584, 134spcv 3200 . . . . . . . 8  |-  ( A. f ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P U. ( f `  k
) ( ( cls `  ( Xt_ `  f
) ) `  X_ k  e.  dom  f ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) )  ->  (
( x  e.  dom  g  |->  { y  e. 
~P ( ( g `
 x )  u. 
{ ~P U. (
g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `
 x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) : dom  g --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  g ~P (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ( ( cls `  ( Xt_ `  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) ) ) `  X_ k  e.  dom  g ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `  k
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) } ) `  (
s `  k )
) ) )
13670, 83, 135sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( A. f ( f : dom  f --> Top 
->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  g ~P ( ( g `
 k )  u. 
{ ~P U. (
g `  k ) } ) ( ( cls `  ( Xt_ `  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e. 
~P ( ( g `
 x )  u. 
{ ~P U. (
g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `
 x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) ) ) `  X_ k  e.  dom  g ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `  k
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) } ) `  (
s `  k )
) )
137 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  g  ->  (
s `  k )  =  ( g `  k ) )
138137ixpeq2dv 7504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  g  ->  X_ k  e.  dom  g ( s `
 k )  = 
X_ k  e.  dom  g ( g `  k ) )
139 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  x  ->  (
g `  k )  =  ( g `  x ) )
140139cbvixpv 7506 . . . . . . . . . . 11  |-  X_ k  e.  dom  g ( g `
 k )  = 
X_ x  e.  dom  g ( g `  x )
141138, 140syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  g  ->  X_ k  e.  dom  g ( s `
 k )  = 
X_ x  e.  dom  g ( g `  x ) )
142141fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  g  ->  (
( cls `  ( Xt_ `  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) ) ) `  X_ k  e.  dom  g ( s `
 k ) )  =  ( ( cls `  ( Xt_ `  (
x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } ) ) ) `
 X_ x  e.  dom  g ( g `  x ) ) )
143137fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  g  ->  (
( cls `  {
y  e.  ~P (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) } ) `  ( s `  k
) )  =  ( ( cls `  {
y  e.  ~P (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) } ) `  ( g `  k
) ) )
144143ixpeq2dv 7504 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  g  ->  X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) } ) `  ( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  {
y  e.  ~P (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) } ) `  ( g `  k
) ) )
145139unieqd 4261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  x  ->  U. (
g `  k )  =  U. ( g `  x ) )
146145pweqd 4020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  x  ->  ~P U. ( g `  k
)  =  ~P U. ( g `  x
) )
147146sneqd 4044 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  x  ->  { ~P U. ( g `  k
) }  =  { ~P U. ( g `  x ) } )
148139, 147uneq12d 3655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  x  ->  (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) )
149148pweqd 4020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  x  ->  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  =  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) )
150146eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  x  ->  ( ~P U. ( g `  k )  e.  y  <->  ~P U. ( g `  x )  e.  y ) )
151148eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  x  ->  (
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  <->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) )
152150, 151imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  x  ->  (
( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) )  <->  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) ) )
153149, 152rabeqbidv 3104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  x  ->  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) }  =  {
y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )
154153fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  x  ->  ( cls `  { y  e. 
~P ( ( g `
 k )  u. 
{ ~P U. (
g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `
 k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) } )  =  ( cls `  {
y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) )
155154, 139fveq12d 5878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  x  ->  (
( cls `  {
y  e.  ~P (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) } ) `  ( g `  k
) )  =  ( ( cls `  {
y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) `  ( g `  x
) ) )
156155cbvixpv 7506 . . . . . . . . . 10  |-  X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) } ) `  ( g `  k
) )  =  X_ x  e.  dom  g ( ( cls `  {
y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) `  ( g `  x
) )
157144, 156syl6eq 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  g  ->  X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) } ) `  ( s `  k
) )  =  X_ x  e.  dom  g ( ( cls `  {
y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) `  ( g `  x
) ) )
158142, 157eqeq12d 2479 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  g  ->  (
( ( cls `  ( Xt_ `  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) ) ) `  X_ k  e.  dom  g ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `  k
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) } ) `  (
s `  k )
)  <->  ( ( cls `  ( Xt_ `  (
x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } ) ) ) `
 X_ x  e.  dom  g ( g `  x ) )  = 
X_ x  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } ) `  (
g `  x )
) ) )
159158rspcv 3206 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  X_ k  e.  dom  g ~P ( ( g `
 k )  u. 
{ ~P U. (
g `  k ) } )  ->  ( A. s  e.  X_  k  e.  dom  g ~P (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ( ( cls `  ( Xt_ `  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) ) ) `  X_ k  e.  dom  g ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `  k
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) } ) `  (
s `  k )
)  ->  ( ( cls `  ( Xt_ `  (
x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } ) ) ) `
 X_ x  e.  dom  g ( g `  x ) )  = 
X_ x  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } ) `  (
g `  x )
) ) )
16069, 136, 159sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ( A. f ( f : dom  f --> Top 
->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  ->  (
( cls `  ( Xt_ `  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) ) ) `  X_ x  e.  dom  g ( g `
 x ) )  =  X_ x  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } ) `  (
g `  x )
) )
16141, 43, 55, 56, 57, 58, 160dfac14lem 20243 . . . . 5  |-  ( ( A. f ( f : dom  f --> Top 
->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  ->  X_ x  e.  dom  g ( g `
 x )  =/=  (/) )
162161ex 434 . . . 4  |-  ( A. f ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P U. ( f `  k
) ( ( cls `  ( Xt_ `  f
) ) `  X_ k  e.  dom  f ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) )  ->  (
( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  -> 
X_ x  e.  dom  g ( g `  x )  =/=  (/) ) )
163162alrimiv 1720 . . 3  |-  ( A. f ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P U. ( f `  k
) ( ( cls `  ( Xt_ `  f
) ) `  X_ k  e.  dom  f ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) )  ->  A. g
( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
)  ->  X_ x  e. 
dom  g ( g `
 x )  =/=  (/) ) )
164 dfac9 8533 . . 3  |-  (CHOICE  <->  A. g
( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
)  ->  X_ x  e. 
dom  g ( g `
 x )  =/=  (/) ) )
165163, 164sylibr 212 . 2  |-  ( A. f ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P U. ( f `  k
) ( ( cls `  ( Xt_ `  f
) ) `  X_ k  e.  dom  f ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) )  -> CHOICE )
16638, 165impbii 188 1  |-  (CHOICE  <->  A. f
( f : dom  f
--> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P U. ( f `
 k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `
 X_ k  e.  dom  f ( s `  k ) )  = 
X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1393    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652    e/ wnel 2653   A.wral 2807   {crab 2811   _Vcvv 3109    u. cun 3469    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   {csn 4032   U.cuni 4251   U_ciun 4332    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ran crn 5009   Fun wfun 5588    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -onto->wfo 5592   ` cfv 5594   X_cixp 7488  AC wacn 8336  CHOICEwac 8513   Xt_cpt 14855   Topctop 19520  TopOnctopon 19521   clsccl 19645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-fin 7539  df-fi 7889  df-card 8337  df-acn 8340  df-ac 8514  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648
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