Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac13 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dfac13 8577
 Description: The axiom of choice holds iff every set has choice sequences as long as itself. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac13 CHOICE AC

Proof of Theorem dfac13
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3050 . . . 4
2 acacni 8575 . . . . 5 CHOICE AC
31, 2mpan2 678 . . . 4 CHOICE AC
41, 3syl5eleqr 2538 . . 3 CHOICE AC
54alrimiv 1775 . 2 CHOICE AC
6 vex 3050 . . . . . . . . 9
76pwex 4589 . . . . . . . 8
8 id 22 . . . . . . . . 9
9 acneq 8479 . . . . . . . . 9 AC AC
108, 9eleq12d 2525 . . . . . . . 8 AC AC
117, 10spcv 3142 . . . . . . 7 AC AC
12 vex 3050 . . . . . . . 8
136canth2 7730 . . . . . . . . . 10
14 sdomdom 7602 . . . . . . . . . 10
15 acndom2 8490 . . . . . . . . . 10 AC AC
1613, 14, 15mp2b 10 . . . . . . . . 9 AC AC
17 acnnum 8488 . . . . . . . . 9 AC
1816, 17sylib 200 . . . . . . . 8 AC
19 numacn 8485 . . . . . . . 8 AC
2012, 18, 19mpsyl 65 . . . . . . 7 AC AC
2111, 20syl 17 . . . . . 6 AC AC
226a1i 11 . . . . . 6 AC
2321, 222thd 244 . . . . 5 AC AC
2423eqrdv 2451 . . . 4 AC AC
2524alrimiv 1775 . . 3 AC AC
26 dfacacn 8576 . . 3 CHOICE AC
2725, 26sylibr 216 . 2 AC CHOICE
285, 27impbii 191 1 CHOICE AC
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188  wal 1444   wceq 1446   wcel 1889  cvv 3047  cpw 3953   class class class wbr 4405   cdm 4837   cdom 7572   csdm 7573  ccrd 8374  AC wacn 8377  CHOICEwac 8551 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-1o 7187  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-card 8378  df-acn 8381  df-ac 8552 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator