Theorem dfac13 8577

Description: The axiom of choice holds iff every set has choice sequences as long as itself. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfac13	|- (CHOICE <-> A. x x e. AC x )

Proof of Theorem dfac13

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3050	. . . 4 |- x e. _V
2		acacni 8575	. . . . 5 |- ( (CHOICE /\ x e. _V ) -> AC x = _V )
3	1, 2	mpan2 678	. . . 4 |- (CHOICE -> AC x = _V )
4	1, 3	syl5eleqr 2538	. . 3 |- (CHOICE -> x e. AC x )
5	4	alrimiv 1775	. 2 |- (CHOICE -> A. x x e. AC x )
6		vex 3050	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
7	6	pwex 4589	. . . . . . . 8 |- ~P z e. _V
8		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( x = ~P z -> x = ~P z )
9		acneq 8479	. . . . . . . . 9 |- ( x = ~P z -> AC x = AC ~P z )
10	8, 9	eleq12d 2525	. . . . . . . 8 |- ( x = ~P z -> ( x e. AC x <-> ~P z e. AC ~P z ) )
11	7, 10	spcv 3142	. . . . . . 7 |- ( A. x x e. AC x -> ~P z e. AC ~P z )
12		vex 3050	. . . . . . . 8 |- y e. _V
13	6	canth2 7730	. . . . . . . . . 10 |- z ~< ~P z
14		sdomdom 7602	. . . . . . . . . 10 |- ( z ~< ~P z -> z ~<_ ~P z )
15		acndom2 8490	. . . . . . . . . 10 |- ( z ~<_ ~P z -> ( ~P z e. AC ~P z -> z e. AC ~P z ) )
16	13, 14, 15	mp2b 10	. . . . . . . . 9 |- ( ~P z e. AC ~P z -> z e. AC ~P z )
17		acnnum 8488	. . . . . . . . 9 |- ( z e. AC ~P z <-> z e. dom card )
18	16, 17	sylib 200	. . . . . . . 8 |- ( ~P z e. AC ~P z -> z e. dom card )
19		numacn 8485	. . . . . . . 8 |- ( y e. _V -> ( z e. dom card -> z e. AC y ) )
20	12, 18, 19	mpsyl 65	. . . . . . 7 |- ( ~P z e. AC ~P z -> z e. AC y )
21	11, 20	syl 17	. . . . . 6 |- ( A. x x e. AC x -> z e. AC y )
22	6	a1i 11	. . . . . 6 |- ( A. x x e. AC x -> z e. _V )
23	21, 22	2thd 244	. . . . 5 |- ( A. x x e. AC x -> ( z e. AC y <-> z e. _V ) )
24	23	eqrdv 2451	. . . 4 |- ( A. x x e. AC x -> AC y = _V )
25	24	alrimiv 1775	. . 3 |- ( A. x x e. AC x -> A. yAC y = _V )
26		dfacacn 8576	. . 3 |- (CHOICE <-> A. yAC y = _V )
27	25, 26	sylibr 216	. 2 |- ( A. x x e. AC x -> CHOICE )
28	5, 27	impbii 191	1 |- (CHOICE <-> A. x x e. AC x )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   A.wal 1444   = wceq 1446   e. wcel 1889   _Vcvv 3047   ~Pcpw 3953   class class class wbr 4405   dom cdm 4837   ~<_ cdom 7572   ~< csdm 7573   cardccrd 8374  AC wacn 8377  CHOICEwac 8551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-1o 7187  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-card 8378  df-acn 8381  df-ac 8552

This theorem is referenced by: (None)