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Theorem dfac12r 8594
Description: The axiom of choice holds iff every ordinal has a well-orderable powerset. This version of dfac12 8597 does not assume the Axiom of Regularity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac12r  |-  ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  <->  U. ( R1 " On )  C_  dom  card )

Proof of Theorem dfac12r
Dummy variables  a 
b  f  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rankwflemb 8282 . . . 4  |-  ( y  e.  U. ( R1
" On )  <->  E. z  e.  On  y  e.  ( R1 `  suc  z
) )
2 harcl 8094 . . . . . . . . 9  |-  (har `  ( R1 `  z ) )  e.  On
3 pweq 3945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (har `  ( R1 `  z ) )  ->  ~P x  =  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )
43eleq1d 2533 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (har `  ( R1 `  z ) )  ->  ( ~P x  e.  dom  card  <->  ~P (har `  ( R1 `  z ) )  e.  dom  card )
)
54rspcv 3132 . . . . . . . . 9  |-  ( (har
`  ( R1 `  z ) )  e.  On  ->  ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  ->  ~P (har `  ( R1 `  z ) )  e. 
dom  card ) )
62, 5ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  ->  ~P (har `  ( R1 `  z ) )  e. 
dom  card )
7 cardid2 8405 . . . . . . . 8  |-  ( ~P (har `  ( R1 `  z ) )  e. 
dom  card  ->  ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  ~~  ~P (har `  ( R1 `  z
) ) )
8 ensym 7636 . . . . . . . 8  |-  ( (
card `  ~P (har `  ( R1 `  z
) ) )  ~~  ~P (har `  ( R1 `  z ) )  ->  ~P (har `  ( R1 `  z ) )  ~~  ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z
) ) ) )
9 bren 7596 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P (har `  ( R1 `  z ) )  ~~  ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z
) ) )  <->  E. f 
f : ~P (har `  ( R1 `  z
) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) ) )
10 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ~P (har `  ( R1 `  z
) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  z  e.  On )
11 f1of1 5827 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ~P (har `  ( R1 `  z ) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  ->  f : ~P (har `  ( R1 `  z ) ) -1-1-> (
card `  ~P (har `  ( R1 `  z
) ) ) )
1211adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ~P (har `  ( R1 `  z
) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  f : ~P (har `  ( R1 `  z ) ) -1-1-> (
card `  ~P (har `  ( R1 `  z
) ) ) )
13 cardon 8396 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  e.  On
1413onssi 6683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  C_  On
15 f1ss 5797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ~P (har `  ( R1 `  z
) ) -1-1-> ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  /\  ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  C_  On )  ->  f : ~P (har `  ( R1 `  z
) ) -1-1-> On )
1612, 14, 15sylancl 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ~P (har `  ( R1 `  z
) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  f : ~P (har `  ( R1 `  z ) ) -1-1-> On )
17 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  b  ->  ( rank `  y )  =  ( rank `  b
) )
1817oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  b  ->  ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y
) )  =  ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  b ) ) )
19 suceq 5495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
rank `  y )  =  ( rank `  b
)  ->  suc  ( rank `  y )  =  suc  ( rank `  b )
)
2017, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  b  ->  suc  ( rank `  y )  =  suc  ( rank `  b
) )
2120fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  b  ->  (
x `  suc  ( rank `  y ) )  =  ( x `  suc  ( rank `  b )
) )
22 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  b  ->  y  =  b )
2321, 22fveq12d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  b  ->  (
( x `  suc  ( rank `  y )
) `  y )  =  ( ( x `
 suc  ( rank `  b ) ) `  b ) )
2418, 23oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  b  ->  (
( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) )  =  ( ( suc  U. ran  U.
ran  x  .o  ( rank `  b ) )  +o  ( ( x `
 suc  ( rank `  b ) ) `  b ) ) )
25 imaeq2 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  b  ->  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y )  =  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " b
) )
2625fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  b  ->  (
f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) )  =  ( f `  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
b ) ) )
2724, 26ifeq12d 3892 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  b  ->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) )  =  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  b
) )  +o  (
( x `  suc  ( rank `  b )
) `  b )
) ,  ( f `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
b ) ) ) )
2827cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) )  =  ( b  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  b ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  b
) ) `  b
) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
b ) ) ) )
29 dmeq 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  dom  x  =  dom  a )
3029fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  ( R1 `  dom  x )  =  ( R1 `  dom  a ) )
3129unieqd 4200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  U. dom  x  =  U. dom  a
)
3229, 31eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  ( dom  x  =  U. dom  x 
<->  dom  a  =  U. dom  a ) )
33 rneq 5066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  a  ->  ran  x  =  ran  a )
3433unieqd 4200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  a  ->  U. ran  x  =  U. ran  a
)
3534rneqd 5068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  a  ->  ran  U.
ran  x  =  ran  U.
ran  a )
3635unieqd 4200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  a  ->  U. ran  U.
ran  x  =  U. ran  U. ran  a )
37 suceq 5495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( U. ran  U. ran  x  = 
U. ran  U. ran  a  ->  suc  U. ran  U. ran  x  =  suc  U. ran  U. ran  a )
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  a  ->  suc  U.
ran  U. ran  x  =  suc  U. ran  U. ran  a )
3938oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  b
) )  =  ( suc  U. ran  U. ran  a  .o  ( rank `  b ) ) )
40 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  a  ->  (
x `  suc  ( rank `  b ) )  =  ( a `  suc  ( rank `  b )
) )
4140fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  (
( x `  suc  ( rank `  b )
) `  b )  =  ( ( a `
 suc  ( rank `  b ) ) `  b ) )
4239, 41oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  (
( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  b ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  b
) ) `  b
) )  =  ( ( suc  U. ran  U.
ran  a  .o  ( rank `  b ) )  +o  ( ( a `
 suc  ( rank `  b ) ) `  b ) ) )
43 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  a  ->  x  =  a )
4443, 31fveq12d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  a  ->  (
x `  U. dom  x
)  =  ( a `
 U. dom  a
) )
4544rneqd 5068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  a  ->  ran  ( x `  U. dom  x )  =  ran  ( a `  U. dom  a ) )
46 oieq2 8046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ran  ( x `  U. dom  x )  =  ran  ( a `  U. dom  a )  -> OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  = OrdIso (  _E  ,  ran  ( a `
 U. dom  a
) ) )
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  a  -> OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  = OrdIso (  _E  ,  ran  ( a `
 U. dom  a
) ) )
4847cnveqd 5015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  a  ->  `'OrdIso (  _E  ,  ran  (
x `  U. dom  x
) )  =  `'OrdIso (  _E  ,  ran  (
a `  U. dom  a
) ) )
4948, 44coeq12d 5004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  a  ->  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) )  =  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( a `
 U. dom  a
) )  o.  (
a `  U. dom  a
) ) )
5049imaeq1d 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
b )  =  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( a `
 U. dom  a
) )  o.  (
a `  U. dom  a
) ) " b
) )
5150fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  (
f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
b ) )  =  ( f `  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( a `  U. dom  a ) )  o.  ( a `  U. dom  a ) ) "
b ) ) )
5232, 42, 51ifbieq12d 3899 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  b ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  b
) ) `  b
) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
b ) ) )  =  if ( dom  a  =  U. dom  a ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  a  .o  ( rank `  b
) )  +o  (
( a `  suc  ( rank `  b )
) `  b )
) ,  ( f `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( a `  U. dom  a ) )  o.  ( a `  U. dom  a ) ) "
b ) ) ) )
5330, 52mpteq12dv 4474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  (
b  e.  ( R1
`  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  b )
)  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  b ) ) `
 b ) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " b
) ) ) )  =  ( b  e.  ( R1 `  dom  a )  |->  if ( dom  a  =  U. dom  a ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  a  .o  ( rank `  b ) )  +o  ( ( a `
 suc  ( rank `  b ) ) `  b ) ) ,  ( f `  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( a `  U. dom  a ) )  o.  ( a `  U. dom  a ) ) "
b ) ) ) ) )
5428, 53syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  a  ->  (
y  e.  ( R1
`  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y )
)  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y ) ) `
 y ) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " y
) ) ) )  =  ( b  e.  ( R1 `  dom  a )  |->  if ( dom  a  =  U. dom  a ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  a  .o  ( rank `  b ) )  +o  ( ( a `
 suc  ( rank `  b ) ) `  b ) ) ,  ( f `  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( a `  U. dom  a ) )  o.  ( a `  U. dom  a ) ) "
b ) ) ) ) )
5554cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) ) )  =  ( a  e.  _V  |->  ( b  e.  ( R1
`  dom  a )  |->  if ( dom  a  =  U. dom  a ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  a  .o  ( rank `  b
) )  +o  (
( a `  suc  ( rank `  b )
) `  b )
) ,  ( f `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( a `  U. dom  a ) )  o.  ( a `  U. dom  a ) ) "
b ) ) ) ) )
56 recseq 7110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ( R1
`  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y )
)  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y ) ) `
 y ) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " y
) ) ) ) )  =  ( a  e.  _V  |->  ( b  e.  ( R1 `  dom  a )  |->  if ( dom  a  =  U. dom  a ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  a  .o  ( rank `  b ) )  +o  ( ( a `
 suc  ( rank `  b ) ) `  b ) ) ,  ( f `  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( a `  U. dom  a ) )  o.  ( a `  U. dom  a ) ) "
b ) ) ) ) )  -> recs ( ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ( R1
`  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y )
)  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y ) ) `
 y ) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " y
) ) ) ) ) )  = recs (
( a  e.  _V  |->  ( b  e.  ( R1 `  dom  a
)  |->  if ( dom  a  =  U. dom  a ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  a  .o  ( rank `  b
) )  +o  (
( a `  suc  ( rank `  b )
) `  b )
) ,  ( f `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( a `  U. dom  a ) )  o.  ( a `  U. dom  a ) ) "
b ) ) ) ) ) ) )
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |- recs ( ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ( R1
`  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y )
)  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y ) ) `
 y ) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " y
) ) ) ) ) )  = recs (
( a  e.  _V  |->  ( b  e.  ( R1 `  dom  a
)  |->  if ( dom  a  =  U. dom  a ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  a  .o  ( rank `  b
) )  +o  (
( a `  suc  ( rank `  b )
) `  b )
) ,  ( f `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( a `  U. dom  a ) )  o.  ( a `  U. dom  a ) ) "
b ) ) ) ) ) )
5810, 16, 57dfac12lem3 8593 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ~P (har `  ( R1 `  z
) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  ( R1 `  z )  e.  dom  card )
5958ex 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ~P (har `  ( R1 `  z ) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  ->  ( z  e.  On  ->  ( R1 `  z )  e.  dom  card ) )
6059exlimiv 1784 . . . . . . . . 9  |-  ( E. f  f : ~P (har `  ( R1 `  z ) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  ->  ( z  e.  On  ->  ( R1 `  z )  e.  dom  card ) )
619, 60sylbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( ~P (har `  ( R1 `  z ) )  ~~  ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z
) ) )  -> 
( z  e.  On  ->  ( R1 `  z
)  e.  dom  card ) )
626, 7, 8, 614syl 19 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  ->  ( z  e.  On  ->  ( R1 `  z )  e.  dom  card )
)
6362imp 436 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  /\  z  e.  On )  ->  ( R1 `  z )  e.  dom  card )
64 r1suc 8259 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  On  ->  ( R1 `  suc  z )  =  ~P ( R1
`  z ) )
6564adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  /\  z  e.  On )  ->  ( R1 `  suc  z )  =  ~P ( R1 `  z ) )
6665eleq2d 2534 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  /\  z  e.  On )  ->  ( y  e.  ( R1 `  suc  z )  <->  y  e.  ~P ( R1 `  z
) ) )
67 elpwi 3951 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~P ( R1
`  z )  -> 
y  C_  ( R1 `  z ) )
6866, 67syl6bi 236 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  /\  z  e.  On )  ->  ( y  e.  ( R1 `  suc  z )  ->  y  C_  ( R1 `  z
) ) )
69 ssnum 8488 . . . . . 6  |-  ( ( ( R1 `  z
)  e.  dom  card  /\  y  C_  ( R1 `  z ) )  -> 
y  e.  dom  card )
7063, 68, 69syl6an 554 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  /\  z  e.  On )  ->  ( y  e.  ( R1 `  suc  z )  ->  y  e.  dom  card ) )
7170rexlimdva 2871 . . . 4  |-  ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  ->  ( E. z  e.  On  y  e.  ( R1 ` 
suc  z )  -> 
y  e.  dom  card ) )
721, 71syl5bi 225 . . 3  |-  ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  ->  ( y  e.  U. ( R1 " On )  -> 
y  e.  dom  card ) )
7372ssrdv 3424 . 2  |-  ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  ->  U. ( R1 " On )  C_  dom  card )
74 onwf 8319 . . . . . 6  |-  On  C_  U. ( R1 " On )
7574sseli 3414 . . . . 5  |-  ( x  e.  On  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )
76 pwwf 8296 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. ( R1
" On )  <->  ~P x  e.  U. ( R1 " On ) )
7775, 76sylib 201 . . . 4  |-  ( x  e.  On  ->  ~P x  e.  U. ( R1 " On ) )
78 ssel 3412 . . . 4  |-  ( U. ( R1 " On ) 
C_  dom  card  ->  ( ~P x  e.  U. ( R1 " On )  ->  ~P x  e.  dom  card ) )
7977, 78syl5 32 . . 3  |-  ( U. ( R1 " On ) 
C_  dom  card  ->  (
x  e.  On  ->  ~P x  e.  dom  card ) )
8079ralrimiv 2808 . 2  |-  ( U. ( R1 " On ) 
C_  dom  card  ->  A. x  e.  On  ~P x  e. 
dom  card )
8173, 80impbii 192 1  |-  ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  <->  U. ( R1 " On )  C_  dom  card )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   ifcif 3872   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    _E cep 4748   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   "cima 4842    o. ccom 4843   Oncon0 5430   suc csuc 5432   -1-1->wf1 5586   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308  recscrecs 7107    +o coa 7197    .o comu 7198    ~~ cen 7584  OrdIsocoi 8042  harchar 8089   R1cr1 8251   rankcrnk 8252   cardccrd 8387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-oi 8043  df-har 8091  df-r1 8253  df-rank 8254  df-card 8391
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