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Theorem dfac12r 8576
Description: The axiom of choice holds iff every ordinal has a well-orderable powerset. This version of dfac12 8579 does not assume the Axiom of Regularity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac12r  |-  ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  <->  U. ( R1 " On )  C_  dom  card )

Proof of Theorem dfac12r
Dummy variables  a 
b  f  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rankwflemb 8264 . . . 4  |-  ( y  e.  U. ( R1
" On )  <->  E. z  e.  On  y  e.  ( R1 `  suc  z
) )
2 harcl 8076 . . . . . . . . 9  |-  (har `  ( R1 `  z ) )  e.  On
3 pweq 3954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (har `  ( R1 `  z ) )  ->  ~P x  =  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )
43eleq1d 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (har `  ( R1 `  z ) )  ->  ( ~P x  e.  dom  card  <->  ~P (har `  ( R1 `  z ) )  e.  dom  card )
)
54rspcv 3146 . . . . . . . . 9  |-  ( (har
`  ( R1 `  z ) )  e.  On  ->  ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  ->  ~P (har `  ( R1 `  z ) )  e. 
dom  card ) )
62, 5ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  ->  ~P (har `  ( R1 `  z ) )  e. 
dom  card )
7 cardid2 8387 . . . . . . . 8  |-  ( ~P (har `  ( R1 `  z ) )  e. 
dom  card  ->  ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  ~~  ~P (har `  ( R1 `  z
) ) )
8 ensym 7618 . . . . . . . 8  |-  ( (
card `  ~P (har `  ( R1 `  z
) ) )  ~~  ~P (har `  ( R1 `  z ) )  ->  ~P (har `  ( R1 `  z ) )  ~~  ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z
) ) ) )
9 bren 7578 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P (har `  ( R1 `  z ) )  ~~  ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z
) ) )  <->  E. f 
f : ~P (har `  ( R1 `  z
) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) ) )
10 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ~P (har `  ( R1 `  z
) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  z  e.  On )
11 f1of1 5813 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ~P (har `  ( R1 `  z ) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  ->  f : ~P (har `  ( R1 `  z ) ) -1-1-> (
card `  ~P (har `  ( R1 `  z
) ) ) )
1211adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ~P (har `  ( R1 `  z
) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  f : ~P (har `  ( R1 `  z ) ) -1-1-> (
card `  ~P (har `  ( R1 `  z
) ) ) )
13 cardon 8378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  e.  On
1413onssi 6664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  C_  On
15 f1ss 5784 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ~P (har `  ( R1 `  z
) ) -1-1-> ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  /\  ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  C_  On )  ->  f : ~P (har `  ( R1 `  z
) ) -1-1-> On )
1612, 14, 15sylancl 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ~P (har `  ( R1 `  z
) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  f : ~P (har `  ( R1 `  z ) ) -1-1-> On )
17 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  b  ->  ( rank `  y )  =  ( rank `  b
) )
1817oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  b  ->  ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y
) )  =  ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  b ) ) )
19 suceq 5488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
rank `  y )  =  ( rank `  b
)  ->  suc  ( rank `  y )  =  suc  ( rank `  b )
)
2017, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  b  ->  suc  ( rank `  y )  =  suc  ( rank `  b
) )
2120fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  b  ->  (
x `  suc  ( rank `  y ) )  =  ( x `  suc  ( rank `  b )
) )
22 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  b  ->  y  =  b )
2321, 22fveq12d 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  b  ->  (
( x `  suc  ( rank `  y )
) `  y )  =  ( ( x `
 suc  ( rank `  b ) ) `  b ) )
2418, 23oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  b  ->  (
( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) )  =  ( ( suc  U. ran  U.
ran  x  .o  ( rank `  b ) )  +o  ( ( x `
 suc  ( rank `  b ) ) `  b ) ) )
25 imaeq2 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  b  ->  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y )  =  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " b
) )
2625fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  b  ->  (
f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) )  =  ( f `  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
b ) ) )
2724, 26ifeq12d 3901 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  b  ->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) )  =  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  b
) )  +o  (
( x `  suc  ( rank `  b )
) `  b )
) ,  ( f `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
b ) ) ) )
2827cbvmptv 4495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) )  =  ( b  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  b ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  b
) ) `  b
) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
b ) ) ) )
29 dmeq 5035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  dom  x  =  dom  a )
3029fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  ( R1 `  dom  x )  =  ( R1 `  dom  a ) )
3129unieqd 4208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  U. dom  x  =  U. dom  a
)
3229, 31eqeq12d 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  ( dom  x  =  U. dom  x 
<->  dom  a  =  U. dom  a ) )
33 rneq 5060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  a  ->  ran  x  =  ran  a )
3433unieqd 4208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  a  ->  U. ran  x  =  U. ran  a
)
3534rneqd 5062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  a  ->  ran  U.
ran  x  =  ran  U.
ran  a )
3635unieqd 4208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  a  ->  U. ran  U.
ran  x  =  U. ran  U. ran  a )
37 suceq 5488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( U. ran  U. ran  x  = 
U. ran  U. ran  a  ->  suc  U. ran  U. ran  x  =  suc  U. ran  U. ran  a )
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  a  ->  suc  U.
ran  U. ran  x  =  suc  U. ran  U. ran  a )
3938oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  b
) )  =  ( suc  U. ran  U. ran  a  .o  ( rank `  b ) ) )
40 fveq1 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  a  ->  (
x `  suc  ( rank `  b ) )  =  ( a `  suc  ( rank `  b )
) )
4140fveq1d 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  (
( x `  suc  ( rank `  b )
) `  b )  =  ( ( a `
 suc  ( rank `  b ) ) `  b ) )
4239, 41oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  (
( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  b ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  b
) ) `  b
) )  =  ( ( suc  U. ran  U.
ran  a  .o  ( rank `  b ) )  +o  ( ( a `
 suc  ( rank `  b ) ) `  b ) ) )
43 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  a  ->  x  =  a )
4443, 31fveq12d 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  a  ->  (
x `  U. dom  x
)  =  ( a `
 U. dom  a
) )
4544rneqd 5062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  a  ->  ran  ( x `  U. dom  x )  =  ran  ( a `  U. dom  a ) )
46 oieq2 8028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ran  ( x `  U. dom  x )  =  ran  ( a `  U. dom  a )  -> OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  = OrdIso (  _E  ,  ran  ( a `
 U. dom  a
) ) )
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  a  -> OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  = OrdIso (  _E  ,  ran  ( a `
 U. dom  a
) ) )
4847cnveqd 5010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  a  ->  `'OrdIso (  _E  ,  ran  (
x `  U. dom  x
) )  =  `'OrdIso (  _E  ,  ran  (
a `  U. dom  a
) ) )
4948, 44coeq12d 4999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  a  ->  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) )  =  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( a `
 U. dom  a
) )  o.  (
a `  U. dom  a
) ) )
5049imaeq1d 5167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
b )  =  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( a `
 U. dom  a
) )  o.  (
a `  U. dom  a
) ) " b
) )
5150fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  (
f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
b ) )  =  ( f `  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( a `  U. dom  a ) )  o.  ( a `  U. dom  a ) ) "
b ) ) )
5232, 42, 51ifbieq12d 3908 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  b ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  b
) ) `  b
) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
b ) ) )  =  if ( dom  a  =  U. dom  a ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  a  .o  ( rank `  b
) )  +o  (
( a `  suc  ( rank `  b )
) `  b )
) ,  ( f `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( a `  U. dom  a ) )  o.  ( a `  U. dom  a ) ) "
b ) ) ) )
5330, 52mpteq12dv 4481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  (
b  e.  ( R1
`  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  b )
)  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  b ) ) `
 b ) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " b
) ) ) )  =  ( b  e.  ( R1 `  dom  a )  |->  if ( dom  a  =  U. dom  a ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  a  .o  ( rank `  b ) )  +o  ( ( a `
 suc  ( rank `  b ) ) `  b ) ) ,  ( f `  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( a `  U. dom  a ) )  o.  ( a `  U. dom  a ) ) "
b ) ) ) ) )
5428, 53syl5eq 2497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  a  ->  (
y  e.  ( R1
`  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y )
)  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y ) ) `
 y ) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " y
) ) ) )  =  ( b  e.  ( R1 `  dom  a )  |->  if ( dom  a  =  U. dom  a ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  a  .o  ( rank `  b ) )  +o  ( ( a `
 suc  ( rank `  b ) ) `  b ) ) ,  ( f `  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( a `  U. dom  a ) )  o.  ( a `  U. dom  a ) ) "
b ) ) ) ) )
5554cbvmptv 4495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) ) )  =  ( a  e.  _V  |->  ( b  e.  ( R1
`  dom  a )  |->  if ( dom  a  =  U. dom  a ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  a  .o  ( rank `  b
) )  +o  (
( a `  suc  ( rank `  b )
) `  b )
) ,  ( f `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( a `  U. dom  a ) )  o.  ( a `  U. dom  a ) ) "
b ) ) ) ) )
56 recseq 7092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ( R1
`  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y )
)  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y ) ) `
 y ) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " y
) ) ) ) )  =  ( a  e.  _V  |->  ( b  e.  ( R1 `  dom  a )  |->  if ( dom  a  =  U. dom  a ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  a  .o  ( rank `  b ) )  +o  ( ( a `
 suc  ( rank `  b ) ) `  b ) ) ,  ( f `  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( a `  U. dom  a ) )  o.  ( a `  U. dom  a ) ) "
b ) ) ) ) )  -> recs ( ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ( R1
`  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y )
)  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y ) ) `
 y ) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " y
) ) ) ) ) )  = recs (
( a  e.  _V  |->  ( b  e.  ( R1 `  dom  a
)  |->  if ( dom  a  =  U. dom  a ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  a  .o  ( rank `  b
) )  +o  (
( a `  suc  ( rank `  b )
) `  b )
) ,  ( f `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( a `  U. dom  a ) )  o.  ( a `  U. dom  a ) ) "
b ) ) ) ) ) ) )
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |- recs ( ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ( R1
`  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y )
)  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y ) ) `
 y ) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " y
) ) ) ) ) )  = recs (
( a  e.  _V  |->  ( b  e.  ( R1 `  dom  a
)  |->  if ( dom  a  =  U. dom  a ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  a  .o  ( rank `  b
) )  +o  (
( a `  suc  ( rank `  b )
) `  b )
) ,  ( f `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( a `  U. dom  a ) )  o.  ( a `  U. dom  a ) ) "
b ) ) ) ) ) )
5810, 16, 57dfac12lem3 8575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ~P (har `  ( R1 `  z
) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  ( R1 `  z )  e.  dom  card )
5958ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ~P (har `  ( R1 `  z ) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  ->  ( z  e.  On  ->  ( R1 `  z )  e.  dom  card ) )
6059exlimiv 1776 . . . . . . . . 9  |-  ( E. f  f : ~P (har `  ( R1 `  z ) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  ->  ( z  e.  On  ->  ( R1 `  z )  e.  dom  card ) )
619, 60sylbi 199 . . . . . . . 8  |-  ( ~P (har `  ( R1 `  z ) )  ~~  ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z
) ) )  -> 
( z  e.  On  ->  ( R1 `  z
)  e.  dom  card ) )
626, 7, 8, 614syl 19 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  ->  ( z  e.  On  ->  ( R1 `  z )  e.  dom  card )
)
6362imp 431 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  /\  z  e.  On )  ->  ( R1 `  z )  e.  dom  card )
64 r1suc 8241 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  On  ->  ( R1 `  suc  z )  =  ~P ( R1
`  z ) )
6564adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  /\  z  e.  On )  ->  ( R1 `  suc  z )  =  ~P ( R1 `  z ) )
6665eleq2d 2514 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  /\  z  e.  On )  ->  ( y  e.  ( R1 `  suc  z )  <->  y  e.  ~P ( R1 `  z
) ) )
67 elpwi 3960 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~P ( R1
`  z )  -> 
y  C_  ( R1 `  z ) )
6866, 67syl6bi 232 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  /\  z  e.  On )  ->  ( y  e.  ( R1 `  suc  z )  ->  y  C_  ( R1 `  z
) ) )
69 ssnum 8470 . . . . . 6  |-  ( ( ( R1 `  z
)  e.  dom  card  /\  y  C_  ( R1 `  z ) )  -> 
y  e.  dom  card )
7063, 68, 69syl6an 548 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  /\  z  e.  On )  ->  ( y  e.  ( R1 `  suc  z )  ->  y  e.  dom  card ) )
7170rexlimdva 2879 . . . 4  |-  ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  ->  ( E. z  e.  On  y  e.  ( R1 ` 
suc  z )  -> 
y  e.  dom  card ) )
721, 71syl5bi 221 . . 3  |-  ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  ->  ( y  e.  U. ( R1 " On )  -> 
y  e.  dom  card ) )
7372ssrdv 3438 . 2  |-  ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  ->  U. ( R1 " On )  C_  dom  card )
74 onwf 8301 . . . . . 6  |-  On  C_  U. ( R1 " On )
7574sseli 3428 . . . . 5  |-  ( x  e.  On  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )
76 pwwf 8278 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. ( R1
" On )  <->  ~P x  e.  U. ( R1 " On ) )
7775, 76sylib 200 . . . 4  |-  ( x  e.  On  ->  ~P x  e.  U. ( R1 " On ) )
78 ssel 3426 . . . 4  |-  ( U. ( R1 " On ) 
C_  dom  card  ->  ( ~P x  e.  U. ( R1 " On )  ->  ~P x  e.  dom  card ) )
7977, 78syl5 33 . . 3  |-  ( U. ( R1 " On ) 
C_  dom  card  ->  (
x  e.  On  ->  ~P x  e.  dom  card ) )
8079ralrimiv 2800 . 2  |-  ( U. ( R1 " On ) 
C_  dom  card  ->  A. x  e.  On  ~P x  e. 
dom  card )
8173, 80impbii 191 1  |-  ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  <->  U. ( R1 " On )  C_  dom  card )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045    C_ wss 3404   ifcif 3881   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461    _E cep 4743   `'ccnv 4833   dom cdm 4834   ran crn 4835   "cima 4837    o. ccom 4838   Oncon0 5423   suc csuc 5425   -1-1->wf1 5579   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582  (class class class)co 6290  recscrecs 7089    +o coa 7179    .o comu 7180    ~~ cen 7566  OrdIsocoi 8024  harchar 8071   R1cr1 8233   rankcrnk 8234   cardccrd 8369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-oi 8025  df-har 8073  df-r1 8235  df-rank 8236  df-card 8373
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