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Theorem dfac12r 8578
Description: The axiom of choice holds iff every ordinal has a well-orderable powerset. This version of dfac12 8581 does not assume the Axiom of Regularity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac12r  |-  ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  <->  U. ( R1 " On )  C_  dom  card )

Proof of Theorem dfac12r
Dummy variables  a 
b  f  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rankwflemb 8267 . . . 4  |-  ( y  e.  U. ( R1
" On )  <->  E. z  e.  On  y  e.  ( R1 `  suc  z
) )
2 harcl 8080 . . . . . . . . 9  |-  (har `  ( R1 `  z ) )  e.  On
3 pweq 3983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (har `  ( R1 `  z ) )  ->  ~P x  =  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )
43eleq1d 2492 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (har `  ( R1 `  z ) )  ->  ( ~P x  e.  dom  card  <->  ~P (har `  ( R1 `  z ) )  e.  dom  card )
)
54rspcv 3179 . . . . . . . . 9  |-  ( (har
`  ( R1 `  z ) )  e.  On  ->  ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  ->  ~P (har `  ( R1 `  z ) )  e. 
dom  card ) )
62, 5ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  ->  ~P (har `  ( R1 `  z ) )  e. 
dom  card )
7 cardid2 8390 . . . . . . . 8  |-  ( ~P (har `  ( R1 `  z ) )  e. 
dom  card  ->  ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  ~~  ~P (har `  ( R1 `  z
) ) )
8 ensym 7623 . . . . . . . 8  |-  ( (
card `  ~P (har `  ( R1 `  z
) ) )  ~~  ~P (har `  ( R1 `  z ) )  ->  ~P (har `  ( R1 `  z ) )  ~~  ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z
) ) ) )
9 bren 7584 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P (har `  ( R1 `  z ) )  ~~  ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z
) ) )  <->  E. f 
f : ~P (har `  ( R1 `  z
) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) ) )
10 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ~P (har `  ( R1 `  z
) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  z  e.  On )
11 f1of1 5828 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ~P (har `  ( R1 `  z ) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  ->  f : ~P (har `  ( R1 `  z ) ) -1-1-> (
card `  ~P (har `  ( R1 `  z
) ) ) )
1211adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ~P (har `  ( R1 `  z
) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  f : ~P (har `  ( R1 `  z ) ) -1-1-> (
card `  ~P (har `  ( R1 `  z
) ) ) )
13 cardon 8381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  e.  On
1413onssi 6676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  C_  On
15 f1ss 5799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ~P (har `  ( R1 `  z
) ) -1-1-> ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  /\  ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  C_  On )  ->  f : ~P (har `  ( R1 `  z
) ) -1-1-> On )
1612, 14, 15sylancl 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ~P (har `  ( R1 `  z
) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  f : ~P (har `  ( R1 `  z ) ) -1-1-> On )
17 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  b  ->  ( rank `  y )  =  ( rank `  b
) )
1817oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  b  ->  ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y
) )  =  ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  b ) ) )
19 suceq 5505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
rank `  y )  =  ( rank `  b
)  ->  suc  ( rank `  y )  =  suc  ( rank `  b )
)
2017, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  b  ->  suc  ( rank `  y )  =  suc  ( rank `  b
) )
2120fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  b  ->  (
x `  suc  ( rank `  y ) )  =  ( x `  suc  ( rank `  b )
) )
22 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  b  ->  y  =  b )
2321, 22fveq12d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  b  ->  (
( x `  suc  ( rank `  y )
) `  y )  =  ( ( x `
 suc  ( rank `  b ) ) `  b ) )
2418, 23oveq12d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  b  ->  (
( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) )  =  ( ( suc  U. ran  U.
ran  x  .o  ( rank `  b ) )  +o  ( ( x `
 suc  ( rank `  b ) ) `  b ) ) )
25 imaeq2 5181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  b  ->  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y )  =  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " b
) )
2625fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  b  ->  (
f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) )  =  ( f `  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
b ) ) )
2724, 26ifeq12d 3930 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  b  ->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) )  =  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  b
) )  +o  (
( x `  suc  ( rank `  b )
) `  b )
) ,  ( f `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
b ) ) ) )
2827cbvmptv 4514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) )  =  ( b  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  b ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  b
) ) `  b
) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
b ) ) ) )
29 dmeq 5052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  dom  x  =  dom  a )
3029fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  ( R1 `  dom  x )  =  ( R1 `  dom  a ) )
3129unieqd 4227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  U. dom  x  =  U. dom  a
)
3229, 31eqeq12d 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  ( dom  x  =  U. dom  x 
<->  dom  a  =  U. dom  a ) )
33 rneq 5077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  a  ->  ran  x  =  ran  a )
3433unieqd 4227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  a  ->  U. ran  x  =  U. ran  a
)
3534rneqd 5079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  a  ->  ran  U.
ran  x  =  ran  U.
ran  a )
3635unieqd 4227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  a  ->  U. ran  U.
ran  x  =  U. ran  U. ran  a )
37 suceq 5505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( U. ran  U. ran  x  = 
U. ran  U. ran  a  ->  suc  U. ran  U. ran  x  =  suc  U. ran  U. ran  a )
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  a  ->  suc  U.
ran  U. ran  x  =  suc  U. ran  U. ran  a )
3938oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  b
) )  =  ( suc  U. ran  U. ran  a  .o  ( rank `  b ) ) )
40 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  a  ->  (
x `  suc  ( rank `  b ) )  =  ( a `  suc  ( rank `  b )
) )
4140fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  (
( x `  suc  ( rank `  b )
) `  b )  =  ( ( a `
 suc  ( rank `  b ) ) `  b ) )
4239, 41oveq12d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  (
( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  b ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  b
) ) `  b
) )  =  ( ( suc  U. ran  U.
ran  a  .o  ( rank `  b ) )  +o  ( ( a `
 suc  ( rank `  b ) ) `  b ) ) )
43 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  a  ->  x  =  a )
4443, 31fveq12d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  a  ->  (
x `  U. dom  x
)  =  ( a `
 U. dom  a
) )
4544rneqd 5079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  a  ->  ran  ( x `  U. dom  x )  =  ran  ( a `  U. dom  a ) )
46 oieq2 8032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ran  ( x `  U. dom  x )  =  ran  ( a `  U. dom  a )  -> OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  = OrdIso (  _E  ,  ran  ( a `
 U. dom  a
) ) )
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  a  -> OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  = OrdIso (  _E  ,  ran  ( a `
 U. dom  a
) ) )
4847cnveqd 5027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  a  ->  `'OrdIso (  _E  ,  ran  (
x `  U. dom  x
) )  =  `'OrdIso (  _E  ,  ran  (
a `  U. dom  a
) ) )
4948, 44coeq12d 5016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  a  ->  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) )  =  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( a `
 U. dom  a
) )  o.  (
a `  U. dom  a
) ) )
5049imaeq1d 5184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
b )  =  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( a `
 U. dom  a
) )  o.  (
a `  U. dom  a
) ) " b
) )
5150fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  (
f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
b ) )  =  ( f `  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( a `  U. dom  a ) )  o.  ( a `  U. dom  a ) ) "
b ) ) )
5232, 42, 51ifbieq12d 3937 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  b ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  b
) ) `  b
) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
b ) ) )  =  if ( dom  a  =  U. dom  a ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  a  .o  ( rank `  b
) )  +o  (
( a `  suc  ( rank `  b )
) `  b )
) ,  ( f `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( a `  U. dom  a ) )  o.  ( a `  U. dom  a ) ) "
b ) ) ) )
5330, 52mpteq12dv 4500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  (
b  e.  ( R1
`  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  b )
)  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  b ) ) `
 b ) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " b
) ) ) )  =  ( b  e.  ( R1 `  dom  a )  |->  if ( dom  a  =  U. dom  a ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  a  .o  ( rank `  b ) )  +o  ( ( a `
 suc  ( rank `  b ) ) `  b ) ) ,  ( f `  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( a `  U. dom  a ) )  o.  ( a `  U. dom  a ) ) "
b ) ) ) ) )
5428, 53syl5eq 2476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  a  ->  (
y  e.  ( R1
`  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y )
)  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y ) ) `
 y ) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " y
) ) ) )  =  ( b  e.  ( R1 `  dom  a )  |->  if ( dom  a  =  U. dom  a ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  a  .o  ( rank `  b ) )  +o  ( ( a `
 suc  ( rank `  b ) ) `  b ) ) ,  ( f `  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( a `  U. dom  a ) )  o.  ( a `  U. dom  a ) ) "
b ) ) ) ) )
5554cbvmptv 4514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) ) )  =  ( a  e.  _V  |->  ( b  e.  ( R1
`  dom  a )  |->  if ( dom  a  =  U. dom  a ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  a  .o  ( rank `  b
) )  +o  (
( a `  suc  ( rank `  b )
) `  b )
) ,  ( f `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( a `  U. dom  a ) )  o.  ( a `  U. dom  a ) ) "
b ) ) ) ) )
56 recseq 7098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ( R1
`  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y )
)  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y ) ) `
 y ) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " y
) ) ) ) )  =  ( a  e.  _V  |->  ( b  e.  ( R1 `  dom  a )  |->  if ( dom  a  =  U. dom  a ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  a  .o  ( rank `  b ) )  +o  ( ( a `
 suc  ( rank `  b ) ) `  b ) ) ,  ( f `  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( a `  U. dom  a ) )  o.  ( a `  U. dom  a ) ) "
b ) ) ) ) )  -> recs ( ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ( R1
`  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y )
)  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y ) ) `
 y ) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " y
) ) ) ) ) )  = recs (
( a  e.  _V  |->  ( b  e.  ( R1 `  dom  a
)  |->  if ( dom  a  =  U. dom  a ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  a  .o  ( rank `  b
) )  +o  (
( a `  suc  ( rank `  b )
) `  b )
) ,  ( f `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( a `  U. dom  a ) )  o.  ( a `  U. dom  a ) ) "
b ) ) ) ) ) ) )
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |- recs ( ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ( R1
`  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y )
)  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y ) ) `
 y ) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " y
) ) ) ) ) )  = recs (
( a  e.  _V  |->  ( b  e.  ( R1 `  dom  a
)  |->  if ( dom  a  =  U. dom  a ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  a  .o  ( rank `  b
) )  +o  (
( a `  suc  ( rank `  b )
) `  b )
) ,  ( f `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( a `  U. dom  a ) )  o.  ( a `  U. dom  a ) ) "
b ) ) ) ) ) )
5810, 16, 57dfac12lem3 8577 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ~P (har `  ( R1 `  z
) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  ( R1 `  z )  e.  dom  card )
5958ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ~P (har `  ( R1 `  z ) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  ->  ( z  e.  On  ->  ( R1 `  z )  e.  dom  card ) )
6059exlimiv 1767 . . . . . . . . 9  |-  ( E. f  f : ~P (har `  ( R1 `  z ) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  ->  ( z  e.  On  ->  ( R1 `  z )  e.  dom  card ) )
619, 60sylbi 199 . . . . . . . 8  |-  ( ~P (har `  ( R1 `  z ) )  ~~  ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z
) ) )  -> 
( z  e.  On  ->  ( R1 `  z
)  e.  dom  card ) )
626, 7, 8, 614syl 19 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  ->  ( z  e.  On  ->  ( R1 `  z )  e.  dom  card )
)
6362imp 431 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  /\  z  e.  On )  ->  ( R1 `  z )  e.  dom  card )
64 r1suc 8244 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  On  ->  ( R1 `  suc  z )  =  ~P ( R1
`  z ) )
6564adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  /\  z  e.  On )  ->  ( R1 `  suc  z )  =  ~P ( R1 `  z ) )
6665eleq2d 2493 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  /\  z  e.  On )  ->  ( y  e.  ( R1 `  suc  z )  <->  y  e.  ~P ( R1 `  z
) ) )
67 elpwi 3989 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~P ( R1
`  z )  -> 
y  C_  ( R1 `  z ) )
6866, 67syl6bi 232 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  /\  z  e.  On )  ->  ( y  e.  ( R1 `  suc  z )  ->  y  C_  ( R1 `  z
) ) )
69 ssnum 8472 . . . . . 6  |-  ( ( ( R1 `  z
)  e.  dom  card  /\  y  C_  ( R1 `  z ) )  -> 
y  e.  dom  card )
7063, 68, 69syl6an 548 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  /\  z  e.  On )  ->  ( y  e.  ( R1 `  suc  z )  ->  y  e.  dom  card ) )
7170rexlimdva 2918 . . . 4  |-  ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  ->  ( E. z  e.  On  y  e.  ( R1 ` 
suc  z )  -> 
y  e.  dom  card ) )
721, 71syl5bi 221 . . 3  |-  ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  ->  ( y  e.  U. ( R1 " On )  -> 
y  e.  dom  card ) )
7372ssrdv 3471 . 2  |-  ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  ->  U. ( R1 " On )  C_  dom  card )
74 onwf 8304 . . . . . 6  |-  On  C_  U. ( R1 " On )
7574sseli 3461 . . . . 5  |-  ( x  e.  On  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )
76 pwwf 8281 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. ( R1
" On )  <->  ~P x  e.  U. ( R1 " On ) )
7775, 76sylib 200 . . . 4  |-  ( x  e.  On  ->  ~P x  e.  U. ( R1 " On ) )
78 ssel 3459 . . . 4  |-  ( U. ( R1 " On ) 
C_  dom  card  ->  ( ~P x  e.  U. ( R1 " On )  ->  ~P x  e.  dom  card ) )
7977, 78syl5 34 . . 3  |-  ( U. ( R1 " On ) 
C_  dom  card  ->  (
x  e.  On  ->  ~P x  e.  dom  card ) )
8079ralrimiv 2838 . 2  |-  ( U. ( R1 " On ) 
C_  dom  card  ->  A. x  e.  On  ~P x  e. 
dom  card )
8173, 80impbii 191 1  |-  ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  <->  U. ( R1 " On )  C_  dom  card )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1438   E.wex 1660    e. wcel 1869   A.wral 2776   E.wrex 2777   _Vcvv 3082    C_ wss 3437   ifcif 3910   ~Pcpw 3980   U.cuni 4217   class class class wbr 4421    |-> cmpt 4480    _E cep 4760   `'ccnv 4850   dom cdm 4851   ran crn 4852   "cima 4854    o. ccom 4855   Oncon0 5440   suc csuc 5442   -1-1->wf1 5596   -1-1-onto->wf1o 5598   ` cfv 5599  (class class class)co 6303  recscrecs 7095    +o coa 7185    .o comu 7186    ~~ cen 7572  OrdIsocoi 8028  harchar 8075   R1cr1 8236   rankcrnk 8237   cardccrd 8372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-oadd 7192  df-omul 7193  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-oi 8029  df-har 8077  df-r1 8238  df-rank 8239  df-card 8376
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