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Theorem dfac12r 8315
Description: The axiom of choice holds iff every ordinal has a well-orderable powerset. This version of dfac12 8318 does not assume the Axiom of Regularity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac12r  |-  ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  <->  U. ( R1 " On )  C_  dom  card )

Proof of Theorem dfac12r
Dummy variables  a 
b  f  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rankwflemb 8000 . . . 4  |-  ( y  e.  U. ( R1
" On )  <->  E. z  e.  On  y  e.  ( R1 `  suc  z
) )
2 harcl 7776 . . . . . . . . 9  |-  (har `  ( R1 `  z ) )  e.  On
3 pweq 3863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (har `  ( R1 `  z ) )  ->  ~P x  =  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )
43eleq1d 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (har `  ( R1 `  z ) )  ->  ( ~P x  e.  dom  card  <->  ~P (har `  ( R1 `  z ) )  e.  dom  card )
)
54rspcv 3069 . . . . . . . . 9  |-  ( (har
`  ( R1 `  z ) )  e.  On  ->  ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  ->  ~P (har `  ( R1 `  z ) )  e. 
dom  card ) )
62, 5ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  ->  ~P (har `  ( R1 `  z ) )  e. 
dom  card )
7 cardid2 8123 . . . . . . . 8  |-  ( ~P (har `  ( R1 `  z ) )  e. 
dom  card  ->  ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  ~~  ~P (har `  ( R1 `  z
) ) )
8 ensym 7358 . . . . . . . 8  |-  ( (
card `  ~P (har `  ( R1 `  z
) ) )  ~~  ~P (har `  ( R1 `  z ) )  ->  ~P (har `  ( R1 `  z ) )  ~~  ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z
) ) ) )
9 bren 7319 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P (har `  ( R1 `  z ) )  ~~  ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z
) ) )  <->  E. f 
f : ~P (har `  ( R1 `  z
) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) ) )
10 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ~P (har `  ( R1 `  z
) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  z  e.  On )
11 f1of1 5640 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ~P (har `  ( R1 `  z ) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  ->  f : ~P (har `  ( R1 `  z ) ) -1-1-> (
card `  ~P (har `  ( R1 `  z
) ) ) )
1211adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ~P (har `  ( R1 `  z
) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  f : ~P (har `  ( R1 `  z ) ) -1-1-> (
card `  ~P (har `  ( R1 `  z
) ) ) )
13 cardon 8114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  e.  On
1413onssi 6448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  C_  On
15 f1ss 5611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ~P (har `  ( R1 `  z
) ) -1-1-> ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  /\  ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  C_  On )  ->  f : ~P (har `  ( R1 `  z
) ) -1-1-> On )
1612, 14, 15sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ~P (har `  ( R1 `  z
) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  f : ~P (har `  ( R1 `  z ) ) -1-1-> On )
17 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  b  ->  ( rank `  y )  =  ( rank `  b
) )
1817oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  b  ->  ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y
) )  =  ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  b ) ) )
19 suceq 4784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
rank `  y )  =  ( rank `  b
)  ->  suc  ( rank `  y )  =  suc  ( rank `  b )
)
2017, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  b  ->  suc  ( rank `  y )  =  suc  ( rank `  b
) )
2120fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  b  ->  (
x `  suc  ( rank `  y ) )  =  ( x `  suc  ( rank `  b )
) )
22 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  b  ->  y  =  b )
2321, 22fveq12d 5697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  b  ->  (
( x `  suc  ( rank `  y )
) `  y )  =  ( ( x `
 suc  ( rank `  b ) ) `  b ) )
2418, 23oveq12d 6109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  b  ->  (
( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) )  =  ( ( suc  U. ran  U.
ran  x  .o  ( rank `  b ) )  +o  ( ( x `
 suc  ( rank `  b ) ) `  b ) ) )
25 imaeq2 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  b  ->  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y )  =  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " b
) )
2625fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  b  ->  (
f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) )  =  ( f `  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
b ) ) )
2724, 26ifeq12d 3809 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  b  ->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) )  =  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  b
) )  +o  (
( x `  suc  ( rank `  b )
) `  b )
) ,  ( f `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
b ) ) ) )
2827cbvmptv 4383 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) )  =  ( b  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  b ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  b
) ) `  b
) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
b ) ) ) )
29 dmeq 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  dom  x  =  dom  a )
3029fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  ( R1 `  dom  x )  =  ( R1 `  dom  a ) )
3129unieqd 4101 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  U. dom  x  =  U. dom  a
)
3229, 31eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  ( dom  x  =  U. dom  x 
<->  dom  a  =  U. dom  a ) )
33 rneq 5065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  a  ->  ran  x  =  ran  a )
3433unieqd 4101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  a  ->  U. ran  x  =  U. ran  a
)
3534rneqd 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  a  ->  ran  U.
ran  x  =  ran  U.
ran  a )
3635unieqd 4101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  a  ->  U. ran  U.
ran  x  =  U. ran  U. ran  a )
37 suceq 4784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( U. ran  U. ran  x  = 
U. ran  U. ran  a  ->  suc  U. ran  U. ran  x  =  suc  U. ran  U. ran  a )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  a  ->  suc  U.
ran  U. ran  x  =  suc  U. ran  U. ran  a )
3938oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  b
) )  =  ( suc  U. ran  U. ran  a  .o  ( rank `  b ) ) )
40 fveq1 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  a  ->  (
x `  suc  ( rank `  b ) )  =  ( a `  suc  ( rank `  b )
) )
4140fveq1d 5693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  (
( x `  suc  ( rank `  b )
) `  b )  =  ( ( a `
 suc  ( rank `  b ) ) `  b ) )
4239, 41oveq12d 6109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  (
( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  b ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  b
) ) `  b
) )  =  ( ( suc  U. ran  U.
ran  a  .o  ( rank `  b ) )  +o  ( ( a `
 suc  ( rank `  b ) ) `  b ) ) )
43 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  a  ->  x  =  a )
4443, 31fveq12d 5697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  a  ->  (
x `  U. dom  x
)  =  ( a `
 U. dom  a
) )
4544rneqd 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  a  ->  ran  ( x `  U. dom  x )  =  ran  ( a `  U. dom  a ) )
46 oieq2 7727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ran  ( x `  U. dom  x )  =  ran  ( a `  U. dom  a )  -> OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  = OrdIso (  _E  ,  ran  ( a `
 U. dom  a
) ) )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  a  -> OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  = OrdIso (  _E  ,  ran  ( a `
 U. dom  a
) ) )
4847cnveqd 5015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  a  ->  `'OrdIso (  _E  ,  ran  (
x `  U. dom  x
) )  =  `'OrdIso (  _E  ,  ran  (
a `  U. dom  a
) ) )
4948, 44coeq12d 5004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  a  ->  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) )  =  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( a `
 U. dom  a
) )  o.  (
a `  U. dom  a
) ) )
5049imaeq1d 5168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
b )  =  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( a `
 U. dom  a
) )  o.  (
a `  U. dom  a
) ) " b
) )
5150fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  (
f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
b ) )  =  ( f `  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( a `  U. dom  a ) )  o.  ( a `  U. dom  a ) ) "
b ) ) )
5232, 42, 51ifbieq12d 3816 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  b ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  b
) ) `  b
) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
b ) ) )  =  if ( dom  a  =  U. dom  a ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  a  .o  ( rank `  b
) )  +o  (
( a `  suc  ( rank `  b )
) `  b )
) ,  ( f `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( a `  U. dom  a ) )  o.  ( a `  U. dom  a ) ) "
b ) ) ) )
5330, 52mpteq12dv 4370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  (
b  e.  ( R1
`  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  b )
)  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  b ) ) `
 b ) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " b
) ) ) )  =  ( b  e.  ( R1 `  dom  a )  |->  if ( dom  a  =  U. dom  a ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  a  .o  ( rank `  b ) )  +o  ( ( a `
 suc  ( rank `  b ) ) `  b ) ) ,  ( f `  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( a `  U. dom  a ) )  o.  ( a `  U. dom  a ) ) "
b ) ) ) ) )
5428, 53syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  a  ->  (
y  e.  ( R1
`  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y )
)  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y ) ) `
 y ) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " y
) ) ) )  =  ( b  e.  ( R1 `  dom  a )  |->  if ( dom  a  =  U. dom  a ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  a  .o  ( rank `  b ) )  +o  ( ( a `
 suc  ( rank `  b ) ) `  b ) ) ,  ( f `  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( a `  U. dom  a ) )  o.  ( a `  U. dom  a ) ) "
b ) ) ) ) )
5554cbvmptv 4383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) ) )  =  ( a  e.  _V  |->  ( b  e.  ( R1
`  dom  a )  |->  if ( dom  a  =  U. dom  a ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  a  .o  ( rank `  b
) )  +o  (
( a `  suc  ( rank `  b )
) `  b )
) ,  ( f `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( a `  U. dom  a ) )  o.  ( a `  U. dom  a ) ) "
b ) ) ) ) )
56 recseq 6833 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ( R1
`  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y )
)  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y ) ) `
 y ) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " y
) ) ) ) )  =  ( a  e.  _V  |->  ( b  e.  ( R1 `  dom  a )  |->  if ( dom  a  =  U. dom  a ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  a  .o  ( rank `  b ) )  +o  ( ( a `
 suc  ( rank `  b ) ) `  b ) ) ,  ( f `  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( a `  U. dom  a ) )  o.  ( a `  U. dom  a ) ) "
b ) ) ) ) )  -> recs ( ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ( R1
`  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y )
)  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y ) ) `
 y ) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " y
) ) ) ) ) )  = recs (
( a  e.  _V  |->  ( b  e.  ( R1 `  dom  a
)  |->  if ( dom  a  =  U. dom  a ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  a  .o  ( rank `  b
) )  +o  (
( a `  suc  ( rank `  b )
) `  b )
) ,  ( f `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( a `  U. dom  a ) )  o.  ( a `  U. dom  a ) ) "
b ) ) ) ) ) ) )
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |- recs ( ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ( R1
`  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y )
)  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y ) ) `
 y ) ) ,  ( f `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " y
) ) ) ) ) )  = recs (
( a  e.  _V  |->  ( b  e.  ( R1 `  dom  a
)  |->  if ( dom  a  =  U. dom  a ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  a  .o  ( rank `  b
) )  +o  (
( a `  suc  ( rank `  b )
) `  b )
) ,  ( f `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( a `  U. dom  a ) )  o.  ( a `  U. dom  a ) ) "
b ) ) ) ) ) )
5810, 16, 57dfac12lem3 8314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ~P (har `  ( R1 `  z
) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  /\  z  e.  On )  ->  ( R1 `  z )  e.  dom  card )
5958ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ~P (har `  ( R1 `  z ) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  ->  ( z  e.  On  ->  ( R1 `  z )  e.  dom  card ) )
6059exlimiv 1688 . . . . . . . . 9  |-  ( E. f  f : ~P (har `  ( R1 `  z ) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z ) ) )  ->  ( z  e.  On  ->  ( R1 `  z )  e.  dom  card ) )
619, 60sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( ~P (har `  ( R1 `  z ) )  ~~  ( card `  ~P (har `  ( R1 `  z
) ) )  -> 
( z  e.  On  ->  ( R1 `  z
)  e.  dom  card ) )
626, 7, 8, 614syl 21 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  ->  ( z  e.  On  ->  ( R1 `  z )  e.  dom  card )
)
6362imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  /\  z  e.  On )  ->  ( R1 `  z )  e.  dom  card )
64 r1suc 7977 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  On  ->  ( R1 `  suc  z )  =  ~P ( R1
`  z ) )
6564adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  /\  z  e.  On )  ->  ( R1 `  suc  z )  =  ~P ( R1 `  z ) )
6665eleq2d 2510 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  /\  z  e.  On )  ->  ( y  e.  ( R1 `  suc  z )  <->  y  e.  ~P ( R1 `  z
) ) )
67 elpwi 3869 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~P ( R1
`  z )  -> 
y  C_  ( R1 `  z ) )
6866, 67syl6bi 228 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  /\  z  e.  On )  ->  ( y  e.  ( R1 `  suc  z )  ->  y  C_  ( R1 `  z
) ) )
69 ssnum 8209 . . . . . 6  |-  ( ( ( R1 `  z
)  e.  dom  card  /\  y  C_  ( R1 `  z ) )  -> 
y  e.  dom  card )
7063, 68, 69syl6an 545 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  /\  z  e.  On )  ->  ( y  e.  ( R1 `  suc  z )  ->  y  e.  dom  card ) )
7170rexlimdva 2841 . . . 4  |-  ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  ->  ( E. z  e.  On  y  e.  ( R1 ` 
suc  z )  -> 
y  e.  dom  card ) )
721, 71syl5bi 217 . . 3  |-  ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  ->  ( y  e.  U. ( R1 " On )  -> 
y  e.  dom  card ) )
7372ssrdv 3362 . 2  |-  ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  ->  U. ( R1 " On )  C_  dom  card )
74 onwf 8037 . . . . . 6  |-  On  C_  U. ( R1 " On )
7574sseli 3352 . . . . 5  |-  ( x  e.  On  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )
76 pwwf 8014 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. ( R1
" On )  <->  ~P x  e.  U. ( R1 " On ) )
7775, 76sylib 196 . . . 4  |-  ( x  e.  On  ->  ~P x  e.  U. ( R1 " On ) )
78 ssel 3350 . . . 4  |-  ( U. ( R1 " On ) 
C_  dom  card  ->  ( ~P x  e.  U. ( R1 " On )  ->  ~P x  e.  dom  card ) )
7977, 78syl5 32 . . 3  |-  ( U. ( R1 " On ) 
C_  dom  card  ->  (
x  e.  On  ->  ~P x  e.  dom  card ) )
8079ralrimiv 2798 . 2  |-  ( U. ( R1 " On ) 
C_  dom  card  ->  A. x  e.  On  ~P x  e. 
dom  card )
8173, 80impbii 188 1  |-  ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  <->  U. ( R1 " On )  C_  dom  card )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972    C_ wss 3328   ifcif 3791   ~Pcpw 3860   U.cuni 4091   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350    _E cep 4630   Oncon0 4719   suc csuc 4721   `'ccnv 4839   dom cdm 4840   ran crn 4841   "cima 4843    o. ccom 4844   -1-1->wf1 5415   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418  (class class class)co 6091  recscrecs 6831    +o coa 6917    .o comu 6918    ~~ cen 7307  OrdIsocoi 7723  harchar 7771   R1cr1 7969   rankcrnk 7970   cardccrd 8105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-oadd 6924  df-omul 6925  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-oi 7724  df-har 7773  df-r1 7971  df-rank 7972  df-card 8109
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