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Theorem dfac12lem3 8542
Description: Lemma for dfac12 8546. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dfac12.1  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
dfac12.3  |-  ( ph  ->  F : ~P (har `  ( R1 `  A
) ) -1-1-> On )
dfac12.4  |-  G  = recs ( ( x  e. 
_V  |->  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
dfac12lem3  |-  ( ph  ->  ( R1 `  A
)  e.  dom  card )
Distinct variable groups:    y, A    x, y, G    ph, y    x, F, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)

Proof of Theorem dfac12lem3
Dummy variables  m  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5882 . . . 4  |-  ( G `
 A )  e. 
_V
21rnex 6733 . . 3  |-  ran  ( G `  A )  e.  _V
3 ssid 3518 . . . . 5  |-  A  C_  A
4 dfac12.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
5 sseq1 3520 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
m  C_  A  <->  n  C_  A
) )
6 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  ( G `  m )  =  ( G `  n ) )
7 f1eq1 5782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  m )  =  ( G `  n )  ->  (
( G `  m
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  n ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) )
86, 7syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
( G `  m
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  n ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) )
9 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  ( R1 `  m )  =  ( R1 `  n
) )
10 f1eq2 5783 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R1 `  m )  =  ( R1 `  n )  ->  (
( G `  n
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  n ) : ( R1 `  n ) -1-1-> On ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
( G `  n
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  n ) : ( R1 `  n ) -1-1-> On ) )
128, 11bitrd 253 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
( G `  m
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  n ) : ( R1 `  n ) -1-1-> On ) )
135, 12imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
( m  C_  A  ->  ( G `  m
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On ) 
<->  ( n  C_  A  ->  ( G `  n
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On ) ) )
1413imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (
( ph  ->  ( m 
C_  A  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) )  <->  ( ph  ->  ( n  C_  A  ->  ( G `  n ) : ( R1 `  n ) -1-1-> On ) ) ) )
15 sseq1 3520 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  A  ->  (
m  C_  A  <->  A  C_  A
) )
16 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  A  ->  ( G `  m )  =  ( G `  A ) )
17 f1eq1 5782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  m )  =  ( G `  A )  ->  (
( G `  m
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  A ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  A  ->  (
( G `  m
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  A ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) )
19 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  A  ->  ( R1 `  m )  =  ( R1 `  A
) )
20 f1eq2 5783 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R1 `  m )  =  ( R1 `  A )  ->  (
( G `  A
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-> On ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  A  ->  (
( G `  A
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-> On ) )
2218, 21bitrd 253 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  A  ->  (
( G `  m
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-> On ) )
2315, 22imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  A  ->  (
( m  C_  A  ->  ( G `  m
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On ) 
<->  ( A  C_  A  ->  ( G `  A
) : ( R1
`  A ) -1-1-> On ) ) )
2423imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( m  =  A  ->  (
( ph  ->  ( m 
C_  A  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) )  <->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  ( G `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-> On ) ) ) )
25 r19.21v 2862 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  m  ( ph  ->  ( n  C_  A  ->  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On ) )  <->  ( ph  ->  A. n  e.  m  ( n  C_  A  -> 
( G `  n
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On ) ) )
26 eloni 4897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  On  ->  Ord  m )
2726ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  ->  Ord  m )
28 ordelss 4903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Ord  m  /\  n  e.  m )  ->  n  C_  m )
2927, 28sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  n  e.  m
)  ->  n  C_  m
)
30 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  n  e.  m
)  ->  m  C_  A
)
3129, 30sstrd 3509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  n  e.  m
)  ->  n  C_  A
)
32 pm5.5 336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n 
C_  A  ->  (
( n  C_  A  ->  ( G `  n
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On ) 
<->  ( G `  n
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  n  e.  m
)  ->  ( (
n  C_  A  ->  ( G `  n ) : ( R1 `  n ) -1-1-> On )  <-> 
( G `  n
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On ) )
3433ralbidva 2893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  -> 
( A. n  e.  m  ( n  C_  A  ->  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  <->  A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On ) )
354ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  ->  A  e.  On )
36 dfac12.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : ~P (har `  ( R1 `  A
) ) -1-1-> On )
3736ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  ->  F : ~P (har `  ( R1 `  A ) )
-1-1-> On )
38 dfac12.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  G  = recs ( ( x  e. 
_V  |->  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) ) ) )
39 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  ->  m  e.  On )
40 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( G `  U. m
) )  o.  ( G `  U. m ) )  =  ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( G `  U. m
) )  o.  ( G `  U. m ) )
41 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  ->  m  C_  A )
42 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  ->  A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )
43 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  z  ->  ( G `  n )  =  ( G `  z ) )
44 f1eq1 5782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G `  n )  =  ( G `  z )  ->  (
( G `  n
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On  <->  ( G `  z ) : ( R1 `  n ) -1-1-> On ) )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  z  ->  (
( G `  n
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On  <->  ( G `  z ) : ( R1 `  n ) -1-1-> On ) )
46 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  z  ->  ( R1 `  n )  =  ( R1 `  z
) )
47 f1eq2 5783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R1 `  n )  =  ( R1 `  z )  ->  (
( G `  z
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On  <->  ( G `  z ) : ( R1 `  z ) -1-1-> On ) )
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  z  ->  (
( G `  z
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On  <->  ( G `  z ) : ( R1 `  z ) -1-1-> On ) )
4945, 48bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  z  ->  (
( G `  n
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On  <->  ( G `  z ) : ( R1 `  z ) -1-1-> On ) )
5049cbvralv 3084 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n ) -1-1-> On  <->  A. z  e.  m  ( G `  z ) : ( R1 `  z )
-1-1-> On )
5142, 50sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  ->  A. z  e.  m  ( G `  z ) : ( R1 `  z )
-1-1-> On )
5235, 37, 38, 39, 40, 41, 51dfac12lem2 8541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On )
5352ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  -> 
( A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m )
-1-1-> On ) )
5434, 53sylbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  -> 
( A. n  e.  m  ( n  C_  A  ->  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) )
5554expr 615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  On )  ->  ( m 
C_  A  ->  ( A. n  e.  m  ( n  C_  A  -> 
( G `  n
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On )  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m )
-1-1-> On ) ) )
5655com23 78 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  On )  ->  ( A. n  e.  m  (
n  C_  A  ->  ( G `  n ) : ( R1 `  n ) -1-1-> On )  ->  ( m  C_  A  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m )
-1-1-> On ) ) )
5756expcom 435 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  On  ->  ( ph  ->  ( A. n  e.  m  ( n  C_  A  ->  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  ->  (
m  C_  A  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) ) ) )
5857a2d 26 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  On  ->  (
( ph  ->  A. n  e.  m  ( n  C_  A  ->  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On ) )  -> 
( ph  ->  ( m 
C_  A  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) ) ) )
5925, 58syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  On  ->  ( A. n  e.  m  ( ph  ->  ( n  C_  A  ->  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On ) )  -> 
( ph  ->  ( m 
C_  A  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) ) ) )
6014, 24, 59tfis3 6691 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  ( G `  A ) : ( R1 `  A )
-1-1-> On ) ) )
614, 60mpcom 36 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  ( G `  A
) : ( R1
`  A ) -1-1-> On ) )
623, 61mpi 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  A
) : ( R1
`  A ) -1-1-> On )
63 f1f 5787 . . . 4  |-  ( ( G `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-> On  ->  ( G `  A ) : ( R1 `  A ) --> On )
64 frn 5743 . . . 4  |-  ( ( G `  A ) : ( R1 `  A ) --> On  ->  ran  ( G `  A
)  C_  On )
6562, 63, 643syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( G `  A )  C_  On )
66 onssnum 8438 . . 3  |-  ( ( ran  ( G `  A )  e.  _V  /\ 
ran  ( G `  A )  C_  On )  ->  ran  ( G `  A )  e.  dom  card )
672, 65, 66sylancr 663 . 2  |-  ( ph  ->  ran  ( G `  A )  e.  dom  card )
68 f1f1orn 5833 . . . 4  |-  ( ( G `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-> On  ->  ( G `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-onto-> ran  ( G `  A ) )
6962, 68syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  A
) : ( R1
`  A ) -1-1-onto-> ran  ( G `  A )
)
70 fvex 5882 . . . 4  |-  ( R1
`  A )  e. 
_V
7170f1oen 7555 . . 3  |-  ( ( G `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-onto-> ran  ( G `  A )  ->  ( R1 `  A )  ~~  ran  ( G `  A
) )
72 ennum 8345 . . 3  |-  ( ( R1 `  A ) 
~~  ran  ( G `  A )  ->  (
( R1 `  A
)  e.  dom  card  <->  ran  ( G `  A )  e.  dom  card )
)
7369, 71, 723syl 20 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( R1 `  A )  e.  dom  card  <->  ran  ( G `  A
)  e.  dom  card ) )
7467, 73mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( R1 `  A
)  e.  dom  card )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   ifcif 3944   ~Pcpw 4015   U.cuni 4251   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    _E cep 4798   Ord word 4886   Oncon0 4887   suc csuc 4889   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   ran crn 5009   "cima 5011    o. ccom 5012   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296  recscrecs 7059    +o coa 7145    .o comu 7146    ~~ cen 7532  OrdIsocoi 7952  harchar 8000   R1cr1 8197   rankcrnk 8198   cardccrd 8333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-oi 7953  df-har 8002  df-r1 8199  df-rank 8200  df-card 8337
This theorem is referenced by:  dfac12r  8543
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