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Theorem dfac12lem2 8301
Description: Lemma for dfac12 8306. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dfac12.1  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
dfac12.3  |-  ( ph  ->  F : ~P (har `  ( R1 `  A
) ) -1-1-> On )
dfac12.4  |-  G  = recs ( ( x  e. 
_V  |->  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) ) ) )
dfac12.5  |-  ( ph  ->  C  e.  On )
dfac12.h  |-  H  =  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `
 U. C ) )  o.  ( G `
 U. C ) )
dfac12.6  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
dfac12.8  |-  ( ph  ->  A. z  e.  C  ( G `  z ) : ( R1 `  z ) -1-1-> On )
Assertion
Ref Expression
dfac12lem2  |-  ( ph  ->  ( G `  C
) : ( R1
`  C ) -1-1-> On )
Distinct variable groups:    y, z, A    x, y, z, C   
x, G, y, z    ph, y, z    x, F, y, z    y, H, z
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)    H( x)

Proof of Theorem dfac12lem2
StepHypRef Expression
1 dfac12.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  G  = recs ( ( x  e. 
_V  |->  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) ) ) )
21tfr1 6842 . . . . . . . . . . . . 13  |-  G  Fn  On
3 fnfun 5496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  Fn  On  ->  Fun  G )
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  Fun  G
5 dfac12.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  On )
6 funimaexg 5483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  G  /\  C  e.  On )  ->  ( G " C )  e. 
_V )
74, 5, 6sylancr 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G " C
)  e.  _V )
8 uniexg 6366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G " C )  e.  _V  ->  U. ( G " C )  e. 
_V )
9 rnexg 6499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. ( G " C )  e.  _V  ->  ran  U. ( G " C
)  e.  _V )
107, 8, 93syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  U. ( G
" C )  e. 
_V )
11 dfac12.8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. z  e.  C  ( G `  z ) : ( R1 `  z ) -1-1-> On )
12 f1f 5594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G `  z ) : ( R1 `  z ) -1-1-> On  ->  ( G `  z ) : ( R1 `  z ) --> On )
13 fssxp 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G `  z ) : ( R1 `  z ) --> On  ->  ( G `  z ) 
C_  ( ( R1
`  z )  X.  On ) )
14 ssv 3364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( R1
`  z )  C_  _V
15 xpss1 4935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R1 `  z ) 
C_  _V  ->  ( ( R1 `  z )  X.  On )  C_  ( _V  X.  On ) )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R1 `  z )  X.  On )  C_  ( _V  X.  On )
17 sstr 3352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( G `  z
)  C_  ( ( R1 `  z )  X.  On )  /\  (
( R1 `  z
)  X.  On ) 
C_  ( _V  X.  On ) )  ->  ( G `  z )  C_  ( _V  X.  On ) )
1816, 17mpan2 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G `  z ) 
C_  ( ( R1
`  z )  X.  On )  ->  ( G `  z )  C_  ( _V  X.  On ) )
19 fvex 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G `
 z )  e. 
_V
2019elpw 3854 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G `  z )  e.  ~P ( _V 
X.  On )  <->  ( G `  z )  C_  ( _V  X.  On ) )
2118, 20sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G `  z ) 
C_  ( ( R1
`  z )  X.  On )  ->  ( G `  z )  e.  ~P ( _V  X.  On ) )
2212, 13, 213syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  z ) : ( R1 `  z ) -1-1-> On  ->  ( G `  z )  e.  ~P ( _V 
X.  On ) )
2322ralimi 2781 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. z  e.  C  ( G `  z ) : ( R1 `  z ) -1-1-> On  ->  A. z  e.  C  ( G `  z )  e.  ~P ( _V 
X.  On ) )
2411, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. z  e.  C  ( G `  z )  e.  ~P ( _V 
X.  On ) )
25 onss 6391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( C  e.  On  ->  C  C_  On )
265, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  C  C_  On )
27 fndm 5498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G  Fn  On  ->  dom  G  =  On )
282, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  G  =  On
2926, 28syl6sseqr 3391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  C_  dom  G )
30 funimass4 5730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  G  /\  C  C_ 
dom  G )  -> 
( ( G " C )  C_  ~P ( _V  X.  On ) 
<-> 
A. z  e.  C  ( G `  z )  e.  ~P ( _V 
X.  On ) ) )
314, 29, 30sylancr 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( G " C )  C_  ~P ( _V  X.  On ) 
<-> 
A. z  e.  C  ( G `  z )  e.  ~P ( _V 
X.  On ) ) )
3224, 31mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G " C
)  C_  ~P ( _V  X.  On ) )
33 sspwuni 4244 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G " C ) 
C_  ~P ( _V  X.  On )  <->  U. ( G " C )  C_  ( _V  X.  On ) )
3432, 33sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U. ( G " C )  C_  ( _V  X.  On ) )
35 rnss 5055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. ( G " C ) 
C_  ( _V  X.  On )  ->  ran  U. ( G " C ) 
C_  ran  ( _V  X.  On ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  U. ( G
" C )  C_  ran  ( _V  X.  On ) )
37 rnxpss 5258 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  ( _V  X.  On )  C_  On
3836, 37syl6ss 3356 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  U. ( G
" C )  C_  On )
39 ssonuni 6387 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  U. ( G " C
)  e.  _V  ->  ( ran  U. ( G
" C )  C_  On  ->  U. ran  U. ( G " C )  e.  On ) )
4010, 38, 39sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U. ran  U. ( G " C )  e.  On )
41 suceloni 6413 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  U. ( G " C )  e.  On  ->  suc  U. ran  U. ( G " C )  e.  On )
4240, 41syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  suc  U. ran  U. ( G " C )  e.  On )
4342ad2antrr 718 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  ->  suc  U. ran  U. ( G " C )  e.  On )
44 rankon 7990 . . . . . . 7  |-  ( rank `  y )  e.  On
45 omcl 6964 . . . . . . 7  |-  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  e.  On  /\  ( rank `  y )  e.  On )  ->  ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y
) )  e.  On )
4643, 44, 45sylancl 655 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y
) )  e.  On )
47 rankr1ai 7993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( R1 `  C )  ->  ( rank `  y )  e.  C )
4847ad2antlr 719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( rank `  y )  e.  C )
49 simpr 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  ->  C  =  U. C )
5048, 49eleqtrd 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( rank `  y )  e.  U. C )
51 eloni 4716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  On  ->  Ord  C )
525, 51syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Ord  C )
5352ad2antrr 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  ->  Ord  C )
54 ordsucuniel 6424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord 
C  ->  ( ( rank `  y )  e. 
U. C  <->  suc  ( rank `  y )  e.  C
) )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( ( rank `  y
)  e.  U. C  <->  suc  ( rank `  y
)  e.  C ) )
5650, 55mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  ->  suc  ( rank `  y
)  e.  C )
5711ad2antrr 718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  ->  A. z  e.  C  ( G `  z ) : ( R1 `  z ) -1-1-> On )
58 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  suc  ( rank `  y )  ->  ( G `  z )  =  ( G `  suc  ( rank `  y
) ) )
59 f1eq1 5589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  z )  =  ( G `  suc  ( rank `  y
) )  ->  (
( G `  z
) : ( R1
`  z ) -1-1-> On  <->  ( G `  suc  ( rank `  y ) ) : ( R1 `  z ) -1-1-> On ) )
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  suc  ( rank `  y )  ->  (
( G `  z
) : ( R1
`  z ) -1-1-> On  <->  ( G `  suc  ( rank `  y ) ) : ( R1 `  z ) -1-1-> On ) )
61 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  suc  ( rank `  y )  ->  ( R1 `  z )  =  ( R1 `  suc  ( rank `  y )
) )
62 f1eq2 5590 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R1 `  z )  =  ( R1 `  suc  ( rank `  y
) )  ->  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) : ( R1
`  z ) -1-1-> On  <->  ( G `  suc  ( rank `  y ) ) : ( R1 `  suc  ( rank `  y
) ) -1-1-> On ) )
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  suc  ( rank `  y )  ->  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) : ( R1
`  z ) -1-1-> On  <->  ( G `  suc  ( rank `  y ) ) : ( R1 `  suc  ( rank `  y
) ) -1-1-> On ) )
6460, 63bitrd 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  suc  ( rank `  y )  ->  (
( G `  z
) : ( R1
`  z ) -1-1-> On  <->  ( G `  suc  ( rank `  y ) ) : ( R1 `  suc  ( rank `  y
) ) -1-1-> On ) )
6564rspcv 3058 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  ( rank `  y
)  e.  C  -> 
( A. z  e.  C  ( G `  z ) : ( R1 `  z )
-1-1-> On  ->  ( G `  suc  ( rank `  y
) ) : ( R1 `  suc  ( rank `  y ) )
-1-1-> On ) )
6656, 57, 65sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( G `  suc  ( rank `  y )
) : ( R1
`  suc  ( rank `  y ) ) -1-1-> On )
67 f1f 5594 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  suc  ( rank `  y ) ) : ( R1 `  suc  ( rank `  y
) ) -1-1-> On  ->  ( G `  suc  ( rank `  y ) ) : ( R1 `  suc  ( rank `  y
) ) --> On )
6866, 67syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( G `  suc  ( rank `  y )
) : ( R1
`  suc  ( rank `  y ) ) --> On )
69 r1elwf 7991 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( R1 `  C )  ->  y  e.  U. ( R1 " On ) )
7069ad2antlr 719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
y  e.  U. ( R1 " On ) )
71 rankidb 7995 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  U. ( R1
" On )  -> 
y  e.  ( R1
`  suc  ( rank `  y ) ) )
7270, 71syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
y  e.  ( R1
`  suc  ( rank `  y ) ) )
7368, 72ffvelrnd 5832 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( ( G `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
)  e.  On )
74 oacl 6963 . . . . . 6  |-  ( ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  e.  On  /\  ( ( G `  suc  ( rank `  y ) ) `
 y )  e.  On )  ->  (
( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
)  e.  On )
7546, 73, 74syl2anc 654 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( G `
 suc  ( rank `  y ) ) `  y ) )  e.  On )
76 dfac12.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : ~P (har `  ( R1 `  A
) ) -1-1-> On )
77 f1f 5594 . . . . . . . 8  |-  ( F : ~P (har `  ( R1 `  A ) ) -1-1-> On  ->  F : ~P (har `  ( R1 `  A ) ) --> On )
7876, 77syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : ~P (har `  ( R1 `  A
) ) --> On )
7978ad2antrr 718 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  F : ~P (har `  ( R1 `  A ) ) --> On )
80 imassrn 5168 . . . . . . . 8  |-  ( H
" y )  C_  ran  H
81 fvex 5689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G `
 U. C )  e.  _V
8281rnex 6501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  ( G `  U. C )  e.  _V
835ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  C  e.  On )
84 onuni 6393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( C  e.  On  ->  U. C  e.  On )
85 sucidg 4784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( U. C  e.  On  ->  U. C  e.  suc  U. C )
8683, 84, 853syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  U. C  e.  suc  U. C )
8752adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  Ord  C )
88 orduniorsuc 6430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Ord 
C  ->  ( C  =  U. C  \/  C  =  suc  U. C ) )
8987, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  ( C  =  U. C  \/  C  =  suc  U. C ) )
9089orcanai 897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  C  =  suc  U. C )
9186, 90eleqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  U. C  e.  C
)
9211ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  A. z  e.  C  ( G `  z ) : ( R1 `  z ) -1-1-> On )
93 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  U. C  -> 
( G `  z
)  =  ( G `
 U. C ) )
94 f1eq1 5589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G `  z )  =  ( G `  U. C )  ->  (
( G `  z
) : ( R1
`  z ) -1-1-> On  <->  ( G `  U. C
) : ( R1
`  z ) -1-1-> On ) )
9593, 94syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  U. C  -> 
( ( G `  z ) : ( R1 `  z )
-1-1-> On  <->  ( G `  U. C ) : ( R1 `  z )
-1-1-> On ) )
96 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  U. C  -> 
( R1 `  z
)  =  ( R1
`  U. C ) )
97 f1eq2 5590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R1 `  z )  =  ( R1 `  U. C )  ->  (
( G `  U. C ) : ( R1 `  z )
-1-1-> On  <->  ( G `  U. C ) : ( R1 `  U. C
) -1-1-> On ) )
9896, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  U. C  -> 
( ( G `  U. C ) : ( R1 `  z )
-1-1-> On  <->  ( G `  U. C ) : ( R1 `  U. C
) -1-1-> On ) )
9995, 98bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  U. C  -> 
( ( G `  z ) : ( R1 `  z )
-1-1-> On  <->  ( G `  U. C ) : ( R1 `  U. C
) -1-1-> On ) )
10099rspcv 3058 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U. C  e.  C  ->  ( A. z  e.  C  ( G `  z ) : ( R1 `  z ) -1-1-> On  ->  ( G `  U. C
) : ( R1
`  U. C ) -1-1-> On ) )
10191, 92, 100sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( G `  U. C ) : ( R1 `  U. C
) -1-1-> On )
102 f1f 5594 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  U. C
) : ( R1
`  U. C ) -1-1-> On  ->  ( G `  U. C ) : ( R1 `  U. C
) --> On )
103 frn 5553 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  U. C
) : ( R1
`  U. C ) --> On 
->  ran  ( G `  U. C )  C_  On )
104101, 102, 1033syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ran  ( G `  U. C )  C_  On )
105 epweon 6384 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _E  We  On
106 wess 4694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  ( G `  U. C )  C_  On  ->  (  _E  We  On  ->  _E  We  ran  ( G `  U. C ) ) )
107104, 105, 106mpisyl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  _E  We  ran  ( G `  U. C
) )
108 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `
 U. C ) )  = OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `
 U. C ) )
109108oiiso 7739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ran  ( G `  U. C )  e.  _V  /\  _E  We  ran  ( G `  U. C ) )  -> OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C ) )  Isom  _E  ,  _E  ( dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C
) ) ,  ran  ( G `  U. C
) ) )
11082, 107, 109sylancr 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  -> OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C
) )  Isom  _E  ,  _E  ( dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C ) ) ,  ran  ( G `  U. C ) ) )
111 isof1o 6003 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `
 U. C ) )  Isom  _E  ,  _E  ( dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C ) ) ,  ran  ( G `  U. C ) )  -> OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C
) ) : dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C ) ) -1-1-onto-> ran  ( G `  U. C ) )
112 f1ocnv 5641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `
 U. C ) ) : dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `
 U. C ) ) -1-1-onto-> ran  ( G `  U. C )  ->  `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C ) ) : ran  ( G `  U. C ) -1-1-onto-> dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C
) ) )
113 f1of1 5628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( G `  U. C
) ) : ran  ( G `  U. C
)
-1-1-onto-> dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C
) )  ->  `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C ) ) : ran  ( G `  U. C )
-1-1-> dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C ) ) )
114110, 111, 112, 1134syl 21 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C
) ) : ran  ( G `  U. C
) -1-1-> dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C ) ) )
115 f1f1orn 5640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  U. C
) : ( R1
`  U. C ) -1-1-> On  ->  ( G `  U. C ) : ( R1 `  U. C
)
-1-1-onto-> ran  ( G `  U. C ) )
116 f1of1 5628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  U. C
) : ( R1
`  U. C ) -1-1-onto-> ran  ( G `  U. C )  ->  ( G `  U. C ) : ( R1 `  U. C
) -1-1-> ran  ( G `  U. C ) )
117101, 115, 1163syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( G `  U. C ) : ( R1 `  U. C
) -1-1-> ran  ( G `  U. C ) )
118 f1co 5603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C
) ) : ran  ( G `  U. C
) -1-1-> dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C ) )  /\  ( G `  U. C
) : ( R1
`  U. C ) -1-1-> ran  ( G `  U. C
) )  ->  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C
) )  o.  ( G `  U. C ) ) : ( R1
`  U. C ) -1-1-> dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C ) ) )
119114, 117, 118syl2anc 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `
 U. C ) )  o.  ( G `
 U. C ) ) : ( R1
`  U. C ) -1-1-> dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C ) ) )
120 dfac12.h . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `
 U. C ) )  o.  ( G `
 U. C ) )
121 f1eq1 5589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H  =  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `
 U. C ) )  o.  ( G `
 U. C ) )  ->  ( H : ( R1 `  U. C ) -1-1-> dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `
 U. C ) )  <->  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `
 U. C ) )  o.  ( G `
 U. C ) ) : ( R1
`  U. C ) -1-1-> dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C ) ) ) )
122120, 121ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H : ( R1 `  U. C ) -1-1-> dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `
 U. C ) )  <->  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `
 U. C ) )  o.  ( G `
 U. C ) ) : ( R1
`  U. C ) -1-1-> dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C ) ) )
123119, 122sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  H : ( R1 `  U. C
) -1-1-> dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C ) ) )
124 f1f 5594 . . . . . . . . . 10  |-  ( H : ( R1 `  U. C ) -1-1-> dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `
 U. C ) )  ->  H :
( R1 `  U. C ) --> dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `
 U. C ) ) )
125 frn 5553 . . . . . . . . . 10  |-  ( H : ( R1 `  U. C ) --> dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `
 U. C ) )  ->  ran  H  C_  dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C
) ) )
126123, 124, 1253syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ran  H  C_  dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C ) ) )
127 harcl 7764 . . . . . . . . . . 11  |-  (har `  ( R1 `  A ) )  e.  On
128127onordi 4810 . . . . . . . . . 10  |-  Ord  (har `  ( R1 `  A
) )
129108oion 7738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  ( G `  U. C )  e.  _V  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C ) )  e.  On )
13082, 129mp1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C ) )  e.  On )
131108oien 7740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ran  ( G `  U. C )  e.  _V  /\  _E  We  ran  ( G `  U. C ) )  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `
 U. C ) )  ~~  ran  ( G `  U. C ) )
13282, 107, 131sylancr 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C ) )  ~~  ran  ( G `  U. C ) )
133 fvex 5689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R1
`  U. C )  e. 
_V
134133f1oen 7318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G `  U. C
) : ( R1
`  U. C ) -1-1-onto-> ran  ( G `  U. C )  ->  ( R1 `  U. C )  ~~  ran  ( G `  U. C
) )
135 ensym 7346 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R1 `  U. C
)  ~~  ran  ( G `
 U. C )  ->  ran  ( G `  U. C )  ~~  ( R1 `  U. C
) )
136101, 115, 134, 1354syl 21 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ran  ( G `  U. C )  ~~  ( R1 `  U. C
) )
137 fvex 5689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R1
`  A )  e. 
_V
138 dfac12.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
139138ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  A  e.  On )
140 dfac12.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
141140ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  C  C_  A
)
142141, 91sseldd 3345 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  U. C  e.  A
)
143 r1ord2 7976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  On  ->  ( U. C  e.  A  ->  ( R1 `  U. C )  C_  ( R1 `  A ) ) )
144139, 142, 143sylc 60 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( R1 `  U. C )  C_  ( R1 `  A ) )
145 ssdomg 7343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R1 `  A )  e.  _V  ->  (
( R1 `  U. C )  C_  ( R1 `  A )  -> 
( R1 `  U. C )  ~<_  ( R1
`  A ) ) )
146137, 144, 145mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( R1 `  U. C )  ~<_  ( R1
`  A ) )
147 endomtr 7355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ran  ( G `  U. C )  ~~  ( R1 `  U. C )  /\  ( R1 `  U. C )  ~<_  ( R1
`  A ) )  ->  ran  ( G `  U. C )  ~<_  ( R1 `  A ) )
148136, 146, 147syl2anc 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ran  ( G `  U. C )  ~<_  ( R1 `  A ) )
149 endomtr 7355 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C ) )  ~~  ran  ( G `  U. C )  /\  ran  ( G `  U. C
)  ~<_  ( R1 `  A ) )  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C
) )  ~<_  ( R1
`  A ) )
150132, 148, 149syl2anc 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C ) )  ~<_  ( R1 `  A ) )
151 elharval 7766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C
) )  e.  (har
`  ( R1 `  A ) )  <->  ( dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C ) )  e.  On  /\  dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C
) )  ~<_  ( R1
`  A ) ) )
152130, 150, 151sylanbrc 657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C ) )  e.  (har `  ( R1 `  A ) ) )
153 ordelss 4722 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Ord  (har `  ( R1 `  A ) )  /\  dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C ) )  e.  (har `  ( R1 `  A ) ) )  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C ) )  C_  (har `  ( R1 `  A ) ) )
154128, 152, 153sylancr 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C ) )  C_  (har `  ( R1 `  A ) ) )
155126, 154sstrd 3354 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ran  H  C_  (har `  ( R1 `  A
) ) )
15680, 155syl5ss 3355 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( H "
y )  C_  (har `  ( R1 `  A
) ) )
157 fvex 5689 . . . . . . . 8  |-  (har `  ( R1 `  A ) )  e.  _V
158157elpw2 4444 . . . . . . 7  |-  ( ( H " y )  e.  ~P (har `  ( R1 `  A ) )  <->  ( H "
y )  C_  (har `  ( R1 `  A
) ) )
159156, 158sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( H "
y )  e.  ~P (har `  ( R1 `  A ) ) )
16079, 159ffvelrnd 5832 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( F `  ( H " y ) )  e.  On )
16175, 160ifclda 3809 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  if ( C  =  U. C , 
( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( G `
 suc  ( rank `  y ) ) `  y ) ) ,  ( F `  ( H " y ) ) )  e.  On )
162161ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( R1 `  C )  ->  if ( C  =  U. C , 
( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( G `
 suc  ( rank `  y ) ) `  y ) ) ,  ( F `  ( H " y ) ) )  e.  On ) )
163 iftrue 3785 . . . . . . . 8  |-  ( C  =  U. C  ->  if ( C  =  U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( H "
y ) ) )  =  ( ( suc  U. ran  U. ( G
" C )  .o  ( rank `  y
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) )
164 iftrue 3785 . . . . . . . 8  |-  ( C  =  U. C  ->  if ( C  =  U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  z
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  z )
) `  z )
) ,  ( F `
 ( H "
z ) ) )  =  ( ( suc  U. ran  U. ( G
" C )  .o  ( rank `  z
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  z )
) `  z )
) )
165163, 164eqeq12d 2447 . . . . . . 7  |-  ( C  =  U. C  -> 
( if ( C  =  U. C , 
( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( G `
 suc  ( rank `  y ) ) `  y ) ) ,  ( F `  ( H " y ) ) )  =  if ( C  =  U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G
" C )  .o  ( rank `  z
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  z )
) `  z )
) ,  ( F `
 ( H "
z ) ) )  <-> 
( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( G `
 suc  ( rank `  y ) ) `  y ) )  =  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  z ) )  +o  ( ( G `
 suc  ( rank `  z ) ) `  z ) ) ) )
166165adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( R1
`  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  C  =  U. C )  ->  ( if ( C  =  U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( H "
y ) ) )  =  if ( C  =  U. C , 
( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  z ) )  +o  ( ( G `
 suc  ( rank `  z ) ) `  z ) ) ,  ( F `  ( H " z ) ) )  <->  ( ( suc  U. ran  U. ( G
" C )  .o  ( rank `  y
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
)  =  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  z
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  z )
) `  z )
) ) )
16742ad2antrr 718 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( R1
`  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  C  =  U. C )  ->  suc  U.
ran  U. ( G " C )  e.  On )
168 nsuceq0 4786 . . . . . . . 8  |-  suc  U. ran  U. ( G " C )  =/=  (/)
169168a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( R1
`  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  C  =  U. C )  ->  suc  U.
ran  U. ( G " C )  =/=  (/) )
17044a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( R1
`  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  C  =  U. C )  ->  ( rank `  y )  e.  On )
171 onsucuni 6428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  U. ( G " C
)  C_  On  ->  ran  U. ( G " C
)  C_  suc  U. ran  U. ( G " C
) )
17238, 171syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  U. ( G
" C )  C_  suc  U. ran  U. ( G " C ) )
173172ad2antrr 718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  ->  ran  U. ( G " C )  C_  suc  U.
ran  U. ( G " C ) )
1742a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  ->  G  Fn  On )
17526ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  ->  C  C_  On )
176 fnfvima 5942 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  Fn  On  /\  C  C_  On  /\  suc  ( rank `  y )  e.  C )  ->  ( G `  suc  ( rank `  y ) )  e.  ( G " C
) )
177174, 175, 56, 176syl3anc 1211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( G `  suc  ( rank `  y )
)  e.  ( G
" C ) )
178 elssuni 4109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  suc  ( rank `  y ) )  e.  ( G " C )  ->  ( G `  suc  ( rank `  y ) )  C_  U. ( G " C
) )
179 rnss 5055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  suc  ( rank `  y ) ) 
C_  U. ( G " C )  ->  ran  ( G `  suc  ( rank `  y ) ) 
C_  ran  U. ( G " C ) )
180177, 178, 1793syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  ->  ran  ( G `  suc  ( rank `  y )
)  C_  ran  U. ( G " C ) )
181 f1fn 5595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  suc  ( rank `  y ) ) : ( R1 `  suc  ( rank `  y
) ) -1-1-> On  ->  ( G `  suc  ( rank `  y ) )  Fn  ( R1 `  suc  ( rank `  y
) ) )
18266, 181syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( G `  suc  ( rank `  y )
)  Fn  ( R1
`  suc  ( rank `  y ) ) )
183 fnfvelrn 5828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G `  suc  ( rank `  y )
)  Fn  ( R1
`  suc  ( rank `  y ) )  /\  y  e.  ( R1 ` 
suc  ( rank `  y
) ) )  -> 
( ( G `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
)  e.  ran  ( G `  suc  ( rank `  y ) ) )
184182, 72, 183syl2anc 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( ( G `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
)  e.  ran  ( G `  suc  ( rank `  y ) ) )
185180, 184sseldd 3345 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( ( G `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
)  e.  ran  U. ( G " C ) )
186173, 185sseldd 3345 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( ( G `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
)  e.  suc  U. ran  U. ( G " C ) )
187186adantlrr 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( R1
`  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  C  =  U. C )  ->  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  y )  e.  suc  U. ran  U. ( G " C ) )
188 rankon 7990 . . . . . . . 8  |-  ( rank `  z )  e.  On
189188a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( R1
`  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  C  =  U. C )  ->  ( rank `  z )  e.  On )
190 eleq1 2493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  ( R1
`  C )  <->  z  e.  ( R1 `  C ) ) )
191190anbi2d 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  (
( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  <->  ( ph  /\  z  e.  ( R1
`  C ) ) ) )
192191anbi1d 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  /\  C  =  U. C )  <-> 
( ( ph  /\  z  e.  ( R1 `  C ) )  /\  C  =  U. C ) ) )
193 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  z  ->  ( rank `  y )  =  ( rank `  z
) )
194 suceq 4771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
rank `  y )  =  ( rank `  z
)  ->  suc  ( rank `  y )  =  suc  ( rank `  z )
)
195193, 194syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  suc  ( rank `  y )  =  suc  ( rank `  z
) )
196195fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  ( G `  suc  ( rank `  y ) )  =  ( G `  suc  ( rank `  z )
) )
197 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  y  =  z )
198196, 197fveq12d 5685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  y )  =  ( ( G `
 suc  ( rank `  z ) ) `  z ) )
199198eleq1d 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( G `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
)  e.  suc  U. ran  U. ( G " C )  <->  ( ( G `  suc  ( rank `  z ) ) `  z )  e.  suc  U.
ran  U. ( G " C ) ) )
200192, 199imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1
`  C ) )  /\  C  =  U. C )  ->  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  y )  e.  suc  U. ran  U. ( G " C ) )  <->  ( ( (
ph  /\  z  e.  ( R1 `  C ) )  /\  C  = 
U. C )  -> 
( ( G `  suc  ( rank `  z
) ) `  z
)  e.  suc  U. ran  U. ( G " C ) ) ) )
201200, 186chvarv 1957 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( ( G `  suc  ( rank `  z
) ) `  z
)  e.  suc  U. ran  U. ( G " C ) )
202201adantlrl 712 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( R1
`  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  C  =  U. C )  ->  (
( G `  suc  ( rank `  z )
) `  z )  e.  suc  U. ran  U. ( G " C ) )
203 omopth2 7011 . . . . . . 7  |-  ( ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  e.  On  /\  suc  U. ran  U. ( G " C )  =/=  (/) )  /\  (
( rank `  y )  e.  On  /\  ( ( G `  suc  ( rank `  y ) ) `
 y )  e. 
suc  U. ran  U. ( G " C ) )  /\  ( ( rank `  z )  e.  On  /\  ( ( G `  suc  ( rank `  z
) ) `  z
)  e.  suc  U. ran  U. ( G " C ) ) )  ->  ( ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
)  =  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  z
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  z )
) `  z )
)  <->  ( ( rank `  y )  =  (
rank `  z )  /\  ( ( G `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
)  =  ( ( G `  suc  ( rank `  z ) ) `
 z ) ) ) )
204167, 169, 170, 187, 189, 202, 203syl222anc 1227 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( R1
`  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  C  =  U. C )  ->  (
( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( G `
 suc  ( rank `  y ) ) `  y ) )  =  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  z ) )  +o  ( ( G `
 suc  ( rank `  z ) ) `  z ) )  <->  ( ( rank `  y )  =  ( rank `  z
)  /\  ( ( G `  suc  ( rank `  y ) ) `  y )  =  ( ( G `  suc  ( rank `  z )
) `  z )
) ) )
205194adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ( R1 `  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  C  =  U. C )  /\  ( rank `  y )  =  ( rank `  z
) )  ->  suc  ( rank `  y )  =  suc  ( rank `  z
) )
206205fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ( R1 `  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  C  =  U. C )  /\  ( rank `  y )  =  ( rank `  z
) )  ->  ( G `  suc  ( rank `  y ) )  =  ( G `  suc  ( rank `  z )
) )
207206fveq1d 5681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ( R1 `  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  C  =  U. C )  /\  ( rank `  y )  =  ( rank `  z
) )  ->  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  z )  =  ( ( G `
 suc  ( rank `  z ) ) `  z ) )
208207eqeq2d 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ( R1 `  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  C  =  U. C )  /\  ( rank `  y )  =  ( rank `  z
) )  ->  (
( ( G `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
)  =  ( ( G `  suc  ( rank `  y ) ) `
 z )  <->  ( ( G `  suc  ( rank `  y ) ) `  y )  =  ( ( G `  suc  ( rank `  z )
) `  z )
) )
20966adantlrr 713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( R1
`  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  C  =  U. C )  ->  ( G `  suc  ( rank `  y ) ) : ( R1 `  suc  ( rank `  y )
) -1-1-> On )
210209adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ( R1 `  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  C  =  U. C )  /\  ( rank `  y )  =  ( rank `  z
) )  ->  ( G `  suc  ( rank `  y ) ) : ( R1 `  suc  ( rank `  y )
) -1-1-> On )
21172adantlrr 713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( R1
`  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  C  =  U. C )  ->  y  e.  ( R1 `  suc  ( rank `  y )
) )
212211adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ( R1 `  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  C  =  U. C )  /\  ( rank `  y )  =  ( rank `  z
) )  ->  y  e.  ( R1 `  suc  ( rank `  y )
) )
213 r1elwf 7991 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( R1 `  C )  ->  z  e.  U. ( R1 " On ) )
214 rankidb 7995 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  U. ( R1
" On )  -> 
z  e.  ( R1
`  suc  ( rank `  z ) ) )
215213, 214syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( R1 `  C )  ->  z  e.  ( R1 `  suc  ( rank `  z )
) )
216215ad2antll 721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( R1 `  C
)  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  ->  z  e.  ( R1 `  suc  ( rank `  z )
) )
217216ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ( R1 `  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  C  =  U. C )  /\  ( rank `  y )  =  ( rank `  z
) )  ->  z  e.  ( R1 `  suc  ( rank `  z )
) )
218205fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ( R1 `  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  C  =  U. C )  /\  ( rank `  y )  =  ( rank `  z
) )  ->  ( R1 `  suc  ( rank `  y ) )  =  ( R1 `  suc  ( rank `  z )
) )
219217, 218eleqtrrd 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ( R1 `  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  C  =  U. C )  /\  ( rank `  y )  =  ( rank `  z
) )  ->  z  e.  ( R1 `  suc  ( rank `  y )
) )
220 f1fveq 5962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G `  suc  ( rank `  y )
) : ( R1
`  suc  ( rank `  y ) ) -1-1-> On  /\  ( y  e.  ( R1 `  suc  ( rank `  y ) )  /\  z  e.  ( R1 `  suc  ( rank `  y ) ) ) )  ->  (
( ( G `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
)  =  ( ( G `  suc  ( rank `  y ) ) `
 z )  <->  y  =  z ) )
221210, 212, 219, 220syl12anc 1209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ( R1 `  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  C  =  U. C )  /\  ( rank `  y )  =  ( rank `  z
) )  ->  (
( ( G `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
)  =  ( ( G `  suc  ( rank `  y ) ) `
 z )  <->  y  =  z ) )
222208, 221bitr3d 255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ( R1 `  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  C  =  U. C )  /\  ( rank `  y )  =  ( rank `  z
) )  ->  (
( ( G `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
)  =  ( ( G `  suc  ( rank `  z ) ) `
 z )  <->  y  =  z ) )
223222biimpd 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ( R1 `  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  C  =  U. C )  /\  ( rank `  y )  =  ( rank `  z
) )  ->  (
( ( G `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
)  =  ( ( G `  suc  ( rank `  z ) ) `
 z )  -> 
y  =  z ) )
224223expimpd 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( R1
`  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  C  =  U. C )  ->  (
( ( rank `  y
)  =  ( rank `  z )  /\  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  y )  =  ( ( G `
 suc  ( rank `  z ) ) `  z ) )  -> 
y  =  z ) )
225193, 198jca 529 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( rank `  y )  =  ( rank `  z
)  /\  ( ( G `  suc  ( rank `  y ) ) `  y )  =  ( ( G `  suc  ( rank `  z )
) `  z )
) )
226224, 225impbid1 203 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( R1
`  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  C  =  U. C )  ->  (
( ( rank `  y
)  =  ( rank `  z )  /\  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  y )  =  ( ( G `
 suc  ( rank `  z ) ) `  z ) )  <->  y  =  z ) )
227166, 204, 2263bitrd 279 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( R1
`  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  C  =  U. C )  ->  ( if ( C  =  U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( H "
y ) ) )  =  if ( C  =  U. C , 
( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  z ) )  +o  ( ( G `
 suc  ( rank `  z ) ) `  z ) ) ,  ( F `  ( H " z ) ) )  <->  y  =  z ) )
228 iffalse 3787 . . . . . . . 8  |-  ( -.  C  =  U. C  ->  if ( C  = 
U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( G `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( H
" y ) ) )  =  ( F `
 ( H "
y ) ) )
229 iffalse 3787 . . . . . . . 8  |-  ( -.  C  =  U. C  ->  if ( C  = 
U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  z ) )  +o  ( ( G `  suc  ( rank `  z
) ) `  z
) ) ,  ( F `  ( H
" z ) ) )  =  ( F `
 ( H "
z ) ) )
230228, 229eqeq12d 2447 . . . . . . 7  |-  ( -.  C  =  U. C  ->  ( if ( C  =  U. C , 
( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( G `
 suc  ( rank `  y ) ) `  y ) ) ,  ( F `  ( H " y ) ) )  =  if ( C  =  U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G
" C )  .o  ( rank `  z
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  z )
) `  z )
) ,  ( F `
 ( H "
z ) ) )  <-> 
( F `  ( H " y ) )  =  ( F `  ( H " z ) ) ) )
231230adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( R1
`  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  -> 
( if ( C  =  U. C , 
( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( G `
 suc  ( rank `  y ) ) `  y ) ) ,  ( F `  ( H " y ) ) )  =  if ( C  =  U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G
" C )  .o  ( rank `  z
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  z )
) `  z )
) ,  ( F `
 ( H "
z ) ) )  <-> 
( F `  ( H " y ) )  =  ( F `  ( H " z ) ) ) )
23276ad2antrr 718 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( R1
`  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  ->  F : ~P (har `  ( R1 `  A ) ) -1-1-> On )
233159adantlrr 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( R1
`  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  -> 
( H " y
)  e.  ~P (har `  ( R1 `  A
) ) )
234191anbi1d 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  /\  -.  C  =  U. C )  <->  ( ( ph  /\  z  e.  ( R1 `  C ) )  /\  -.  C  =  U. C ) ) )
235 imaeq2 5153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  ( H " y )  =  ( H " z
) )
236235eleq1d 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
( H " y
)  e.  ~P (har `  ( R1 `  A
) )  <->  ( H " z )  e.  ~P (har `  ( R1 `  A ) ) ) )
237234, 236imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1
`  C ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  -> 
( H " y
)  e.  ~P (har `  ( R1 `  A
) ) )  <->  ( (
( ph  /\  z  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( H "
z )  e.  ~P (har `  ( R1 `  A ) ) ) ) )
238237, 159chvarv 1957 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( H "
z )  e.  ~P (har `  ( R1 `  A ) ) )
239238adantlrl 712 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( R1
`  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  -> 
( H " z
)  e.  ~P (har `  ( R1 `  A
) ) )
240 f1fveq 5962 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ~P (har `  ( R1 `  A
) ) -1-1-> On  /\  ( ( H "
y )  e.  ~P (har `  ( R1 `  A ) )  /\  ( H " z )  e.  ~P (har `  ( R1 `  A ) ) ) )  -> 
( ( F `  ( H " y ) )  =  ( F `
 ( H "
z ) )  <->  ( H " y )  =  ( H " z ) ) )
241232, 233, 239, 240syl12anc 1209 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( R1
`  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  -> 
( ( F `  ( H " y ) )  =  ( F `
 ( H "
z ) )  <->  ( H " y )  =  ( H " z ) ) )
242123adantlrr 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( R1
`  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  ->  H : ( R1 `  U. C ) -1-1-> dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `
 U. C ) ) )
243 simplrl 752 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( R1
`  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  -> 
y  e.  ( R1
`  C ) )
24490fveq2d 5683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( R1 `  C )  =  ( R1 `  suc  U. C ) )
245 r1suc 7965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. C  e.  On  ->  ( R1 `  suc  U. C )  =  ~P ( R1 `  U. C
) )
24683, 84, 2453syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( R1 `  suc  U. C )  =  ~P ( R1 `  U. C ) )
247244, 246eqtrd 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( R1 `  C )  =  ~P ( R1 `  U. C
) )
248247adantlrr 713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( R1
`  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  -> 
( R1 `  C
)  =  ~P ( R1 `  U. C ) )
249243, 248eleqtrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( R1
`  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  -> 
y  e.  ~P ( R1 `  U. C ) )
250249elpwid 3858 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( R1
`  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  -> 
y  C_  ( R1 ` 
U. C ) )
251 simplrr 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( R1
`  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  -> 
z  e.  ( R1
`  C ) )
252251, 248eleqtrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( R1
`  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  -> 
z  e.  ~P ( R1 `  U. C ) )
253252elpwid 3858 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( R1
`  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  -> 
z  C_  ( R1 ` 
U. C ) )
254 f1imaeq 5965 . . . . . . 7  |-  ( ( H : ( R1
`  U. C ) -1-1-> dom OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C ) )  /\  ( y 
C_  ( R1 `  U. C )  /\  z  C_  ( R1 `  U. C ) ) )  ->  ( ( H
" y )  =  ( H " z
)  <->  y  =  z ) )
255242, 250, 253, 254syl12anc 1209 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( R1
`  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  -> 
( ( H "
y )  =  ( H " z )  <-> 
y  =  z ) )
256231, 241, 2553bitrd 279 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( R1
`  C )  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  -> 
( if ( C  =  U. C , 
( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( G `
 suc  ( rank `  y ) ) `  y ) ) ,  ( F `  ( H " y ) ) )  =  if ( C  =  U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G
" C )  .o  ( rank `  z
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  z )
) `  z )
) ,  ( F `
 ( H "
z ) ) )  <-> 
y  =  z ) )
257227, 256pm2.61dan 782 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( R1 `  C
)  /\  z  e.  ( R1 `  C ) ) )  ->  ( if ( C  =  U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( H "
y ) ) )  =  if ( C  =  U. C , 
( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  z ) )  +o  ( ( G `
 suc  ( rank `  z ) ) `  z ) ) ,  ( F `  ( H " z ) ) )  <->  y  =  z ) )
258257ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( R1 `  C
)  /\  z  e.  ( R1 `  C ) )  ->  ( if ( C  =  U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( H "
y ) ) )  =  if ( C  =  U. C , 
( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  z ) )  +o  ( ( G `
 suc  ( rank `  z ) ) `  z ) ) ,  ( F `  ( H " z ) ) )  <->  y  =  z ) ) )
259162, 258dom2lem 7337 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( R1 `  C ) 
|->  if ( C  = 
U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( G `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( H
" y ) ) ) ) : ( R1 `  C )
-1-1-> On )
260138, 76, 1, 5, 120dfac12lem1 8300 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  =  ( y  e.  ( R1 `  C )  |->  if ( C  =  U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G
" C )  .o  ( rank `  y
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( H "
y ) ) ) ) )
261 f1eq1 5589 . . 3  |-  ( ( G `  C )  =  ( y  e.  ( R1 `  C
)  |->  if ( C  =  U. C , 
( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( G `
 suc  ( rank `  y ) ) `  y ) ) ,  ( F `  ( H " y ) ) ) )  ->  (
( G `  C
) : ( R1
`  C ) -1-1-> On  <->  ( y  e.  ( R1
`  C )  |->  if ( C  =  U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( H "
y ) ) ) ) : ( R1
`  C ) -1-1-> On ) )
262260, 261syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G `  C ) : ( R1 `  C )
-1-1-> On  <->  ( y  e.  ( R1 `  C
)  |->  if ( C  =  U. C , 
( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( G `
 suc  ( rank `  y ) ) `  y ) ) ,  ( F `  ( H " y ) ) ) ) : ( R1 `  C )
-1-1-> On ) )
263259, 262mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( G `  C
) : ( R1
`  C ) -1-1-> On )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   A.wral 2705   _Vcvv 2962    C_ wss 3316   (/)c0 3625   ifcif 3779   ~Pcpw 3848   U.cuni 4079   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338    _E cep 4617    We wwe 4665   Ord word 4705   Oncon0 4706   suc csuc 4708    X. cxp 4825   `'ccnv 4826   dom cdm 4827   ran crn 4828   "cima 4830    o. ccom 4831   Fun wfun 5400    Fn wfn 5401   -->wf 5402   -1-1->wf1 5403   -1-1-onto->wf1o 5405   ` cfv 5406    Isom wiso 5407  (class class class)co 6080  recscrecs 6817    +o coa 6905    .o comu 6906    ~~ cen 7295    ~<_ cdom 7296  OrdIsocoi 7711  harchar 7759   R1cr1 7957   rankcrnk 7958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-oadd 6912  df-omul 6913  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-oi 7712  df-har 7761  df-r1 7959  df-rank 7960
This theorem is referenced by:  dfac12lem3  8302
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