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Theorem dfac12lem1 8575
Description: Lemma for dfac12 8581. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dfac12.1  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
dfac12.3  |-  ( ph  ->  F : ~P (har `  ( R1 `  A
) ) -1-1-> On )
dfac12.4  |-  G  = recs ( ( x  e. 
_V  |->  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) ) ) )
dfac12.5  |-  ( ph  ->  C  e.  On )
dfac12.h  |-  H  =  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `
 U. C ) )  o.  ( G `
 U. C ) )
Assertion
Ref Expression
dfac12lem1  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  =  ( y  e.  ( R1 `  C )  |->  if ( C  =  U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G
" C )  .o  ( rank `  y
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( H "
y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, A    x, y, C    x, G, y    ph, y    x, F, y    y, H
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)    H( x)

Proof of Theorem dfac12lem1
StepHypRef Expression
1 dfac12.5 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  On )
2 dfac12.4 . . . 4  |-  G  = recs ( ( x  e. 
_V  |->  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) ) ) )
32tfr2 7122 . . 3  |-  ( C  e.  On  ->  ( G `  C )  =  ( ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) ) ) `  ( G  |`  C ) ) )
41, 3syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  =  ( ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ( R1
`  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y )
)  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y ) ) `
 y ) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " y
) ) ) ) ) `  ( G  |`  C ) ) )
52tfr1 7121 . . . . 5  |-  G  Fn  On
6 fnfun 5689 . . . . 5  |-  ( G  Fn  On  ->  Fun  G )
75, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  Fun  G
8 resfunexg 6143 . . . 4  |-  ( ( Fun  G  /\  C  e.  On )  ->  ( G  |`  C )  e. 
_V )
97, 1, 8sylancr 668 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  |`  C )  e.  _V )
10 dmeq 5052 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  dom  x  =  dom  ( G  |`  C ) )
1110fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  ( R1 `  dom  x )  =  ( R1 `  dom  ( G  |`  C ) ) )
1210unieqd 4227 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  U. dom  x  =  U. dom  ( G  |`  C ) )
1310, 12eqeq12d 2445 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  ( dom  x  =  U. dom  x 
<->  dom  ( G  |`  C )  =  U. dom  ( G  |`  C ) ) )
14 rneq 5077 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  ran  x  =  ran  ( G  |`  C ) )
15 df-ima 4864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G
" C )  =  ran  ( G  |`  C )
1614, 15syl6eqr 2482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  ran  x  =  ( G " C ) )
1716unieqd 4227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  U. ran  x  =  U. ( G " C ) )
1817rneqd 5079 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  ran  U.
ran  x  =  ran  U. ( G " C
) )
1918unieqd 4227 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  U. ran  U.
ran  x  =  U. ran  U. ( G " C ) )
20 suceq 5505 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  U. ran  x  = 
U. ran  U. ( G " C )  ->  suc  U. ran  U. ran  x  =  suc  U. ran  U. ( G " C
) )
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  suc  U.
ran  U. ran  x  =  suc  U. ran  U. ( G " C ) )
2221oveq1d 6318 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y
) )  =  ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y
) ) )
23 fveq1 5878 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  (
x `  suc  ( rank `  y ) )  =  ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) )
2423fveq1d 5881 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  (
( x `  suc  ( rank `  y )
) `  y )  =  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) )
2522, 24oveq12d 6321 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  (
( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) )  =  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) )
26 id 23 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  x  =  ( G  |`  C ) )
2726, 12fveq12d 5885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  (
x `  U. dom  x
)  =  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )
2827rneqd 5079 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  ran  ( x `  U. dom  x )  =  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )
29 oieq2 8032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  ( x `  U. dom  x )  =  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) )  -> OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  = OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) ) )
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  -> OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  = OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) ) )
3130cnveqd 5027 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  `'OrdIso (  _E  ,  ran  (
x `  U. dom  x
) )  =  `'OrdIso (  _E  ,  ran  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) )
3231, 27coeq12d 5016 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) )  =  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) ) )
3332imaeq1d 5184 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y )  =  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y
) )
3433fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) )  =  ( F `  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) )
3513, 25, 34ifbieq12d 3937 . . . . 5  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) )  =  if ( dom  ( G  |`  C )  =  U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) )
3611, 35mpteq12dv 4500 . . . 4  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  (
y  e.  ( R1
`  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y )
)  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y ) ) `
 y ) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " y
) ) ) )  =  ( y  e.  ( R1 `  dom  ( G  |`  C ) )  |->  if ( dom  ( G  |`  C )  =  U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) ) )
37 eqid 2423 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) ) )  =  ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ( R1
`  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y )
)  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y ) ) `
 y ) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " y
) ) ) ) )
38 fvex 5889 . . . . 5  |-  ( R1
`  dom  ( G  |`  C ) )  e. 
_V
3938mptex 6149 . . . 4  |-  ( y  e.  ( R1 `  dom  ( G  |`  C ) )  |->  if ( dom  ( G  |`  C )  =  U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) )  e. 
_V
4036, 37, 39fvmpt 5962 . . 3  |-  ( ( G  |`  C )  e.  _V  ->  ( (
x  e.  _V  |->  ( y  e.  ( R1
`  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y )
)  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y ) ) `
 y ) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " y
) ) ) ) ) `  ( G  |`  C ) )  =  ( y  e.  ( R1 `  dom  ( G  |`  C ) ) 
|->  if ( dom  ( G  |`  C )  = 
U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) ) )
419, 40syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
_V  |->  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) ) ) `  ( G  |`  C ) )  =  ( y  e.  ( R1 `  dom  ( G  |`  C ) )  |->  if ( dom  ( G  |`  C )  =  U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) ) )
42 onss 6629 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  On  ->  C  C_  On )
431, 42syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  C_  On )
44 fnssres 5705 . . . . . . 7  |-  ( ( G  Fn  On  /\  C  C_  On )  -> 
( G  |`  C )  Fn  C )
455, 43, 44sylancr 668 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  |`  C )  Fn  C )
46 fndm 5691 . . . . . 6  |-  ( ( G  |`  C )  Fn  C  ->  dom  ( G  |`  C )  =  C )
4745, 46syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( G  |`  C )  =  C )
4847fveq2d 5883 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R1 `  dom  ( G  |`  C ) )  =  ( R1
`  C ) )
4948mpteq1d 4503 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( R1 `  dom  ( G  |`  C ) ) 
|->  if ( dom  ( G  |`  C )  = 
U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) )  =  ( y  e.  ( R1 `  C ) 
|->  if ( dom  ( G  |`  C )  = 
U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) ) )
5047adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  dom  ( G  |`  C )  =  C )
5150unieqd 4227 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  U. dom  ( G  |`  C )  = 
U. C )
5250, 51eqeq12d 2445 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  ( dom  ( G  |`  C )  =  U. dom  ( G  |`  C )  <->  C  =  U. C ) )
5352ifbid 3932 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  if ( dom  ( G  |`  C )  =  U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) )  =  if ( C  =  U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y
) )  +o  (
( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) )
54 rankr1ai 8272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( R1 `  C )  ->  ( rank `  y )  e.  C )
5554ad2antlr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( rank `  y )  e.  C )
56 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  ->  C  =  U. C )
5755, 56eleqtrd 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( rank `  y )  e.  U. C )
58 eloni 5450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  On  ->  Ord  C )
59 ordsucuniel 6663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord 
C  ->  ( ( rank `  y )  e. 
U. C  <->  suc  ( rank `  y )  e.  C
) )
601, 58, 593syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( rank `  y
)  e.  U. C  <->  suc  ( rank `  y
)  e.  C ) )
6160ad2antrr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( ( rank `  y
)  e.  U. C  <->  suc  ( rank `  y
)  e.  C ) )
6257, 61mpbid 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  ->  suc  ( rank `  y
)  e.  C )
63 fvres 5893 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  ( rank `  y
)  e.  C  -> 
( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
)  =  ( G `
 suc  ( rank `  y ) ) )
6462, 63syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
)  =  ( G `
 suc  ( rank `  y ) ) )
6564fveq1d 5881 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) `  y )  =  ( ( G `
 suc  ( rank `  y ) ) `  y ) )
6665oveq2d 6319 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) )  =  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( G `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) )
6766ifeq1da 3940 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  if ( C  =  U. C , 
( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) )  =  if ( C  =  U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) )
6851adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  U. dom  ( G  |`  C )  =  U. C )
6968fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) )  =  ( ( G  |`  C ) `  U. C ) )
701ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  C  e.  On )
71 uniexg 6600 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( C  e.  On  ->  U. C  e.  _V )
72 sucidg 5518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U. C  e.  _V  ->  U. C  e.  suc  U. C )
7370, 71, 723syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  U. C  e.  suc  U. C )
741adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  C  e.  On )
75 orduniorsuc 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Ord 
C  ->  ( C  =  U. C  \/  C  =  suc  U. C ) )
7674, 58, 753syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  ( C  =  U. C  \/  C  =  suc  U. C ) )
7776orcanai 922 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  C  =  suc  U. C )
7873, 77eleqtrrd 2514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  U. C  e.  C
)
79 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. C  e.  C  ->  ( ( G  |`  C ) `
 U. C )  =  ( G `  U. C ) )
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( ( G  |`  C ) `  U. C )  =  ( G `  U. C
) )
8169, 80eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) )  =  ( G `
 U. C ) )
8281rneqd 5079 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) )  =  ran  ( G `  U. C ) )
83 oieq2 8032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) )  =  ran  ( G `  U. C )  -> OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `
 U. C ) ) )
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  -> OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `
 U. C ) ) )
8584cnveqd 5027 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  =  `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C ) ) )
8685, 81coeq12d 5016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  =  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C
) )  o.  ( G `  U. C ) ) )
87 dfac12.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `
 U. C ) )  o.  ( G `
 U. C ) )
8886, 87syl6eqr 2482 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  =  H )
8988imaeq1d 5184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y )  =  ( H "
y ) )
9089fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y
) )  =  ( F `  ( H
" y ) ) )
9190ifeq2da 3941 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  if ( C  =  U. C , 
( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( G `
 suc  ( rank `  y ) ) `  y ) ) ,  ( F `  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) )  =  if ( C  =  U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( H "
y ) ) ) )
9253, 67, 913eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  if ( dom  ( G  |`  C )  =  U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) )  =  if ( C  =  U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( H "
y ) ) ) )
9392mpteq2dva 4508 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( R1 `  C ) 
|->  if ( dom  ( G  |`  C )  = 
U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) )  =  ( y  e.  ( R1 `  C ) 
|->  if ( C  = 
U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( G `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( H
" y ) ) ) ) )
9449, 93eqtrd 2464 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( R1 `  dom  ( G  |`  C ) ) 
|->  if ( dom  ( G  |`  C )  = 
U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) )  =  ( y  e.  ( R1 `  C ) 
|->  if ( C  = 
U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( G `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( H
" y ) ) ) ) )
954, 41, 943eqtrd 2468 1  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  =  ( y  e.  ( R1 `  C )  |->  if ( C  =  U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G
" C )  .o  ( rank `  y
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( H "
y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869   _Vcvv 3082    C_ wss 3437   ifcif 3910   ~Pcpw 3980   U.cuni 4217    |-> cmpt 4480    _E cep 4760   `'ccnv 4850   dom cdm 4851   ran crn 4852    |` cres 4853   "cima 4854    o. ccom 4855   Ord word 5439   Oncon0 5440   suc csuc 5442   Fun wfun 5593    Fn wfn 5594   -1-1->wf1 5596   ` cfv 5599  (class class class)co 6303  recscrecs 7095    +o coa 7185    .o comu 7186  OrdIsocoi 8028  harchar 8075   R1cr1 8236   rankcrnk 8237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-om 6705  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-oi 8029  df-r1 8238  df-rank 8239
This theorem is referenced by:  dfac12lem2  8576
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