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Theorem dfac12lem1 8304
Description: Lemma for dfac12 8310. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dfac12.1  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
dfac12.3  |-  ( ph  ->  F : ~P (har `  ( R1 `  A
) ) -1-1-> On )
dfac12.4  |-  G  = recs ( ( x  e. 
_V  |->  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) ) ) )
dfac12.5  |-  ( ph  ->  C  e.  On )
dfac12.h  |-  H  =  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `
 U. C ) )  o.  ( G `
 U. C ) )
Assertion
Ref Expression
dfac12lem1  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  =  ( y  e.  ( R1 `  C )  |->  if ( C  =  U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G
" C )  .o  ( rank `  y
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( H "
y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, A    x, y, C    x, G, y    ph, y    x, F, y    y, H
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)    H( x)

Proof of Theorem dfac12lem1
StepHypRef Expression
1 dfac12.5 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  On )
2 dfac12.4 . . . 4  |-  G  = recs ( ( x  e. 
_V  |->  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) ) ) )
32tfr2 6849 . . 3  |-  ( C  e.  On  ->  ( G `  C )  =  ( ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) ) ) `  ( G  |`  C ) ) )
41, 3syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  =  ( ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ( R1
`  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y )
)  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y ) ) `
 y ) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " y
) ) ) ) ) `  ( G  |`  C ) ) )
52tfr1 6848 . . . . 5  |-  G  Fn  On
6 fnfun 5503 . . . . 5  |-  ( G  Fn  On  ->  Fun  G )
75, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  Fun  G
8 resfunexg 5938 . . . 4  |-  ( ( Fun  G  /\  C  e.  On )  ->  ( G  |`  C )  e. 
_V )
97, 1, 8sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  |`  C )  e.  _V )
10 dmeq 5035 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  dom  x  =  dom  ( G  |`  C ) )
1110fveq2d 5690 . . . . 5  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  ( R1 `  dom  x )  =  ( R1 `  dom  ( G  |`  C ) ) )
1210unieqd 4096 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  U. dom  x  =  U. dom  ( G  |`  C ) )
1310, 12eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  ( dom  x  =  U. dom  x 
<->  dom  ( G  |`  C )  =  U. dom  ( G  |`  C ) ) )
14 rneq 5060 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  ran  x  =  ran  ( G  |`  C ) )
15 df-ima 4848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G
" C )  =  ran  ( G  |`  C )
1614, 15syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  ran  x  =  ( G " C ) )
1716unieqd 4096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  U. ran  x  =  U. ( G " C ) )
1817rneqd 5062 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  ran  U.
ran  x  =  ran  U. ( G " C
) )
1918unieqd 4096 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  U. ran  U.
ran  x  =  U. ran  U. ( G " C ) )
20 suceq 4779 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  U. ran  x  = 
U. ran  U. ( G " C )  ->  suc  U. ran  U. ran  x  =  suc  U. ran  U. ( G " C
) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  suc  U.
ran  U. ran  x  =  suc  U. ran  U. ( G " C ) )
2221oveq1d 6101 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y
) )  =  ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y
) ) )
23 fveq1 5685 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  (
x `  suc  ( rank `  y ) )  =  ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) )
2423fveq1d 5688 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  (
( x `  suc  ( rank `  y )
) `  y )  =  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) )
2522, 24oveq12d 6104 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  (
( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) )  =  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) )
26 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  x  =  ( G  |`  C ) )
2726, 12fveq12d 5692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  (
x `  U. dom  x
)  =  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )
2827rneqd 5062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  ran  ( x `  U. dom  x )  =  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )
29 oieq2 7719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  ( x `  U. dom  x )  =  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) )  -> OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  = OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) ) )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  -> OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  = OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) ) )
3130cnveqd 5010 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  `'OrdIso (  _E  ,  ran  (
x `  U. dom  x
) )  =  `'OrdIso (  _E  ,  ran  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) )
3231, 27coeq12d 4999 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) )  =  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) ) )
3332imaeq1d 5163 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y )  =  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y
) )
3433fveq2d 5690 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) )  =  ( F `  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) )
3513, 25, 34ifbieq12d 3811 . . . . 5  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) )  =  if ( dom  ( G  |`  C )  =  U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) )
3611, 35mpteq12dv 4365 . . . 4  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  (
y  e.  ( R1
`  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y )
)  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y ) ) `
 y ) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " y
) ) ) )  =  ( y  e.  ( R1 `  dom  ( G  |`  C ) )  |->  if ( dom  ( G  |`  C )  =  U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) ) )
37 eqid 2438 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) ) )  =  ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ( R1
`  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y )
)  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y ) ) `
 y ) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " y
) ) ) ) )
38 fvex 5696 . . . . 5  |-  ( R1
`  dom  ( G  |`  C ) )  e. 
_V
3938mptex 5943 . . . 4  |-  ( y  e.  ( R1 `  dom  ( G  |`  C ) )  |->  if ( dom  ( G  |`  C )  =  U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) )  e. 
_V
4036, 37, 39fvmpt 5769 . . 3  |-  ( ( G  |`  C )  e.  _V  ->  ( (
x  e.  _V  |->  ( y  e.  ( R1
`  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y )
)  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y ) ) `
 y ) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " y
) ) ) ) ) `  ( G  |`  C ) )  =  ( y  e.  ( R1 `  dom  ( G  |`  C ) ) 
|->  if ( dom  ( G  |`  C )  = 
U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) ) )
419, 40syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
_V  |->  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) ) ) `  ( G  |`  C ) )  =  ( y  e.  ( R1 `  dom  ( G  |`  C ) )  |->  if ( dom  ( G  |`  C )  =  U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) ) )
42 onss 6397 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  On  ->  C  C_  On )
431, 42syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  C_  On )
44 fnssres 5519 . . . . . . 7  |-  ( ( G  Fn  On  /\  C  C_  On )  -> 
( G  |`  C )  Fn  C )
455, 43, 44sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  |`  C )  Fn  C )
46 fndm 5505 . . . . . 6  |-  ( ( G  |`  C )  Fn  C  ->  dom  ( G  |`  C )  =  C )
4745, 46syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( G  |`  C )  =  C )
4847fveq2d 5690 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R1 `  dom  ( G  |`  C ) )  =  ( R1
`  C ) )
4948mpteq1d 4368 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( R1 `  dom  ( G  |`  C ) ) 
|->  if ( dom  ( G  |`  C )  = 
U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) )  =  ( y  e.  ( R1 `  C ) 
|->  if ( dom  ( G  |`  C )  = 
U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) ) )
5047adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  dom  ( G  |`  C )  =  C )
5150unieqd 4096 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  U. dom  ( G  |`  C )  = 
U. C )
5250, 51eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  ( dom  ( G  |`  C )  =  U. dom  ( G  |`  C )  <->  C  =  U. C ) )
5352ifbid 3806 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  if ( dom  ( G  |`  C )  =  U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) )  =  if ( C  =  U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y
) )  +o  (
( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) )
54 rankr1ai 7997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( R1 `  C )  ->  ( rank `  y )  e.  C )
5554ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( rank `  y )  e.  C )
56 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  ->  C  =  U. C )
5755, 56eleqtrd 2514 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( rank `  y )  e.  U. C )
58 eloni 4724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  On  ->  Ord  C )
59 ordsucuniel 6430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord 
C  ->  ( ( rank `  y )  e. 
U. C  <->  suc  ( rank `  y )  e.  C
) )
601, 58, 593syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( rank `  y
)  e.  U. C  <->  suc  ( rank `  y
)  e.  C ) )
6160ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( ( rank `  y
)  e.  U. C  <->  suc  ( rank `  y
)  e.  C ) )
6257, 61mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  ->  suc  ( rank `  y
)  e.  C )
63 fvres 5699 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  ( rank `  y
)  e.  C  -> 
( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
)  =  ( G `
 suc  ( rank `  y ) ) )
6462, 63syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
)  =  ( G `
 suc  ( rank `  y ) ) )
6564fveq1d 5688 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) `  y )  =  ( ( G `
 suc  ( rank `  y ) ) `  y ) )
6665oveq2d 6102 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) )  =  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( G `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) )
6766ifeq1da 3814 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  if ( C  =  U. C , 
( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) )  =  if ( C  =  U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) )
6851adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  U. dom  ( G  |`  C )  =  U. C )
6968fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) )  =  ( ( G  |`  C ) `  U. C ) )
701ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  C  e.  On )
71 uniexg 6372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( C  e.  On  ->  U. C  e.  _V )
72 sucidg 4792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U. C  e.  _V  ->  U. C  e.  suc  U. C )
7370, 71, 723syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  U. C  e.  suc  U. C )
741adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  C  e.  On )
75 orduniorsuc 6436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Ord 
C  ->  ( C  =  U. C  \/  C  =  suc  U. C ) )
7674, 58, 753syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  ( C  =  U. C  \/  C  =  suc  U. C ) )
7776orcanai 904 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  C  =  suc  U. C )
7873, 77eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  U. C  e.  C
)
79 fvres 5699 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. C  e.  C  ->  ( ( G  |`  C ) `
 U. C )  =  ( G `  U. C ) )
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( ( G  |`  C ) `  U. C )  =  ( G `  U. C
) )
8169, 80eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) )  =  ( G `
 U. C ) )
8281rneqd 5062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) )  =  ran  ( G `  U. C ) )
83 oieq2 7719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) )  =  ran  ( G `  U. C )  -> OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `
 U. C ) ) )
8482, 83syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  -> OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `
 U. C ) ) )
8584cnveqd 5010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  =  `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C ) ) )
8685, 81coeq12d 4999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  =  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C
) )  o.  ( G `  U. C ) ) )
87 dfac12.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `
 U. C ) )  o.  ( G `
 U. C ) )
8886, 87syl6eqr 2488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  =  H )
8988imaeq1d 5163 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y )  =  ( H "
y ) )
9089fveq2d 5690 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y
) )  =  ( F `  ( H
" y ) ) )
9190ifeq2da 3815 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  if ( C  =  U. C , 
( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( G `
 suc  ( rank `  y ) ) `  y ) ) ,  ( F `  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) )  =  if ( C  =  U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( H "
y ) ) ) )
9253, 67, 913eqtrd 2474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  if ( dom  ( G  |`  C )  =  U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) )  =  if ( C  =  U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( H "
y ) ) ) )
9392mpteq2dva 4373 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( R1 `  C ) 
|->  if ( dom  ( G  |`  C )  = 
U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) )  =  ( y  e.  ( R1 `  C ) 
|->  if ( C  = 
U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( G `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( H
" y ) ) ) ) )
9449, 93eqtrd 2470 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( R1 `  dom  ( G  |`  C ) ) 
|->  if ( dom  ( G  |`  C )  = 
U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) )  =  ( y  e.  ( R1 `  C ) 
|->  if ( C  = 
U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( G `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( H
" y ) ) ) ) )
954, 41, 943eqtrd 2474 1  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  =  ( y  e.  ( R1 `  C )  |->  if ( C  =  U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G
" C )  .o  ( rank `  y
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( H "
y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2967    C_ wss 3323   ifcif 3786   ~Pcpw 3855   U.cuni 4086    e. cmpt 4345    _E cep 4625   Ord word 4713   Oncon0 4714   suc csuc 4716   `'ccnv 4834   dom cdm 4835   ran crn 4836    |` cres 4837   "cima 4838    o. ccom 4839   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   -1-1->wf1 5410   ` cfv 5413  (class class class)co 6086  recscrecs 6823    +o coa 6909    .o comu 6910  OrdIsocoi 7715  harchar 7763   R1cr1 7961   rankcrnk 7962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-oi 7716  df-r1 7963  df-rank 7964
This theorem is referenced by:  dfac12lem2  8305
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