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Theorem dfac12lem1 8514
Description: Lemma for dfac12 8520. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dfac12.1  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
dfac12.3  |-  ( ph  ->  F : ~P (har `  ( R1 `  A
) ) -1-1-> On )
dfac12.4  |-  G  = recs ( ( x  e. 
_V  |->  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) ) ) )
dfac12.5  |-  ( ph  ->  C  e.  On )
dfac12.h  |-  H  =  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `
 U. C ) )  o.  ( G `
 U. C ) )
Assertion
Ref Expression
dfac12lem1  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  =  ( y  e.  ( R1 `  C )  |->  if ( C  =  U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G
" C )  .o  ( rank `  y
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( H "
y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, A    x, y, C    x, G, y    ph, y    x, F, y    y, H
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)    H( x)

Proof of Theorem dfac12lem1
StepHypRef Expression
1 dfac12.5 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  On )
2 dfac12.4 . . . 4  |-  G  = recs ( ( x  e. 
_V  |->  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) ) ) )
32tfr2 7059 . . 3  |-  ( C  e.  On  ->  ( G `  C )  =  ( ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) ) ) `  ( G  |`  C ) ) )
41, 3syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  =  ( ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ( R1
`  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y )
)  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y ) ) `
 y ) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " y
) ) ) ) ) `  ( G  |`  C ) ) )
52tfr1 7058 . . . . 5  |-  G  Fn  On
6 fnfun 5660 . . . . 5  |-  ( G  Fn  On  ->  Fun  G )
75, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  Fun  G
8 resfunexg 6112 . . . 4  |-  ( ( Fun  G  /\  C  e.  On )  ->  ( G  |`  C )  e. 
_V )
97, 1, 8sylancr 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  |`  C )  e.  _V )
10 dmeq 5192 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  dom  x  =  dom  ( G  |`  C ) )
1110fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  ( R1 `  dom  x )  =  ( R1 `  dom  ( G  |`  C ) ) )
1210unieqd 4245 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  U. dom  x  =  U. dom  ( G  |`  C ) )
1310, 12eqeq12d 2476 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  ( dom  x  =  U. dom  x 
<->  dom  ( G  |`  C )  =  U. dom  ( G  |`  C ) ) )
14 rneq 5217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  ran  x  =  ran  ( G  |`  C ) )
15 df-ima 5001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G
" C )  =  ran  ( G  |`  C )
1614, 15syl6eqr 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  ran  x  =  ( G " C ) )
1716unieqd 4245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  U. ran  x  =  U. ( G " C ) )
1817rneqd 5219 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  ran  U.
ran  x  =  ran  U. ( G " C
) )
1918unieqd 4245 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  U. ran  U.
ran  x  =  U. ran  U. ( G " C ) )
20 suceq 4932 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  U. ran  x  = 
U. ran  U. ( G " C )  ->  suc  U. ran  U. ran  x  =  suc  U. ran  U. ( G " C
) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  suc  U.
ran  U. ran  x  =  suc  U. ran  U. ( G " C ) )
2221oveq1d 6285 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y
) )  =  ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y
) ) )
23 fveq1 5847 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  (
x `  suc  ( rank `  y ) )  =  ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) )
2423fveq1d 5850 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  (
( x `  suc  ( rank `  y )
) `  y )  =  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) )
2522, 24oveq12d 6288 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  (
( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) )  =  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) )
26 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  x  =  ( G  |`  C ) )
2726, 12fveq12d 5854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  (
x `  U. dom  x
)  =  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )
2827rneqd 5219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  ran  ( x `  U. dom  x )  =  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )
29 oieq2 7930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  ( x `  U. dom  x )  =  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) )  -> OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  = OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) ) )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  -> OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  = OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) ) )
3130cnveqd 5167 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  `'OrdIso (  _E  ,  ran  (
x `  U. dom  x
) )  =  `'OrdIso (  _E  ,  ran  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) )
3231, 27coeq12d 5156 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) )  =  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) ) )
3332imaeq1d 5324 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y )  =  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y
) )
3433fveq2d 5852 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) )  =  ( F `  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) )
3513, 25, 34ifbieq12d 3956 . . . . 5  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) )  =  if ( dom  ( G  |`  C )  =  U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) )
3611, 35mpteq12dv 4517 . . . 4  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  (
y  e.  ( R1
`  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y )
)  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y ) ) `
 y ) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " y
) ) ) )  =  ( y  e.  ( R1 `  dom  ( G  |`  C ) )  |->  if ( dom  ( G  |`  C )  =  U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) ) )
37 eqid 2454 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) ) )  =  ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ( R1
`  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y )
)  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y ) ) `
 y ) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " y
) ) ) ) )
38 fvex 5858 . . . . 5  |-  ( R1
`  dom  ( G  |`  C ) )  e. 
_V
3938mptex 6118 . . . 4  |-  ( y  e.  ( R1 `  dom  ( G  |`  C ) )  |->  if ( dom  ( G  |`  C )  =  U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) )  e. 
_V
4036, 37, 39fvmpt 5931 . . 3  |-  ( ( G  |`  C )  e.  _V  ->  ( (
x  e.  _V  |->  ( y  e.  ( R1
`  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y )
)  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y ) ) `
 y ) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " y
) ) ) ) ) `  ( G  |`  C ) )  =  ( y  e.  ( R1 `  dom  ( G  |`  C ) ) 
|->  if ( dom  ( G  |`  C )  = 
U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) ) )
419, 40syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
_V  |->  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) ) ) `  ( G  |`  C ) )  =  ( y  e.  ( R1 `  dom  ( G  |`  C ) )  |->  if ( dom  ( G  |`  C )  =  U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) ) )
42 onss 6599 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  On  ->  C  C_  On )
431, 42syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  C_  On )
44 fnssres 5676 . . . . . . 7  |-  ( ( G  Fn  On  /\  C  C_  On )  -> 
( G  |`  C )  Fn  C )
455, 43, 44sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  |`  C )  Fn  C )
46 fndm 5662 . . . . . 6  |-  ( ( G  |`  C )  Fn  C  ->  dom  ( G  |`  C )  =  C )
4745, 46syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( G  |`  C )  =  C )
4847fveq2d 5852 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R1 `  dom  ( G  |`  C ) )  =  ( R1
`  C ) )
4948mpteq1d 4520 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( R1 `  dom  ( G  |`  C ) ) 
|->  if ( dom  ( G  |`  C )  = 
U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) )  =  ( y  e.  ( R1 `  C ) 
|->  if ( dom  ( G  |`  C )  = 
U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) ) )
5047adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  dom  ( G  |`  C )  =  C )
5150unieqd 4245 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  U. dom  ( G  |`  C )  = 
U. C )
5250, 51eqeq12d 2476 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  ( dom  ( G  |`  C )  =  U. dom  ( G  |`  C )  <->  C  =  U. C ) )
5352ifbid 3951 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  if ( dom  ( G  |`  C )  =  U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) )  =  if ( C  =  U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y
) )  +o  (
( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) )
54 rankr1ai 8207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( R1 `  C )  ->  ( rank `  y )  e.  C )
5554ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( rank `  y )  e.  C )
56 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  ->  C  =  U. C )
5755, 56eleqtrd 2544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( rank `  y )  e.  U. C )
58 eloni 4877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  On  ->  Ord  C )
59 ordsucuniel 6632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord 
C  ->  ( ( rank `  y )  e. 
U. C  <->  suc  ( rank `  y )  e.  C
) )
601, 58, 593syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( rank `  y
)  e.  U. C  <->  suc  ( rank `  y
)  e.  C ) )
6160ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( ( rank `  y
)  e.  U. C  <->  suc  ( rank `  y
)  e.  C ) )
6257, 61mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  ->  suc  ( rank `  y
)  e.  C )
63 fvres 5862 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  ( rank `  y
)  e.  C  -> 
( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
)  =  ( G `
 suc  ( rank `  y ) ) )
6462, 63syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
)  =  ( G `
 suc  ( rank `  y ) ) )
6564fveq1d 5850 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) `  y )  =  ( ( G `
 suc  ( rank `  y ) ) `  y ) )
6665oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) )  =  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( G `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) )
6766ifeq1da 3959 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  if ( C  =  U. C , 
( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) )  =  if ( C  =  U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) )
6851adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  U. dom  ( G  |`  C )  =  U. C )
6968fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) )  =  ( ( G  |`  C ) `  U. C ) )
701ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  C  e.  On )
71 uniexg 6570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( C  e.  On  ->  U. C  e.  _V )
72 sucidg 4945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U. C  e.  _V  ->  U. C  e.  suc  U. C )
7370, 71, 723syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  U. C  e.  suc  U. C )
741adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  C  e.  On )
75 orduniorsuc 6638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Ord 
C  ->  ( C  =  U. C  \/  C  =  suc  U. C ) )
7674, 58, 753syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  ( C  =  U. C  \/  C  =  suc  U. C ) )
7776orcanai 911 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  C  =  suc  U. C )
7873, 77eleqtrrd 2545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  U. C  e.  C
)
79 fvres 5862 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. C  e.  C  ->  ( ( G  |`  C ) `
 U. C )  =  ( G `  U. C ) )
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( ( G  |`  C ) `  U. C )  =  ( G `  U. C
) )
8169, 80eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) )  =  ( G `
 U. C ) )
8281rneqd 5219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) )  =  ran  ( G `  U. C ) )
83 oieq2 7930 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) )  =  ran  ( G `  U. C )  -> OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `
 U. C ) ) )
8482, 83syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  -> OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `
 U. C ) ) )
8584cnveqd 5167 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  =  `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C ) ) )
8685, 81coeq12d 5156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  =  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C
) )  o.  ( G `  U. C ) ) )
87 dfac12.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `
 U. C ) )  o.  ( G `
 U. C ) )
8886, 87syl6eqr 2513 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  =  H )
8988imaeq1d 5324 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y )  =  ( H "
y ) )
9089fveq2d 5852 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y
) )  =  ( F `  ( H
" y ) ) )
9190ifeq2da 3960 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  if ( C  =  U. C , 
( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( G `
 suc  ( rank `  y ) ) `  y ) ) ,  ( F `  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) )  =  if ( C  =  U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( H "
y ) ) ) )
9253, 67, 913eqtrd 2499 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  if ( dom  ( G  |`  C )  =  U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) )  =  if ( C  =  U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( H "
y ) ) ) )
9392mpteq2dva 4525 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( R1 `  C ) 
|->  if ( dom  ( G  |`  C )  = 
U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) )  =  ( y  e.  ( R1 `  C ) 
|->  if ( C  = 
U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( G `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( H
" y ) ) ) ) )
9449, 93eqtrd 2495 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( R1 `  dom  ( G  |`  C ) ) 
|->  if ( dom  ( G  |`  C )  = 
U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) )  =  ( y  e.  ( R1 `  C ) 
|->  if ( C  = 
U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( G `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( H
" y ) ) ) ) )
954, 41, 943eqtrd 2499 1  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  =  ( y  e.  ( R1 `  C )  |->  if ( C  =  U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G
" C )  .o  ( rank `  y
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( H "
y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106    C_ wss 3461   ifcif 3929   ~Pcpw 3999   U.cuni 4235    |-> cmpt 4497    _E cep 4778   Ord word 4866   Oncon0 4867   suc csuc 4869   `'ccnv 4987   dom cdm 4988   ran crn 4989    |` cres 4990   "cima 4991    o. ccom 4992   Fun wfun 5564    Fn wfn 5565   -1-1->wf1 5567   ` cfv 5570  (class class class)co 6270  recscrecs 7033    +o coa 7119    .o comu 7120  OrdIsocoi 7926  harchar 7974   R1cr1 8171   rankcrnk 8172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-oi 7927  df-r1 8173  df-rank 8174
This theorem is referenced by:  dfac12lem2  8515
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