MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac12a Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dfac12a 8596
Description: The axiom of choice holds iff every ordinal has a well-orderable powerset. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac12a  |-  (CHOICE  <->  A. x  e.  On  ~P x  e. 
dom  card )

Proof of Theorem dfac12a
StepHypRef Expression
1 ssv 3438 . . . 4  |-  dom  card  C_ 
_V
2 eqss 3433 . . . 4  |-  ( dom 
card  =  _V  <->  ( dom  card  C_  _V  /\  _V  C_  dom  card ) )
31, 2mpbiran 932 . . 3  |-  ( dom 
card  =  _V  <->  _V  C_  dom  card )
4 dfac10 8585 . . 3  |-  (CHOICE  <->  dom  card  =  _V )
5 unir1 8302 . . . 4  |-  U. ( R1 " On )  =  _V
65sseq1i 3442 . . 3  |-  ( U. ( R1 " On ) 
C_  dom  card  <->  _V  C_  dom  card )
73, 4, 63bitr4i 285 . 2  |-  (CHOICE  <->  U. ( R1 " On )  C_  dom  card )
8 dfac12r 8594 . 2  |-  ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  <->  U. ( R1 " On )  C_  dom  card )
97, 8bitr4i 260 1  |-  (CHOICE  <->  A. x  e.  On  ~P x  e. 
dom  card )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 189    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   dom cdm 4839   "cima 4842   Oncon0 5430   R1cr1 8251   cardccrd 8387  CHOICEwac 8564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-reg 8125  ax-inf2 8164
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-oi 8043  df-har 8091  df-r1 8253  df-rank 8254  df-card 8391  df-ac 8565
This theorem is referenced by:  dfac12  8597
  Copyright terms: Public domain W3C validator