MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac12a Structured version   Unicode version

Theorem dfac12a 8585
Description: The axiom of choice holds iff every ordinal has a well-orderable powerset. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac12a  |-  (CHOICE  <->  A. x  e.  On  ~P x  e. 
dom  card )

Proof of Theorem dfac12a
StepHypRef Expression
1 ssv 3484 . . . 4  |-  dom  card  C_ 
_V
2 eqss 3479 . . . 4  |-  ( dom 
card  =  _V  <->  ( dom  card  C_  _V  /\  _V  C_  dom  card ) )
31, 2mpbiran 926 . . 3  |-  ( dom 
card  =  _V  <->  _V  C_  dom  card )
4 dfac10 8574 . . 3  |-  (CHOICE  <->  dom  card  =  _V )
5 unir1 8292 . . . 4  |-  U. ( R1 " On )  =  _V
65sseq1i 3488 . . 3  |-  ( U. ( R1 " On ) 
C_  dom  card  <->  _V  C_  dom  card )
73, 4, 63bitr4i 280 . 2  |-  (CHOICE  <->  U. ( R1 " On )  C_  dom  card )
8 dfac12r 8583 . 2  |-  ( A. x  e.  On  ~P x  e.  dom  card  <->  U. ( R1 " On )  C_  dom  card )
97, 8bitr4i 255 1  |-  (CHOICE  <->  A. x  e.  On  ~P x  e. 
dom  card )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2771   _Vcvv 3080    C_ wss 3436   ~Pcpw 3981   U.cuni 4219   dom cdm 4853   "cima 4856   Oncon0 5442   R1cr1 8241   cardccrd 8377  CHOICEwac 8553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-reg 8116  ax-inf2 8155
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-oadd 7197  df-omul 7198  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-oi 8034  df-har 8082  df-r1 8243  df-rank 8244  df-card 8381  df-ac 8554
This theorem is referenced by:  dfac12  8586
  Copyright terms: Public domain W3C validator