MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac10 Structured version   Unicode version

Theorem dfac10 8508
Description: Axiom of Choice equivalent: the cardinality function measures every set. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac10  |-  (CHOICE  <->  dom  card  =  _V )

Proof of Theorem dfac10
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ween 8407 . . 3  |-  ( x  e.  dom  card  <->  E. y 
y  We  x )
21albii 1645 . 2  |-  ( A. x  x  e.  dom  card  <->  A. x E. y  y  We  x )
3 eqv 3800 . 2  |-  ( dom 
card  =  _V  <->  A. x  x  e.  dom  card )
4 dfac8 8506 . 2  |-  (CHOICE  <->  A. x E. y  y  We  x )
52, 3, 43bitr4ri 278 1  |-  (CHOICE  <->  dom  card  =  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184   A.wal 1396    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823   _Vcvv 3106    We wwe 4826   dom cdm 4988   cardccrd 8307  CHOICEwac 8487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-recs 7034  df-en 7510  df-card 8311  df-ac 8488
This theorem is referenced by:  dfac10c  8509  acacni  8511  dfac12a  8519  dfacfin7  8770  cardeqv  8840  gch2  9042  gchac  9048  lbsexg  18005  acufl  20584  ttac  31217  dfac21  31251  dfacbasgrp  31298
  Copyright terms: Public domain W3C validator