MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac0 Structured version   Unicode version

Theorem dfac0 8414
Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice. The proof uses the Axiom of Regularity. The right-hand side is our original ax-ac 8740. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac0  |-  (CHOICE  <->  A. x E. y A. z A. w ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  ->  E. v A. u ( E. t
( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  y )
)  <->  u  =  v
) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w, v, u, t

Proof of Theorem dfac0
StepHypRef Expression
1 dfac7 8413 . 2  |-  (CHOICE  <->  A. x E. y A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) )
2 aceq0 8400 . . 3  |-  ( E. y A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u )  <->  E. y A. z A. w ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x
)  ->  E. v A. u ( E. t
( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  y )
)  <->  u  =  v
) ) )
32albii 1611 . 2  |-  ( A. x E. y A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u )  <->  A. x E. y A. z A. w ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  ->  E. v A. u ( E. t
( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  y )
)  <->  u  =  v
) ) )
41, 3bitri 249 1  |-  (CHOICE  <->  A. x E. y A. z A. w ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  ->  E. v A. u ( E. t
( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  y )
)  <->  u  =  v
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1368   E.wex 1587   A.wral 2799   E.wrex 2800   E!wreu 2801  CHOICEwac 8397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-reg 7919
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-eprel 4741  df-id 4745  df-fr 4788  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ac 8398
This theorem is referenced by:  axac  8748
  Copyright terms: Public domain W3C validator