Definition df-trkgc 24045

Description: Define the class of geometries fulfilling the congruence axioms of reflexivity, identity and transitivity. These are axioms A1 to A3 of [Schwabhauser] p. 10. With our distance based notation for congruence, transitivity of congruence boils down to transitivity of equality and is already given by eqtr 2480, so it is not listed in this definition. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
df-trkgc	|- TarskiGC = { f | [. ( Base ` f ) / p ]. [. ( dist ` f ) / d ]. ( A. x e. p A. y e. p ( x d y ) = ( y d x ) /\ A. x e. p A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y ) ) }

Distinct variable group:   f, d, p, x, y, z

Detailed syntax breakdown of Definition df-trkgc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cstrkgc 24027	. 2 class TarskiGC
2		vx	. . . . . . . . . . 11 setvar x
3	2	cv 1397	. . . . . . . . . 10 class x
4		vy	. . . . . . . . . . 11 setvar y
5	4	cv 1397	. . . . . . . . . 10 class y
6		vd	. . . . . . . . . . 11 setvar d
7	6	cv 1397	. . . . . . . . . 10 class d
8	3, 5, 7	co 6270	. . . . . . . . 9 class ( x d y )
9	5, 3, 7	co 6270	. . . . . . . . 9 class ( y d x )
10	8, 9	wceq 1398	. . . . . . . 8 wff ( x d y ) = ( y d x )
11		vp	. . . . . . . . 9 setvar p
12	11	cv 1397	. . . . . . . 8 class p
13	10, 4, 12	wral 2804	. . . . . . 7 wff A. y e. p ( x d y ) = ( y d x )
14	13, 2, 12	wral 2804	. . . . . 6 wff A. x e. p A. y e. p ( x d y ) = ( y d x )
15		vz	. . . . . . . . . . . . 13 setvar z
16	15	cv 1397	. . . . . . . . . . . 12 class z
17	16, 16, 7	co 6270	. . . . . . . . . . 11 class ( z d z )
18	8, 17	wceq 1398	. . . . . . . . . 10 wff ( x d y ) = ( z d z )
19	2, 4	weq 1738	. . . . . . . . . 10 wff x = y
20	18, 19	wi 4	. . . . . . . . 9 wff ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y )
21	20, 15, 12	wral 2804	. . . . . . . 8 wff A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y )
22	21, 4, 12	wral 2804	. . . . . . 7 wff A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y )
23	22, 2, 12	wral 2804	. . . . . 6 wff A. x e. p A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y )
24	14, 23	wa 367	. . . . 5 wff ( A. x e. p A. y e. p ( x d y ) = ( y d x ) /\ A. x e. p A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y ) )
25		vf	. . . . . . 7 setvar f
26	25	cv 1397	. . . . . 6 class f
27		cds 14796	. . . . . 6 class dist
28	26, 27	cfv 5570	. . . . 5 class ( dist ` f )
29	24, 6, 28	wsbc 3324	. . . 4 wff [. ( dist ` f ) / d ]. ( A. x e. p A. y e. p ( x d y ) = ( y d x ) /\ A. x e. p A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y ) )
30		cbs 14719	. . . . 5 class Base
31	26, 30	cfv 5570	. . . 4 class ( Base ` f )
32	29, 11, 31	wsbc 3324	. . 3 wff [. ( Base ` f ) / p ]. [. ( dist ` f ) / d ]. ( A. x e. p A. y e. p ( x d y ) = ( y d x ) /\ A. x e. p A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y ) )
33	32, 25	cab 2439	. 2 class { f | [. ( Base ` f ) / p ]. [. ( dist ` f ) / d ]. ( A. x e. p A. y e. p ( x d y ) = ( y d x ) /\ A. x e. p A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y ) ) }
34	1, 33	wceq 1398	1 wff TarskiGC = { f | [. ( Base ` f ) / p ]. [. ( dist ` f ) / d ]. ( A. x e. p A. y e. p ( x d y ) = ( y d x ) /\ A. x e. p A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y ) ) }

This definition is referenced by:  istrkgc  24052