Definition df-trkgc 23709

Description: Define the class of geometries fulfilling the congruence axioms of reflexivity, identity and transitivity. These are axioms A1 to A3 of [Schwabhauser] p. 10. With our distance based notation for congruence, transitivity of congruence boils down to transitivity of equality and is already given by eqtr 2467, so it is not listed in this definition. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
df-trkgc	|- TarskiGC = { f | [. ( Base ` f ) / p ]. [. ( dist ` f ) / d ]. ( A. x e. p A. y e. p ( x d y ) = ( y d x ) /\ A. x e. p A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y ) ) }

Distinct variable group:   f, d, p, x, y, z

Detailed syntax breakdown of Definition df-trkgc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cstrkgc 23691	. 2 class TarskiGC
2		vx	. . . . . . . . . . 11 setvar x
3	2	cv 1380	. . . . . . . . . 10 class x
4		vy	. . . . . . . . . . 11 setvar y
5	4	cv 1380	. . . . . . . . . 10 class y
6		vd	. . . . . . . . . . 11 setvar d
7	6	cv 1380	. . . . . . . . . 10 class d
8	3, 5, 7	co 6277	. . . . . . . . 9 class ( x d y )
9	5, 3, 7	co 6277	. . . . . . . . 9 class ( y d x )
10	8, 9	wceq 1381	. . . . . . . 8 wff ( x d y ) = ( y d x )
11		vp	. . . . . . . . 9 setvar p
12	11	cv 1380	. . . . . . . 8 class p
13	10, 4, 12	wral 2791	. . . . . . 7 wff A. y e. p ( x d y ) = ( y d x )
14	13, 2, 12	wral 2791	. . . . . 6 wff A. x e. p A. y e. p ( x d y ) = ( y d x )
15		vz	. . . . . . . . . . . . 13 setvar z
16	15	cv 1380	. . . . . . . . . . . 12 class z
17	16, 16, 7	co 6277	. . . . . . . . . . 11 class ( z d z )
18	8, 17	wceq 1381	. . . . . . . . . 10 wff ( x d y ) = ( z d z )
19	2, 4	weq 1718	. . . . . . . . . 10 wff x = y
20	18, 19	wi 4	. . . . . . . . 9 wff ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y )
21	20, 15, 12	wral 2791	. . . . . . . 8 wff A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y )
22	21, 4, 12	wral 2791	. . . . . . 7 wff A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y )
23	22, 2, 12	wral 2791	. . . . . 6 wff A. x e. p A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y )
24	14, 23	wa 369	. . . . 5 wff ( A. x e. p A. y e. p ( x d y ) = ( y d x ) /\ A. x e. p A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y ) )
25		vf	. . . . . . 7 setvar f
26	25	cv 1380	. . . . . 6 class f
27		cds 14578	. . . . . 6 class dist
28	26, 27	cfv 5574	. . . . 5 class ( dist ` f )
29	24, 6, 28	wsbc 3311	. . . 4 wff [. ( dist ` f ) / d ]. ( A. x e. p A. y e. p ( x d y ) = ( y d x ) /\ A. x e. p A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y ) )
30		cbs 14504	. . . . 5 class Base
31	26, 30	cfv 5574	. . . 4 class ( Base ` f )
32	29, 11, 31	wsbc 3311	. . 3 wff [. ( Base ` f ) / p ]. [. ( dist ` f ) / d ]. ( A. x e. p A. y e. p ( x d y ) = ( y d x ) /\ A. x e. p A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y ) )
33	32, 25	cab 2426	. 2 class { f | [. ( Base ` f ) / p ]. [. ( dist ` f ) / d ]. ( A. x e. p A. y e. p ( x d y ) = ( y d x ) /\ A. x e. p A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y ) ) }
34	1, 33	wceq 1381	1 wff TarskiGC = { f | [. ( Base ` f ) / p ]. [. ( dist ` f ) / d ]. ( A. x e. p A. y e. p ( x d y ) = ( y d x ) /\ A. x e. p A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y ) ) }

This definition is referenced by:  istrkgc  23716