Definition df-trkgc 24438

Description: Define the class of geometries fulfilling the congruence axioms of reflexivity, identity and transitivity. These are axioms A1 to A3 of [Schwabhauser] p. 10. With our distance based notation for congruence, transitivity of congruence boils down to transitivity of equality and is already given by eqtr 2447, so it is not listed in this definition. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
df-trkgc	|- TarskiGC = { f | [. ( Base ` f ) / p ]. [. ( dist ` f ) / d ]. ( A. x e. p A. y e. p ( x d y ) = ( y d x ) /\ A. x e. p A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y ) ) }

Distinct variable group:   f, d, p, x, y, z

Detailed syntax breakdown of Definition df-trkgc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cstrkgc 24421	. 2 class TarskiGC
2		vx	. . . . . . . . . . 11 setvar x
3	2	cv 1436	. . . . . . . . . 10 class x
4		vy	. . . . . . . . . . 11 setvar y
5	4	cv 1436	. . . . . . . . . 10 class y
6		vd	. . . . . . . . . . 11 setvar d
7	6	cv 1436	. . . . . . . . . 10 class d
8	3, 5, 7	co 6249	. . . . . . . . 9 class ( x d y )
9	5, 3, 7	co 6249	. . . . . . . . 9 class ( y d x )
10	8, 9	wceq 1437	. . . . . . . 8 wff ( x d y ) = ( y d x )
11		vp	. . . . . . . . 9 setvar p
12	11	cv 1436	. . . . . . . 8 class p
13	10, 4, 12	wral 2714	. . . . . . 7 wff A. y e. p ( x d y ) = ( y d x )
14	13, 2, 12	wral 2714	. . . . . 6 wff A. x e. p A. y e. p ( x d y ) = ( y d x )
15		vz	. . . . . . . . . . . . 13 setvar z
16	15	cv 1436	. . . . . . . . . . . 12 class z
17	16, 16, 7	co 6249	. . . . . . . . . . 11 class ( z d z )
18	8, 17	wceq 1437	. . . . . . . . . 10 wff ( x d y ) = ( z d z )
19	2, 4	weq 1784	. . . . . . . . . 10 wff x = y
20	18, 19	wi 4	. . . . . . . . 9 wff ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y )
21	20, 15, 12	wral 2714	. . . . . . . 8 wff A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y )
22	21, 4, 12	wral 2714	. . . . . . 7 wff A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y )
23	22, 2, 12	wral 2714	. . . . . 6 wff A. x e. p A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y )
24	14, 23	wa 370	. . . . 5 wff ( A. x e. p A. y e. p ( x d y ) = ( y d x ) /\ A. x e. p A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y ) )
25		vf	. . . . . . 7 setvar f
26	25	cv 1436	. . . . . 6 class f
27		cds 15142	. . . . . 6 class dist
28	26, 27	cfv 5544	. . . . 5 class ( dist ` f )
29	24, 6, 28	wsbc 3242	. . . 4 wff [. ( dist ` f ) / d ]. ( A. x e. p A. y e. p ( x d y ) = ( y d x ) /\ A. x e. p A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y ) )
30		cbs 15064	. . . . 5 class Base
31	26, 30	cfv 5544	. . . 4 class ( Base ` f )
32	29, 11, 31	wsbc 3242	. . 3 wff [. ( Base ` f ) / p ]. [. ( dist ` f ) / d ]. ( A. x e. p A. y e. p ( x d y ) = ( y d x ) /\ A. x e. p A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y ) )
33	32, 25	cab 2414	. 2 class { f | [. ( Base ` f ) / p ]. [. ( dist ` f ) / d ]. ( A. x e. p A. y e. p ( x d y ) = ( y d x ) /\ A. x e. p A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y ) ) }
34	1, 33	wceq 1437	1 wff TarskiGC = { f | [. ( Base ` f ) / p ]. [. ( dist ` f ) / d ]. ( A. x e. p A. y e. p ( x d y ) = ( y d x ) /\ A. x e. p A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y ) ) }

This definition is referenced by:  istrkgc  24444