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Definition df-cat 14589
Description: A category is an abstraction of a structure (a group, a topology, an order...) Category theory consists in finding new formulation of the concepts associated to those structures (product, substructure...) using morphisms instead of the belonging relation. That trick has the interesting property that heterogeneous structures like topologies or groups for instance become comparable. (Note: in category theory morphisms are also called arrows.) (Contributed by FL, 24-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
df-cat  |-  Cat  =  { c  |  [. ( Base `  c )  /  b ]. [. ( Hom  `  c )  /  h ]. [. (comp `  c )  /  o ]. A. x  e.  b  ( E. g  e.  ( x h x ) A. y  e.  b  ( A. f  e.  ( y h x ) ( g (
<. y ,  x >. o x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x h y ) ( f ( <. x ,  x >. o y ) g )  =  f )  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. f  e.  ( x h y ) A. g  e.  ( y h z ) ( ( g ( <. x ,  y
>. o z ) f )  e.  ( x h z )  /\  A. w  e.  b  A. k  e.  ( z
h w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.
o w ) g ) ( <. x ,  y >. o
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
o w ) ( g ( <. x ,  y >. o
z ) f ) ) ) ) }
Distinct variable group:    b, c, f, g, h, k, o, w, x, y, z

Detailed syntax breakdown of Definition df-cat
StepHypRef Expression
1 ccat 14585 . 2  class  Cat
2 vg . . . . . . . . . . . . . . 15  setvar  g
32cv 1361 . . . . . . . . . . . . . 14  class  g
4 vf . . . . . . . . . . . . . . 15  setvar  f
54cv 1361 . . . . . . . . . . . . . 14  class  f
6 vy . . . . . . . . . . . . . . . . 17  setvar  y
76cv 1361 . . . . . . . . . . . . . . . 16  class  y
8 vx . . . . . . . . . . . . . . . . 17  setvar  x
98cv 1361 . . . . . . . . . . . . . . . 16  class  x
107, 9cop 3871 . . . . . . . . . . . . . . 15  class  <. y ,  x >.
11 vo . . . . . . . . . . . . . . . 16  setvar  o
1211cv 1361 . . . . . . . . . . . . . . 15  class  o
1310, 9, 12co 6080 . . . . . . . . . . . . . 14  class  ( <.
y ,  x >. o x )
143, 5, 13co 6080 . . . . . . . . . . . . 13  class  ( g ( <. y ,  x >. o x ) f )
1514, 5wceq 1362 . . . . . . . . . . . 12  wff  ( g ( <. y ,  x >. o x ) f )  =  f
16 vh . . . . . . . . . . . . . 14  setvar  h
1716cv 1361 . . . . . . . . . . . . 13  class  h
187, 9, 17co 6080 . . . . . . . . . . . 12  class  ( y h x )
1915, 4, 18wral 2705 . . . . . . . . . . 11  wff  A. f  e.  ( y h x ) ( g (
<. y ,  x >. o x ) f )  =  f
209, 9cop 3871 . . . . . . . . . . . . . . 15  class  <. x ,  x >.
2120, 7, 12co 6080 . . . . . . . . . . . . . 14  class  ( <.
x ,  x >. o y )
225, 3, 21co 6080 . . . . . . . . . . . . 13  class  ( f ( <. x ,  x >. o y ) g )
2322, 5wceq 1362 . . . . . . . . . . . 12  wff  ( f ( <. x ,  x >. o y ) g )  =  f
249, 7, 17co 6080 . . . . . . . . . . . 12  class  ( x h y )
2523, 4, 24wral 2705 . . . . . . . . . . 11  wff  A. f  e.  ( x h y ) ( f (
<. x ,  x >. o y ) g )  =  f
2619, 25wa 369 . . . . . . . . . 10  wff  ( A. f  e.  ( y
h x ) ( g ( <. y ,  x >. o x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x h y ) ( f (
<. x ,  x >. o y ) g )  =  f )
27 vb . . . . . . . . . . 11  setvar  b
2827cv 1361 . . . . . . . . . 10  class  b
2926, 6, 28wral 2705 . . . . . . . . 9  wff  A. y  e.  b  ( A. f  e.  ( y
h x ) ( g ( <. y ,  x >. o x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x h y ) ( f (
<. x ,  x >. o y ) g )  =  f )
309, 9, 17co 6080 . . . . . . . . 9  class  ( x h x )
3129, 2, 30wrex 2706 . . . . . . . 8  wff  E. g  e.  ( x h x ) A. y  e.  b  ( A. f  e.  ( y h x ) ( g (
<. y ,  x >. o x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x h y ) ( f ( <. x ,  x >. o y ) g )  =  f )
329, 7cop 3871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  class  <. x ,  y >.
33 vz . . . . . . . . . . . . . . . . 17  setvar  z
3433cv 1361 . . . . . . . . . . . . . . . 16  class  z
3532, 34, 12co 6080 . . . . . . . . . . . . . . 15  class  ( <.
x ,  y >.
o z )
363, 5, 35co 6080 . . . . . . . . . . . . . 14  class  ( g ( <. x ,  y
>. o z ) f )
379, 34, 17co 6080 . . . . . . . . . . . . . 14  class  ( x h z )
3836, 37wcel 1755 . . . . . . . . . . . . 13  wff  ( g ( <. x ,  y
>. o z ) f )  e.  ( x h z )
39 vk . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  setvar  k
4039cv 1361 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  class  k
417, 34cop 3871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  class  <. y ,  z >.
42 vw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  setvar  w
4342cv 1361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  class  w
4441, 43, 12co 6080 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  class  ( <.
y ,  z >.
o w )
4540, 3, 44co 6080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  class  ( k ( <. y ,  z
>. o w ) g )
4632, 43, 12co 6080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  class  ( <.
x ,  y >.
o w )
4745, 5, 46co 6080 . . . . . . . . . . . . . . . 16  class  ( ( k ( <. y ,  z >. o
w ) g ) ( <. x ,  y
>. o w ) f )
489, 34cop 3871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  class  <. x ,  z >.
4948, 43, 12co 6080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  class  ( <.
x ,  z >.
o w )
5040, 36, 49co 6080 . . . . . . . . . . . . . . . 16  class  ( k ( <. x ,  z
>. o w ) ( g ( <. x ,  y >. o
z ) f ) )
5147, 50wceq 1362 . . . . . . . . . . . . . . 15  wff  ( ( k ( <. y ,  z >. o
w ) g ) ( <. x ,  y
>. o w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>. o w ) ( g ( <. x ,  y >. o
z ) f ) )
5234, 43, 17co 6080 . . . . . . . . . . . . . . 15  class  ( z h w )
5351, 39, 52wral 2705 . . . . . . . . . . . . . 14  wff  A. k  e.  ( z h w ) ( ( k ( <. y ,  z
>. o w ) g ) ( <. x ,  y >. o
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
o w ) ( g ( <. x ,  y >. o
z ) f ) )
5453, 42, 28wral 2705 . . . . . . . . . . . . 13  wff  A. w  e.  b  A. k  e.  ( z h w ) ( ( k ( <. y ,  z
>. o w ) g ) ( <. x ,  y >. o
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
o w ) ( g ( <. x ,  y >. o
z ) f ) )
5538, 54wa 369 . . . . . . . . . . . 12  wff  ( ( g ( <. x ,  y >. o
z ) f )  e.  ( x h z )  /\  A. w  e.  b  A. k  e.  ( z
h w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.
o w ) g ) ( <. x ,  y >. o
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
o w ) ( g ( <. x ,  y >. o
z ) f ) ) )
567, 34, 17co 6080 . . . . . . . . . . . 12  class  ( y h z )
5755, 2, 56wral 2705 . . . . . . . . . . 11  wff  A. g  e.  ( y h z ) ( ( g ( <. x ,  y
>. o z ) f )  e.  ( x h z )  /\  A. w  e.  b  A. k  e.  ( z
h w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.
o w ) g ) ( <. x ,  y >. o
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
o w ) ( g ( <. x ,  y >. o
z ) f ) ) )
5857, 4, 24wral 2705 . . . . . . . . . 10  wff  A. f  e.  ( x h y ) A. g  e.  ( y h z ) ( ( g ( <. x ,  y
>. o z ) f )  e.  ( x h z )  /\  A. w  e.  b  A. k  e.  ( z
h w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.
o w ) g ) ( <. x ,  y >. o
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
o w ) ( g ( <. x ,  y >. o
z ) f ) ) )
5958, 33, 28wral 2705 . . . . . . . . 9  wff  A. z  e.  b  A. f  e.  ( x h y ) A. g  e.  ( y h z ) ( ( g ( <. x ,  y
>. o z ) f )  e.  ( x h z )  /\  A. w  e.  b  A. k  e.  ( z
h w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.
o w ) g ) ( <. x ,  y >. o
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
o w ) ( g ( <. x ,  y >. o
z ) f ) ) )
6059, 6, 28wral 2705 . . . . . . . 8  wff  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. f  e.  ( x h y ) A. g  e.  ( y h z ) ( ( g ( <. x ,  y
>. o z ) f )  e.  ( x h z )  /\  A. w  e.  b  A. k  e.  ( z
h w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.
o w ) g ) ( <. x ,  y >. o
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
o w ) ( g ( <. x ,  y >. o
z ) f ) ) )
6131, 60wa 369 . . . . . . 7  wff  ( E. g  e.  ( x h x ) A. y  e.  b  ( A. f  e.  (
y h x ) ( g ( <.
y ,  x >. o x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x h y ) ( f ( <. x ,  x >. o y ) g )  =  f )  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. f  e.  ( x h y ) A. g  e.  ( y h z ) ( ( g ( <. x ,  y
>. o z ) f )  e.  ( x h z )  /\  A. w  e.  b  A. k  e.  ( z
h w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.
o w ) g ) ( <. x ,  y >. o
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
o w ) ( g ( <. x ,  y >. o
z ) f ) ) ) )
6261, 8, 28wral 2705 . . . . . 6  wff  A. x  e.  b  ( E. g  e.  ( x h x ) A. y  e.  b  ( A. f  e.  (
y h x ) ( g ( <.
y ,  x >. o x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x h y ) ( f ( <. x ,  x >. o y ) g )  =  f )  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. f  e.  ( x h y ) A. g  e.  ( y h z ) ( ( g ( <. x ,  y
>. o z ) f )  e.  ( x h z )  /\  A. w  e.  b  A. k  e.  ( z
h w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.
o w ) g ) ( <. x ,  y >. o
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
o w ) ( g ( <. x ,  y >. o
z ) f ) ) ) )
63 vc . . . . . . . 8  setvar  c
6463cv 1361 . . . . . . 7  class  c
65 cco 14233 . . . . . . 7  class comp
6664, 65cfv 5406 . . . . . 6  class  (comp `  c )
6762, 11, 66wsbc 3175 . . . . 5  wff  [. (comp `  c )  /  o ]. A. x  e.  b  ( E. g  e.  ( x h x ) A. y  e.  b  ( A. f  e.  ( y h x ) ( g (
<. y ,  x >. o x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x h y ) ( f ( <. x ,  x >. o y ) g )  =  f )  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. f  e.  ( x h y ) A. g  e.  ( y h z ) ( ( g ( <. x ,  y
>. o z ) f )  e.  ( x h z )  /\  A. w  e.  b  A. k  e.  ( z
h w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.
o w ) g ) ( <. x ,  y >. o
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
o w ) ( g ( <. x ,  y >. o
z ) f ) ) ) )
68 chom 14232 . . . . . 6  class  Hom
6964, 68cfv 5406 . . . . 5  class  ( Hom  `  c )
7067, 16, 69wsbc 3175 . . . 4  wff  [. ( Hom  `  c )  /  h ]. [. (comp `  c )  /  o ]. A. x  e.  b  ( E. g  e.  ( x h x ) A. y  e.  b  ( A. f  e.  ( y h x ) ( g (
<. y ,  x >. o x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x h y ) ( f ( <. x ,  x >. o y ) g )  =  f )  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. f  e.  ( x h y ) A. g  e.  ( y h z ) ( ( g ( <. x ,  y
>. o z ) f )  e.  ( x h z )  /\  A. w  e.  b  A. k  e.  ( z
h w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.
o w ) g ) ( <. x ,  y >. o
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
o w ) ( g ( <. x ,  y >. o
z ) f ) ) ) )
71 cbs 14157 . . . . 5  class  Base
7264, 71cfv 5406 . . . 4  class  ( Base `  c )
7370, 27, 72wsbc 3175 . . 3  wff  [. ( Base `  c )  / 
b ]. [. ( Hom  `  c )  /  h ]. [. (comp `  c
)  /  o ]. A. x  e.  b 
( E. g  e.  ( x h x ) A. y  e.  b  ( A. f  e.  ( y h x ) ( g (
<. y ,  x >. o x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x h y ) ( f ( <. x ,  x >. o y ) g )  =  f )  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. f  e.  ( x h y ) A. g  e.  ( y h z ) ( ( g ( <. x ,  y
>. o z ) f )  e.  ( x h z )  /\  A. w  e.  b  A. k  e.  ( z
h w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.
o w ) g ) ( <. x ,  y >. o
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
o w ) ( g ( <. x ,  y >. o
z ) f ) ) ) )
7473, 63cab 2419 . 2  class  { c  |  [. ( Base `  c )  /  b ]. [. ( Hom  `  c
)  /  h ]. [. (comp `  c )  /  o ]. A. x  e.  b  ( E. g  e.  (
x h x ) A. y  e.  b  ( A. f  e.  ( y h x ) ( g (
<. y ,  x >. o x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x h y ) ( f ( <. x ,  x >. o y ) g )  =  f )  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. f  e.  ( x h y ) A. g  e.  ( y h z ) ( ( g ( <. x ,  y
>. o z ) f )  e.  ( x h z )  /\  A. w  e.  b  A. k  e.  ( z
h w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.
o w ) g ) ( <. x ,  y >. o
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
o w ) ( g ( <. x ,  y >. o
z ) f ) ) ) ) }
751, 74wceq 1362 1  wff  Cat  =  { c  |  [. ( Base `  c )  /  b ]. [. ( Hom  `  c )  /  h ]. [. (comp `  c )  /  o ]. A. x  e.  b  ( E. g  e.  ( x h x ) A. y  e.  b  ( A. f  e.  ( y h x ) ( g (
<. y ,  x >. o x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x h y ) ( f ( <. x ,  x >. o y ) g )  =  f )  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. f  e.  ( x h y ) A. g  e.  ( y h z ) ( ( g ( <. x ,  y
>. o z ) f )  e.  ( x h z )  /\  A. w  e.  b  A. k  e.  ( z
h w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.
o w ) g ) ( <. x ,  y >. o
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
o w ) ( g ( <. x ,  y >. o
z ) f ) ) ) ) }
Colors of variables: wff setvar class
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