Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  derangsn Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem derangsn 29941
Description: The derangement number of a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
derang.d  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
Assertion
Ref Expression
derangsn  |-  ( A  e.  V  ->  ( D `  { A } )  =  0 )
Distinct variable groups:    x, f,
y, A    f, V
Allowed substitution hints:    D( x, y, f)    V( x, y)

Proof of Theorem derangsn
StepHypRef Expression
1 snfi 7675 . . . 4  |-  { A }  e.  Fin
2 derang.d . . . . 5  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
32derangval 29938 . . . 4  |-  ( { A }  e.  Fin  ->  ( D `  { A } )  =  (
# `  { f  |  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
41, 3ax-mp 5 . . 3  |-  ( D `
 { A }
)  =  ( # `  { f  |  ( f : { A }
-1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) } )
5 f1of 5836 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  ->  f : { A } --> { A } )
65adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : { A }
-1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
)  ->  f : { A } --> { A } )
7 snidg 4005 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  { A } )
8 ffvelrn 6042 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : { A }
--> { A }  /\  A  e.  { A } )  ->  (
f `  A )  e.  { A } )
96, 7, 8syl2anr 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) )  ->  (
f `  A )  e.  { A } )
10 simpr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : { A }
-1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
)  ->  A. y  e.  { A }  (
f `  y )  =/=  y )
11 fveq2 5887 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  A  ->  (
f `  y )  =  ( f `  A ) )
12 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  A  ->  y  =  A )
1311, 12neeq12d 2696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  (
( f `  y
)  =/=  y  <->  ( f `  A )  =/=  A
) )
1413rspcva 3159 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  { A }  /\  A. y  e. 
{ A }  (
f `  y )  =/=  y )  ->  (
f `  A )  =/=  A )
157, 10, 14syl2an 484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) )  ->  (
f `  A )  =/=  A )
16 elsni 4004 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  A )  e.  { A }  ->  ( f `  A
)  =  A )
1716necon3ai 2660 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  A )  =/=  A  ->  -.  ( f `  A
)  e.  { A } )
1815, 17syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) )  ->  -.  ( f `  A
)  e.  { A } )
199, 18pm2.21dd 179 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) )  ->  f  e.  (/) )
2019ex 440 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  (
( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
)  ->  f  e.  (/) ) )
2120abssdv 3514 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  { f  |  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) }  C_  (/) )
22 ss0 3776 . . . . 5  |-  ( { f  |  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  (
f `  y )  =/=  y ) }  C_  (/) 
->  { f  |  ( f : { A }
-1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) }  =  (/) )
2321, 22syl 17 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  { f  |  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) }  =  (/) )
2423fveq2d 5891 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( # `
 { f  |  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) } )  =  ( # `  (/) ) )
254, 24syl5eq 2507 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( D `  { A } )  =  (
# `  (/) ) )
26 hash0 12579 . 2  |-  ( # `  (/) )  =  0
2725, 26syl6eq 2511 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( D `  { A } )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897   {cab 2447    =/= wne 2632   A.wral 2748    C_ wss 3415   (/)c0 3742   {csn 3979    |-> cmpt 4474   -->wf 5596   -1-1-onto->wf1o 5599   ` cfv 5600   Fincfn 7594   0cc0 9564   #chash 12546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-card 8398  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-fz 11813  df-hash 12547
This theorem is referenced by:  subfac1  29949
  Copyright terms: Public domain W3C validator