Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  deranglem Structured version   Unicode version

Theorem deranglem 28250
Description: Lemma for derangements. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
deranglem  |-  ( A  e.  Fin  ->  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph ) }  e.  Fin )
Distinct variable group:    A, f
Allowed substitution hint:    ph( f)

Proof of Theorem deranglem
StepHypRef Expression
1 mapfi 7812 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( A  ^m  A
)  e.  Fin )
2 f1of 5814 . . . . . 6  |-  ( f : A -1-1-onto-> A  ->  f : A
--> A )
32adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph )  ->  f : A
--> A )
4 elmapg 7430 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( f  e.  ( A  ^m  A )  <-> 
f : A --> A ) )
53, 4syl5ibr 221 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph )  ->  f  e.  ( A  ^m  A ) ) )
65abssdv 3574 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph ) }  C_  ( A  ^m  A ) )
7 ssfi 7737 . . 3  |-  ( ( ( A  ^m  A
)  e.  Fin  /\  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph ) }  C_  ( A  ^m  A ) )  ->  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph ) }  e.  Fin )
81, 6, 7syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph ) }  e.  Fin )
98anidms 645 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph ) }  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767   {cab 2452    C_ wss 3476   -->wf 5582   -1-1-onto->wf1o 5585  (class class class)co 6282    ^m cmap 7417   Fincfn 7513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517
This theorem is referenced by:  derangf  28252  derangenlem  28255  subfaclefac  28260  subfacp1lem3  28266  subfacp1lem5  28268  subfacp1lem6  28269
  Copyright terms: Public domain W3C validator