Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  derangfmla Unicode version

Theorem derangfmla 24829
Description: The derangements formula, which expresses the number of derangements of a finite nonempty set in terms of the factorial. The expression  |_ `  (
x  +  1  / 
2 ) is a way of saying "rounded to the nearest integer". (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
derangfmla.d  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
Assertion
Ref Expression
derangfmla  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( D `  A )  =  ( |_ `  ( ( ( ! `
 ( # `  A
) )  /  _e )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, A    x, D, y
Allowed substitution hint:    D( f)

Proof of Theorem derangfmla
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 derangfmla.d . . . 4  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
2 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... m
) )
32fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  ( D `  ( 1 ... n ) )  =  ( D `  (
1 ... m ) ) )
43cbvmptv 4260 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( D `
 ( 1 ... n ) ) )  =  ( m  e. 
NN0  |->  ( D `  ( 1 ... m
) ) )
51, 4derangen2 24813 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( D `  A )  =  ( ( n  e.  NN0  |->  ( D `
 ( 1 ... n ) ) ) `
 ( # `  A
) ) )
65adantr 452 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( D `  A )  =  ( ( n  e.  NN0  |->  ( D `
 ( 1 ... n ) ) ) `
 ( # `  A
) ) )
7 hashnncl 11600 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( # `  A )  e.  NN  <->  A  =/=  (/) ) )
87biimpar 472 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( # `
 A )  e.  NN )
91, 4subfacval3 24828 . . 3  |-  ( (
# `  A )  e.  NN  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( D `
 ( 1 ... n ) ) ) `
 ( # `  A
) )  =  ( |_ `  ( ( ( ! `  ( # `
 A ) )  /  _e )  +  ( 1  /  2
) ) ) )
108, 9syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) ) `  ( # `  A ) )  =  ( |_ `  (
( ( ! `  ( # `  A ) )  /  _e )  +  ( 1  / 
2 ) ) ) )
116, 10eqtrd 2436 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( D `  A )  =  ( |_ `  ( ( ( ! `
 ( # `  A
) )  /  _e )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390    =/= wne 2567   A.wral 2666   (/)c0 3588    e. cmpt 4226   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   1c1 8947    + caddc 8949    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ...cfz 10999   |_cfl 11156   !cfa 11521   #chash 11573   _eceu 12620
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-ico 10878  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-e 12626
  Copyright terms: Public domain W3C validator