Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  derangen Structured version   Unicode version

Theorem derangen 29469
Description: The derangement number is a cardinal invariant, i.e. it only depends on the size of a set and not on its contents. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
derang.d  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
Assertion
Ref Expression
derangen  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  ( D `  A
)  =  ( D `
 B ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, A    B, f, x, y
Allowed substitution hints:    D( x, y, f)

Proof of Theorem derangen
StepHypRef Expression
1 derang.d . . 3  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
21derangenlem 29468 . 2  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  ( D `  A
)  <_  ( D `  B ) )
3 ensym 7602 . . . 4  |-  ( A 
~~  B  ->  B  ~~  A )
43adantr 463 . . 3  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  B  ~~  A )
5 enfi 7771 . . . 4  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e.  Fin  <->  B  e.  Fin ) )
65biimpar 483 . . 3  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
71derangenlem 29468 . . 3  |-  ( ( B  ~~  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( D `  B
)  <_  ( D `  A ) )
84, 6, 7syl2anc 659 . 2  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  ( D `  B
)  <_  ( D `  A ) )
91derangf 29465 . . . . 5  |-  D : Fin
--> NN0
109ffvelrni 6008 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( D `  A )  e.  NN0 )
116, 10syl 17 . . 3  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  ( D `  A
)  e.  NN0 )
129ffvelrni 6008 . . . 4  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( D `  B )  e.  NN0 )
1312adantl 464 . . 3  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  ( D `  B
)  e.  NN0 )
14 nn0re 10845 . . . 4  |-  ( ( D `  A )  e.  NN0  ->  ( D `
 A )  e.  RR )
15 nn0re 10845 . . . 4  |-  ( ( D `  B )  e.  NN0  ->  ( D `
 B )  e.  RR )
16 letri3 9701 . . . 4  |-  ( ( ( D `  A
)  e.  RR  /\  ( D `  B )  e.  RR )  -> 
( ( D `  A )  =  ( D `  B )  <-> 
( ( D `  A )  <_  ( D `  B )  /\  ( D `  B
)  <_  ( D `  A ) ) ) )
1714, 15, 16syl2an 475 . . 3  |-  ( ( ( D `  A
)  e.  NN0  /\  ( D `  B )  e.  NN0 )  -> 
( ( D `  A )  =  ( D `  B )  <-> 
( ( D `  A )  <_  ( D `  B )  /\  ( D `  B
)  <_  ( D `  A ) ) ) )
1811, 13, 17syl2anc 659 . 2  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( D `  A )  =  ( D `  B )  <-> 
( ( D `  A )  <_  ( D `  B )  /\  ( D `  B
)  <_  ( D `  A ) ) ) )
192, 8, 18mpbir2and 923 1  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  ( D `  A
)  =  ( D `
 B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   {cab 2387    =/= wne 2598   A.wral 2754   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   -1-1-onto->wf1o 5568   ` cfv 5569    ~~ cen 7551   Fincfn 7554   RRcr 9521    <_ cle 9659   NN0cn0 10836   #chash 12452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-hash 12453
This theorem is referenced by:  derangen2  29471
  Copyright terms: Public domain W3C validator