Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  derangen Structured version   Unicode version

Theorem derangen 28244
Description: The derangement number is a cardinal invariant, i.e. it only depends on the size of a set and not on its contents. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
derang.d  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
Assertion
Ref Expression
derangen  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  ( D `  A
)  =  ( D `
 B ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, A    B, f, x, y
Allowed substitution hints:    D( x, y, f)

Proof of Theorem derangen
StepHypRef Expression
1 derang.d . . 3  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
21derangenlem 28243 . 2  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  ( D `  A
)  <_  ( D `  B ) )
3 ensym 7556 . . . 4  |-  ( A 
~~  B  ->  B  ~~  A )
43adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  B  ~~  A )
5 enfi 7728 . . . 4  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e.  Fin  <->  B  e.  Fin ) )
65biimpar 485 . . 3  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
71derangenlem 28243 . . 3  |-  ( ( B  ~~  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( D `  B
)  <_  ( D `  A ) )
84, 6, 7syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  ( D `  B
)  <_  ( D `  A ) )
91derangf 28240 . . . . 5  |-  D : Fin
--> NN0
109ffvelrni 6013 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( D `  A )  e.  NN0 )
116, 10syl 16 . . 3  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  ( D `  A
)  e.  NN0 )
129ffvelrni 6013 . . . 4  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( D `  B )  e.  NN0 )
1312adantl 466 . . 3  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  ( D `  B
)  e.  NN0 )
14 nn0re 10795 . . . 4  |-  ( ( D `  A )  e.  NN0  ->  ( D `
 A )  e.  RR )
15 nn0re 10795 . . . 4  |-  ( ( D `  B )  e.  NN0  ->  ( D `
 B )  e.  RR )
16 letri3 9661 . . . 4  |-  ( ( ( D `  A
)  e.  RR  /\  ( D `  B )  e.  RR )  -> 
( ( D `  A )  =  ( D `  B )  <-> 
( ( D `  A )  <_  ( D `  B )  /\  ( D `  B
)  <_  ( D `  A ) ) ) )
1714, 15, 16syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( D `  A
)  e.  NN0  /\  ( D `  B )  e.  NN0 )  -> 
( ( D `  A )  =  ( D `  B )  <-> 
( ( D `  A )  <_  ( D `  B )  /\  ( D `  B
)  <_  ( D `  A ) ) ) )
1811, 13, 17syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( D `  A )  =  ( D `  B )  <-> 
( ( D `  A )  <_  ( D `  B )  /\  ( D `  B
)  <_  ( D `  A ) ) ) )
192, 8, 18mpbir2and 915 1  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  ( D `  A
)  =  ( D `
 B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   {cab 2447    =/= wne 2657   A.wral 2809   class class class wbr 4442    |-> cmpt 4500   -1-1-onto->wf1o 5580   ` cfv 5581    ~~ cen 7505   Fincfn 7508   RRcr 9482    <_ cle 9620   NN0cn0 10786   #chash 12362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-hash 12363
This theorem is referenced by:  derangen2  28246
  Copyright terms: Public domain W3C validator