MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  degltlem1 Structured version   Unicode version

Theorem degltlem1 21542
Description: Theorem on arithmetic of extended reals useful for degrees. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
degltlem1  |-  ( ( X  e.  ( NN0 
u.  { -oo } )  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( X  < 
Y  <->  X  <_  ( Y  -  1 ) ) )

Proof of Theorem degltlem1
StepHypRef Expression
1 elun 3496 . 2  |-  ( X  e.  ( NN0  u.  { -oo } )  <->  ( X  e.  NN0  \/  X  e. 
{ -oo } ) )
2 nn0z 10668 . . . 4  |-  ( X  e.  NN0  ->  X  e.  ZZ )
3 zltlem1 10696 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( X  <  Y  <->  X  <_  ( Y  - 
1 ) ) )
42, 3sylan 471 . . 3  |-  ( ( X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( X  <  Y  <->  X  <_  ( Y  - 
1 ) ) )
5 zre 10649 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  Y  e.  RR )
6 mnflt 11103 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  RR  -> -oo  <  Y )
75, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ZZ  -> -oo  <  Y )
8 peano2zm 10687 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  ( Y  -  1 )  e.  ZZ )
98zred 10746 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  ( Y  -  1 )  e.  RR )
109rexrd 9432 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  ( Y  -  1 )  e.  RR* )
11 mnfle 11112 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  -  1 )  e.  RR*  -> -oo  <_  ( Y  -  1 ) )
1210, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ZZ  -> -oo  <_  ( Y  -  1 ) )
137, 122thd 240 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  ( -oo  <  Y  <-> -oo  <_  ( Y  -  1 ) ) )
14 elsni 3901 . . . . . 6  |-  ( X  e.  { -oo }  ->  X  = -oo )
15 breq1 4294 . . . . . . 7  |-  ( X  = -oo  ->  ( X  <  Y  <-> -oo  <  Y
) )
16 breq1 4294 . . . . . . 7  |-  ( X  = -oo  ->  ( X  <_  ( Y  - 
1 )  <-> -oo  <_  ( Y  -  1 ) ) )
1715, 16bibi12d 321 . . . . . 6  |-  ( X  = -oo  ->  (
( X  <  Y  <->  X  <_  ( Y  - 
1 ) )  <->  ( -oo  <  Y  <-> -oo  <_  ( Y  -  1 ) ) ) )
1814, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( X  e.  { -oo }  ->  ( ( X  < 
Y  <->  X  <_  ( Y  -  1 ) )  <-> 
( -oo  <  Y  <-> -oo  <_  ( Y  -  1 ) ) ) )
1913, 18syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  ( X  e.  { -oo }  ->  ( X  <  Y  <->  X  <_  ( Y  - 
1 ) ) ) )
2019impcom 430 . . 3  |-  ( ( X  e.  { -oo }  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( X  < 
Y  <->  X  <_  ( Y  -  1 ) ) )
214, 20jaoian 782 . 2  |-  ( ( ( X  e.  NN0  \/  X  e.  { -oo } )  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( X  <  Y  <->  X  <_  ( Y  -  1 ) ) )
221, 21sylanb 472 1  |-  ( ( X  e.  ( NN0 
u.  { -oo } )  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( X  < 
Y  <->  X  <_  ( Y  -  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    u. cun 3325   {csn 3876   class class class wbr 4291  (class class class)co 6090   RRcr 9280   1c1 9282   -oocmnf 9415   RR*cxr 9416    < clt 9417    <_ cle 9418    - cmin 9594   NN0cn0 10578   ZZcz 10645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-n0 10579  df-z 10646
This theorem is referenced by:  degltp1le  21543  ply1divex  21607
  Copyright terms: Public domain W3C validator