MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  degltlem1 Structured version   Unicode version

Theorem degltlem1 22597
Description: Theorem on arithmetic of extended reals useful for degrees. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
degltlem1  |-  ( ( X  e.  ( NN0 
u.  { -oo } )  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( X  < 
Y  <->  X  <_  ( Y  -  1 ) ) )

Proof of Theorem degltlem1
StepHypRef Expression
1 elun 3641 . 2  |-  ( X  e.  ( NN0  u.  { -oo } )  <->  ( X  e.  NN0  \/  X  e. 
{ -oo } ) )
2 nn0z 10908 . . . 4  |-  ( X  e.  NN0  ->  X  e.  ZZ )
3 zltlem1 10937 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( X  <  Y  <->  X  <_  ( Y  - 
1 ) ) )
42, 3sylan 471 . . 3  |-  ( ( X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( X  <  Y  <->  X  <_  ( Y  - 
1 ) ) )
5 zre 10889 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  Y  e.  RR )
6 mnflt 11358 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  RR  -> -oo  <  Y )
75, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ZZ  -> -oo  <  Y )
8 peano2zm 10928 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  ( Y  -  1 )  e.  ZZ )
98zred 10990 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  ( Y  -  1 )  e.  RR )
109rexrd 9660 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  ( Y  -  1 )  e.  RR* )
11 mnfle 11367 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  -  1 )  e.  RR*  -> -oo  <_  ( Y  -  1 ) )
1210, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ZZ  -> -oo  <_  ( Y  -  1 ) )
137, 122thd 240 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  ( -oo  <  Y  <-> -oo  <_  ( Y  -  1 ) ) )
14 elsni 4057 . . . . . 6  |-  ( X  e.  { -oo }  ->  X  = -oo )
15 breq1 4459 . . . . . . 7  |-  ( X  = -oo  ->  ( X  <  Y  <-> -oo  <  Y
) )
16 breq1 4459 . . . . . . 7  |-  ( X  = -oo  ->  ( X  <_  ( Y  - 
1 )  <-> -oo  <_  ( Y  -  1 ) ) )
1715, 16bibi12d 321 . . . . . 6  |-  ( X  = -oo  ->  (
( X  <  Y  <->  X  <_  ( Y  - 
1 ) )  <->  ( -oo  <  Y  <-> -oo  <_  ( Y  -  1 ) ) ) )
1814, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( X  e.  { -oo }  ->  ( ( X  < 
Y  <->  X  <_  ( Y  -  1 ) )  <-> 
( -oo  <  Y  <-> -oo  <_  ( Y  -  1 ) ) ) )
1913, 18syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  ( X  e.  { -oo }  ->  ( X  <  Y  <->  X  <_  ( Y  - 
1 ) ) ) )
2019impcom 430 . . 3  |-  ( ( X  e.  { -oo }  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( X  < 
Y  <->  X  <_  ( Y  -  1 ) ) )
214, 20jaoian 784 . 2  |-  ( ( ( X  e.  NN0  \/  X  e.  { -oo } )  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( X  <  Y  <->  X  <_  ( Y  -  1 ) ) )
221, 21sylanb 472 1  |-  ( ( X  e.  ( NN0 
u.  { -oo } )  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( X  < 
Y  <->  X  <_  ( Y  -  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    u. cun 3469   {csn 4032   class class class wbr 4456  (class class class)co 6296   RRcr 9508   1c1 9510   -oocmnf 9643   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   NN0cn0 10816   ZZcz 10885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886
This theorem is referenced by:  degltp1le  22598  ply1divex  22662
  Copyright terms: Public domain W3C validator