MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1vscale Structured version   Unicode version

Theorem deg1vscale 22235
Description: The degree of a scalar times a polynomial is at most the degree of the original polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1addle.y  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
deg1addle.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1addle.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
deg1vscale.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
deg1vscale.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
deg1vscale.p  |-  .x.  =  ( .s `  Y )
deg1vscale.f  |-  ( ph  ->  F  e.  K )
deg1vscale.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
Assertion
Ref Expression
deg1vscale  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .x.  G ) )  <_  ( D `  G ) )

Proof of Theorem deg1vscale
StepHypRef Expression
1 eqid 2462 . 2  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
2 deg1addle.d . . 3  |-  D  =  ( deg1  `  R )
32deg1fval 22210 . 2  |-  D  =  ( 1o mDeg  R )
4 1on 7129 . . 3  |-  1o  e.  On
54a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  1o  e.  On )
6 deg1addle.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
7 deg1addle.y . . 3  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
8 eqid 2462 . . 3  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
9 deg1vscale.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Y
)
107, 8, 9ply1bas 18000 . 2  |-  B  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )
11 deg1vscale.k . 2  |-  K  =  ( Base `  R
)
12 deg1vscale.p . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  Y )
137, 1, 12ply1vsca 18033 . 2  |-  .x.  =  ( .s `  ( 1o mPoly  R ) )
14 deg1vscale.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  K )
15 deg1vscale.g . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
161, 3, 5, 6, 10, 11, 13, 14, 15mdegvscale 22205 1  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .x.  G ) )  <_  ( D `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762   class class class wbr 4442   Oncon0 4873   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   1oc1o 7115    <_ cle 9620   Basecbs 14481   .scvsca 14550   Ringcrg 16981   mPoly cmpl 17768  PwSer1cps1 17980  Poly1cpl1 17982   deg1 cdg1 22182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-seq 12066  df-hash 12363  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-sbg 15855  df-subg 15988  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-abl 16592  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-rng 16983  df-cring 16984  df-lmod 17292  df-lss 17357  df-psr 17771  df-mpl 17773  df-opsr 17775  df-psr1 17985  df-ply1 17987  df-cnfld 18187  df-mdeg 22183  df-deg1 22184
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator