Theorem deg1val 23038

Description: Value of the univariate degree as a supremum. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1leb.d	|- D = ( deg1 ` R )
deg1leb.p	|- P = (Poly1 ` R )
deg1leb.b	|- B = ( Base ` P )
deg1leb.y	|- .0. = ( 0g ` R )
deg1leb.a	|- A = (coe1 ` F )

Assertion

Ref	Expression
deg1val	|- ( F e. B -> ( D ` F ) = sup ( ( A supp .0. ) , RR* , < ) )

Proof of Theorem deg1val

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1leb.d	. . . 4 |- D = ( deg1 ` R )
2	1	deg1fval 23022	. . 3 |- D = ( 1o mDeg R )
3		eqid 2450	. . 3 |- ( 1o mPoly R ) = ( 1o mPoly R )
4		deg1leb.p	. . . 4 |- P = (Poly1 ` R )
5		eqid 2450	. . . 4 |- (PwSer1 ` R ) = (PwSer1 ` R )
6		deg1leb.b	. . . 4 |- B = ( Base ` P )
7	4, 5, 6	ply1bas 18781	. . 3 |- B = ( Base ` ( 1o mPoly R ) )
8		deg1leb.y	. . 3 |- .0. = ( 0g ` R )
9		psr1baslem 18771	. . 3 |- ( NN0 ^m 1o ) = { y e. ( NN0 ^m 1o ) | ( `' y " NN ) e. Fin }
10		tdeglem2 23003	. . 3 |- ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) = ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> (ℂfld gsumg x ) )
11	2, 3, 7, 8, 9, 10	mdegval 23005	. 2 |- ( F e. B -> ( D ` F ) = sup ( ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( F supp .0. ) ) , RR* , < ) )
12		fvex 5873	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` R ) e. _V
13	8, 12	eqeltri 2524	. . . . . . . 8 |- .0. e. _V
14		suppimacnv 6922	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. B /\ .0. e. _V ) -> ( F supp .0. ) = ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) )
15	13, 14	mpan2 676	. . . . . . 7 |- ( F e. B -> ( F supp .0. ) = ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) )
16	15	imaeq2d 5167	. . . . . 6 |- ( F e. B -> ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( F supp .0. ) ) = ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) ) )
17		imaco 5339	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F ) " ( _V \ { .0. } ) ) = ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) )
18	16, 17	syl6eqr 2502	. . . . 5 |- ( F e. B -> ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( F supp .0. ) ) = ( ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F ) " ( _V \ { .0. } ) ) )
19		deg1leb.a	. . . . . . . . 9 |- A = (coe1 ` F )
20		df1o2 7191	. . . . . . . . . 10 |- 1o = { (/) }
21		nn0ex 10872	. . . . . . . . . 10 |- NN0 e. _V
22		0ex 4534	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. _V
23		eqid 2450	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) = ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) )
24	20, 21, 22, 23	mapsncnv 7515	. . . . . . . . 9 |- `' ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) = ( y e. NN0 |-> ( 1o X. { y } ) )
25	19, 6, 4, 24	coe1fval2 18796	. . . . . . . 8 |- ( F e. B -> A = ( F o. `' ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) ) )
26	25	cnveqd 5009	. . . . . . 7 |- ( F e. B -> `' A = `' ( F o. `' ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) ) )
27		cnvco 5019	. . . . . . . 8 |- `' ( F o. `' ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) ) = ( `' `' ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F )
28		cocnvcnv1 5345	. . . . . . . 8 |- ( `' `' ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F ) = ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F )
29	27, 28	eqtri 2472	. . . . . . 7 |- `' ( F o. `' ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) ) = ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F )
30	26, 29	syl6req 2501	. . . . . 6 |- ( F e. B -> ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F ) = `' A )
31	30	imaeq1d 5166	. . . . 5 |- ( F e. B -> ( ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F ) " ( _V \ { .0. } ) ) = ( `' A " ( _V \ { .0. } ) ) )
32	18, 31	eqtrd 2484	. . . 4 |- ( F e. B -> ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( F supp .0. ) ) = ( `' A " ( _V \ { .0. } ) ) )
33		fvex 5873	. . . . . 6 |- (coe1 ` F ) e. _V
34	19, 33	eqeltri 2524	. . . . 5 |- A e. _V
35		suppimacnv 6922	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ .0. e. _V ) -> ( A supp .0. ) = ( `' A " ( _V \ { .0. } ) ) )
36	35	eqcomd 2456	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ .0. e. _V ) -> ( `' A " ( _V \ { .0. } ) ) = ( A supp .0. ) )
37	34, 13, 36	mp2an 677	. . . 4 |- ( `' A " ( _V \ { .0. } ) ) = ( A supp .0. )
38	32, 37	syl6eq 2500	. . 3 |- ( F e. B -> ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( F supp .0. ) ) = ( A supp .0. ) )
39	38	supeq1d 7957	. 2 |- ( F e. B -> sup ( ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( F supp .0. ) ) , RR* , < ) = sup ( ( A supp .0. ) , RR* , < ) )
40	11, 39	eqtrd 2484	1 |- ( F e. B -> ( D ` F ) = sup ( ( A supp .0. ) , RR* , < ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   _Vcvv 3044   \ cdif 3400   (/)c0 3730   {csn 3967   |-> cmpt 4460   `'ccnv 4832   "cima 4836   o. ccom 4837   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   supp csupp 6911   1oc1o 7172   ^m cmap 7469   supcsup 7951   RR*cxr 9671   < clt 9672   NN0cn0 10866   Basecbs 15114   0gc0g 15331   mPoly cmpl 18570  PwSer₁cps1 18761  Poly₁cpl1 18763  coe₁cco1 18764   deg₁ cdg1 22996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-addf 9615  ax-mulf 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-sup 7953  df-oi 8022  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-hash 12513  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-grp 16666  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-mgp 17717  df-ring 17775  df-cring 17776  df-psr 18573  df-mpl 18575  df-opsr 18577  df-psr1 18766  df-ply1 18768  df-coe1 18769  df-cnfld 18964  df-mdeg 22997  df-deg1 22998

This theorem is referenced by:  deg1mul3  23057  deg1mul3le  23058