Theorem deg1val 23124

Description: Value of the univariate degree as a supremum. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1leb.d	|- D = ( deg1 ` R )
deg1leb.p	|- P = (Poly1 ` R )
deg1leb.b	|- B = ( Base ` P )
deg1leb.y	|- .0. = ( 0g ` R )
deg1leb.a	|- A = (coe1 ` F )

Assertion

Ref	Expression
deg1val	|- ( F e. B -> ( D ` F ) = sup ( ( A supp .0. ) , RR* , < ) )

Proof of Theorem deg1val

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1leb.d	. . . 4 |- D = ( deg1 ` R )
2	1	deg1fval 23108	. . 3 |- D = ( 1o mDeg R )
3		eqid 2471	. . 3 |- ( 1o mPoly R ) = ( 1o mPoly R )
4		deg1leb.p	. . . 4 |- P = (Poly1 ` R )
5		eqid 2471	. . . 4 |- (PwSer1 ` R ) = (PwSer1 ` R )
6		deg1leb.b	. . . 4 |- B = ( Base ` P )
7	4, 5, 6	ply1bas 18865	. . 3 |- B = ( Base ` ( 1o mPoly R ) )
8		deg1leb.y	. . 3 |- .0. = ( 0g ` R )
9		psr1baslem 18855	. . 3 |- ( NN0 ^m 1o ) = { y e. ( NN0 ^m 1o ) | ( `' y " NN ) e. Fin }
10		tdeglem2 23089	. . 3 |- ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) = ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> (ℂfld gsumg x ) )
11	2, 3, 7, 8, 9, 10	mdegval 23091	. 2 |- ( F e. B -> ( D ` F ) = sup ( ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( F supp .0. ) ) , RR* , < ) )
12		fvex 5889	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` R ) e. _V
13	8, 12	eqeltri 2545	. . . . . . . 8 |- .0. e. _V
14		suppimacnv 6944	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. B /\ .0. e. _V ) -> ( F supp .0. ) = ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) )
15	13, 14	mpan2 685	. . . . . . 7 |- ( F e. B -> ( F supp .0. ) = ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) )
16	15	imaeq2d 5174	. . . . . 6 |- ( F e. B -> ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( F supp .0. ) ) = ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) ) )
17		imaco 5347	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F ) " ( _V \ { .0. } ) ) = ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) )
18	16, 17	syl6eqr 2523	. . . . 5 |- ( F e. B -> ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( F supp .0. ) ) = ( ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F ) " ( _V \ { .0. } ) ) )
19		deg1leb.a	. . . . . . . . 9 |- A = (coe1 ` F )
20		df1o2 7212	. . . . . . . . . 10 |- 1o = { (/) }
21		nn0ex 10899	. . . . . . . . . 10 |- NN0 e. _V
22		0ex 4528	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. _V
23		eqid 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) = ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) )
24	20, 21, 22, 23	mapsncnv 7536	. . . . . . . . 9 |- `' ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) = ( y e. NN0 |-> ( 1o X. { y } ) )
25	19, 6, 4, 24	coe1fval2 18880	. . . . . . . 8 |- ( F e. B -> A = ( F o. `' ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) ) )
26	25	cnveqd 5015	. . . . . . 7 |- ( F e. B -> `' A = `' ( F o. `' ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) ) )
27		cnvco 5025	. . . . . . . 8 |- `' ( F o. `' ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) ) = ( `' `' ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F )
28		cocnvcnv1 5353	. . . . . . . 8 |- ( `' `' ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F ) = ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F )
29	27, 28	eqtri 2493	. . . . . . 7 |- `' ( F o. `' ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) ) = ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F )
30	26, 29	syl6req 2522	. . . . . 6 |- ( F e. B -> ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F ) = `' A )
31	30	imaeq1d 5173	. . . . 5 |- ( F e. B -> ( ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F ) " ( _V \ { .0. } ) ) = ( `' A " ( _V \ { .0. } ) ) )
32	18, 31	eqtrd 2505	. . . 4 |- ( F e. B -> ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( F supp .0. ) ) = ( `' A " ( _V \ { .0. } ) ) )
33		fvex 5889	. . . . . 6 |- (coe1 ` F ) e. _V
34	19, 33	eqeltri 2545	. . . . 5 |- A e. _V
35		suppimacnv 6944	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ .0. e. _V ) -> ( A supp .0. ) = ( `' A " ( _V \ { .0. } ) ) )
36	35	eqcomd 2477	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ .0. e. _V ) -> ( `' A " ( _V \ { .0. } ) ) = ( A supp .0. ) )
37	34, 13, 36	mp2an 686	. . . 4 |- ( `' A " ( _V \ { .0. } ) ) = ( A supp .0. )
38	32, 37	syl6eq 2521	. . 3 |- ( F e. B -> ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( F supp .0. ) ) = ( A supp .0. ) )
39	38	supeq1d 7978	. 2 |- ( F e. B -> sup ( ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( F supp .0. ) ) , RR* , < ) = sup ( ( A supp .0. ) , RR* , < ) )
40	11, 39	eqtrd 2505	1 |- ( F e. B -> ( D ` F ) = sup ( ( A supp .0. ) , RR* , < ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   (/)c0 3722   {csn 3959   |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   "cima 4842   o. ccom 4843   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   supp csupp 6933   1oc1o 7193   ^m cmap 7490   supcsup 7972   RR*cxr 9692   < clt 9693   NN0cn0 10893   Basecbs 15199   0gc0g 15416   mPoly cmpl 18654  PwSer₁cps1 18845  Poly₁cpl1 18847  coe₁cco1 18848   deg₁ cdg1 23082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-mgp 17802  df-ring 17860  df-cring 17861  df-psr 18657  df-mpl 18659  df-opsr 18661  df-psr1 18850  df-ply1 18852  df-coe1 18853  df-cnfld 19048  df-mdeg 23083  df-deg1 23084

This theorem is referenced by:  deg1mul3  23143  deg1mul3le  23144