MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1val Structured version   Unicode version

Theorem deg1val 22939
Description: Value of the univariate degree as a supremum. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1leb.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1leb.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1leb.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
deg1leb.y  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
deg1leb.a  |-  A  =  (coe1 `  F )
Assertion
Ref Expression
deg1val  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  =  sup ( ( A supp 
.0.  ) ,  RR* ,  <  ) )

Proof of Theorem deg1val
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1leb.d . . . 4  |-  D  =  ( deg1  `  R )
21deg1fval 22923 . . 3  |-  D  =  ( 1o mDeg  R )
3 eqid 2420 . . 3  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
4 deg1leb.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
5 eqid 2420 . . . 4  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
6 deg1leb.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
74, 5, 6ply1bas 18716 . . 3  |-  B  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )
8 deg1leb.y . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
9 psr1baslem 18706 . . 3  |-  ( NN0 
^m  1o )  =  { y  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin }
10 tdeglem2 22904 . . 3  |-  ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `
 (/) ) )  =  ( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  (fld 
gsumg  x ) )
112, 3, 7, 8, 9, 10mdegval 22906 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  =  sup ( ( ( x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) )
" ( F supp  .0.  ) ) ,  RR* ,  <  ) )
12 fvex 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
138, 12eqeltri 2504 . . . . . . . 8  |-  .0.  e.  _V
14 suppimacnv 6927 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  B  /\  .0.  e.  _V )  -> 
( F supp  .0.  )  =  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )
1513, 14mpan2 675 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  B  ->  ( F supp  .0.  )  =  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
1615imaeq2d 5179 . . . . . 6  |-  ( F  e.  B  ->  (
( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )
" ( F supp  .0.  ) )  =  ( ( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )
" ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
17 imaco 5351 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )  o.  `' F )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  =  ( ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `
 (/) ) ) "
( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )
1816, 17syl6eqr 2479 . . . . 5  |-  ( F  e.  B  ->  (
( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )
" ( F supp  .0.  ) )  =  ( ( ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) )  o.  `' F ) " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )
19 deg1leb.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  (coe1 `  F )
20 df1o2 7193 . . . . . . . . . 10  |-  1o  =  { (/) }
21 nn0ex 10864 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  e.  _V
22 0ex 4548 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  _V
23 eqid 2420 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `
 (/) ) )  =  ( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )
2420, 21, 22, 23mapsncnv 7517 . . . . . . . . 9  |-  `' ( x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) )  =  ( y  e. 
NN0  |->  ( 1o  X.  { y } ) )
2519, 6, 4, 24coe1fval2 18731 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  B  ->  A  =  ( F  o.  `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) ) )
2625cnveqd 5021 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  B  ->  `' A  =  `' ( F  o.  `' (
x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) ) )
27 cnvco 5031 . . . . . . . 8  |-  `' ( F  o.  `' ( x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) )  =  ( `' `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) )  o.  `' F )
28 cocnvcnv1 5357 . . . . . . . 8  |-  ( `' `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) )  o.  `' F )  =  ( ( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )  o.  `' F )
2927, 28eqtri 2449 . . . . . . 7  |-  `' ( F  o.  `' ( x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) )  =  ( ( x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) )  o.  `' F )
3026, 29syl6req 2478 . . . . . 6  |-  ( F  e.  B  ->  (
( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )  o.  `' F )  =  `' A )
3130imaeq1d 5178 . . . . 5  |-  ( F  e.  B  ->  (
( ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) )  o.  `' F ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  =  ( `' A " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
3218, 31eqtrd 2461 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  (
( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )
" ( F supp  .0.  ) )  =  ( `' A " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
33 fvex 5882 . . . . . 6  |-  (coe1 `  F
)  e.  _V
3419, 33eqeltri 2504 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
35 suppimacnv 6927 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  .0.  e.  _V )  -> 
( A supp  .0.  )  =  ( `' A " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )
3635eqcomd 2428 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  .0.  e.  _V )  -> 
( `' A "
( _V  \  {  .0.  } ) )  =  ( A supp  .0.  )
)
3734, 13, 36mp2an 676 . . . 4  |-  ( `' A " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  =  ( A supp  .0.  )
3832, 37syl6eq 2477 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  (
( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )
" ( F supp  .0.  ) )  =  ( A supp  .0.  ) )
3938supeq1d 7957 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  sup ( ( ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `
 (/) ) ) "
( F supp  .0.  )
) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ( A supp  .0.  ) ,  RR* ,  <  ) )
4011, 39eqtrd 2461 1  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  =  sup ( ( A supp 
.0.  ) ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   _Vcvv 3078    \ cdif 3430   (/)c0 3758   {csn 3993    |-> cmpt 4475   `'ccnv 4844   "cima 4848    o. ccom 4849   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   supp csupp 6916   1oc1o 7174    ^m cmap 7471   supcsup 7951   RR*cxr 9663    < clt 9664   NN0cn0 10858   Basecbs 15073   0gc0g 15290   mPoly cmpl 18505  PwSer1cps1 18696  Poly1cpl1 18698  coe1cco1 18699   deg1 cdg1 22897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-addf 9607  ax-mulf 9608
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6917  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fsupp 7881  df-sup 7953  df-oi 8016  df-card 8363  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-seq 12200  df-hash 12502  df-struct 15075  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-sets 15079  df-ress 15080  df-plusg 15155  df-mulr 15156  df-starv 15157  df-sca 15158  df-vsca 15159  df-tset 15161  df-ple 15162  df-ds 15164  df-unif 15165  df-0g 15292  df-gsum 15293  df-mgm 16432  df-sgrp 16471  df-mnd 16481  df-grp 16617  df-mulg 16620  df-cntz 16915  df-cmn 17360  df-mgp 17652  df-ring 17710  df-cring 17711  df-psr 18508  df-mpl 18510  df-opsr 18512  df-psr1 18701  df-ply1 18703  df-coe1 18704  df-cnfld 18899  df-mdeg 22898  df-deg1 22899
This theorem is referenced by:  deg1mul3  22958  deg1mul3le  22959
  Copyright terms: Public domain W3C validator