Theorem deg1val 22259

Description: Value of the univariate degree as a supremum. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1leb.d	|- D = ( deg1 ` R )
deg1leb.p	|- P = (Poly1 ` R )
deg1leb.b	|- B = ( Base ` P )
deg1leb.y	|- .0. = ( 0g ` R )
deg1leb.a	|- A = (coe1 ` F )

Assertion

Ref	Expression
deg1val	|- ( F e. B -> ( D ` F ) = sup ( ( A supp .0. ) , RR* , < ) )

Proof of Theorem deg1val

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1leb.d	. . . 4 |- D = ( deg1 ` R )
2	1	deg1fval 22243	. . 3 |- D = ( 1o mDeg R )
3		eqid 2467	. . 3 |- ( 1o mPoly R ) = ( 1o mPoly R )
4		deg1leb.p	. . . 4 |- P = (Poly1 ` R )
5		eqid 2467	. . . 4 |- (PwSer1 ` R ) = (PwSer1 ` R )
6		deg1leb.b	. . . 4 |- B = ( Base ` P )
7	4, 5, 6	ply1bas 18033	. . 3 |- B = ( Base ` ( 1o mPoly R ) )
8		deg1leb.y	. . 3 |- .0. = ( 0g ` R )
9		psr1baslem 18023	. . 3 |- ( NN0 ^m 1o ) = { y e. ( NN0 ^m 1o ) | ( `' y " NN ) e. Fin }
10		tdeglem2 22222	. . 3 |- ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) = ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> (ℂfld gsumg x ) )
11	2, 3, 7, 8, 9, 10	mdegval 22225	. 2 |- ( F e. B -> ( D ` F ) = sup ( ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( F supp .0. ) ) , RR* , < ) )
12		fvex 5876	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` R ) e. _V
13	8, 12	eqeltri 2551	. . . . . . . 8 |- .0. e. _V
14		suppimacnv 6912	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. B /\ .0. e. _V ) -> ( F supp .0. ) = ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) )
15	13, 14	mpan2 671	. . . . . . 7 |- ( F e. B -> ( F supp .0. ) = ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) )
16	15	imaeq2d 5337	. . . . . 6 |- ( F e. B -> ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( F supp .0. ) ) = ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) ) )
17		imaco 5512	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F ) " ( _V \ { .0. } ) ) = ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) )
18	16, 17	syl6eqr 2526	. . . . 5 |- ( F e. B -> ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( F supp .0. ) ) = ( ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F ) " ( _V \ { .0. } ) ) )
19		deg1leb.a	. . . . . . . . 9 |- A = (coe1 ` F )
20		df1o2 7142	. . . . . . . . . 10 |- 1o = { (/) }
21		nn0ex 10801	. . . . . . . . . 10 |- NN0 e. _V
22		0ex 4577	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. _V
23		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) = ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) )
24	20, 21, 22, 23	mapsncnv 7465	. . . . . . . . 9 |- `' ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) = ( y e. NN0 |-> ( 1o X. { y } ) )
25	19, 6, 4, 24	coe1fval2 18048	. . . . . . . 8 |- ( F e. B -> A = ( F o. `' ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) ) )
26	25	cnveqd 5178	. . . . . . 7 |- ( F e. B -> `' A = `' ( F o. `' ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) ) )
27		cnvco 5188	. . . . . . . 8 |- `' ( F o. `' ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) ) = ( `' `' ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F )
28		cocnvcnv1 5518	. . . . . . . 8 |- ( `' `' ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F ) = ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F )
29	27, 28	eqtri 2496	. . . . . . 7 |- `' ( F o. `' ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) ) = ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F )
30	26, 29	syl6req 2525	. . . . . 6 |- ( F e. B -> ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F ) = `' A )
31	30	imaeq1d 5336	. . . . 5 |- ( F e. B -> ( ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F ) " ( _V \ { .0. } ) ) = ( `' A " ( _V \ { .0. } ) ) )
32	18, 31	eqtrd 2508	. . . 4 |- ( F e. B -> ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( F supp .0. ) ) = ( `' A " ( _V \ { .0. } ) ) )
33		fvex 5876	. . . . . 6 |- (coe1 ` F ) e. _V
34	19, 33	eqeltri 2551	. . . . 5 |- A e. _V
35		suppimacnv 6912	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ .0. e. _V ) -> ( A supp .0. ) = ( `' A " ( _V \ { .0. } ) ) )
36	35	eqcomd 2475	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ .0. e. _V ) -> ( `' A " ( _V \ { .0. } ) ) = ( A supp .0. ) )
37	34, 13, 36	mp2an 672	. . . 4 |- ( `' A " ( _V \ { .0. } ) ) = ( A supp .0. )
38	32, 37	syl6eq 2524	. . 3 |- ( F e. B -> ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( F supp .0. ) ) = ( A supp .0. ) )
39	38	supeq1d 7906	. 2 |- ( F e. B -> sup ( ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( F supp .0. ) ) , RR* , < ) = sup ( ( A supp .0. ) , RR* , < ) )
40	11, 39	eqtrd 2508	1 |- ( F e. B -> ( D ` F ) = sup ( ( A supp .0. ) , RR* , < ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   (/)c0 3785   {csn 4027   |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   "cima 5002   o. ccom 5003   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   supp csupp 6901   1oc1o 7123   ^m cmap 7420   supcsup 7900   RR*cxr 9627   < clt 9628   NN0cn0 10795   Basecbs 14490   0gc0g 14695   mPoly cmpl 17801  PwSer₁cps1 18013  Poly₁cpl1 18015  coe₁cco1 18016   deg₁ cdg1 22215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-addf 9571  ax-mulf 9572

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-hash 12374  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-mgp 16944  df-rng 17002  df-cring 17003  df-psr 17804  df-mpl 17806  df-opsr 17808  df-psr1 18018  df-ply1 18020  df-coe1 18021  df-cnfld 18220  df-mdeg 22216  df-deg1 22217

This theorem is referenced by:  deg1mul3  22279  deg1mul3le  22280