MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1val Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem deg1val 23124
Description: Value of the univariate degree as a supremum. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1leb.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1leb.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1leb.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
deg1leb.y  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
deg1leb.a  |-  A  =  (coe1 `  F )
Assertion
Ref Expression
deg1val  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  =  sup ( ( A supp 
.0.  ) ,  RR* ,  <  ) )

Proof of Theorem deg1val
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1leb.d . . . 4  |-  D  =  ( deg1  `  R )
21deg1fval 23108 . . 3  |-  D  =  ( 1o mDeg  R )
3 eqid 2471 . . 3  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
4 deg1leb.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
5 eqid 2471 . . . 4  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
6 deg1leb.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
74, 5, 6ply1bas 18865 . . 3  |-  B  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )
8 deg1leb.y . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
9 psr1baslem 18855 . . 3  |-  ( NN0 
^m  1o )  =  { y  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin }
10 tdeglem2 23089 . . 3  |-  ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `
 (/) ) )  =  ( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  (fld 
gsumg  x ) )
112, 3, 7, 8, 9, 10mdegval 23091 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  =  sup ( ( ( x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) )
" ( F supp  .0.  ) ) ,  RR* ,  <  ) )
12 fvex 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
138, 12eqeltri 2545 . . . . . . . 8  |-  .0.  e.  _V
14 suppimacnv 6944 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  B  /\  .0.  e.  _V )  -> 
( F supp  .0.  )  =  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )
1513, 14mpan2 685 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  B  ->  ( F supp  .0.  )  =  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
1615imaeq2d 5174 . . . . . 6  |-  ( F  e.  B  ->  (
( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )
" ( F supp  .0.  ) )  =  ( ( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )
" ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
17 imaco 5347 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )  o.  `' F )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  =  ( ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `
 (/) ) ) "
( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )
1816, 17syl6eqr 2523 . . . . 5  |-  ( F  e.  B  ->  (
( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )
" ( F supp  .0.  ) )  =  ( ( ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) )  o.  `' F ) " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )
19 deg1leb.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  (coe1 `  F )
20 df1o2 7212 . . . . . . . . . 10  |-  1o  =  { (/) }
21 nn0ex 10899 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  e.  _V
22 0ex 4528 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  _V
23 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `
 (/) ) )  =  ( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )
2420, 21, 22, 23mapsncnv 7536 . . . . . . . . 9  |-  `' ( x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) )  =  ( y  e. 
NN0  |->  ( 1o  X.  { y } ) )
2519, 6, 4, 24coe1fval2 18880 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  B  ->  A  =  ( F  o.  `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) ) )
2625cnveqd 5015 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  B  ->  `' A  =  `' ( F  o.  `' (
x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) ) )
27 cnvco 5025 . . . . . . . 8  |-  `' ( F  o.  `' ( x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) )  =  ( `' `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) )  o.  `' F )
28 cocnvcnv1 5353 . . . . . . . 8  |-  ( `' `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) )  o.  `' F )  =  ( ( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )  o.  `' F )
2927, 28eqtri 2493 . . . . . . 7  |-  `' ( F  o.  `' ( x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) )  =  ( ( x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) )  o.  `' F )
3026, 29syl6req 2522 . . . . . 6  |-  ( F  e.  B  ->  (
( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )  o.  `' F )  =  `' A )
3130imaeq1d 5173 . . . . 5  |-  ( F  e.  B  ->  (
( ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) )  o.  `' F ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  =  ( `' A " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
3218, 31eqtrd 2505 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  (
( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )
" ( F supp  .0.  ) )  =  ( `' A " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
33 fvex 5889 . . . . . 6  |-  (coe1 `  F
)  e.  _V
3419, 33eqeltri 2545 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
35 suppimacnv 6944 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  .0.  e.  _V )  -> 
( A supp  .0.  )  =  ( `' A " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )
3635eqcomd 2477 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  .0.  e.  _V )  -> 
( `' A "
( _V  \  {  .0.  } ) )  =  ( A supp  .0.  )
)
3734, 13, 36mp2an 686 . . . 4  |-  ( `' A " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  =  ( A supp  .0.  )
3832, 37syl6eq 2521 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  (
( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )
" ( F supp  .0.  ) )  =  ( A supp  .0.  ) )
3938supeq1d 7978 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  sup ( ( ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `
 (/) ) ) "
( F supp  .0.  )
) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ( A supp  .0.  ) ,  RR* ,  <  ) )
4011, 39eqtrd 2505 1  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  =  sup ( ( A supp 
.0.  ) ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031    \ cdif 3387   (/)c0 3722   {csn 3959    |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   "cima 4842    o. ccom 4843   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   supp csupp 6933   1oc1o 7193    ^m cmap 7490   supcsup 7972   RR*cxr 9692    < clt 9693   NN0cn0 10893   Basecbs 15199   0gc0g 15416   mPoly cmpl 18654  PwSer1cps1 18845  Poly1cpl1 18847  coe1cco1 18848   deg1 cdg1 23082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-mgp 17802  df-ring 17860  df-cring 17861  df-psr 18657  df-mpl 18659  df-opsr 18661  df-psr1 18850  df-ply1 18852  df-coe1 18853  df-cnfld 19048  df-mdeg 23083  df-deg1 23084
This theorem is referenced by:  deg1mul3  23143  deg1mul3le  23144
  Copyright terms: Public domain W3C validator