Theorem deg1val 21579

Description: Value of the univariate degree as a supremum. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1leb.d	|- D = ( deg1 ` R )
deg1leb.p	|- P = (Poly1 ` R )
deg1leb.b	|- B = ( Base ` P )
deg1leb.y	|- .0. = ( 0g ` R )
deg1leb.a	|- A = (coe1 ` F )

Assertion

Ref	Expression
deg1val	|- ( F e. B -> ( D ` F ) = sup ( ( A supp .0. ) , RR* , < ) )

Proof of Theorem deg1val

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1leb.d	. . . 4 |- D = ( deg1 ` R )
2	1	deg1fval 21563	. . 3 |- D = ( 1o mDeg R )
3		eqid 2443	. . 3 |- ( 1o mPoly R ) = ( 1o mPoly R )
4		deg1leb.p	. . . 4 |- P = (Poly1 ` R )
5		eqid 2443	. . . 4 |- (PwSer1 ` R ) = (PwSer1 ` R )
6		deg1leb.b	. . . 4 |- B = ( Base ` P )
7	4, 5, 6	ply1bas 17663	. . 3 |- B = ( Base ` ( 1o mPoly R ) )
8		deg1leb.y	. . 3 |- .0. = ( 0g ` R )
9		psr1baslem 17653	. . 3 |- ( NN0 ^m 1o ) = { y e. ( NN0 ^m 1o ) | ( `' y " NN ) e. Fin }
10		tdeglem2 21542	. . 3 |- ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) = ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> (ℂfld gsumg x ) )
11	2, 3, 7, 8, 9, 10	mdegval 21545	. 2 |- ( F e. B -> ( D ` F ) = sup ( ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( F supp .0. ) ) , RR* , < ) )
12		fvex 5713	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` R ) e. _V
13	8, 12	eqeltri 2513	. . . . . . . 8 |- .0. e. _V
14		suppimacnv 6713	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. B /\ .0. e. _V ) -> ( F supp .0. ) = ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) )
15	13, 14	mpan2 671	. . . . . . 7 |- ( F e. B -> ( F supp .0. ) = ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) )
16	15	imaeq2d 5181	. . . . . 6 |- ( F e. B -> ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( F supp .0. ) ) = ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) ) )
17		imaco 5355	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F ) " ( _V \ { .0. } ) ) = ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) )
18	16, 17	syl6eqr 2493	. . . . 5 |- ( F e. B -> ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( F supp .0. ) ) = ( ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F ) " ( _V \ { .0. } ) ) )
19		deg1leb.a	. . . . . . . . 9 |- A = (coe1 ` F )
20		df1o2 6944	. . . . . . . . . 10 |- 1o = { (/) }
21		nn0ex 10597	. . . . . . . . . 10 |- NN0 e. _V
22		0ex 4434	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. _V
23		eqid 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) = ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) )
24	20, 21, 22, 23	mapsncnv 7271	. . . . . . . . 9 |- `' ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) = ( y e. NN0 |-> ( 1o X. { y } ) )
25	19, 6, 4, 24	coe1fval2 17678	. . . . . . . 8 |- ( F e. B -> A = ( F o. `' ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) ) )
26	25	cnveqd 5027	. . . . . . 7 |- ( F e. B -> `' A = `' ( F o. `' ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) ) )
27		cnvco 5037	. . . . . . . 8 |- `' ( F o. `' ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) ) = ( `' `' ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F )
28		cocnvcnv1 5360	. . . . . . . 8 |- ( `' `' ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F ) = ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F )
29	27, 28	eqtri 2463	. . . . . . 7 |- `' ( F o. `' ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) ) = ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F )
30	26, 29	syl6req 2492	. . . . . 6 |- ( F e. B -> ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F ) = `' A )
31	30	imaeq1d 5180	. . . . 5 |- ( F e. B -> ( ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F ) " ( _V \ { .0. } ) ) = ( `' A " ( _V \ { .0. } ) ) )
32	18, 31	eqtrd 2475	. . . 4 |- ( F e. B -> ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( F supp .0. ) ) = ( `' A " ( _V \ { .0. } ) ) )
33		fvex 5713	. . . . . 6 |- (coe1 ` F ) e. _V
34	19, 33	eqeltri 2513	. . . . 5 |- A e. _V
35		suppimacnv 6713	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ .0. e. _V ) -> ( A supp .0. ) = ( `' A " ( _V \ { .0. } ) ) )
36	35	eqcomd 2448	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ .0. e. _V ) -> ( `' A " ( _V \ { .0. } ) ) = ( A supp .0. ) )
37	34, 13, 36	mp2an 672	. . . 4 |- ( `' A " ( _V \ { .0. } ) ) = ( A supp .0. )
38	32, 37	syl6eq 2491	. . 3 |- ( F e. B -> ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( F supp .0. ) ) = ( A supp .0. ) )
39	38	supeq1d 7708	. 2 |- ( F e. B -> sup ( ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( F supp .0. ) ) , RR* , < ) = sup ( ( A supp .0. ) , RR* , < ) )
40	11, 39	eqtrd 2475	1 |- ( F e. B -> ( D ` F ) = sup ( ( A supp .0. ) , RR* , < ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   _Vcvv 2984   \ cdif 3337   (/)c0 3649   {csn 3889   e. cmpt 4362   `'ccnv 4851   "cima 4855   o. ccom 4856   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   supp csupp 6702   1oc1o 6925   ^m cmap 7226   supcsup 7702   RR*cxr 9429   < clt 9430   NN0cn0 10591   Basecbs 14186   0gc0g 14390   mPoly cmpl 17432  PwSer₁cps1 17643  Poly₁cpl1 17645  coe₁cco1 17646   deg₁ cdg1 21535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-addf 9373  ax-mulf 9374

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-seq 11819  df-hash 12116  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-starv 14265  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-unif 14273  df-0g 14392  df-gsum 14393  df-mnd 15427  df-grp 15557  df-mulg 15560  df-cntz 15847  df-cmn 16291  df-mgp 16604  df-rng 16659  df-cring 16660  df-psr 17435  df-mpl 17437  df-opsr 17439  df-psr1 17648  df-ply1 17650  df-coe1 17651  df-cnfld 17831  df-mdeg 21536  df-deg1 21537

This theorem is referenced by:  deg1mul3  21599  deg1mul3le  21600