Theorem deg1val 22939

Description: Value of the univariate degree as a supremum. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1leb.d	|- D = ( deg1 ` R )
deg1leb.p	|- P = (Poly1 ` R )
deg1leb.b	|- B = ( Base ` P )
deg1leb.y	|- .0. = ( 0g ` R )
deg1leb.a	|- A = (coe1 ` F )

Assertion

Ref	Expression
deg1val	|- ( F e. B -> ( D ` F ) = sup ( ( A supp .0. ) , RR* , < ) )

Proof of Theorem deg1val

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1leb.d	. . . 4 |- D = ( deg1 ` R )
2	1	deg1fval 22923	. . 3 |- D = ( 1o mDeg R )
3		eqid 2420	. . 3 |- ( 1o mPoly R ) = ( 1o mPoly R )
4		deg1leb.p	. . . 4 |- P = (Poly1 ` R )
5		eqid 2420	. . . 4 |- (PwSer1 ` R ) = (PwSer1 ` R )
6		deg1leb.b	. . . 4 |- B = ( Base ` P )
7	4, 5, 6	ply1bas 18716	. . 3 |- B = ( Base ` ( 1o mPoly R ) )
8		deg1leb.y	. . 3 |- .0. = ( 0g ` R )
9		psr1baslem 18706	. . 3 |- ( NN0 ^m 1o ) = { y e. ( NN0 ^m 1o ) | ( `' y " NN ) e. Fin }
10		tdeglem2 22904	. . 3 |- ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) = ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> (ℂfld gsumg x ) )
11	2, 3, 7, 8, 9, 10	mdegval 22906	. 2 |- ( F e. B -> ( D ` F ) = sup ( ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( F supp .0. ) ) , RR* , < ) )
12		fvex 5882	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` R ) e. _V
13	8, 12	eqeltri 2504	. . . . . . . 8 |- .0. e. _V
14		suppimacnv 6927	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. B /\ .0. e. _V ) -> ( F supp .0. ) = ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) )
15	13, 14	mpan2 675	. . . . . . 7 |- ( F e. B -> ( F supp .0. ) = ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) )
16	15	imaeq2d 5179	. . . . . 6 |- ( F e. B -> ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( F supp .0. ) ) = ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) ) )
17		imaco 5351	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F ) " ( _V \ { .0. } ) ) = ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) )
18	16, 17	syl6eqr 2479	. . . . 5 |- ( F e. B -> ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( F supp .0. ) ) = ( ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F ) " ( _V \ { .0. } ) ) )
19		deg1leb.a	. . . . . . . . 9 |- A = (coe1 ` F )
20		df1o2 7193	. . . . . . . . . 10 |- 1o = { (/) }
21		nn0ex 10864	. . . . . . . . . 10 |- NN0 e. _V
22		0ex 4548	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. _V
23		eqid 2420	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) = ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) )
24	20, 21, 22, 23	mapsncnv 7517	. . . . . . . . 9 |- `' ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) = ( y e. NN0 |-> ( 1o X. { y } ) )
25	19, 6, 4, 24	coe1fval2 18731	. . . . . . . 8 |- ( F e. B -> A = ( F o. `' ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) ) )
26	25	cnveqd 5021	. . . . . . 7 |- ( F e. B -> `' A = `' ( F o. `' ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) ) )
27		cnvco 5031	. . . . . . . 8 |- `' ( F o. `' ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) ) = ( `' `' ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F )
28		cocnvcnv1 5357	. . . . . . . 8 |- ( `' `' ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F ) = ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F )
29	27, 28	eqtri 2449	. . . . . . 7 |- `' ( F o. `' ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) ) = ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F )
30	26, 29	syl6req 2478	. . . . . 6 |- ( F e. B -> ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F ) = `' A )
31	30	imaeq1d 5178	. . . . 5 |- ( F e. B -> ( ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) o. `' F ) " ( _V \ { .0. } ) ) = ( `' A " ( _V \ { .0. } ) ) )
32	18, 31	eqtrd 2461	. . . 4 |- ( F e. B -> ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( F supp .0. ) ) = ( `' A " ( _V \ { .0. } ) ) )
33		fvex 5882	. . . . . 6 |- (coe1 ` F ) e. _V
34	19, 33	eqeltri 2504	. . . . 5 |- A e. _V
35		suppimacnv 6927	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ .0. e. _V ) -> ( A supp .0. ) = ( `' A " ( _V \ { .0. } ) ) )
36	35	eqcomd 2428	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ .0. e. _V ) -> ( `' A " ( _V \ { .0. } ) ) = ( A supp .0. ) )
37	34, 13, 36	mp2an 676	. . . 4 |- ( `' A " ( _V \ { .0. } ) ) = ( A supp .0. )
38	32, 37	syl6eq 2477	. . 3 |- ( F e. B -> ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( F supp .0. ) ) = ( A supp .0. ) )
39	38	supeq1d 7957	. 2 |- ( F e. B -> sup ( ( ( x e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( x ` (/) ) ) " ( F supp .0. ) ) , RR* , < ) = sup ( ( A supp .0. ) , RR* , < ) )
40	11, 39	eqtrd 2461	1 |- ( F e. B -> ( D ` F ) = sup ( ( A supp .0. ) , RR* , < ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1867   _Vcvv 3078   \ cdif 3430   (/)c0 3758   {csn 3993   |-> cmpt 4475   `'ccnv 4844   "cima 4848   o. ccom 4849   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   supp csupp 6916   1oc1o 7174   ^m cmap 7471   supcsup 7951   RR*cxr 9663   < clt 9664   NN0cn0 10858   Basecbs 15073   0gc0g 15290   mPoly cmpl 18505  PwSer₁cps1 18696  Poly₁cpl1 18698  coe₁cco1 18699   deg₁ cdg1 22897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-addf 9607  ax-mulf 9608

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6917  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fsupp 7881  df-sup 7953  df-oi 8016  df-card 8363  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-seq 12200  df-hash 12502  df-struct 15075  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-sets 15079  df-ress 15080  df-plusg 15155  df-mulr 15156  df-starv 15157  df-sca 15158  df-vsca 15159  df-tset 15161  df-ple 15162  df-ds 15164  df-unif 15165  df-0g 15292  df-gsum 15293  df-mgm 16432  df-sgrp 16471  df-mnd 16481  df-grp 16617  df-mulg 16620  df-cntz 16915  df-cmn 17360  df-mgp 17652  df-ring 17710  df-cring 17711  df-psr 18508  df-mpl 18510  df-opsr 18512  df-psr1 18701  df-ply1 18703  df-coe1 18704  df-cnfld 18899  df-mdeg 22898  df-deg1 22899

This theorem is referenced by:  deg1mul3  22958  deg1mul3le  22959