Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1val Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem deg1val 23124
 Description: Value of the univariate degree as a supremum. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1leb.d deg1
deg1leb.p Poly1
deg1leb.b
deg1leb.y
deg1leb.a coe1
Assertion
Ref Expression
deg1val supp

Proof of Theorem deg1val
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1leb.d . . . 4 deg1
21deg1fval 23108 . . 3 mDeg
3 eqid 2471 . . 3 mPoly mPoly
4 deg1leb.p . . . 4 Poly1
5 eqid 2471 . . . 4 PwSer1 PwSer1
6 deg1leb.b . . . 4
74, 5, 6ply1bas 18865 . . 3 mPoly
8 deg1leb.y . . 3
9 psr1baslem 18855 . . 3
10 tdeglem2 23089 . . 3 fld g
112, 3, 7, 8, 9, 10mdegval 23091 . 2 supp
12 fvex 5889 . . . . . . . . 9
138, 12eqeltri 2545 . . . . . . . 8
14 suppimacnv 6944 . . . . . . . 8 supp
1513, 14mpan2 685 . . . . . . 7 supp
1615imaeq2d 5174 . . . . . 6 supp
17 imaco 5347 . . . . . 6
1816, 17syl6eqr 2523 . . . . 5 supp
19 deg1leb.a . . . . . . . . 9 coe1
20 df1o2 7212 . . . . . . . . . 10
21 nn0ex 10899 . . . . . . . . . 10
22 0ex 4528 . . . . . . . . . 10
23 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
2420, 21, 22, 23mapsncnv 7536 . . . . . . . . 9
2519, 6, 4, 24coe1fval2 18880 . . . . . . . 8
2625cnveqd 5015 . . . . . . 7
27 cnvco 5025 . . . . . . . 8
28 cocnvcnv1 5353 . . . . . . . 8
2927, 28eqtri 2493 . . . . . . 7
3026, 29syl6req 2522 . . . . . 6
3130imaeq1d 5173 . . . . 5
3218, 31eqtrd 2505 . . . 4 supp
33 fvex 5889 . . . . . 6 coe1
3419, 33eqeltri 2545 . . . . 5
35 suppimacnv 6944 . . . . . 6 supp
3635eqcomd 2477 . . . . 5 supp
3734, 13, 36mp2an 686 . . . 4 supp
3832, 37syl6eq 2521 . . 3 supp supp
3938supeq1d 7978 . 2 supp supp
4011, 39eqtrd 2505 1 supp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  cvv 3031   cdif 3387  c0 3722  csn 3959   cmpt 4454  ccnv 4838  cima 4842   ccom 4843  cfv 5589  (class class class)co 6308   supp csupp 6933  c1o 7193   cmap 7490  csup 7972  cxr 9692   clt 9693  cn0 10893  cbs 15199  c0g 15416   mPoly cmpl 18654  PwSer1cps1 18845  Poly1cpl1 18847  coe1cco1 18848   deg1 cdg1 23082 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-mgp 17802  df-ring 17860  df-cring 17861  df-psr 18657  df-mpl 18659  df-opsr 18661  df-psr1 18850  df-ply1 18852  df-coe1 18853  df-cnfld 19048  df-mdeg 23083  df-deg1 23084 This theorem is referenced by:  deg1mul3  23143  deg1mul3le  23144
 Copyright terms: Public domain W3C validator