MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1val Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem deg1val 23038
Description: Value of the univariate degree as a supremum. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1leb.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1leb.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1leb.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
deg1leb.y  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
deg1leb.a  |-  A  =  (coe1 `  F )
Assertion
Ref Expression
deg1val  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  =  sup ( ( A supp 
.0.  ) ,  RR* ,  <  ) )

Proof of Theorem deg1val
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1leb.d . . . 4  |-  D  =  ( deg1  `  R )
21deg1fval 23022 . . 3  |-  D  =  ( 1o mDeg  R )
3 eqid 2450 . . 3  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
4 deg1leb.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
5 eqid 2450 . . . 4  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
6 deg1leb.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
74, 5, 6ply1bas 18781 . . 3  |-  B  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )
8 deg1leb.y . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
9 psr1baslem 18771 . . 3  |-  ( NN0 
^m  1o )  =  { y  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin }
10 tdeglem2 23003 . . 3  |-  ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `
 (/) ) )  =  ( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  (fld 
gsumg  x ) )
112, 3, 7, 8, 9, 10mdegval 23005 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  =  sup ( ( ( x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) )
" ( F supp  .0.  ) ) ,  RR* ,  <  ) )
12 fvex 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
138, 12eqeltri 2524 . . . . . . . 8  |-  .0.  e.  _V
14 suppimacnv 6922 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  B  /\  .0.  e.  _V )  -> 
( F supp  .0.  )  =  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )
1513, 14mpan2 676 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  B  ->  ( F supp  .0.  )  =  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
1615imaeq2d 5167 . . . . . 6  |-  ( F  e.  B  ->  (
( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )
" ( F supp  .0.  ) )  =  ( ( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )
" ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
17 imaco 5339 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )  o.  `' F )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  =  ( ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `
 (/) ) ) "
( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )
1816, 17syl6eqr 2502 . . . . 5  |-  ( F  e.  B  ->  (
( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )
" ( F supp  .0.  ) )  =  ( ( ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) )  o.  `' F ) " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )
19 deg1leb.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  (coe1 `  F )
20 df1o2 7191 . . . . . . . . . 10  |-  1o  =  { (/) }
21 nn0ex 10872 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  e.  _V
22 0ex 4534 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  _V
23 eqid 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `
 (/) ) )  =  ( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )
2420, 21, 22, 23mapsncnv 7515 . . . . . . . . 9  |-  `' ( x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) )  =  ( y  e. 
NN0  |->  ( 1o  X.  { y } ) )
2519, 6, 4, 24coe1fval2 18796 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  B  ->  A  =  ( F  o.  `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) ) )
2625cnveqd 5009 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  B  ->  `' A  =  `' ( F  o.  `' (
x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) ) )
27 cnvco 5019 . . . . . . . 8  |-  `' ( F  o.  `' ( x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) )  =  ( `' `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) )  o.  `' F )
28 cocnvcnv1 5345 . . . . . . . 8  |-  ( `' `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) )  o.  `' F )  =  ( ( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )  o.  `' F )
2927, 28eqtri 2472 . . . . . . 7  |-  `' ( F  o.  `' ( x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) )  =  ( ( x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) )  o.  `' F )
3026, 29syl6req 2501 . . . . . 6  |-  ( F  e.  B  ->  (
( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )  o.  `' F )  =  `' A )
3130imaeq1d 5166 . . . . 5  |-  ( F  e.  B  ->  (
( ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) )  o.  `' F ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  =  ( `' A " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
3218, 31eqtrd 2484 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  (
( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )
" ( F supp  .0.  ) )  =  ( `' A " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
33 fvex 5873 . . . . . 6  |-  (coe1 `  F
)  e.  _V
3419, 33eqeltri 2524 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
35 suppimacnv 6922 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  .0.  e.  _V )  -> 
( A supp  .0.  )  =  ( `' A " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )
3635eqcomd 2456 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  .0.  e.  _V )  -> 
( `' A "
( _V  \  {  .0.  } ) )  =  ( A supp  .0.  )
)
3734, 13, 36mp2an 677 . . . 4  |-  ( `' A " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  =  ( A supp  .0.  )
3832, 37syl6eq 2500 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  (
( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )
" ( F supp  .0.  ) )  =  ( A supp  .0.  ) )
3938supeq1d 7957 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  sup ( ( ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `
 (/) ) ) "
( F supp  .0.  )
) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ( A supp  .0.  ) ,  RR* ,  <  ) )
4011, 39eqtrd 2484 1  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  =  sup ( ( A supp 
.0.  ) ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   _Vcvv 3044    \ cdif 3400   (/)c0 3730   {csn 3967    |-> cmpt 4460   `'ccnv 4832   "cima 4836    o. ccom 4837   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   supp csupp 6911   1oc1o 7172    ^m cmap 7469   supcsup 7951   RR*cxr 9671    < clt 9672   NN0cn0 10866   Basecbs 15114   0gc0g 15331   mPoly cmpl 18570  PwSer1cps1 18761  Poly1cpl1 18763  coe1cco1 18764   deg1 cdg1 22996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-addf 9615  ax-mulf 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-sup 7953  df-oi 8022  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-hash 12513  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-grp 16666  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-mgp 17717  df-ring 17775  df-cring 17776  df-psr 18573  df-mpl 18575  df-opsr 18577  df-psr1 18766  df-ply1 18768  df-coe1 18769  df-cnfld 18964  df-mdeg 22997  df-deg1 22998
This theorem is referenced by:  deg1mul3  23057  deg1mul3le  23058
  Copyright terms: Public domain W3C validator