MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1tm Structured version   Unicode version

Theorem deg1tm 22809
Description: Exact degree of a polynomial term. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1tm.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1tm.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
deg1tm.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1tm.x  |-  X  =  (var1 `  R )
deg1tm.m  |-  .x.  =  ( .s `  P )
deg1tm.n  |-  N  =  (mulGrp `  P )
deg1tm.e  |-  .^  =  (.g
`  N )
deg1tm.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
deg1tm  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( C  e.  K  /\  C  =/=  .0.  )  /\  F  e.  NN0 )  -> 
( D `  ( C  .x.  ( F  .^  X ) ) )  =  F )

Proof of Theorem deg1tm
StepHypRef Expression
1 deg1tm.d . . . 4  |-  D  =  ( deg1  `  R )
2 deg1tm.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
3 deg1tm.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 deg1tm.x . . . 4  |-  X  =  (var1 `  R )
5 deg1tm.m . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  P )
6 deg1tm.n . . . 4  |-  N  =  (mulGrp `  P )
7 deg1tm.e . . . 4  |-  .^  =  (.g
`  N )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7deg1tmle 22808 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e. 
NN0 )  ->  ( D `  ( C  .x.  ( F  .^  X
) ) )  <_  F )
983adant2r 1225 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( C  e.  K  /\  C  =/=  .0.  )  /\  F  e.  NN0 )  -> 
( D `  ( C  .x.  ( F  .^  X ) ) )  <_  F )
10 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
112, 3, 4, 5, 6, 7, 10ply1tmcl 18631 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e. 
NN0 )  ->  ( C  .x.  ( F  .^  X ) )  e.  ( Base `  P
) )
12113adant2r 1225 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( C  e.  K  /\  C  =/=  .0.  )  /\  F  e.  NN0 )  -> 
( C  .x.  ( F  .^  X ) )  e.  ( Base `  P
) )
13 simp3 999 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( C  e.  K  /\  C  =/=  .0.  )  /\  F  e.  NN0 )  ->  F  e.  NN0 )
14 deg1tm.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
1514, 2, 3, 4, 5, 6, 7coe1tmfv1 18633 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e. 
NN0 )  ->  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( F  .^  X ) ) ) `  F
)  =  C )
16153adant2r 1225 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( C  e.  K  /\  C  =/=  .0.  )  /\  F  e.  NN0 )  -> 
( (coe1 `  ( C  .x.  ( F  .^  X ) ) ) `  F
)  =  C )
17 simp2r 1024 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( C  e.  K  /\  C  =/=  .0.  )  /\  F  e.  NN0 )  ->  C  =/=  .0.  )
1816, 17eqnetrd 2696 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( C  e.  K  /\  C  =/=  .0.  )  /\  F  e.  NN0 )  -> 
( (coe1 `  ( C  .x.  ( F  .^  X ) ) ) `  F
)  =/=  .0.  )
19 eqid 2402 . . . 4  |-  (coe1 `  ( C  .x.  ( F  .^  X ) ) )  =  (coe1 `  ( C  .x.  ( F  .^  X ) ) )
201, 3, 10, 14, 19deg1ge 22789 . . 3  |-  ( ( ( C  .x.  ( F  .^  X ) )  e.  ( Base `  P
)  /\  F  e.  NN0 
/\  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( F  .^  X ) ) ) `
 F )  =/= 
.0.  )  ->  F  <_  ( D `  ( C  .x.  ( F  .^  X ) ) ) )
2112, 13, 18, 20syl3anc 1230 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( C  e.  K  /\  C  =/=  .0.  )  /\  F  e.  NN0 )  ->  F  <_  ( D `  ( C  .x.  ( F 
.^  X ) ) ) )
221, 3, 10deg1xrcl 22772 . . . 4  |-  ( ( C  .x.  ( F 
.^  X ) )  e.  ( Base `  P
)  ->  ( D `  ( C  .x.  ( F  .^  X ) ) )  e.  RR* )
2312, 22syl 17 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( C  e.  K  /\  C  =/=  .0.  )  /\  F  e.  NN0 )  -> 
( D `  ( C  .x.  ( F  .^  X ) ) )  e.  RR* )
2413nn0red 10893 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( C  e.  K  /\  C  =/=  .0.  )  /\  F  e.  NN0 )  ->  F  e.  RR )
2524rexrd 9672 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( C  e.  K  /\  C  =/=  .0.  )  /\  F  e.  NN0 )  ->  F  e.  RR* )
26 xrletri3 11410 . . 3  |-  ( ( ( D `  ( C  .x.  ( F  .^  X ) ) )  e.  RR*  /\  F  e. 
RR* )  ->  (
( D `  ( C  .x.  ( F  .^  X ) ) )  =  F  <->  ( ( D `  ( C  .x.  ( F  .^  X
) ) )  <_  F  /\  F  <_  ( D `  ( C  .x.  ( F  .^  X
) ) ) ) ) )
2723, 25, 26syl2anc 659 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( C  e.  K  /\  C  =/=  .0.  )  /\  F  e.  NN0 )  -> 
( ( D `  ( C  .x.  ( F 
.^  X ) ) )  =  F  <->  ( ( D `  ( C  .x.  ( F  .^  X
) ) )  <_  F  /\  F  <_  ( D `  ( C  .x.  ( F  .^  X
) ) ) ) ) )
289, 21, 27mpbir2and 923 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( C  e.  K  /\  C  =/=  .0.  )  /\  F  e.  NN0 )  -> 
( D `  ( C  .x.  ( F  .^  X ) ) )  =  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   class class class wbr 4394   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   RR*cxr 9656    <_ cle 9658   NN0cn0 10835   Basecbs 14839   .scvsca 14911   0gc0g 15052  .gcmg 16378  mulGrpcmgp 17459   Ringcrg 17516  var1cv1 18533  Poly1cpl1 18534  coe1cco1 18535   deg1 cdg1 22742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600  ax-mulf 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-ofr 6521  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-seq 12150  df-hash 12451  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mhm 16288  df-submnd 16289  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-mulg 16382  df-subg 16520  df-ghm 16587  df-cntz 16677  df-cmn 17122  df-abl 17123  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-cring 17519  df-subrg 17745  df-lmod 17832  df-lss 17897  df-psr 18323  df-mvr 18324  df-mpl 18325  df-opsr 18327  df-psr1 18537  df-vr1 18538  df-ply1 18539  df-coe1 18540  df-cnfld 18739  df-mdeg 22743  df-deg1 22744
This theorem is referenced by:  deg1pw  22811  fta1blem  22859
  Copyright terms: Public domain W3C validator