MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1sublt Structured version   Unicode version

Theorem deg1sublt 22239
Description: Subtraction of two polynomials limited to the same degree with the same leading coefficient gives a polynomial with a smaller degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1sublt.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1sublt.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1sublt.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
deg1sublt.m  |-  .-  =  ( -g `  P )
deg1sublt.l  |-  ( ph  ->  L  e.  NN0 )
deg1sublt.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
deg1sublt.fb  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
deg1sublt.fd  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <_  L )
deg1sublt.gb  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
deg1sublt.gd  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <_  L )
deg1sublt.a  |-  A  =  (coe1 `  F )
deg1sublt.c  |-  C  =  (coe1 `  G )
deg1sublt.eq  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  F ) `  L )  =  ( (coe1 `  G ) `  L ) )
Assertion
Ref Expression
deg1sublt  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  <  L )

Proof of Theorem deg1sublt
StepHypRef Expression
1 deg1sublt.d . . . 4  |-  D  =  ( deg1  `  R )
2 deg1sublt.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
3 eqid 2460 . . . 4  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
4 deg1sublt.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
5 eqid 2460 . . . 4  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
6 eqid 2460 . . . 4  |-  (coe1 `  ( F  .-  G ) )  =  (coe1 `  ( F  .-  G ) )
7 deg1sublt.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
82ply1rng 18053 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
9 rnggrp 16984 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. 
Grp )
107, 8, 93syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  Grp )
11 deg1sublt.fb . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
12 deg1sublt.gb . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
13 deg1sublt.m . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  P )
144, 13grpsubcl 15912 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .-  G
)  e.  B )
1510, 11, 12, 14syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  .-  G
)  e.  B )
16 deg1sublt.l . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  NN0 )
17 eqid 2460 . . . . . . 7  |-  ( -g `  R )  =  (
-g `  R )
182, 4, 13, 17coe1subfv 18071 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  ( F  .-  G ) ) `
 L )  =  ( ( (coe1 `  F
) `  L )
( -g `  R ) ( (coe1 `  G ) `  L ) ) )
197, 11, 12, 16, 18syl31anc 1226 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  ( F  .-  G ) ) `  L )  =  ( ( (coe1 `  F ) `  L ) ( -g `  R ) ( (coe1 `  G ) `  L
) ) )
20 deg1sublt.eq . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  F ) `  L )  =  ( (coe1 `  G ) `  L ) )
2120oveq1d 6290 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( (coe1 `  F
) `  L )
( -g `  R ) ( (coe1 `  G ) `  L ) )  =  ( ( (coe1 `  G
) `  L )
( -g `  R ) ( (coe1 `  G ) `  L ) ) )
22 rnggrp 16984 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
237, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
24 eqid 2460 . . . . . . . . 9  |-  (coe1 `  G
)  =  (coe1 `  G
)
25 eqid 2460 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2624, 4, 2, 25coe1f 18014 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  B  ->  (coe1 `  G ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
2712, 26syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (coe1 `  G ) : NN0 --> ( Base `  R
) )
2827, 16ffvelrnd 6013 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  G ) `  L )  e.  (
Base `  R )
)
2925, 5, 17grpsubid 15916 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( (coe1 `  G ) `  L )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( (
(coe1 `  G ) `  L ) ( -g `  R ) ( (coe1 `  G ) `  L
) )  =  ( 0g `  R ) )
3023, 28, 29syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( (coe1 `  G
) `  L )
( -g `  R ) ( (coe1 `  G ) `  L ) )  =  ( 0g `  R
) )
3119, 21, 303eqtrd 2505 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  ( F  .-  G ) ) `  L )  =  ( 0g `  R ) )
321, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 16, 31deg1ldgn 22221 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  =/=  L )
3332neneqd 2662 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( D `  ( F  .-  G ) )  =  L )
341, 2, 4deg1xrcl 22210 . . . . 5  |-  ( ( F  .-  G )  e.  B  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  e. 
RR* )
3515, 34syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  e.  RR* )
361, 2, 4deg1xrcl 22210 . . . . . 6  |-  ( G  e.  B  ->  ( D `  G )  e.  RR* )
3712, 36syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  e.  RR* )
381, 2, 4deg1xrcl 22210 . . . . . 6  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  e.  RR* )
3911, 38syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  e.  RR* )
40 ifcl 3974 . . . . 5  |-  ( ( ( D `  G
)  e.  RR*  /\  ( D `  F )  e.  RR* )  ->  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  e.  RR* )
4137, 39, 40syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( ( D `
 F )  <_ 
( D `  G
) ,  ( D `
 G ) ,  ( D `  F
) )  e.  RR* )
4216nn0red 10842 . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
4342rexrd 9632 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  RR* )
442, 1, 7, 4, 13, 11, 12deg1suble 22236 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) ) )
45 deg1sublt.fd . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <_  L )
46 deg1sublt.gd . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <_  L )
47 xrmaxle 11373 . . . . . 6  |-  ( ( ( D `  F
)  e.  RR*  /\  ( D `  G )  e.  RR*  /\  L  e. 
RR* )  ->  ( if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  <_  L  <->  ( ( D `  F )  <_  L  /\  ( D `
 G )  <_  L ) ) )
4839, 37, 43, 47syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  <_  L 
<->  ( ( D `  F )  <_  L  /\  ( D `  G
)  <_  L )
) )
4945, 46, 48mpbir2and 915 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( ( D `
 F )  <_ 
( D `  G
) ,  ( D `
 G ) ,  ( D `  F
) )  <_  L
)
5035, 41, 43, 44, 49xrletrd 11354 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  <_  L )
51 xrleloe 11339 . . . 4  |-  ( ( ( D `  ( F  .-  G ) )  e.  RR*  /\  L  e. 
RR* )  ->  (
( D `  ( F  .-  G ) )  <_  L  <->  ( ( D `  ( F  .-  G ) )  < 
L  \/  ( D `
 ( F  .-  G ) )  =  L ) ) )
5235, 43, 51syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( F  .-  G ) )  <_  L  <->  ( ( D `  ( F  .-  G ) )  < 
L  \/  ( D `
 ( F  .-  G ) )  =  L ) ) )
5350, 52mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( F  .-  G ) )  <  L  \/  ( D `  ( F 
.-  G ) )  =  L ) )
54 orel2 383 . 2  |-  ( -.  ( D `  ( F  .-  G ) )  =  L  ->  (
( ( D `  ( F  .-  G ) )  <  L  \/  ( D `  ( F 
.-  G ) )  =  L )  -> 
( D `  ( F  .-  G ) )  <  L ) )
5533, 53, 54sylc 60 1  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  <  L )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   ifcif 3932   class class class wbr 4440   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618   NN0cn0 10784   Basecbs 14479   0gc0g 14684   Grpcgrp 15716   -gcsg 15719   Ringcrg 16979  Poly1cpl1 17980  coe1cco1 17981   deg1 cdg1 22180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-ofr 6516  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-tpos 6945  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-hash 12361  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-mhm 15770  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-mulg 15854  df-subg 15986  df-ghm 16053  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-cring 16982  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-unit 17068  df-invr 17098  df-subrg 17203  df-lmod 17290  df-lss 17355  df-rlreg 17695  df-psr 17769  df-mpl 17771  df-opsr 17773  df-psr1 17983  df-ply1 17985  df-coe1 17986  df-cnfld 18185  df-mdeg 22181  df-deg1 22182
This theorem is referenced by:  ply1divex  22265  deg1submon1p  22281  hbtlem5  30670
  Copyright terms: Public domain W3C validator