MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1sublt Structured version   Unicode version

Theorem deg1sublt 21557
Description: Subtraction of two polynomials limited to the same degree with the same leading coefficient gives a polynomial with a smaller degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1sublt.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1sublt.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1sublt.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
deg1sublt.m  |-  .-  =  ( -g `  P )
deg1sublt.l  |-  ( ph  ->  L  e.  NN0 )
deg1sublt.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
deg1sublt.fb  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
deg1sublt.fd  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <_  L )
deg1sublt.gb  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
deg1sublt.gd  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <_  L )
deg1sublt.a  |-  A  =  (coe1 `  F )
deg1sublt.c  |-  C  =  (coe1 `  G )
deg1sublt.eq  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  F ) `  L )  =  ( (coe1 `  G ) `  L ) )
Assertion
Ref Expression
deg1sublt  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  <  L )

Proof of Theorem deg1sublt
StepHypRef Expression
1 deg1sublt.d . . . 4  |-  D  =  ( deg1  `  R )
2 deg1sublt.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
3 eqid 2438 . . . 4  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
4 deg1sublt.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
5 eqid 2438 . . . 4  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
6 eqid 2438 . . . 4  |-  (coe1 `  ( F  .-  G ) )  =  (coe1 `  ( F  .-  G ) )
7 deg1sublt.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
82ply1rng 17678 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
9 rnggrp 16638 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. 
Grp )
107, 8, 93syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  Grp )
11 deg1sublt.fb . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
12 deg1sublt.gb . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
13 deg1sublt.m . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  P )
144, 13grpsubcl 15597 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .-  G
)  e.  B )
1510, 11, 12, 14syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  .-  G
)  e.  B )
16 deg1sublt.l . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  NN0 )
17 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( -g `  R )  =  (
-g `  R )
182, 4, 13, 17coe1subfv 17695 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  ( F  .-  G ) ) `
 L )  =  ( ( (coe1 `  F
) `  L )
( -g `  R ) ( (coe1 `  G ) `  L ) ) )
197, 11, 12, 16, 18syl31anc 1221 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  ( F  .-  G ) ) `  L )  =  ( ( (coe1 `  F ) `  L ) ( -g `  R ) ( (coe1 `  G ) `  L
) ) )
20 deg1sublt.eq . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  F ) `  L )  =  ( (coe1 `  G ) `  L ) )
2120oveq1d 6101 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( (coe1 `  F
) `  L )
( -g `  R ) ( (coe1 `  G ) `  L ) )  =  ( ( (coe1 `  G
) `  L )
( -g `  R ) ( (coe1 `  G ) `  L ) ) )
22 rnggrp 16638 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
237, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
24 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  (coe1 `  G
)  =  (coe1 `  G
)
25 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2624, 4, 2, 25coe1f 17642 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  B  ->  (coe1 `  G ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
2712, 26syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (coe1 `  G ) : NN0 --> ( Base `  R
) )
2827, 16ffvelrnd 5839 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  G ) `  L )  e.  (
Base `  R )
)
2925, 5, 17grpsubid 15601 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( (coe1 `  G ) `  L )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( (
(coe1 `  G ) `  L ) ( -g `  R ) ( (coe1 `  G ) `  L
) )  =  ( 0g `  R ) )
3023, 28, 29syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( (coe1 `  G
) `  L )
( -g `  R ) ( (coe1 `  G ) `  L ) )  =  ( 0g `  R
) )
3119, 21, 303eqtrd 2474 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  ( F  .-  G ) ) `  L )  =  ( 0g `  R ) )
321, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 16, 31deg1ldgn 21539 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  =/=  L )
3332neneqd 2619 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( D `  ( F  .-  G ) )  =  L )
341, 2, 4deg1xrcl 21528 . . . . 5  |-  ( ( F  .-  G )  e.  B  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  e. 
RR* )
3515, 34syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  e.  RR* )
361, 2, 4deg1xrcl 21528 . . . . . 6  |-  ( G  e.  B  ->  ( D `  G )  e.  RR* )
3712, 36syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  e.  RR* )
381, 2, 4deg1xrcl 21528 . . . . . 6  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  e.  RR* )
3911, 38syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  e.  RR* )
40 ifcl 3826 . . . . 5  |-  ( ( ( D `  G
)  e.  RR*  /\  ( D `  F )  e.  RR* )  ->  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  e.  RR* )
4137, 39, 40syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( ( D `
 F )  <_ 
( D `  G
) ,  ( D `
 G ) ,  ( D `  F
) )  e.  RR* )
4216nn0red 10629 . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
4342rexrd 9425 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  RR* )
442, 1, 7, 4, 13, 11, 12deg1suble 21554 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) ) )
45 deg1sublt.fd . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <_  L )
46 deg1sublt.gd . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <_  L )
47 xrmaxle 11147 . . . . . 6  |-  ( ( ( D `  F
)  e.  RR*  /\  ( D `  G )  e.  RR*  /\  L  e. 
RR* )  ->  ( if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  <_  L  <->  ( ( D `  F )  <_  L  /\  ( D `
 G )  <_  L ) ) )
4839, 37, 43, 47syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  <_  L 
<->  ( ( D `  F )  <_  L  /\  ( D `  G
)  <_  L )
) )
4945, 46, 48mpbir2and 913 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( ( D `
 F )  <_ 
( D `  G
) ,  ( D `
 G ) ,  ( D `  F
) )  <_  L
)
5035, 41, 43, 44, 49xrletrd 11128 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  <_  L )
51 xrleloe 11113 . . . 4  |-  ( ( ( D `  ( F  .-  G ) )  e.  RR*  /\  L  e. 
RR* )  ->  (
( D `  ( F  .-  G ) )  <_  L  <->  ( ( D `  ( F  .-  G ) )  < 
L  \/  ( D `
 ( F  .-  G ) )  =  L ) ) )
5235, 43, 51syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( F  .-  G ) )  <_  L  <->  ( ( D `  ( F  .-  G ) )  < 
L  \/  ( D `
 ( F  .-  G ) )  =  L ) ) )
5350, 52mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( F  .-  G ) )  <  L  \/  ( D `  ( F 
.-  G ) )  =  L ) )
54 orel2 383 . 2  |-  ( -.  ( D `  ( F  .-  G ) )  =  L  ->  (
( ( D `  ( F  .-  G ) )  <  L  \/  ( D `  ( F 
.-  G ) )  =  L )  -> 
( D `  ( F  .-  G ) )  <  L ) )
5533, 53, 54sylc 60 1  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  <  L )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   ifcif 3786   class class class wbr 4287   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   RR*cxr 9409    < clt 9410    <_ cle 9411   NN0cn0 10571   Basecbs 14166   0gc0g 14370   Grpcgrp 15402   -gcsg 15405   Ringcrg 16633  Poly1cpl1 17608  coe1cco1 17609   deg1 cdg1 21498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-ofr 6316  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-tpos 6740  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-hash 12096  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-mhm 15456  df-submnd 15457  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-mulg 15539  df-subg 15669  df-ghm 15736  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-abl 16271  df-mgp 16580  df-ur 16592  df-rng 16635  df-cring 16636  df-oppr 16703  df-dvdsr 16721  df-unit 16722  df-invr 16752  df-subrg 16841  df-lmod 16928  df-lss 16991  df-rlreg 17331  df-psr 17400  df-mpl 17402  df-opsr 17404  df-psr1 17611  df-ply1 17613  df-coe1 17614  df-cnfld 17794  df-mdeg 21499  df-deg1 21500
This theorem is referenced by:  ply1divex  21583  deg1submon1p  21599  hbtlem5  29437
  Copyright terms: Public domain W3C validator