MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1sub Structured version   Unicode version

Theorem deg1sub 22675
Description: Exact degree of a difference of two polynomials of unequal degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1addle.y  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
deg1addle.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1addle.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
deg1suble.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
deg1suble.m  |-  .-  =  ( -g `  Y )
deg1suble.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
deg1suble.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
deg1sub.l  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <  ( D `  F ) )
Assertion
Ref Expression
deg1sub  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  =  ( D `  F ) )

Proof of Theorem deg1sub
StepHypRef Expression
1 deg1suble.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
2 deg1suble.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
3 deg1suble.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Y
)
4 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
5 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( invg `  Y )  =  ( invg `  Y )
6 deg1suble.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  Y )
73, 4, 5, 6grpsubval 16292 . . . 4  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .-  G
)  =  ( F ( +g  `  Y
) ( ( invg `  Y ) `
 G ) ) )
81, 2, 7syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  .-  G
)  =  ( F ( +g  `  Y
) ( ( invg `  Y ) `
 G ) ) )
98fveq2d 5852 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  =  ( D `  ( F ( +g  `  Y
) ( ( invg `  Y ) `
 G ) ) ) )
10 deg1addle.y . . 3  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
11 deg1addle.d . . 3  |-  D  =  ( deg1  `  R )
12 deg1addle.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
1310ply1ring 18484 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  Y  e. 
Ring )
14 ringgrp 17398 . . . . 5  |-  ( Y  e.  Ring  ->  Y  e. 
Grp )
1512, 13, 143syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
163, 5grpinvcl 16294 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  Grp  /\  G  e.  B )  ->  ( ( invg `  Y ) `  G
)  e.  B )
1715, 2, 16syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  Y ) `  G
)  e.  B )
1810, 11, 12, 3, 5, 2deg1invg 22673 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D `  (
( invg `  Y ) `  G
) )  =  ( D `  G ) )
19 deg1sub.l . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <  ( D `  F ) )
2018, 19eqbrtrd 4459 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  (
( invg `  Y ) `  G
) )  <  ( D `  F )
)
2110, 11, 12, 3, 4, 1, 17, 20deg1add 22670 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F ( +g  `  Y
) ( ( invg `  Y ) `
 G ) ) )  =  ( D `
 F ) )
229, 21eqtrd 2495 1  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  =  ( D `  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1398    e. wcel 1823   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    < clt 9617   Basecbs 14716   +g cplusg 14784   Grpcgrp 16252   invgcminusg 16253   -gcsg 16254   Ringcrg 17393  Poly1cpl1 18411   deg1 cdg1 22618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-ofr 6514  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-hash 12388  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-mhm 16165  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-mulg 16259  df-subg 16397  df-ghm 16464  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-cring 17396  df-oppr 17467  df-dvdsr 17485  df-unit 17486  df-invr 17516  df-subrg 17622  df-lmod 17709  df-lss 17774  df-rlreg 18126  df-psr 18200  df-mpl 18202  df-opsr 18204  df-psr1 18414  df-ply1 18416  df-coe1 18417  df-cnfld 18616  df-mdeg 22619  df-deg1 22620
This theorem is referenced by:  ply1remlem  22729  lgsqrlem4  23817  idomrootle  31393
  Copyright terms: Public domain W3C validator