MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1sub Structured version   Unicode version

Theorem deg1sub 21693
Description: Exact degree of a difference of two polynomials of unequal degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1addle.y  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
deg1addle.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1addle.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
deg1suble.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
deg1suble.m  |-  .-  =  ( -g `  Y )
deg1suble.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
deg1suble.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
deg1sub.l  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <  ( D `  F ) )
Assertion
Ref Expression
deg1sub  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  =  ( D `  F ) )

Proof of Theorem deg1sub
StepHypRef Expression
1 deg1suble.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
2 deg1suble.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
3 deg1suble.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Y
)
4 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
5 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( invg `  Y )  =  ( invg `  Y )
6 deg1suble.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  Y )
73, 4, 5, 6grpsubval 15680 . . . 4  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .-  G
)  =  ( F ( +g  `  Y
) ( ( invg `  Y ) `
 G ) ) )
81, 2, 7syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  .-  G
)  =  ( F ( +g  `  Y
) ( ( invg `  Y ) `
 G ) ) )
98fveq2d 5790 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  =  ( D `  ( F ( +g  `  Y
) ( ( invg `  Y ) `
 G ) ) ) )
10 deg1addle.y . . 3  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
11 deg1addle.d . . 3  |-  D  =  ( deg1  `  R )
12 deg1addle.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
1310ply1rng 17807 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  Y  e. 
Ring )
14 rnggrp 16753 . . . . 5  |-  ( Y  e.  Ring  ->  Y  e. 
Grp )
1512, 13, 143syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
163, 5grpinvcl 15682 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  Grp  /\  G  e.  B )  ->  ( ( invg `  Y ) `  G
)  e.  B )
1715, 2, 16syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  Y ) `  G
)  e.  B )
1810, 11, 12, 3, 5, 2deg1invg 21691 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D `  (
( invg `  Y ) `  G
) )  =  ( D `  G ) )
19 deg1sub.l . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <  ( D `  F ) )
2018, 19eqbrtrd 4407 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  (
( invg `  Y ) `  G
) )  <  ( D `  F )
)
2110, 11, 12, 3, 4, 1, 17, 20deg1add 21688 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F ( +g  `  Y
) ( ( invg `  Y ) `
 G ) ) )  =  ( D `
 F ) )
229, 21eqtrd 2491 1  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  =  ( D `  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4387   ` cfv 5513  (class class class)co 6187    < clt 9516   Basecbs 14273   +g cplusg 14337   Grpcgrp 15509   invgcminusg 15510   -gcsg 15512   Ringcrg 16748  Poly1cpl1 17737   deg1 cdg1 21636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-inf2 7945  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457  ax-pre-sup 9458  ax-addf 9459  ax-mulf 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-iin 4269  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-se 4775  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-of 6417  df-ofr 6418  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-supp 6788  df-tpos 6842  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-1o 7017  df-2o 7018  df-oadd 7021  df-er 7198  df-map 7313  df-pm 7314  df-ixp 7361  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-fin 7411  df-fsupp 7719  df-sup 7789  df-oi 7822  df-card 8207  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-4 10480  df-5 10481  df-6 10482  df-7 10483  df-8 10484  df-9 10485  df-10 10486  df-n0 10678  df-z 10745  df-dec 10854  df-uz 10960  df-fz 11536  df-fzo 11647  df-seq 11905  df-hash 12202  df-struct 14275  df-ndx 14276  df-slot 14277  df-base 14278  df-sets 14279  df-ress 14280  df-plusg 14350  df-mulr 14351  df-starv 14352  df-sca 14353  df-vsca 14354  df-tset 14356  df-ple 14357  df-ds 14359  df-unif 14360  df-0g 14479  df-gsum 14480  df-mre 14623  df-mrc 14624  df-acs 14626  df-mnd 15514  df-mhm 15563  df-submnd 15564  df-grp 15644  df-minusg 15645  df-sbg 15646  df-mulg 15647  df-subg 15777  df-ghm 15844  df-cntz 15934  df-cmn 16380  df-abl 16381  df-mgp 16694  df-ur 16706  df-rng 16750  df-cring 16751  df-oppr 16818  df-dvdsr 16836  df-unit 16837  df-invr 16867  df-subrg 16966  df-lmod 17053  df-lss 17117  df-rlreg 17457  df-psr 17526  df-mpl 17528  df-opsr 17530  df-psr1 17740  df-ply1 17742  df-coe1 17743  df-cnfld 17925  df-mdeg 21637  df-deg1 21638
This theorem is referenced by:  ply1remlem  21747  lgsqrlem4  22796  idomrootle  29695
  Copyright terms: Public domain W3C validator