MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1pwle Structured version   Unicode version

Theorem deg1pwle 22283
Description: Limiting degree of a variable power. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1pw.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1pw.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1pw.x  |-  X  =  (var1 `  R )
deg1pw.n  |-  N  =  (mulGrp `  P )
deg1pw.e  |-  .^  =  (.g
`  N )
Assertion
Ref Expression
deg1pwle  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  NN0 )  ->  ( D `  ( F  .^  X ) )  <_  F )

Proof of Theorem deg1pwle
StepHypRef Expression
1 deg1pw.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
21ply1lmod 18092 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
LMod )
32adantr 465 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  NN0 )  ->  P  e.  LMod )
41ply1rng 18088 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
5 deg1pw.n . . . . . . . 8  |-  N  =  (mulGrp `  P )
65rngmgp 17006 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  Ring  ->  N  e. 
Mnd )
74, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  N  e. 
Mnd )
87adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  NN0 )  ->  N  e.  Mnd )
9 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  NN0 )  ->  F  e.  NN0 )
10 deg1pw.x . . . . . . 7  |-  X  =  (var1 `  R )
11 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
1210, 1, 11vr1cl 18057 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  X  e.  ( Base `  P
) )
1312adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  NN0 )  ->  X  e.  ( Base `  P
) )
145, 11mgpbas 16949 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  N )
15 deg1pw.e . . . . . 6  |-  .^  =  (.g
`  N )
1614, 15mulgnn0cl 15968 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Mnd  /\  F  e.  NN0  /\  X  e.  ( Base `  P
) )  ->  ( F  .^  X )  e.  ( Base `  P
) )
178, 9, 13, 16syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  NN0 )  ->  ( F  .^  X )  e.  ( Base `  P
) )
18 eqid 2467 . . . . 5  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
19 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( .s
`  P )  =  ( .s `  P
)
20 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( 1r
`  (Scalar `  P )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  P )
)
2111, 18, 19, 20lmodvs1 17340 . . . 4  |-  ( ( P  e.  LMod  /\  ( F  .^  X )  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  P ) ) ( .s `  P ) ( F  .^  X
) )  =  ( F  .^  X )
)
223, 17, 21syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  NN0 )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  P ) ) ( .s `  P ) ( F  .^  X
) )  =  ( F  .^  X )
)
2322fveq2d 5870 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  NN0 )  ->  ( D `  ( ( 1r `  (Scalar `  P
) ) ( .s
`  P ) ( F  .^  X )
) )  =  ( D `  ( F 
.^  X ) ) )
24 simpl 457 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  NN0 )  ->  R  e.  Ring )
251ply1sca 18093 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  =  (Scalar `  P )
)
2625fveq2d 5870 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  (Scalar `  P ) ) )
27 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
28 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
2927, 28rngidcl 17020 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
3026, 29eqeltrrd 2556 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  (Scalar `  P )
)  e.  ( Base `  R ) )
3130adantr 465 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  NN0 )  ->  ( 1r `  (Scalar `  P
) )  e.  (
Base `  R )
)
32 deg1pw.d . . . 4  |-  D  =  ( deg1  `  R )
3332, 27, 1, 10, 19, 5, 15deg1tmle 22281 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  (Scalar `  P
) )  e.  (
Base `  R )  /\  F  e.  NN0 )  ->  ( D `  ( ( 1r `  (Scalar `  P ) ) ( .s `  P
) ( F  .^  X ) ) )  <_  F )
3424, 31, 9, 33syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  NN0 )  ->  ( D `  ( ( 1r `  (Scalar `  P
) ) ( .s
`  P ) ( F  .^  X )
) )  <_  F
)
3523, 34eqbrtrrd 4469 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  NN0 )  ->  ( D `  ( F  .^  X ) )  <_  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    <_ cle 9629   NN0cn0 10795   Basecbs 14490  Scalarcsca 14558   .scvsca 14559   Mndcmnd 15726  .gcmg 15731  mulGrpcmgp 16943   1rcur 16955   Ringcrg 17000   LModclmod 17312  var1cv1 18014  Poly1cpl1 18015   deg1 cdg1 22215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-ofr 6525  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-hash 12374  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-mhm 15786  df-submnd 15787  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-mulg 15870  df-subg 16003  df-ghm 16070  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-cring 17003  df-subrg 17227  df-lmod 17314  df-lss 17379  df-psr 17804  df-mvr 17805  df-mpl 17806  df-opsr 17808  df-psr1 18018  df-vr1 18019  df-ply1 18020  df-coe1 18021  df-cnfld 18220  df-mdeg 22216  df-deg1 22217
This theorem is referenced by:  hbtlem4  30707
  Copyright terms: Public domain W3C validator