MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1pw Structured version   Unicode version

Theorem deg1pw 22387
Description: Exact degree of a variable power over a nontrivial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1pw.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1pw.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1pw.x  |-  X  =  (var1 `  R )
deg1pw.n  |-  N  =  (mulGrp `  P )
deg1pw.e  |-  .^  =  (.g
`  N )
Assertion
Ref Expression
deg1pw  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  F  e. 
NN0 )  ->  ( D `  ( F  .^  X ) )  =  F )

Proof of Theorem deg1pw
StepHypRef Expression
1 deg1pw.p . . . . . . . 8  |-  P  =  (Poly1 `  R )
21ply1sca 18162 . . . . . . 7  |-  ( R  e. NzRing  ->  R  =  (Scalar `  P ) )
32adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  F  e. 
NN0 )  ->  R  =  (Scalar `  P )
)
43fveq2d 5856 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  F  e. 
NN0 )  ->  ( 1r `  R )  =  ( 1r `  (Scalar `  P ) ) )
54oveq1d 6292 . . . 4  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  F  e. 
NN0 )  ->  (
( 1r `  R
) ( .s `  P ) ( F 
.^  X ) )  =  ( ( 1r
`  (Scalar `  P )
) ( .s `  P ) ( F 
.^  X ) ) )
6 nzrring 17777 . . . . . . 7  |-  ( R  e. NzRing  ->  R  e.  Ring )
76adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  F  e. 
NN0 )  ->  R  e.  Ring )
81ply1lmod 18161 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
LMod )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  F  e. 
NN0 )  ->  P  e.  LMod )
101ply1ring 18157 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
11 deg1pw.n . . . . . . . 8  |-  N  =  (mulGrp `  P )
1211ringmgp 17072 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  Ring  ->  N  e. 
Mnd )
137, 10, 123syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  F  e. 
NN0 )  ->  N  e.  Mnd )
14 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  F  e. 
NN0 )  ->  F  e.  NN0 )
15 deg1pw.x . . . . . . . 8  |-  X  =  (var1 `  R )
16 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
1715, 1, 16vr1cl 18126 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  X  e.  ( Base `  P
) )
187, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  F  e. 
NN0 )  ->  X  e.  ( Base `  P
) )
1911, 16mgpbas 17015 . . . . . . 7  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  N )
20 deg1pw.e . . . . . . 7  |-  .^  =  (.g
`  N )
2119, 20mulgnn0cl 16027 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Mnd  /\  F  e.  NN0  /\  X  e.  ( Base `  P
) )  ->  ( F  .^  X )  e.  ( Base `  P
) )
2213, 14, 18, 21syl3anc 1227 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  F  e. 
NN0 )  ->  ( F  .^  X )  e.  ( Base `  P
) )
23 eqid 2441 . . . . . 6  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
24 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( .s
`  P )  =  ( .s `  P
)
25 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  (Scalar `  P )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  P )
)
2616, 23, 24, 25lmodvs1 17408 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  LMod  /\  ( F  .^  X )  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  P ) ) ( .s `  P ) ( F  .^  X
) )  =  ( F  .^  X )
)
279, 22, 26syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  F  e. 
NN0 )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  P ) ) ( .s `  P ) ( F  .^  X
) )  =  ( F  .^  X )
)
285, 27eqtrd 2482 . . 3  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  F  e. 
NN0 )  ->  (
( 1r `  R
) ( .s `  P ) ( F 
.^  X ) )  =  ( F  .^  X ) )
2928fveq2d 5856 . 2  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  F  e. 
NN0 )  ->  ( D `  ( ( 1r `  R ) ( .s `  P ) ( F  .^  X
) ) )  =  ( D `  ( F  .^  X ) ) )
30 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
31 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
3230, 31ringidcl 17087 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
337, 32syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  F  e. 
NN0 )  ->  ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
) )
34 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
3531, 34nzrnz 17776 . . . 4  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )
3635adantr 465 . . 3  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  F  e. 
NN0 )  ->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )
37 deg1pw.d . . . 4  |-  D  =  ( deg1  `  R )
3837, 30, 1, 15, 24, 11, 20, 34deg1tm 22385 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( 1r `  R
)  e.  ( Base `  R )  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  F  e.  NN0 )  ->  ( D `  ( ( 1r `  R ) ( .s `  P ) ( F  .^  X
) ) )  =  F )
397, 33, 36, 14, 38syl121anc 1232 . 2  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  F  e. 
NN0 )  ->  ( D `  ( ( 1r `  R ) ( .s `  P ) ( F  .^  X
) ) )  =  F )
4029, 39eqtr3d 2484 1  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  F  e. 
NN0 )  ->  ( D `  ( F  .^  X ) )  =  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   NN0cn0 10796   Basecbs 14504  Scalarcsca 14572   .scvsca 14573   0gc0g 14709   Mndcmnd 15788  .gcmg 15925  mulGrpcmgp 17009   1rcur 17021   Ringcrg 17066   LModclmod 17380  NzRingcnzr 17773  var1cv1 18083  Poly1cpl1 18084   deg1 cdg1 22318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-ofr 6522  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-pm 7421  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-seq 12082  df-hash 12380  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-mre 14855  df-mrc 14856  df-acs 14858  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-mhm 15835  df-submnd 15836  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-sbg 15928  df-mulg 15929  df-subg 16067  df-ghm 16134  df-cntz 16224  df-cmn 16669  df-abl 16670  df-mgp 17010  df-ur 17022  df-ring 17068  df-cring 17069  df-subrg 17295  df-lmod 17382  df-lss 17447  df-nzr 17774  df-psr 17873  df-mvr 17874  df-mpl 17875  df-opsr 17877  df-psr1 18087  df-vr1 18088  df-ply1 18089  df-coe1 18090  df-cnfld 18289  df-mdeg 22319  df-deg1 22320
This theorem is referenced by:  ply1remlem  22429  lgsqrlem4  23484  idomrootle  31121
  Copyright terms: Public domain W3C validator