MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1nn0clb Structured version   Unicode version

Theorem deg1nn0clb 21695
Description: A polynomial is nonzero iff it has definite degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1z.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1z.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1z.z  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
deg1nn0cl.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
deg1nn0clb  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  ( F  =/=  .0.  <->  ( D `  F )  e.  NN0 ) )

Proof of Theorem deg1nn0clb
StepHypRef Expression
1 deg1z.d . . . 4  |-  D  =  ( deg1  `  R )
2 deg1z.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
3 deg1z.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
4 deg1nn0cl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
51, 2, 3, 4deg1nn0cl 21693 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  F  =/= 
.0.  )  ->  ( D `  F )  e.  NN0 )
653expia 1190 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  ( F  =/=  .0.  ->  ( D `  F )  e.  NN0 ) )
7 mnfnre 9538 . . . . . . 7  |- -oo  e/  RR
87neli 2787 . . . . . 6  |-  -. -oo  e.  RR
9 nn0re 10700 . . . . . 6  |-  ( -oo  e.  NN0  -> -oo  e.  RR )
108, 9mto 176 . . . . 5  |-  -. -oo  e.  NN0
111, 2, 3deg1z 21692 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( D `
 .0.  )  = -oo )
1211adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  ( D `  .0.  )  = -oo )
1312eleq1d 2523 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  (
( D `  .0.  )  e.  NN0  <-> -oo  e.  NN0 ) )
1410, 13mtbiri 303 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  -.  ( D `  .0.  )  e.  NN0 )
15 fveq2 5800 . . . . . 6  |-  ( F  =  .0.  ->  ( D `  F )  =  ( D `  .0.  ) )
1615eleq1d 2523 . . . . 5  |-  ( F  =  .0.  ->  (
( D `  F
)  e.  NN0  <->  ( D `  .0.  )  e.  NN0 ) )
1716notbid 294 . . . 4  |-  ( F  =  .0.  ->  ( -.  ( D `  F
)  e.  NN0  <->  -.  ( D `  .0.  )  e. 
NN0 ) )
1814, 17syl5ibrcom 222 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  ( F  =  .0.  ->  -.  ( D `  F
)  e.  NN0 )
)
1918necon2ad 2665 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  (
( D `  F
)  e.  NN0  ->  F  =/=  .0.  ) )
206, 19impbid 191 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  ( F  =/=  .0.  <->  ( D `  F )  e.  NN0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   ` cfv 5527   RRcr 9393   -oocmnf 9528   NN0cn0 10691   Basecbs 14293   0gc0g 14498   Ringcrg 16769  Poly1cpl1 17758   deg1 cdg1 21657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-addf 9473  ax-mulf 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-seq 11925  df-hash 12222  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-mnd 15535  df-submnd 15585  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-subg 15798  df-cntz 15955  df-cmn 16401  df-abl 16402  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-cring 16772  df-psr 17547  df-mpl 17549  df-opsr 17551  df-psr1 17761  df-ply1 17763  df-cnfld 17945  df-mdeg 21658  df-deg1 21659
This theorem is referenced by:  deg1ldgn  21698  ply1domn  21729  uc1pmon1p  21757  ply1remlem  21768  fta1glem1  21771  fta1g  21773  lgsqrlem4  22817  idomrootle  29709  mon1psubm  29723
  Copyright terms: Public domain W3C validator