MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1nn0cl Structured version   Unicode version

Theorem deg1nn0cl 21702
Description: Degree of a nonzero univariate polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1z.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1z.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1z.z  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
deg1nn0cl.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
deg1nn0cl  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  F  =/= 
.0.  )  ->  ( D `  F )  e.  NN0 )

Proof of Theorem deg1nn0cl
StepHypRef Expression
1 deg1z.d . . 3  |-  D  =  ( deg1  `  R )
21deg1fval 21694 . 2  |-  D  =  ( 1o mDeg  R )
3 eqid 2454 . 2  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
4 deg1z.p . . 3  |-  P  =  (Poly1 `  R )
5 deg1z.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
63, 4, 5ply1mpl0 17843 . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  ( 1o mPoly  R ) )
7 eqid 2454 . . 3  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
8 deg1nn0cl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
94, 7, 8ply1bas 17785 . 2  |-  B  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )
102, 3, 6, 9mdegnn0cl 21685 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  F  =/= 
.0.  )  ->  ( D `  F )  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   1oc1o 7026   NN0cn0 10694   Basecbs 14296   0gc0g 14501   Ringcrg 16778   mPoly cmpl 17553  PwSer1cps1 17765  Poly1cpl1 17767   deg1 cdg1 21666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-addf 9476  ax-mulf 9477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-sup 7806  df-oi 7839  df-card 8224  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-seq 11928  df-hash 12225  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-starv 14376  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-tset 14380  df-ple 14381  df-ds 14383  df-unif 14384  df-0g 14503  df-gsum 14504  df-mnd 15538  df-submnd 15588  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-subg 15801  df-cntz 15958  df-cmn 16404  df-abl 16405  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-cring 16781  df-psr 17556  df-mpl 17558  df-opsr 17560  df-psr1 17770  df-ply1 17772  df-cnfld 17954  df-mdeg 21667  df-deg1 21668
This theorem is referenced by:  deg1n0ima  21703  deg1nn0clb  21704  deg1lt0  21705  deg1ldg  21706  deg1ldgdomn  21708  coe1mul4  21715  deg1add  21718  deg1scl  21728  deg1mul2  21729  ply1domn  21738  ply1divmo  21750  ply1divex  21751  uc1pdeg  21762  deg1submon1p  21767  fta1glem1  21780  fta1g  21782  drnguc1p  21785  mon1psubm  29745  deg1mhm  29746
  Copyright terms: Public domain W3C validator