MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1mul3 Structured version   Unicode version

Theorem deg1mul3 21592
Description: Degree of multiplication of a polynomial on the left by a non-zero-dividing scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mul3.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1mul3.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1mul3.e  |-  E  =  (RLReg `  R )
deg1mul3.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
deg1mul3.t  |-  .x.  =  ( .r `  P )
deg1mul3.a  |-  A  =  (algSc `  P )
Assertion
Ref Expression
deg1mul3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( D `  ( ( A `  F )  .x.  G ) )  =  ( D `  G
) )

Proof of Theorem deg1mul3
StepHypRef Expression
1 deg1mul3.e . . . . . . . 8  |-  E  =  (RLReg `  R )
2 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
31, 2rrgss 17369 . . . . . . 7  |-  E  C_  ( Base `  R )
43sseli 3357 . . . . . 6  |-  ( F  e.  E  ->  F  e.  ( Base `  R
) )
5 deg1mul3.p . . . . . . 7  |-  P  =  (Poly1 `  R )
6 deg1mul3.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  P
)
7 deg1mul3.a . . . . . . 7  |-  A  =  (algSc `  P )
8 deg1mul3.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .r `  P )
9 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
105, 6, 2, 7, 8, 9coe1sclmul 17740 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  ( Base `  R
)  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  ( ( A `  F )  .x.  G
) )  =  ( ( NN0  X.  { F } )  oF ( .r `  R
) (coe1 `  G ) ) )
114, 10syl3an2 1252 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  ( ( A `  F )  .x.  G
) )  =  ( ( NN0  X.  { F } )  oF ( .r `  R
) (coe1 `  G ) ) )
1211oveq1d 6111 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  (
(coe1 `  ( ( A `
 F )  .x.  G ) ) supp  ( 0g `  R ) )  =  ( ( ( NN0  X.  { F } )  oF ( .r `  R
) (coe1 `  G ) ) supp  ( 0g `  R
) ) )
13 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
14 nn0ex 10590 . . . . . 6  |-  NN0  e.  _V
1514a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  NN0  e.  _V )
16 simp1 988 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
17 simp2 989 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  F  e.  E )
18 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  (coe1 `  G
)  =  (coe1 `  G
)
1918, 6, 5, 2coe1f 17672 . . . . . 6  |-  ( G  e.  B  ->  (coe1 `  G ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
20193ad2ant3 1011 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  G ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
211, 2, 9, 13, 15, 16, 17, 20rrgsupp 17367 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  (
( ( NN0  X.  { F } )  oF ( .r `  R ) (coe1 `  G
) ) supp  ( 0g
`  R ) )  =  ( (coe1 `  G
) supp  ( 0g `  R ) ) )
2212, 21eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  (
(coe1 `  ( ( A `
 F )  .x.  G ) ) supp  ( 0g `  R ) )  =  ( (coe1 `  G
) supp  ( 0g `  R ) ) )
2322supeq1d 7701 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  sup ( ( (coe1 `  (
( A `  F
)  .x.  G )
) supp  ( 0g `  R ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ( (coe1 `  G ) supp  ( 0g
`  R ) ) ,  RR* ,  <  )
)
245ply1rng 17708 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
25243ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  P  e.  Ring )
265, 7, 2, 6ply1sclf 17743 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  A :
( Base `  R ) --> B )
27263ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  A : ( Base `  R
) --> B )
2843ad2ant2 1010 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  F  e.  ( Base `  R
) )
2927, 28ffvelrnd 5849 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( A `  F )  e.  B )
30 simp3 990 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  G  e.  B )
316, 8rngcl 16663 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  ( A `  F )  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (
( A `  F
)  .x.  G )  e.  B )
3225, 29, 30, 31syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  (
( A `  F
)  .x.  G )  e.  B )
33 deg1mul3.d . . . 4  |-  D  =  ( deg1  `  R )
34 eqid 2443 . . . 4  |-  (coe1 `  (
( A `  F
)  .x.  G )
)  =  (coe1 `  (
( A `  F
)  .x.  G )
)
3533, 5, 6, 13, 34deg1val 21572 . . 3  |-  ( ( ( A `  F
)  .x.  G )  e.  B  ->  ( D `
 ( ( A `
 F )  .x.  G ) )  =  sup ( ( (coe1 `  ( ( A `  F )  .x.  G
) ) supp  ( 0g
`  R ) ) ,  RR* ,  <  )
)
3632, 35syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( D `  ( ( A `  F )  .x.  G ) )  =  sup ( ( (coe1 `  ( ( A `  F )  .x.  G
) ) supp  ( 0g
`  R ) ) ,  RR* ,  <  )
)
3733, 5, 6, 13, 18deg1val 21572 . . 3  |-  ( G  e.  B  ->  ( D `  G )  =  sup ( ( (coe1 `  G ) supp  ( 0g
`  R ) ) ,  RR* ,  <  )
)
38373ad2ant3 1011 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( D `  G )  =  sup ( ( (coe1 `  G ) supp  ( 0g
`  R ) ) ,  RR* ,  <  )
)
3923, 36, 383eqtr4d 2485 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( D `  ( ( A `  F )  .x.  G ) )  =  ( D `  G
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2977   {csn 3882    X. cxp 4843   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    oFcof 6323   supp csupp 6695   supcsup 7695   RR*cxr 9422    < clt 9423   NN0cn0 10584   Basecbs 14179   .rcmulr 14244   0gc0g 14383   Ringcrg 16650  RLRegcrlreg 17355  algSccascl 17388  Poly1cpl1 17638  coe1cco1 17639   deg1 cdg1 21528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-ofr 6326  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-seq 11812  df-hash 12109  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-mhm 15469  df-submnd 15470  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-mulg 15553  df-subg 15683  df-ghm 15750  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-abl 16285  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-cring 16653  df-subrg 16868  df-lmod 16955  df-lss 17019  df-rlreg 17359  df-ascl 17391  df-psr 17428  df-mvr 17429  df-mpl 17430  df-opsr 17432  df-psr1 17641  df-vr1 17642  df-ply1 17643  df-coe1 17644  df-cnfld 17824  df-mdeg 21529  df-deg1 21530
This theorem is referenced by:  uc1pmon1p  21628  ig1peu  21648
  Copyright terms: Public domain W3C validator