Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  deg1mhm Structured version   Unicode version

Theorem deg1mhm 31143
 Description: Homomorphic property of the polynomial degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mhm.d deg1
deg1mhm.b
deg1mhm.p Poly1
deg1mhm.z
deg1mhm.y mulGrps
deg1mhm.n flds
Assertion
Ref Expression
deg1mhm Domn MndHom

Proof of Theorem deg1mhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1mhm.p . . . . . 6 Poly1
21ply1domn 22502 . . . . 5 Domn Domn
3 deg1mhm.b . . . . . . 7
4 deg1mhm.z . . . . . . 7
5 eqid 2443 . . . . . . 7 mulGrp mulGrp
63, 4, 5isdomn3 31140 . . . . . 6 Domn SubMndmulGrp
76simprbi 464 . . . . 5 Domn SubMndmulGrp
82, 7syl 16 . . . 4 Domn SubMndmulGrp
9 deg1mhm.y . . . . 5 mulGrps
109submmnd 15964 . . . 4 SubMndmulGrp
118, 10syl 16 . . 3 Domn
12 nn0subm 18452 . . . 4 SubMndfld
13 deg1mhm.n . . . . 5 flds
1413submmnd 15964 . . . 4 SubMndfld
1512, 14mp1i 12 . . 3 Domn
1611, 15jca 532 . 2 Domn
17 deg1mhm.d . . . . . . . 8 deg1
1817, 1, 3deg1xrf 22459 . . . . . . 7
19 ffn 5721 . . . . . . 7
2018, 19ax-mp 5 . . . . . 6
21 difss 3616 . . . . . 6
22 fnssres 5684 . . . . . 6
2320, 21, 22mp2an 672 . . . . 5
2423a1i 11 . . . 4 Domn
25 fvres 5870 . . . . . . 7
2625adantl 466 . . . . . 6 Domn
27 domnring 17924 . . . . . . . 8 Domn
2827adantr 465 . . . . . . 7 Domn
29 eldifi 3611 . . . . . . . 8
3029adantl 466 . . . . . . 7 Domn
31 eldifsni 4141 . . . . . . . 8
3231adantl 466 . . . . . . 7 Domn
3317, 1, 4, 3deg1nn0cl 22466 . . . . . . 7
3428, 30, 32, 33syl3anc 1229 . . . . . 6 Domn
3526, 34eqeltrd 2531 . . . . 5 Domn
3635ralrimiva 2857 . . . 4 Domn
37 ffnfv 6042 . . . 4
3824, 36, 37sylanbrc 664 . . 3 Domn
39 eqid 2443 . . . . . 6 RLReg RLReg
40 eqid 2443 . . . . . 6
4127adantr 465 . . . . . 6 Domn
4229ad2antrl 727 . . . . . 6 Domn
4331ad2antrl 727 . . . . . 6 Domn
44 simpl 457 . . . . . . 7 Domn Domn
45 eqid 2443 . . . . . . . 8 coe1 coe1
4617, 1, 4, 3, 39, 45deg1ldgdomn 22472 . . . . . . 7 Domn coe1 RLReg
4744, 42, 43, 46syl3anc 1229 . . . . . 6 Domn coe1 RLReg
48 eldifi 3611 . . . . . . 7
4948ad2antll 728 . . . . . 6 Domn
50 eldifsni 4141 . . . . . . 7
5150ad2antll 728 . . . . . 6 Domn
5217, 1, 39, 3, 40, 4, 41, 42, 43, 47, 49, 51deg1mul2 22493 . . . . 5 Domn
53 domnring 17924 . . . . . . . . . 10 Domn
542, 53syl 16 . . . . . . . . 9 Domn
5554adantr 465 . . . . . . . 8 Domn
563, 40ringcl 17191 . . . . . . . 8
5755, 42, 49, 56syl3anc 1229 . . . . . . 7 Domn
582adantr 465 . . . . . . . 8 Domn Domn
593, 40, 4domnmuln0 17926 . . . . . . . 8 Domn
6058, 42, 43, 49, 51, 59syl122anc 1238 . . . . . . 7 Domn
61 eldifsn 4140 . . . . . . 7
6257, 60, 61sylanbrc 664 . . . . . 6 Domn
63 fvres 5870 . . . . . 6
6462, 63syl 16 . . . . 5 Domn
65 fvres 5870 . . . . . . 7
6625, 65oveqan12d 6300 . . . . . 6
6766adantl 466 . . . . 5 Domn
6852, 64, 673eqtr4d 2494 . . . 4 Domn
6968ralrimivva 2864 . . 3 Domn
70 eqid 2443 . . . . . . . 8
713, 70ringidcl 17198 . . . . . . 7
7254, 71syl 16 . . . . . 6 Domn
73 domnnzr 17923 . . . . . . 7 Domn NzRing
7470, 4nzrnz 17887 . . . . . . 7 NzRing
752, 73, 743syl 20 . . . . . 6 Domn
76 eldifsn 4140 . . . . . 6
7772, 75, 76sylanbrc 664 . . . . 5 Domn
78 fvres 5870 . . . . 5
7977, 78syl 16 . . . 4 Domn
805, 70ringidval 17134 . . . . . . 7 mulGrp
819, 80subm0 15966 . . . . . 6 SubMndmulGrp
828, 81syl 16 . . . . 5 Domn
8382fveq2d 5860 . . . 4 Domn
84 domnnzr 17923 . . . . 5 Domn NzRing
85 eqid 2443 . . . . . . 7 Monic1p Monic1p
861, 70, 85, 17mon1pid 31141 . . . . . 6 NzRing Monic1p
8786simprd 463 . . . . 5 NzRing
8884, 87syl 16 . . . 4 Domn
8979, 83, 883eqtr3d 2492 . . 3 Domn
9038, 69, 893jca 1177 . 2 Domn
915, 3mgpbas 17126 . . . . 5 mulGrp
929, 91ressbas2 14670 . . . 4
9321, 92ax-mp 5 . . 3
94 nn0sscn 10807 . . . 4
95 cnfldbas 18403 . . . . 5 fld
9613, 95ressbas2 14670 . . . 4
9794, 96ax-mp 5 . . 3
98 fvex 5866 . . . . . 6
993, 98eqeltri 2527 . . . . 5
100 difexg 4585 . . . . 5
10199, 100ax-mp 5 . . . 4
1025, 40mgpplusg 17124 . . . . 5 mulGrp
1039, 102ressplusg 14721 . . . 4
104101, 103ax-mp 5 . . 3
105 nn0ex 10808 . . . 4
106 cnfldadd 18404 . . . . 5 fld
10713, 106ressplusg 14721 . . . 4
108105, 107ax-mp 5 . . 3
109 eqid 2443 . . 3
110 cnfld0 18421 . . . . 5 fld
11113, 110subm0 15966 . . . 4 SubMndfld
11212, 111ax-mp 5 . . 3
11393, 97, 104, 108, 109, 112ismhm 15947 . 2 MndHom
11416, 90, 113sylanbrc 664 1 Domn MndHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 974   wceq 1383   wcel 1804   wne 2638  wral 2793  cvv 3095   cdif 3458   wss 3461  csn 4014   cres 4991   wfn 5573  wf 5574  cfv 5578  (class class class)co 6281  cc 9493  cc0 9495   caddc 9498  cxr 9630  cn0 10802  cbs 14614   ↾s cress 14615   cplusg 14679  cmulr 14680  c0g 14819  cmnd 15898   MndHom cmhm 15943  SubMndcsubmnd 15944  mulGrpcmgp 17120  cur 17132  crg 17177  NzRingcnzr 17884  RLRegcrlreg 17906  Domncdomn 17907  Poly1cpl1 18195  coe1cco1 18196  ℂfldccnfld 18399   deg1 cdg1 22430  Monic1pcmn1 22504 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-seq 12090  df-hash 12388  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-mhm 15945  df-submnd 15946  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-sbg 16038  df-mulg 16039  df-subg 16177  df-ghm 16244  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-abl 16780  df-mgp 17121  df-ur 17133  df-ring 17179  df-cring 17180  df-subrg 17406  df-lmod 17493  df-lss 17558  df-nzr 17885  df-rlreg 17910  df-domn 17911  df-ascl 17942  df-psr 17984  df-mvr 17985  df-mpl 17986  df-opsr 17988  df-psr1 18198  df-vr1 18199  df-ply1 18200  df-coe1 18201  df-cnfld 18400  df-mdeg 22431  df-deg1 22432  df-mon1 22509 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator