MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1lt0 Structured version   Unicode version

Theorem deg1lt0 21581
Description: A polynomial is zero iff it has negative degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1z.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1z.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1z.z  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
deg1nn0cl.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
deg1lt0  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  (
( D `  F
)  <  0  <->  F  =  .0.  ) )

Proof of Theorem deg1lt0
StepHypRef Expression
1 deg1z.d . . . . . 6  |-  D  =  ( deg1  `  R )
2 deg1z.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
3 deg1z.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
4 deg1nn0cl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  P
)
51, 2, 3, 4deg1nn0cl 21578 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  F  =/= 
.0.  )  ->  ( D `  F )  e.  NN0 )
6 nn0nlt0 10625 . . . . 5  |-  ( ( D `  F )  e.  NN0  ->  -.  ( D `  F )  <  0 )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  F  =/= 
.0.  )  ->  -.  ( D `  F )  <  0 )
873expia 1189 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  ( F  =/=  .0.  ->  -.  ( D `  F )  <  0 ) )
98necon4ad 2694 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  (
( D `  F
)  <  0  ->  F  =  .0.  ) )
101, 2, 3deg1z 21577 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( D `
 .0.  )  = -oo )
11 mnflt0 11124 . . . . 5  |- -oo  <  0
1210, 11syl6eqbr 4348 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( D `
 .0.  )  <  0 )
1312adantr 465 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  ( D `  .0.  )  <  0 )
14 fveq2 5710 . . . 4  |-  ( F  =  .0.  ->  ( D `  F )  =  ( D `  .0.  ) )
1514breq1d 4321 . . 3  |-  ( F  =  .0.  ->  (
( D `  F
)  <  0  <->  ( D `  .0.  )  <  0
) )
1613, 15syl5ibrcom 222 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  ( F  =  .0.  ->  ( D `  F )  <  0 ) )
179, 16impbid 191 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  (
( D `  F
)  <  0  <->  F  =  .0.  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   class class class wbr 4311   ` cfv 5437   0cc0 9301   -oocmnf 9435    < clt 9437   NN0cn0 10598   Basecbs 14193   0gc0g 14397   Ringcrg 16664  Poly1cpl1 17652   deg1 cdg1 21542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-addf 9380  ax-mulf 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-se 4699  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-isom 5446  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6339  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-supp 6710  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-oadd 6943  df-er 7120  df-map 7235  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-fsupp 7640  df-sup 7710  df-oi 7743  df-card 8128  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-4 10401  df-5 10402  df-6 10403  df-7 10404  df-8 10405  df-9 10406  df-10 10407  df-n0 10599  df-z 10666  df-dec 10775  df-uz 10881  df-fz 11457  df-fzo 11568  df-seq 11826  df-hash 12123  df-struct 14195  df-ndx 14196  df-slot 14197  df-base 14198  df-sets 14199  df-ress 14200  df-plusg 14270  df-mulr 14271  df-starv 14272  df-sca 14273  df-vsca 14274  df-tset 14276  df-ple 14277  df-ds 14279  df-unif 14280  df-0g 14399  df-gsum 14400  df-mnd 15434  df-submnd 15484  df-grp 15564  df-minusg 15565  df-subg 15697  df-cntz 15854  df-cmn 16298  df-abl 16299  df-mgp 16611  df-ur 16623  df-rng 16666  df-cring 16667  df-psr 17442  df-mpl 17444  df-opsr 17446  df-psr1 17655  df-ply1 17657  df-cnfld 17838  df-mdeg 21543  df-deg1 21544
This theorem is referenced by:  hbtlem5  29507
  Copyright terms: Public domain W3C validator