MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1leb Structured version   Unicode version

Theorem deg1leb 21578
Description: Property of being of limited degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1leb.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1leb.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1leb.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
deg1leb.y  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
deg1leb.a  |-  A  =  (coe1 `  F )
Assertion
Ref Expression
deg1leb  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  -> 
( ( D `  F )  <_  G  <->  A. x  e.  NN0  ( G  <  x  ->  ( A `  x )  =  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    x,  .0.
Allowed substitution hints:    B( x)    D( x)    P( x)    R( x)    F( x)

Proof of Theorem deg1leb
Dummy variables  y 
b  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1leb.d . . . 4  |-  D  =  ( deg1  `  R )
21deg1fval 21563 . . 3  |-  D  =  ( 1o mDeg  R )
3 eqid 2443 . . 3  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
4 deg1leb.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
5 eqid 2443 . . . 4  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
6 deg1leb.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
74, 5, 6ply1bas 17663 . . 3  |-  B  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )
8 deg1leb.y . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
9 psr1baslem 17653 . . 3  |-  ( NN0 
^m  1o )  =  { a  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }
10 tdeglem2 21542 . . 3  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) )  =  ( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  (fld 
gsumg  b ) )
112, 3, 7, 8, 9, 10mdegleb 21547 . 2  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  -> 
( ( D `  F )  <_  G  <->  A. y  e.  ( NN0 
^m  1o ) ( G  <  ( ( b  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `
 y )  -> 
( F `  y
)  =  .0.  )
) )
12 df1o2 6944 . . . . 5  |-  1o  =  { (/) }
13 nn0ex 10597 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
14 0ex 4434 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
15 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) )  =  ( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) )
1612, 13, 14, 15mapsnf1o2 7272 . . . 4  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o )
-1-1-onto-> NN0
17 f1ofo 5660 . . . 4  |-  ( ( b  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -1-1-onto-> NN0  ->  ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o )
-onto->
NN0 )
18 breq2 4308 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) `
 y )  =  x  ->  ( G  <  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `  y
)  <->  G  <  x ) )
19 fveq2 5703 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) `
 y )  =  x  ->  ( A `  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `  y
) )  =  ( A `  x ) )
2019eqeq1d 2451 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) `
 y )  =  x  ->  ( ( A `  ( (
b  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `
 y ) )  =  .0.  <->  ( A `  x )  =  .0.  ) )
2118, 20imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) `
 y )  =  x  ->  ( ( G  <  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) `  y )  ->  ( A `  ( (
b  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `
 y ) )  =  .0.  )  <->  ( G  <  x  ->  ( A `  x )  =  .0.  ) ) )
2221cbvfo 6005 . . . 4  |-  ( ( b  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -onto-> NN0  ->  ( A. y  e.  ( NN0  ^m  1o ) ( G  <  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) `  y )  ->  ( A `  ( (
b  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `
 y ) )  =  .0.  )  <->  A. x  e.  NN0  ( G  < 
x  ->  ( A `  x )  =  .0.  ) ) )
2316, 17, 22mp2b 10 . . 3  |-  ( A. y  e.  ( NN0  ^m  1o ) ( G  <  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) `  y )  ->  ( A `  ( (
b  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `
 y ) )  =  .0.  )  <->  A. x  e.  NN0  ( G  < 
x  ->  ( A `  x )  =  .0.  ) )
24 fveq1 5702 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  y  ->  (
b `  (/) )  =  ( y `  (/) ) )
25 fvex 5713 . . . . . . . . . 10  |-  ( y `
 (/) )  e.  _V
2624, 15, 25fvmpt 5786 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  ( ( b  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `
 y )  =  ( y `  (/) ) )
2726fveq2d 5707 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  ( A `
 ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) `  y ) )  =  ( A `  (
y `  (/) ) ) )
2827adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  /\  y  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  ( A `  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `  y
) )  =  ( A `  ( y `
 (/) ) ) )
29 deg1leb.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  (coe1 `  F )
3029fvcoe1 17675 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  B  /\  y  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( A `
 ( y `  (/) ) ) )
3130adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  /\  y  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  ( F `  y )  =  ( A `  ( y `
 (/) ) ) )
3228, 31eqtr4d 2478 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  /\  y  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  ( A `  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `  y
) )  =  ( F `  y ) )
3332eqeq1d 2451 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  /\  y  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  ( ( A `
 ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) `  y ) )  =  .0.  <->  ( F `  y )  =  .0.  ) )
3433imbi2d 316 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  /\  y  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  ( ( G  <  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) `  y )  ->  ( A `  ( (
b  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `
 y ) )  =  .0.  )  <->  ( G  <  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `  y
)  ->  ( F `  y )  =  .0.  ) ) )
3534ralbidva 2743 . . 3  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  -> 
( A. y  e.  ( NN0  ^m  1o ) ( G  < 
( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `  y
)  ->  ( A `  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `  y
) )  =  .0.  )  <->  A. y  e.  ( NN0  ^m  1o ) ( G  <  (
( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) `
 y )  -> 
( F `  y
)  =  .0.  )
) )
3623, 35syl5bbr 259 . 2  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  -> 
( A. x  e. 
NN0  ( G  < 
x  ->  ( A `  x )  =  .0.  )  <->  A. y  e.  ( NN0  ^m  1o ) ( G  <  (
( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) `
 y )  -> 
( F `  y
)  =  .0.  )
) )
3711, 36bitr4d 256 1  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  -> 
( ( D `  F )  <_  G  <->  A. x  e.  NN0  ( G  <  x  ->  ( A `  x )  =  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727   (/)c0 3649   class class class wbr 4304    e. cmpt 4362   -onto->wfo 5428   -1-1-onto->wf1o 5429   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   1oc1o 6925    ^m cmap 7226   RR*cxr 9429    < clt 9430    <_ cle 9431   NN0cn0 10591   Basecbs 14186   0gc0g 14390   mPoly cmpl 17432  PwSer1cps1 17643  Poly1cpl1 17645  coe1cco1 17646   deg1 cdg1 21535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372  ax-addf 9373  ax-mulf 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-seq 11819  df-hash 12116  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-starv 14265  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-unif 14273  df-0g 14392  df-gsum 14393  df-mnd 15427  df-submnd 15477  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-mulg 15560  df-cntz 15847  df-cmn 16291  df-abl 16292  df-mgp 16604  df-ur 16616  df-rng 16659  df-cring 16660  df-psr 17435  df-mpl 17437  df-opsr 17439  df-psr1 17648  df-ply1 17650  df-coe1 17651  df-cnfld 17831  df-mdeg 21536  df-deg1 21537
This theorem is referenced by:  deg1lt  21581  deg1tmle  21601
  Copyright terms: Public domain W3C validator