MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1leb Structured version   Unicode version

Theorem deg1leb 22938
Description: Property of being of limited degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1leb.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1leb.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1leb.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
deg1leb.y  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
deg1leb.a  |-  A  =  (coe1 `  F )
Assertion
Ref Expression
deg1leb  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  -> 
( ( D `  F )  <_  G  <->  A. x  e.  NN0  ( G  <  x  ->  ( A `  x )  =  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    x,  .0.
Allowed substitution hints:    B( x)    D( x)    P( x)    R( x)    F( x)

Proof of Theorem deg1leb
Dummy variables  y 
b  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1leb.d . . . 4  |-  D  =  ( deg1  `  R )
21deg1fval 22923 . . 3  |-  D  =  ( 1o mDeg  R )
3 eqid 2420 . . 3  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
4 deg1leb.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
5 eqid 2420 . . . 4  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
6 deg1leb.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
74, 5, 6ply1bas 18716 . . 3  |-  B  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )
8 deg1leb.y . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
9 psr1baslem 18706 . . 3  |-  ( NN0 
^m  1o )  =  { a  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }
10 tdeglem2 22904 . . 3  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) )  =  ( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  (fld 
gsumg  b ) )
112, 3, 7, 8, 9, 10mdegleb 22907 . 2  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  -> 
( ( D `  F )  <_  G  <->  A. y  e.  ( NN0 
^m  1o ) ( G  <  ( ( b  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `
 y )  -> 
( F `  y
)  =  .0.  )
) )
12 df1o2 7193 . . . . 5  |-  1o  =  { (/) }
13 nn0ex 10864 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
14 0ex 4548 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
15 eqid 2420 . . . . 5  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) )  =  ( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) )
1612, 13, 14, 15mapsnf1o2 7518 . . . 4  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o )
-1-1-onto-> NN0
17 f1ofo 5829 . . . 4  |-  ( ( b  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -1-1-onto-> NN0  ->  ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o )
-onto->
NN0 )
18 breq2 4421 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) `
 y )  =  x  ->  ( G  <  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `  y
)  <->  G  <  x ) )
19 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) `
 y )  =  x  ->  ( A `  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `  y
) )  =  ( A `  x ) )
2019eqeq1d 2422 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) `
 y )  =  x  ->  ( ( A `  ( (
b  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `
 y ) )  =  .0.  <->  ( A `  x )  =  .0.  ) )
2118, 20imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) `
 y )  =  x  ->  ( ( G  <  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) `  y )  ->  ( A `  ( (
b  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `
 y ) )  =  .0.  )  <->  ( G  <  x  ->  ( A `  x )  =  .0.  ) ) )
2221cbvfo 6193 . . . 4  |-  ( ( b  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -onto-> NN0  ->  ( A. y  e.  ( NN0  ^m  1o ) ( G  <  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) `  y )  ->  ( A `  ( (
b  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `
 y ) )  =  .0.  )  <->  A. x  e.  NN0  ( G  < 
x  ->  ( A `  x )  =  .0.  ) ) )
2316, 17, 22mp2b 10 . . 3  |-  ( A. y  e.  ( NN0  ^m  1o ) ( G  <  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) `  y )  ->  ( A `  ( (
b  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `
 y ) )  =  .0.  )  <->  A. x  e.  NN0  ( G  < 
x  ->  ( A `  x )  =  .0.  ) )
24 fveq1 5871 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  y  ->  (
b `  (/) )  =  ( y `  (/) ) )
25 fvex 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( y `
 (/) )  e.  _V
2624, 15, 25fvmpt 5955 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  ( ( b  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `
 y )  =  ( y `  (/) ) )
2726fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  ( A `
 ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) `  y ) )  =  ( A `  (
y `  (/) ) ) )
2827adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  /\  y  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  ( A `  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `  y
) )  =  ( A `  ( y `
 (/) ) ) )
29 deg1leb.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  (coe1 `  F )
3029fvcoe1 18728 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  B  /\  y  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( A `
 ( y `  (/) ) ) )
3130adantlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  /\  y  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  ( F `  y )  =  ( A `  ( y `
 (/) ) ) )
3228, 31eqtr4d 2464 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  /\  y  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  ( A `  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `  y
) )  =  ( F `  y ) )
3332eqeq1d 2422 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  /\  y  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  ( ( A `
 ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) `  y ) )  =  .0.  <->  ( F `  y )  =  .0.  ) )
3433imbi2d 317 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  /\  y  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  ( ( G  <  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) `  y )  ->  ( A `  ( (
b  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `
 y ) )  =  .0.  )  <->  ( G  <  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `  y
)  ->  ( F `  y )  =  .0.  ) ) )
3534ralbidva 2859 . . 3  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  -> 
( A. y  e.  ( NN0  ^m  1o ) ( G  < 
( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `  y
)  ->  ( A `  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `  y
) )  =  .0.  )  <->  A. y  e.  ( NN0  ^m  1o ) ( G  <  (
( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) `
 y )  -> 
( F `  y
)  =  .0.  )
) )
3623, 35syl5bbr 262 . 2  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  -> 
( A. x  e. 
NN0  ( G  < 
x  ->  ( A `  x )  =  .0.  )  <->  A. y  e.  ( NN0  ^m  1o ) ( G  <  (
( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) `
 y )  -> 
( F `  y
)  =  .0.  )
) )
3711, 36bitr4d 259 1  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  -> 
( ( D `  F )  <_  G  <->  A. x  e.  NN0  ( G  <  x  ->  ( A `  x )  =  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   A.wral 2773   (/)c0 3758   class class class wbr 4417    |-> cmpt 4475   -onto->wfo 5590   -1-1-onto->wf1o 5591   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   1oc1o 7174    ^m cmap 7471   RR*cxr 9663    < clt 9664    <_ cle 9665   NN0cn0 10858   Basecbs 15073   0gc0g 15290   mPoly cmpl 18505  PwSer1cps1 18696  Poly1cpl1 18698  coe1cco1 18699   deg1 cdg1 22897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606  ax-addf 9607  ax-mulf 9608
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6917  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fsupp 7881  df-sup 7953  df-oi 8016  df-card 8363  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-seq 12200  df-hash 12502  df-struct 15075  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-sets 15079  df-ress 15080  df-plusg 15155  df-mulr 15156  df-starv 15157  df-sca 15158  df-vsca 15159  df-tset 15161  df-ple 15162  df-ds 15164  df-unif 15165  df-0g 15292  df-gsum 15293  df-mgm 16432  df-sgrp 16471  df-mnd 16481  df-submnd 16527  df-grp 16617  df-minusg 16618  df-mulg 16620  df-cntz 16915  df-cmn 17360  df-abl 17361  df-mgp 17652  df-ur 17664  df-ring 17710  df-cring 17711  df-psr 18508  df-mpl 18510  df-opsr 18512  df-psr1 18701  df-ply1 18703  df-coe1 18704  df-cnfld 18899  df-mdeg 22898  df-deg1 22899
This theorem is referenced by:  deg1lt  22940  deg1tmle  22960
  Copyright terms: Public domain W3C validator