MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1ldgdomn Structured version   Unicode version

Theorem deg1ldgdomn 22920
Description: A nonzero univariate polynomial over a domain always has a non-zero-divisor leading coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1z.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1z.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1z.z  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
deg1nn0cl.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
deg1ldgdomn.e  |-  E  =  (RLReg `  R )
deg1ldgdomn.a  |-  A  =  (coe1 `  F )
Assertion
Ref Expression
deg1ldgdomn  |-  ( ( R  e. Domn  /\  F  e.  B  /\  F  =/= 
.0.  )  ->  ( A `  ( D `  F ) )  e.  E )

Proof of Theorem deg1ldgdomn
StepHypRef Expression
1 simp1 1005 . 2  |-  ( ( R  e. Domn  /\  F  e.  B  /\  F  =/= 
.0.  )  ->  R  e. Domn )
2 deg1ldgdomn.a . . . . 5  |-  A  =  (coe1 `  F )
3 deg1nn0cl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  P
)
4 deg1z.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
5 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
62, 3, 4, 5coe1f 18739 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  A : NN0 --> ( Base `  R
) )
763ad2ant2 1027 . . 3  |-  ( ( R  e. Domn  /\  F  e.  B  /\  F  =/= 
.0.  )  ->  A : NN0 --> ( Base `  R
) )
8 domnring 18455 . . . 4  |-  ( R  e. Domn  ->  R  e.  Ring )
9 deg1z.d . . . . 5  |-  D  =  ( deg1  `  R )
10 deg1z.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
119, 4, 10, 3deg1nn0cl 22914 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  F  =/= 
.0.  )  ->  ( D `  F )  e.  NN0 )
128, 11syl3an1 1297 . . 3  |-  ( ( R  e. Domn  /\  F  e.  B  /\  F  =/= 
.0.  )  ->  ( D `  F )  e.  NN0 )
137, 12ffvelrnd 6038 . 2  |-  ( ( R  e. Domn  /\  F  e.  B  /\  F  =/= 
.0.  )  ->  ( A `  ( D `  F ) )  e.  ( Base `  R
) )
14 eqid 2429 . . . 4  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
159, 4, 10, 3, 14, 2deg1ldg 22918 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  F  =/= 
.0.  )  ->  ( A `  ( D `  F ) )  =/=  ( 0g `  R
) )
168, 15syl3an1 1297 . 2  |-  ( ( R  e. Domn  /\  F  e.  B  /\  F  =/= 
.0.  )  ->  ( A `  ( D `  F ) )  =/=  ( 0g `  R
) )
17 deg1ldgdomn.e . . 3  |-  E  =  (RLReg `  R )
185, 17, 14domnrrg 18459 . 2  |-  ( ( R  e. Domn  /\  ( A `  ( D `  F ) )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( A `  ( D `  F
) )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( A `  ( D `  F ) )  e.  E )
191, 13, 16, 18syl3anc 1264 1  |-  ( ( R  e. Domn  /\  F  e.  B  /\  F  =/= 
.0.  )  ->  ( A `  ( D `  F ) )  e.  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   -->wf 5597   ` cfv 5601   NN0cn0 10869   Basecbs 15084   0gc0g 15297   Ringcrg 17715  RLRegcrlreg 18438  Domncdomn 18439  Poly1cpl1 18705  coe1cco1 18706   deg1 cdg1 22880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-cring 17718  df-nzr 18417  df-rlreg 18442  df-domn 18443  df-psr 18515  df-mpl 18517  df-opsr 18519  df-psr1 18708  df-ply1 18710  df-coe1 18711  df-cnfld 18906  df-mdeg 22881  df-deg1 22882
This theorem is referenced by:  ply1domn  22949  deg1mhm  35786
  Copyright terms: Public domain W3C validator