Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1ldg Structured version   Unicode version

Theorem deg1ldg 22470
 Description: A nonzero univariate polynomial always has a nonzero leading coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1z.d deg1
deg1z.p Poly1
deg1z.z
deg1nn0cl.b
deg1ldg.y
deg1ldg.a coe1
Assertion
Ref Expression
deg1ldg

Proof of Theorem deg1ldg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1z.d . . . 4 deg1
21deg1fval 22458 . . 3 mDeg
3 eqid 2443 . . 3 mPoly mPoly
4 deg1z.p . . . 4 Poly1
5 eqid 2443 . . . 4 PwSer1 PwSer1
6 deg1nn0cl.b . . . 4
74, 5, 6ply1bas 18213 . . 3 mPoly
8 deg1ldg.y . . 3
9 psr1baslem 18203 . . 3
10 tdeglem2 22437 . . 3 fld g
11 deg1z.z . . . 4
123, 4, 11ply1mpl0 18275 . . 3 mPoly
132, 3, 7, 8, 9, 10, 12mdegldg 22444 . 2
14 deg1ldg.a . . . . . . . . . . 11 coe1
1514fvcoe1 18225 . . . . . . . . . 10
16153ad2antl2 1160 . . . . . . . . 9
17 fveq1 5855 . . . . . . . . . . . 12
18 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12
19 fvex 5866 . . . . . . . . . . . 12
2017, 18, 19fvmpt 5941 . . . . . . . . . . 11
2120fveq2d 5860 . . . . . . . . . 10
2221adantl 466 . . . . . . . . 9
2316, 22eqtr4d 2487 . . . . . . . 8
2423neeq1d 2720 . . . . . . 7
2524anbi1d 704 . . . . . 6
26 ancom 450 . . . . . 6
2725, 26syl6bb 261 . . . . 5
2827rexbidva 2951 . . . 4
29 df1o2 7144 . . . . . 6
30 nn0ex 10808 . . . . . 6
31 0ex 4567 . . . . . 6
3229, 30, 31, 18mapsnf1o2 7468 . . . . 5
33 f1ofo 5813 . . . . 5
34 eqeq1 2447 . . . . . . 7
35 fveq2 5856 . . . . . . . 8
3635neeq1d 2720 . . . . . . 7
3734, 36anbi12d 710 . . . . . 6
3837cbvexfo 6178 . . . . 5
3932, 33, 38mp2b 10 . . . 4
4028, 39syl6bb 261 . . 3
411, 4, 11, 6deg1nn0cl 22466 . . . 4
42 fveq2 5856 . . . . . 6
4342neeq1d 2720 . . . . 5
4443ceqsrexv 3219 . . . 4
4541, 44syl 16 . . 3
4640, 45bitrd 253 . 2
4713, 46mpbid 210 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 974   wceq 1383   wcel 1804   wne 2638  wrex 2794  c0 3770   cmpt 4495  wfo 5576  wf1o 5577  cfv 5578  (class class class)co 6281  c1o 7125   cmap 7422  cn0 10802  cbs 14614  c0g 14819  crg 17177   mPoly cmpl 17981  PwSer1cps1 18193  Poly1cpl1 18195  coe1cco1 18196   deg1 cdg1 22430 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-addf 9574  ax-mulf 9575 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-seq 12090  df-hash 12388  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-mulg 16039  df-subg 16177  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-abl 16780  df-mgp 17121  df-ur 17133  df-ring 17179  df-cring 17180  df-psr 17984  df-mpl 17986  df-opsr 17988  df-psr1 18198  df-ply1 18200  df-coe1 18201  df-cnfld 18400  df-mdeg 22431  df-deg1 22432 This theorem is referenced by:  deg1ldgn  22471  deg1ldgdomn  22472  deg1add  22482  deg1mul2  22493  drnguc1p  22549
 Copyright terms: Public domain W3C validator