MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1addle Structured version   Unicode version

Theorem deg1addle 22372
Description: The degree of a sum is at most the maximum of the degrees of the factors. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1addle.y  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
deg1addle.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1addle.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
deg1addle.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
deg1addle.p  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
deg1addle.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
deg1addle.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
Assertion
Ref Expression
deg1addle  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .+  G ) )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) ) )

Proof of Theorem deg1addle
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . 2  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
2 deg1addle.d . . 3  |-  D  =  ( deg1  `  R )
32deg1fval 22350 . 2  |-  D  =  ( 1o mDeg  R )
4 1on 7136 . . 3  |-  1o  e.  On
54a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  1o  e.  On )
6 deg1addle.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
7 eqid 2441 . 2  |-  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)
8 deg1addle.y . . 3  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
9 deg1addle.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
108, 1, 9ply1plusg 18137 . 2  |-  .+  =  ( +g  `  ( 1o mPoly  R ) )
11 deg1addle.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
12 deg1addle.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
138, 12ply1bascl2 18114 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  F  e.  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) ) )
1411, 13syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
) )
15 deg1addle.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
168, 12ply1bascl2 18114 . . 3  |-  ( G  e.  B  ->  G  e.  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) ) )
1715, 16syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
) )
181, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 17mdegaddle 22344 1  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .+  G ) )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1381    e. wcel 1802   ifcif 3923   class class class wbr 4434   Oncon0 4865   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   1oc1o 7122    <_ cle 9629   Basecbs 14506   +g cplusg 14571   Ringcrg 17069   mPoly cmpl 17873  Poly1cpl1 18087   deg1 cdg1 22322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-int 4269  df-iun 4314  df-iin 4315  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-se 4826  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-isom 5584  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-supp 6901  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-1o 7129  df-2o 7130  df-oadd 7133  df-er 7310  df-map 7421  df-pm 7422  df-ixp 7469  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-fin 7519  df-fsupp 7829  df-sup 7900  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-nn 10540  df-2 10597  df-3 10598  df-4 10599  df-5 10600  df-6 10601  df-7 10602  df-8 10603  df-9 10604  df-10 10605  df-n0 10799  df-z 10868  df-dec 10982  df-uz 11088  df-fz 11679  df-fzo 11801  df-seq 12084  df-hash 12382  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-starv 14586  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-unif 14594  df-0g 14713  df-gsum 14714  df-mre 14857  df-mrc 14858  df-acs 14860  df-mgm 15743  df-sgrp 15782  df-mnd 15792  df-mhm 15837  df-submnd 15838  df-grp 15928  df-minusg 15929  df-mulg 15931  df-subg 16069  df-ghm 16136  df-cntz 16226  df-cmn 16671  df-abl 16672  df-mgp 17013  df-ur 17025  df-ring 17071  df-cring 17072  df-subrg 17298  df-psr 17876  df-mpl 17878  df-opsr 17880  df-psr1 18090  df-ply1 18092  df-cnfld 18292  df-mdeg 22323  df-deg1 22324
This theorem is referenced by:  deg1addle2  22373  deg1add  22374  deg1suble  22378
  Copyright terms: Public domain W3C validator