MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1addle Structured version   Unicode version

Theorem deg1addle 22606
Description: The degree of a sum is at most the maximum of the degrees of the factors. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1addle.y  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
deg1addle.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1addle.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
deg1addle.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
deg1addle.p  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
deg1addle.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
deg1addle.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
Assertion
Ref Expression
deg1addle  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .+  G ) )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) ) )

Proof of Theorem deg1addle
StepHypRef Expression
1 eqid 2392 . 2  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
2 deg1addle.d . . 3  |-  D  =  ( deg1  `  R )
32deg1fval 22584 . 2  |-  D  =  ( 1o mDeg  R )
4 1on 7073 . . 3  |-  1o  e.  On
54a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  1o  e.  On )
6 deg1addle.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
7 eqid 2392 . 2  |-  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)
8 deg1addle.y . . 3  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
9 deg1addle.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
108, 1, 9ply1plusg 18398 . 2  |-  .+  =  ( +g  `  ( 1o mPoly  R ) )
11 deg1addle.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
12 deg1addle.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
138, 12ply1bascl2 18375 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  F  e.  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) ) )
1411, 13syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
) )
15 deg1addle.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
168, 12ply1bascl2 18375 . . 3  |-  ( G  e.  B  ->  G  e.  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) ) )
1715, 16syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
) )
181, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 17mdegaddle 22578 1  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .+  G ) )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1399    e. wcel 1836   ifcif 3870   class class class wbr 4380   Oncon0 4805   ` cfv 5509  (class class class)co 6214   1oc1o 7059    <_ cle 9558   Basecbs 14653   +g cplusg 14721   Ringcrg 17330   mPoly cmpl 18134  Poly1cpl1 18348   deg1 cdg1 22556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-rep 4491  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509  ax-inf2 7990  ax-cnex 9477  ax-resscn 9478  ax-1cn 9479  ax-icn 9480  ax-addcl 9481  ax-addrcl 9482  ax-mulcl 9483  ax-mulrcl 9484  ax-mulcom 9485  ax-addass 9486  ax-mulass 9487  ax-distr 9488  ax-i2m1 9489  ax-1ne0 9490  ax-1rid 9491  ax-rnegex 9492  ax-rrecex 9493  ax-cnre 9494  ax-pre-lttri 9495  ax-pre-lttrn 9496  ax-pre-ltadd 9497  ax-pre-mulgt0 9498  ax-pre-sup 9499  ax-addf 9500  ax-mulf 9501
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-nel 2590  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rmo 2750  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-pss 3418  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-tp 3962  df-op 3964  df-uni 4177  df-int 4213  df-iun 4258  df-iin 4259  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-tr 4474  df-eprel 4718  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-fr 4765  df-se 4766  df-we 4767  df-ord 4808  df-on 4809  df-lim 4810  df-suc 4811  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-isom 5518  df-riota 6176  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-of 6457  df-ofr 6458  df-om 6618  df-1st 6717  df-2nd 6718  df-supp 6836  df-recs 6978  df-rdg 7012  df-1o 7066  df-2o 7067  df-oadd 7070  df-er 7247  df-map 7358  df-pm 7359  df-ixp 7407  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-fin 7457  df-fsupp 7763  df-sup 7834  df-oi 7868  df-card 8251  df-pnf 9559  df-mnf 9560  df-xr 9561  df-ltxr 9562  df-le 9563  df-sub 9738  df-neg 9739  df-nn 10471  df-2 10529  df-3 10530  df-4 10531  df-5 10532  df-6 10533  df-7 10534  df-8 10535  df-9 10536  df-10 10537  df-n0 10731  df-z 10800  df-dec 10914  df-uz 11020  df-fz 11612  df-fzo 11736  df-seq 12030  df-hash 12327  df-struct 14655  df-ndx 14656  df-slot 14657  df-base 14658  df-sets 14659  df-ress 14660  df-plusg 14734  df-mulr 14735  df-starv 14736  df-sca 14737  df-vsca 14738  df-tset 14740  df-ple 14741  df-ds 14743  df-unif 14744  df-0g 14868  df-gsum 14869  df-mre 15012  df-mrc 15013  df-acs 15015  df-mgm 16008  df-sgrp 16047  df-mnd 16057  df-mhm 16102  df-submnd 16103  df-grp 16193  df-minusg 16194  df-mulg 16196  df-subg 16334  df-ghm 16401  df-cntz 16491  df-cmn 16936  df-abl 16937  df-mgp 17274  df-ur 17286  df-ring 17332  df-cring 17333  df-subrg 17559  df-psr 18137  df-mpl 18139  df-opsr 18141  df-psr1 18351  df-ply1 18353  df-cnfld 18553  df-mdeg 22557  df-deg1 22558
This theorem is referenced by:  deg1addle2  22607  deg1add  22608  deg1suble  22612
  Copyright terms: Public domain W3C validator