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Theorem dedekindle 9733
Description: The Dedekind cut theorem, with the hypothesis weakened to only require non-strict less than. (Contributed by Scott Fenton, 2-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
dedekindle  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    x, B, y, z

Proof of Theorem dedekindle
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 997 . . . 4  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y ) )  ->  A  C_  RR )
2 simpr2 998 . . . 4  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y ) )  ->  B  C_  RR )
3 simp1 991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
4 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  A )
5 disjel 3866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  x  e.  A )  ->  -.  x  e.  B )
63, 4, 5syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  -.  x  e.  B )
7 eleq1 2532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  B  <->  x  e.  B ) )
87biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  B  ->  (
y  =  x  ->  x  e.  B )
)
98necon3bd 2672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  B  ->  ( -.  x  e.  B  ->  y  =/=  x ) )
109ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  ( -.  x  e.  B  ->  y  =/=  x ) )
116, 10mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  y  =/=  x )
12 simp2 992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  ->  A  C_  RR )
13 ssel2 3492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
1412, 4, 13syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  RR )
15 simp3 993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  ->  B  C_  RR )
16 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
17 ssel2 3492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  C_  RR  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  RR )
1815, 16, 17syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  RR )
1914, 18ltlend 9718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x  <  y  <->  ( x  <_ 
y  /\  y  =/=  x ) ) )
2019biimprd 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
x  <_  y  /\  y  =/=  x )  ->  x  <  y ) )
2111, 20mpan2d 674 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x  <_  y  ->  x  <  y ) )
2221anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  B )  ->  (
x  <_  y  ->  x  <  y ) )
2322ralimdva 2865 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  B  x  <_  y  ->  A. y  e.  B  x  <  y ) )
2423ralimdva 2865 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y ) )
25243exp 1190 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( A 
C_  RR  ->  ( B 
C_  RR  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y ) ) ) )
26253imp2 1206 . . . 4  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )
27 dedekind 9732 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )
281, 2, 26, 27syl3anc 1223 . . 3  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y ) )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )
2928ex 434 . 2  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) ) )
30 n0 3787 . . 3  |-  ( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  ( A  i^i  B
) )
31 simp1 991 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  ->  A  C_  RR )
32 inss1 3711 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  B )  C_  A
3332sseli 3493 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  ( A  i^i  B )  ->  w  e.  A )
34 ssel2 3492 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  RR )
3531, 33, 34syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  w  e.  ( A  i^i  B
) )  ->  w  e.  RR )
36 nfv 1678 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  A  C_  RR
37 nfv 1678 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  B  C_  RR
38 nfra1 2838 . . . . . . . . 9  |-  F/ x A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y
3936, 37, 38nf3an 1872 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )
40 nfv 1678 . . . . . . . 8  |-  F/ x  w  e.  ( A  i^i  B )
4139, 40nfan 1870 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  w  e.  ( A  i^i  B ) )
42 nfv 1678 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y  A  C_  RR
43 nfv 1678 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y  B  C_  RR
44 nfra2 2844 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y
4542, 43, 44nf3an 1872 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )
46 nfv 1678 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A
)
4745, 46nfan 1870 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  ( w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )
)
48 rsp 2823 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y  ->  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  B  x  <_  y ) )
49 inss2 3712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  i^i  B )  C_  B
5049sseli 3493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  ( A  i^i  B )  ->  w  e.  B )
51 breq2 4444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  w  ->  (
x  <_  y  <->  x  <_  w ) )
5251rspccv 3204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. y  e.  B  x  <_  y  ->  ( w  e.  B  ->  x  <_  w ) )
5350, 52syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  B  x  <_  y  ->  ( w  e.  ( A  i^i  B
)  ->  x  <_  w ) )
5448, 53syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y  ->  ( x  e.  A  ->  ( w  e.  ( A  i^i  B )  ->  x  <_  w ) ) )
5554com23 78 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y  ->  ( w  e.  ( A  i^i  B
)  ->  ( x  e.  A  ->  x  <_  w ) ) )
5655imp32 433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  (
w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )
)  ->  x  <_  w )
57563ad2antl3 1155 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  (
w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )
)  ->  x  <_  w )
5857adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  ( w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )
)  /\  y  e.  B )  ->  x  <_  w )
59 simp3 993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )
6033adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )  ->  w  e.  A )
61 breq1 4443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  (
x  <_  y  <->  w  <_  y ) )
6261ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  B  x  <_  y  <->  A. y  e.  B  w  <_  y ) )
6362rspccva 3206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  w  e.  A )  ->  A. y  e.  B  w  <_  y )
6459, 60, 63syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  (
w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )
)  ->  A. y  e.  B  w  <_  y )
6564r19.21bi 2826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  ( w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )
)  /\  y  e.  B )  ->  w  <_  y )
6658, 65jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  ( w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )
)  /\  y  e.  B )  ->  (
x  <_  w  /\  w  <_  y ) )
6766ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  (
w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )
)  ->  ( y  e.  B  ->  ( x  <_  w  /\  w  <_  y ) ) )
6847, 67ralrimi 2857 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  (
w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )
)  ->  A. y  e.  B  ( x  <_  w  /\  w  <_ 
y ) )
6968expr 615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  w  e.  ( A  i^i  B
) )  ->  (
x  e.  A  ->  A. y  e.  B  ( x  <_  w  /\  w  <_  y ) ) )
7041, 69ralrimi 2857 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  w  e.  ( A  i^i  B
) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_  w  /\  w  <_ 
y ) )
71 breq2 4444 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
x  <_  z  <->  x  <_  w ) )
72 breq1 4443 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
z  <_  y  <->  w  <_  y ) )
7371, 72anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
( x  <_  z  /\  z  <_  y )  <-> 
( x  <_  w  /\  w  <_  y ) ) )
74732ralbidv 2901 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_  z  /\  z  <_  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_  w  /\  w  <_ 
y ) ) )
7574rspcev 3207 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x  <_  w  /\  w  <_  y ) )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) )
7635, 70, 75syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  w  e.  ( A  i^i  B
) )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )
7776expcom 435 . . . 4  |-  ( w  e.  ( A  i^i  B )  ->  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) ) )
7877exlimiv 1693 . . 3  |-  ( E. w  w  e.  ( A  i^i  B )  ->  ( ( A 
C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y
)  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) ) )
7930, 78sylbi 195 . 2  |-  ( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  ->  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) ) )
8029, 79pm2.61ine 2773 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762    =/= wne 2655   A.wral 2807   E.wrex 2808    i^i cin 3468    C_ wss 3469   (/)c0 3778   class class class wbr 4440   RRcr 9480    < clt 9617    <_ cle 9618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623
This theorem is referenced by:  axcontlem10  23945
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