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Theorem dedekindle 9762
Description: The Dedekind cut theorem, with the hypothesis weakened to only require non-strict less than. (Contributed by Scott Fenton, 2-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
dedekindle  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    x, B, y, z

Proof of Theorem dedekindle
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1002 . . . 4  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y ) )  ->  A  C_  RR )
2 simpr2 1003 . . . 4  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y ) )  ->  B  C_  RR )
3 simp1 996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
4 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  A )
5 disjel 3876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  x  e.  A )  ->  -.  x  e.  B )
63, 4, 5syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  -.  x  e.  B )
7 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  B  <->  x  e.  B ) )
87biimpcd 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  B  ->  (
y  =  x  ->  x  e.  B )
)
98necon3bd 2669 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  B  ->  ( -.  x  e.  B  ->  y  =/=  x ) )
109ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  ( -.  x  e.  B  ->  y  =/=  x ) )
116, 10mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  y  =/=  x )
12 simp2 997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  ->  A  C_  RR )
13 ssel2 3494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
1412, 4, 13syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  RR )
15 simp3 998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  ->  B  C_  RR )
16 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
17 ssel2 3494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  C_  RR  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  RR )
1815, 16, 17syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  RR )
1914, 18ltlend 9747 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x  <  y  <->  ( x  <_ 
y  /\  y  =/=  x ) ) )
2019biimprd 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
x  <_  y  /\  y  =/=  x )  ->  x  <  y ) )
2111, 20mpan2d 674 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x  <_  y  ->  x  <  y ) )
2221ralimdvva 2868 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y ) )
23223exp 1195 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( A 
C_  RR  ->  ( B 
C_  RR  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y ) ) ) )
24233imp2 1211 . . . 4  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )
25 dedekind 9761 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )
261, 2, 24, 25syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y ) )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )
2726ex 434 . 2  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) ) )
28 n0 3803 . . 3  |-  ( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  ( A  i^i  B
) )
29 simp1 996 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  ->  A  C_  RR )
30 inss1 3714 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  B )  C_  A
3130sseli 3495 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  ( A  i^i  B )  ->  w  e.  A )
32 ssel2 3494 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  RR )
3329, 31, 32syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  w  e.  ( A  i^i  B
) )  ->  w  e.  RR )
34 nfv 1708 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  A  C_  RR
35 nfv 1708 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  B  C_  RR
36 nfra1 2838 . . . . . . . . 9  |-  F/ x A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y
3734, 35, 36nf3an 1931 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )
38 nfv 1708 . . . . . . . 8  |-  F/ x  w  e.  ( A  i^i  B )
3937, 38nfan 1929 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  w  e.  ( A  i^i  B ) )
40 nfv 1708 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y  A  C_  RR
41 nfv 1708 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y  B  C_  RR
42 nfra2 2844 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y
4340, 41, 42nf3an 1931 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )
44 nfv 1708 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A
)
4543, 44nfan 1929 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  ( w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )
)
46 rsp 2823 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y  ->  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  B  x  <_  y ) )
47 inss2 3715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  i^i  B )  C_  B
4847sseli 3495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  ( A  i^i  B )  ->  w  e.  B )
49 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  w  ->  (
x  <_  y  <->  x  <_  w ) )
5049rspccv 3207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. y  e.  B  x  <_  y  ->  ( w  e.  B  ->  x  <_  w ) )
5148, 50syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  B  x  <_  y  ->  ( w  e.  ( A  i^i  B
)  ->  x  <_  w ) )
5246, 51syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y  ->  ( x  e.  A  ->  ( w  e.  ( A  i^i  B )  ->  x  <_  w ) ) )
5352com23 78 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y  ->  ( w  e.  ( A  i^i  B
)  ->  ( x  e.  A  ->  x  <_  w ) ) )
5453imp32 433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  (
w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )
)  ->  x  <_  w )
55543ad2antl3 1160 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  (
w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )
)  ->  x  <_  w )
5655adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  ( w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )
)  /\  y  e.  B )  ->  x  <_  w )
57 simp3 998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )
5831adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )  ->  w  e.  A )
59 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  (
x  <_  y  <->  w  <_  y ) )
6059ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  B  x  <_  y  <->  A. y  e.  B  w  <_  y ) )
6160rspccva 3209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  w  e.  A )  ->  A. y  e.  B  w  <_  y )
6257, 58, 61syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  (
w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )
)  ->  A. y  e.  B  w  <_  y )
6362r19.21bi 2826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  ( w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )
)  /\  y  e.  B )  ->  w  <_  y )
6456, 63jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  ( w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )
)  /\  y  e.  B )  ->  (
x  <_  w  /\  w  <_  y ) )
6564ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  (
w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )
)  ->  ( y  e.  B  ->  ( x  <_  w  /\  w  <_  y ) ) )
6645, 65ralrimi 2857 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  (
w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )
)  ->  A. y  e.  B  ( x  <_  w  /\  w  <_ 
y ) )
6766expr 615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  w  e.  ( A  i^i  B
) )  ->  (
x  e.  A  ->  A. y  e.  B  ( x  <_  w  /\  w  <_  y ) ) )
6839, 67ralrimi 2857 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  w  e.  ( A  i^i  B
) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_  w  /\  w  <_ 
y ) )
69 breq2 4460 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
x  <_  z  <->  x  <_  w ) )
70 breq1 4459 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
z  <_  y  <->  w  <_  y ) )
7169, 70anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
( x  <_  z  /\  z  <_  y )  <-> 
( x  <_  w  /\  w  <_  y ) ) )
72712ralbidv 2901 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_  z  /\  z  <_  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_  w  /\  w  <_ 
y ) ) )
7372rspcev 3210 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x  <_  w  /\  w  <_  y ) )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) )
7433, 68, 73syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  w  e.  ( A  i^i  B
) )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )
7574expcom 435 . . . 4  |-  ( w  e.  ( A  i^i  B )  ->  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) ) )
7675exlimiv 1723 . . 3  |-  ( E. w  w  e.  ( A  i^i  B )  ->  ( ( A 
C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y
)  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) ) )
7728, 76sylbi 195 . 2  |-  ( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  ->  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) ) )
7827, 77pm2.61ine 2770 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456   RRcr 9508    < clt 9645    <_ cle 9646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651
This theorem is referenced by:  axcontlem10  24403
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