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Theorem dedekindle 9526
Description: The Dedekind cut theorem, with the hypothesis weakened to only require non-strict less than. (Contributed by Scott Fenton, 2-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
dedekindle  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    x, B, y, z

Proof of Theorem dedekindle
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 994 . . . 4  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y ) )  ->  A  C_  RR )
2 simpr2 995 . . . 4  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y ) )  ->  B  C_  RR )
3 simp1 988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
4 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  A )
5 disjel 3718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  x  e.  A )  ->  -.  x  e.  B )
63, 4, 5syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  -.  x  e.  B )
7 eleq1 2497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  B  <->  x  e.  B ) )
87biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  B  ->  (
y  =  x  ->  x  e.  B )
)
98necon3bd 2639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  B  ->  ( -.  x  e.  B  ->  y  =/=  x ) )
109ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  ( -.  x  e.  B  ->  y  =/=  x ) )
116, 10mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  y  =/=  x )
12 simp2 989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  ->  A  C_  RR )
13 ssel2 3344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
1412, 4, 13syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  RR )
15 simp3 990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  ->  B  C_  RR )
16 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
17 ssel2 3344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  C_  RR  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  RR )
1815, 16, 17syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  RR )
1914, 18ltlend 9511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x  <  y  <->  ( x  <_ 
y  /\  y  =/=  x ) ) )
2019biimprd 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
x  <_  y  /\  y  =/=  x )  ->  x  <  y ) )
2111, 20mpan2d 674 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x  <_  y  ->  x  <  y ) )
2221anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  B )  ->  (
x  <_  y  ->  x  <  y ) )
2322ralimdva 2788 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  B  x  <_  y  ->  A. y  e.  B  x  <  y ) )
2423ralimdva 2788 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y ) )
25243exp 1186 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( A 
C_  RR  ->  ( B 
C_  RR  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y ) ) ) )
26253imp2 1202 . . . 4  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )
27 dedekind 9525 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )
281, 2, 26, 27syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y ) )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )
2928ex 434 . 2  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) ) )
30 n0 3639 . . 3  |-  ( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  ( A  i^i  B
) )
31 simp1 988 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  ->  A  C_  RR )
32 inss1 3563 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  B )  C_  A
3332sseli 3345 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  ( A  i^i  B )  ->  w  e.  A )
34 ssel2 3344 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  RR )
3531, 33, 34syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  w  e.  ( A  i^i  B
) )  ->  w  e.  RR )
36 nfv 1673 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  A  C_  RR
37 nfv 1673 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  B  C_  RR
38 nfra1 2760 . . . . . . . . 9  |-  F/ x A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y
3936, 37, 38nf3an 1862 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )
40 nfv 1673 . . . . . . . 8  |-  F/ x  w  e.  ( A  i^i  B )
4139, 40nfan 1860 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  w  e.  ( A  i^i  B ) )
42 nfv 1673 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y  A  C_  RR
43 nfv 1673 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y  B  C_  RR
44 nfra2 2764 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y
4542, 43, 44nf3an 1862 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )
46 nfv 1673 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A
)
4745, 46nfan 1860 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  ( w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )
)
48 rsp 2770 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y  ->  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  B  x  <_  y ) )
49 inss2 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  i^i  B )  C_  B
5049sseli 3345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  ( A  i^i  B )  ->  w  e.  B )
51 breq2 4289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  w  ->  (
x  <_  y  <->  x  <_  w ) )
5251rspccv 3063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. y  e.  B  x  <_  y  ->  ( w  e.  B  ->  x  <_  w ) )
5350, 52syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  B  x  <_  y  ->  ( w  e.  ( A  i^i  B
)  ->  x  <_  w ) )
5448, 53syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y  ->  ( x  e.  A  ->  ( w  e.  ( A  i^i  B )  ->  x  <_  w ) ) )
5554com23 78 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y  ->  ( w  e.  ( A  i^i  B
)  ->  ( x  e.  A  ->  x  <_  w ) ) )
5655imp32 433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  (
w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )
)  ->  x  <_  w )
57563ad2antl3 1152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  (
w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )
)  ->  x  <_  w )
5857adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  ( w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )
)  /\  y  e.  B )  ->  x  <_  w )
59 simp3 990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )
6033adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )  ->  w  e.  A )
61 breq1 4288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  (
x  <_  y  <->  w  <_  y ) )
6261ralbidv 2729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  B  x  <_  y  <->  A. y  e.  B  w  <_  y ) )
6362rspccva 3065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  w  e.  A )  ->  A. y  e.  B  w  <_  y )
6459, 60, 63syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  (
w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )
)  ->  A. y  e.  B  w  <_  y )
6564r19.21bi 2808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  ( w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )
)  /\  y  e.  B )  ->  w  <_  y )
6658, 65jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  ( w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )
)  /\  y  e.  B )  ->  (
x  <_  w  /\  w  <_  y ) )
6766ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  (
w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )
)  ->  ( y  e.  B  ->  ( x  <_  w  /\  w  <_  y ) ) )
6847, 67ralrimi 2791 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  (
w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )
)  ->  A. y  e.  B  ( x  <_  w  /\  w  <_ 
y ) )
6968expr 615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  w  e.  ( A  i^i  B
) )  ->  (
x  e.  A  ->  A. y  e.  B  ( x  <_  w  /\  w  <_  y ) ) )
7041, 69ralrimi 2791 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  w  e.  ( A  i^i  B
) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_  w  /\  w  <_ 
y ) )
71 breq2 4289 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
x  <_  z  <->  x  <_  w ) )
72 breq1 4288 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
z  <_  y  <->  w  <_  y ) )
7371, 72anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
( x  <_  z  /\  z  <_  y )  <-> 
( x  <_  w  /\  w  <_  y ) ) )
74732ralbidv 2751 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_  z  /\  z  <_  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_  w  /\  w  <_ 
y ) ) )
7574rspcev 3066 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x  <_  w  /\  w  <_  y ) )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) )
7635, 70, 75syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  w  e.  ( A  i^i  B
) )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )
7776expcom 435 . . . 4  |-  ( w  e.  ( A  i^i  B )  ->  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) ) )
7877exlimiv 1688 . . 3  |-  ( E. w  w  e.  ( A  i^i  B )  ->  ( ( A 
C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y
)  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) ) )
7930, 78sylbi 195 . 2  |-  ( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  ->  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) ) )
8029, 79pm2.61ine 2681 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2600   A.wral 2709   E.wrex 2710    i^i cin 3320    C_ wss 3321   (/)c0 3630   class class class wbr 4285   RRcr 9273    < clt 9410    <_ cle 9411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-op 3877  df-uni 4085  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-ov 6089  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416
This theorem is referenced by:  axcontlem10  23164
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