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Theorem decpmatmul 19808
Description: The matrix consisting of the coefficients in the polynomial entries of the product of two polynomial matrices is a sum of products of the matrices consisting of the coefficients in the polynomial entries of the polynomial matrices for the same power. (Contributed by AV, 21-Oct-2019.) (Revised by AV, 3-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
decpmatmul.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
decpmatmul.c  |-  C  =  ( N Mat  P )
decpmatmul.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
decpmatmul.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
Assertion
Ref Expression
decpmatmul  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( U ( .r `  C
) W ) decompPMat  K )  =  ( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K )  |->  ( ( U decompPMat  k ) ( .r
`  A ) ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, k    k, K    k, N    P, k    R, k    U, k   
k, W    A, k
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem decpmatmul
Dummy variables  t 
i  j  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2454 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  N , 
y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) ) ) )
2 oveq1 6302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  (
x ( U decompPMat  k ) t )  =  ( i ( U decompPMat  k ) t ) )
3 oveq2 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  j  ->  (
t ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) y )  =  ( t ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) j ) )
42, 3oveqan12d 6314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) )  =  ( ( i ( U decompPMat  k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) j ) ) )
54mpteq2dv 4493 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) )  =  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) j ) ) ) )
65oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) j ) ) ) ) )
76mpteq2dv 4493 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... K
)  |->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U decompPMat  k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) j ) ) ) ) ) )
87oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) j ) ) ) ) ) ) )
98adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( x  =  i  /\  y  =  j ) )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K )  |->  ( R 
gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) j ) ) ) ) ) ) )
10 simprl 765 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
i  e.  N )
11 simprr 767 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
j  e.  N )
12 ovex 6323 . . . . . 6  |-  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) j ) ) ) ) ) )  e.  _V
1312a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) j ) ) ) ) ) )  e.  _V )
141, 9, 10, 11, 13ovmpt2d 6429 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( i ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) ) ) j )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K )  |->  ( R 
gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) j ) ) ) ) ) ) )
15 decpmatmul.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  C  =  ( N Mat  P )
16 decpmatmul.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  B  =  ( Base `  C
)
1715, 16matrcl 19449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( U  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  P  e.  _V ) )
1817simpld 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U  e.  B  ->  N  e.  Fin )
1918adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  N  e.  Fin )
2019anim2i 573 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  ->  ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin ) )
2120ancomd 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring ) )
22213adant3 1029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring ) )
23 decpmatmul.a . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A  =  ( N Mat  R )
24 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
2523, 24matmulr 19475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( .r `  A ) )
2622, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( .r `  A ) )
2726adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( .r `  A ) )
2827adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( .r `  A ) )
2928eqcomd 2459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( .r `  A )  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) )
3029oveqd 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
( U decompPMat  k ) ( .r `  A ) ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) )  =  ( ( U decompPMat  k ) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) ) )
31 eqid 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
32 eqid 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
33 simp1 1009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  R  e.  Ring )
3433adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  ->  R  e.  Ring )
3534adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  R  e.  Ring )
3622simpld 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  e.  Fin )
3736adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  ->  N  e.  Fin )
3837adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  N  e.  Fin )
39 simpl2l 1062 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  ->  U  e.  B )
4039adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  U  e.  B )
41 elfznn0 11894 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 0 ... K )  ->  k  e.  NN0 )
4241adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  k  e.  NN0 )
4335, 40, 423jca 1189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( R  e.  Ring  /\  U  e.  B  /\  k  e.  NN0 ) )
44 decpmatmul.p . . . . . . . . . . . . 13  |-  P  =  (Poly1 `  R )
45 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
4644, 15, 16, 23, 45decpmatcl 19803 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  U  e.  B  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( U decompPMat  k )  e.  (
Base `  A )
)
4743, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( U decompPMat  k )  e.  (
Base `  A )
)
4823, 31, 45matbas2i 19459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U decompPMat  k )  e.  (
Base `  A )  ->  ( U decompPMat  k )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( U decompPMat  k )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
50 simpl2r 1063 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  ->  W  e.  B )
5150adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  W  e.  B )
52 fznn0sub 11838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 0 ... K )  ->  ( K  -  k )  e.  NN0 )
5352adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( K  -  k )  e.  NN0 )
5435, 51, 533jca 1189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( R  e.  Ring  /\  W  e.  B  /\  ( K  -  k )  e.  NN0 ) )
5544, 15, 16, 23, 45decpmatcl 19803 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  W  e.  B  /\  ( K  -  k )  e.  NN0 )  ->  ( W decompPMat  ( K  -  k
) )  e.  (
Base `  A )
)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( W decompPMat  ( K  -  k
) )  e.  (
Base `  A )
)
5723, 31, 45matbas2i 19459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W decompPMat  ( K  -  k
) )  e.  (
Base `  A )  ->  ( W decompPMat  ( K  -  k ) )  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) ) )
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( W decompPMat  ( K  -  k
) )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
5924, 31, 32, 35, 38, 38, 38, 49, 58mamuval 19423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
( U decompPMat  k ) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) )  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) )
6030, 59eqtrd 2487 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
( U decompPMat  k ) ( .r `  A ) ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) )  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  ( R 
gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) )
6160mpteq2dva 4492 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( U decompPMat  k ) ( .r `  A
) ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... K )  |->  ( x  e.  N , 
y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) ) )
6261oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( U decompPMat  k ) ( .r `  A
) ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) ) ) )  =  ( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) ) ) )
63 eqid 2453 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  A )  =  ( 0g `  A
)
64 ovex 6323 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... K )  e. 
_V
6564a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( 0 ... K
)  e.  _V )
66 ringcmn 17823 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
6733, 66syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  R  e. CMnd )
6867adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  ->  R  e. CMnd )
6968adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  R  e. CMnd )
70693ad2ant1 1030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  ->  R  e. CMnd )
71383ad2ant1 1030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  ->  N  e.  Fin )
72353ad2ant1 1030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  ->  R  e.  Ring )
7372adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  /\  t  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
74 simpl2 1013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  /\  t  e.  N )  ->  x  e.  N )
75 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  /\  t  e.  N )  ->  t  e.  N )
76433ad2ant1 1030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  ->  ( R  e.  Ring  /\  U  e.  B  /\  k  e.  NN0 ) )
7776adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  /\  t  e.  N )  ->  ( R  e.  Ring  /\  U  e.  B  /\  k  e.  NN0 ) )
7877, 46syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  /\  t  e.  N )  ->  ( U decompPMat  k )  e.  (
Base `  A )
)
7923, 31, 45, 74, 75, 78matecld 19463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  /\  t  e.  N )  ->  (
x ( U decompPMat  k ) t )  e.  (
Base `  R )
)
80 simpl3 1014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  /\  t  e.  N )  ->  y  e.  N )
81563ad2ant1 1030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  ->  ( W decompPMat  ( K  -  k ) )  e.  ( Base `  A ) )
8281adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  /\  t  e.  N )  ->  ( W decompPMat  ( K  -  k
) )  e.  (
Base `  A )
)
8323, 31, 45, 75, 80, 82matecld 19463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  /\  t  e.  N )  ->  (
t ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) y )  e.  (
Base `  R )
)
8431, 32ringcl 17806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x ( U decompPMat  k ) t )  e.  (
Base `  R )  /\  ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) )  e.  ( Base `  R ) )
8573, 79, 83, 84syl3anc 1269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  /\  t  e.  N )  ->  (
( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) )  e.  ( Base `  R ) )
8685ralrimiva 2804 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  ->  A. t  e.  N  ( (
x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) y ) )  e.  ( Base `  R
) )
8731, 70, 71, 86gsummptcl 17611 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  ->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
8823, 31, 45, 38, 35, 87matbas2d 19460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
x  e.  N , 
y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) )  e.  ( Base `  A
) )
89 eqid 2453 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... K )  |->  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  ( R 
gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... K )  |->  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  ( R 
gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) )
90 fzfid 12193 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( 0 ... K
)  e.  Fin )
91 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  P  e.  _V )  ->  N  e.  Fin )
9291, 91jca 535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  P  e.  _V )  ->  ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )
)
9317, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin ) )
9493adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )
)
95943ad2ant2 1031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( N  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin ) )
9695adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )
)
9796adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin ) )
98 mpt2exga 6874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) )  e.  _V )
9997, 98syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
x  e.  N , 
y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) )  e.  _V )
100 fvex 5880 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  A )  e. 
_V
101100a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( 0g `  A
)  e.  _V )
10289, 90, 99, 101fsuppmptdm 7899 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  A ) )
10323, 45, 63, 37, 65, 34, 88, 102matgsum 19474 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  N , 
y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) ) ) )
10462, 103eqtrd 2487 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( U decompPMat  k ) ( .r `  A
) ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) ) ) )  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) ) ) )
105104oveqd 6312 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( i ( A 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( U decompPMat  k ) ( .r `  A
) ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) ) ) ) j )  =  ( i ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) ) ) j ) )
106 simpl2 1013 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )
107 simpl3 1014 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  ->  K  e.  NN0 )
10844, 15, 16decpmatmullem 19807 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N  /\  K  e. 
NN0 ) )  -> 
( i ( ( U ( .r `  C ) W ) decompPMat  K ) j )  =  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( (coe1 `  (
i U t ) ) `  k ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W j ) ) `  ( K  -  k ) ) ) ) ) ) ) )
10937, 34, 106, 10, 11, 107, 108syl213anc 1288 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( i ( ( U ( .r `  C ) W ) decompPMat  K ) j )  =  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( (coe1 `  (
i U t ) ) `  k ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W j ) ) `  ( K  -  k ) ) ) ) ) ) ) )
110 simpll1 1048 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  ->  R  e.  Ring )
111 simplrl 771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  -> 
i  e.  N )
112 simprl 765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  -> 
t  e.  N )
11316eleq2i 2523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e.  B  <->  U  e.  ( Base `  C )
)
114113biimpi 198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  B  ->  U  e.  ( Base `  C
) )
115114adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  U  e.  ( Base `  C ) )
1161153ad2ant2 1031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  U  e.  (
Base `  C )
)
117116adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  ->  U  e.  ( Base `  C ) )
118117adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  ->  U  e.  ( Base `  C ) )
119 eqid 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
12015, 119matecl 19462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  e.  N  /\  t  e.  N  /\  U  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( i U t )  e.  ( Base `  P ) )
121111, 112, 118, 120syl3anc 1269 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  -> 
( i U t )  e.  ( Base `  P ) )
12241ad2antll 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
123 eqid 2453 . . . . . . . . 9  |-  (coe1 `  (
i U t ) )  =  (coe1 `  (
i U t ) )
124123, 119, 44, 31coe1fvalcl 18817 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( i U t )  e.  ( Base `  P )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
(coe1 `  ( i U t ) ) `  k )  e.  (
Base `  R )
)
125121, 122, 124syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  -> 
( (coe1 `  ( i U t ) ) `  k )  e.  (
Base `  R )
)
126 simplrr 772 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  -> 
j  e.  N )
12750adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  ->  W  e.  B )
12815, 119, 16, 112, 126, 127matecld 19463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  -> 
( t W j )  e.  ( Base `  P ) )
12952ad2antll 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  -> 
( K  -  k
)  e.  NN0 )
130 eqid 2453 . . . . . . . . 9  |-  (coe1 `  (
t W j ) )  =  (coe1 `  (
t W j ) )
131130, 119, 44, 31coe1fvalcl 18817 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( t W j )  e.  ( Base `  P )  /\  ( K  -  k )  e.  NN0 )  ->  (
(coe1 `  ( t W j ) ) `  ( K  -  k
) )  e.  (
Base `  R )
)
132128, 129, 131syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  -> 
( (coe1 `  ( t W j ) ) `  ( K  -  k
) )  e.  (
Base `  R )
)
13331, 32ringcl 17806 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
(coe1 `  ( i U t ) ) `  k )  e.  (
Base `  R )  /\  ( (coe1 `  ( t W j ) ) `  ( K  -  k
) )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( (
(coe1 `  ( i U t ) ) `  k ) ( .r
`  R ) ( (coe1 `  ( t W j ) ) `  ( K  -  k
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
134110, 125, 132, 133syl3anc 1269 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  -> 
( ( (coe1 `  (
i U t ) ) `  k ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W j ) ) `  ( K  -  k ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
13531, 68, 37, 90, 134gsumcom3fi 19437 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( (coe1 `  (
i U t ) ) `  k ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W j ) ) `  ( K  -  k ) ) ) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( (coe1 `  (
i U t ) ) `  k ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W j ) ) `  ( K  -  k ) ) ) ) ) ) ) )
13643adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  t  e.  N
)  ->  ( R  e.  Ring  /\  U  e.  B  /\  k  e.  NN0 ) )
13710adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  i  e.  N )
138137anim1i 572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  t  e.  N
)  ->  ( i  e.  N  /\  t  e.  N ) )
13944, 15, 16decpmate 19802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  U  e.  B  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  t  e.  N
) )  ->  (
i ( U decompPMat  k ) t )  =  ( (coe1 `  ( i U t ) ) `  k ) )
140136, 138, 139syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  t  e.  N
)  ->  ( i
( U decompPMat  k ) t )  =  ( (coe1 `  ( i U t ) ) `  k
) )
14154adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  t  e.  N
)  ->  ( R  e.  Ring  /\  W  e.  B  /\  ( K  -  k )  e.  NN0 ) )
142 simplrr 772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  j  e.  N )
143142anim1i 572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  t  e.  N
)  ->  ( j  e.  N  /\  t  e.  N ) )
144143ancomd 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  t  e.  N
)  ->  ( t  e.  N  /\  j  e.  N ) )
14544, 15, 16decpmate 19802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  W  e.  B  /\  ( K  -  k
)  e.  NN0 )  /\  ( t  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  (
t ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) j )  =  ( (coe1 `  ( t W j ) ) `  ( K  -  k
) ) )
146141, 144, 145syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  t  e.  N
)  ->  ( t
( W decompPMat  ( K  -  k ) ) j )  =  ( (coe1 `  ( t W j ) ) `  ( K  -  k )
) )
147140, 146oveq12d 6313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  t  e.  N
)  ->  ( (
i ( U decompPMat  k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) j ) )  =  ( ( (coe1 `  (
i U t ) ) `  k ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W j ) ) `  ( K  -  k ) ) ) )
148147eqcomd 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  t  e.  N
)  ->  ( (
(coe1 `  ( i U t ) ) `  k ) ( .r
`  R ) ( (coe1 `  ( t W j ) ) `  ( K  -  k
) ) )  =  ( ( i ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) j ) ) )
149148mpteq2dva 4492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
t  e.  N  |->  ( ( (coe1 `  ( i U t ) ) `  k ) ( .r
`  R ) ( (coe1 `  ( t W j ) ) `  ( K  -  k
) ) ) )  =  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U decompPMat  k )
t ) ( .r
`  R ) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) j ) ) ) )
150149oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( (coe1 `  (
i U t ) ) `  k ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W j ) ) `  ( K  -  k ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) j ) ) ) ) )
151150mpteq2dva 4492 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( (coe1 `  (
i U t ) ) `  k ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W j ) ) `  ( K  -  k ) ) ) ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... K
)  |->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U decompPMat  k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) j ) ) ) ) ) )
152151oveq2d 6311 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( (coe1 `  (
i U t ) ) `  k ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W j ) ) `  ( K  -  k ) ) ) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) j ) ) ) ) ) ) )
153109, 135, 1523eqtrd 2491 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( i ( ( U ( .r `  C ) W ) decompPMat  K ) j )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K )  |->  ( R 
gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) j ) ) ) ) ) ) )
15414, 105, 1533eqtr4rd 2498 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( i ( ( U ( .r `  C ) W ) decompPMat  K ) j )  =  ( i ( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( U decompPMat  k ) ( .r `  A
) ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) ) ) ) j ) )
155154ralrimivva 2811 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i ( ( U ( .r `  C ) W ) decompPMat  K ) j )  =  ( i ( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( U decompPMat  k ) ( .r `  A
) ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) ) ) ) j ) )
15644, 15pmatring 19729 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  C  e.  Ring )
15721, 156syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  ->  C  e.  Ring )
158 simprl 765 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  ->  U  e.  B )
159 simprr 767 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  ->  W  e.  B )
160 eqid 2453 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  C )  =  ( .r `  C
)
16116, 160ringcl 17806 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Ring  /\  U  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( U ( .r `  C ) W )  e.  B )
162157, 158, 159, 161syl3anc 1269 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  ->  ( U
( .r `  C
) W )  e.  B )
1631623adant3 1029 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( U ( .r `  C ) W )  e.  B
)
16444, 15, 16, 23, 45decpmatcl 19803 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U ( .r `  C ) W )  e.  B  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
( U ( .r
`  C ) W ) decompPMat  K )  e.  (
Base `  A )
)
165163, 164syld3an2 1316 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( U ( .r `  C
) W ) decompPMat  K )  e.  ( Base `  A
) )
16623matring 19480 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
16722, 166syl 17 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  A  e.  Ring )
168 ringcmn 17823 . . . . 5  |-  ( A  e.  Ring  ->  A  e. CMnd
)
169167, 168syl 17 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  A  e. CMnd )
170 fzfid 12193 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 0 ... K )  e.  Fin )
171167adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  A  e.  Ring )
17233adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  R  e.  Ring )
173 simpl2l 1062 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  U  e.  B )
17441adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  k  e.  NN0 )
175172, 173, 1743jca 1189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( R  e.  Ring  /\  U  e.  B  /\  k  e.  NN0 ) )
176175, 46syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( U decompPMat  k )  e.  (
Base `  A )
)
177 simpl2r 1063 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  W  e.  B )
17852adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( K  -  k )  e.  NN0 )
179172, 177, 1783jca 1189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( R  e.  Ring  /\  W  e.  B  /\  ( K  -  k )  e.  NN0 ) )
180179, 55syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( W decompPMat  ( K  -  k
) )  e.  (
Base `  A )
)
181 eqid 2453 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  A )  =  ( .r `  A
)
18245, 181ringcl 17806 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Ring  /\  ( U decompPMat  k )  e.  (
Base `  A )  /\  ( W decompPMat  ( K  -  k ) )  e.  ( Base `  A
) )  ->  (
( U decompPMat  k ) ( .r `  A ) ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) )  e.  ( Base `  A ) )
183171, 176, 180, 182syl3anc 1269 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
( U decompPMat  k ) ( .r `  A ) ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) )  e.  ( Base `  A ) )
184183ralrimiva 2804 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  ( 0 ... K ) ( ( U decompPMat  k ) ( .r `  A
) ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) )  e.  ( Base `  A ) )
18545, 169, 170, 184gsummptcl 17611 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K )  |->  ( ( U decompPMat  k ) ( .r
`  A ) ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) ) ) )  e.  ( Base `  A ) )
18623, 45eqmat 19461 . . 3  |-  ( ( ( ( U ( .r `  C ) W ) decompPMat  K )  e.  ( Base `  A
)  /\  ( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K )  |->  ( ( U decompPMat  k )
( .r `  A
) ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) ) ) )  e.  ( Base `  A
) )  ->  (
( ( U ( .r `  C ) W ) decompPMat  K )  =  ( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K )  |->  ( ( U decompPMat  k ) ( .r
`  A ) ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) ) ) )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i ( ( U ( .r `  C ) W ) decompPMat  K ) j )  =  ( i ( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( U decompPMat  k ) ( .r `  A
) ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) ) ) ) j ) ) )
187165, 185, 186syl2anc 667 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( ( U ( .r `  C ) W ) decompPMat  K )  =  ( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( U decompPMat  k ) ( .r `  A
) ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) ) ) )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
( ( U ( .r `  C ) W ) decompPMat  K )
j )  =  ( i ( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K )  |->  ( ( U decompPMat  k ) ( .r
`  A ) ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) ) ) ) j ) ) )
188155, 187mpbird 236 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( U ( .r `  C
) W ) decompPMat  K )  =  ( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K )  |->  ( ( U decompPMat  k ) ( .r
`  A ) ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889   A.wral 2739   _Vcvv 3047   <.cotp 3978    |-> cmpt 4464    X. cxp 4835   ` cfv 5585  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297    ^m cmap 7477   Fincfn 7574   0cc0 9544    - cmin 9865   NN0cn0 10876   ...cfz 11791   Basecbs 15133   .rcmulr 15203   0gc0g 15350    gsumg cgsu 15351  CMndccmn 17442   Ringcrg 17792  Poly1cpl1 18782  coe1cco1 18783   maMul cmmul 19420   Mat cmat 19444   decompPMat cdecpmat 19798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-ot 3979  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-ofr 6537  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-sup 7961  df-oi 8030  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-hash 12523  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-hom 15226  df-cco 15227  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-prds 15358  df-pws 15360  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-mhm 16594  df-submnd 16595  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-sbg 16687  df-mulg 16688  df-subg 16826  df-ghm 16893  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-abl 17445  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-subrg 18018  df-lmod 18105  df-lss 18168  df-sra 18407  df-rgmod 18408  df-psr 18592  df-mpl 18594  df-opsr 18596  df-psr1 18785  df-ply1 18787  df-coe1 18788  df-dsmm 19307  df-frlm 19322  df-mamu 19421  df-mat 19445  df-decpmat 19799
This theorem is referenced by:  decpmatmulsumfsupp  19809  pm2mpmhmlem1  19854  pm2mpmhmlem2  19855
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