Theorem decpmatmul 19400

Description: The matrix consisting of the coefficients in the polynomial entries of the product of two polynomial matrices is a sum of products of the matrices consisting of the coefficients in the polynomial entries of the polynomial matrices for the same power (Contributed by AV, 21-Oct-2019.) (Revised by AV, 3-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
decpmatmul.p	|- P = (Poly1 ` R )
decpmatmul.c	|- C = ( N Mat P )
decpmatmul.b	|- B = ( Base ` C )
decpmatmul.a	|- A = ( N Mat R )

Assertion

Ref	Expression
decpmatmul	|- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( U ( .r ` C ) W ) decompPMat K ) = ( A gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   B, k   k, K   k, N   P, k   R, k   U, k   k, W   A, k

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem decpmatmul

Dummy variables t i j x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2458	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) ) ) = ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) ) ) )
2		oveq1 6303	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = i -> ( x ( U decompPMat k ) t ) = ( i ( U decompPMat k ) t ) )
3		oveq2 6304	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = j -> ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) = ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) )
4	2, 3	oveqan12d 6315	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = i /\ y = j ) -> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) = ( ( i ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) ) )
5	4	mpteq2dv 4544	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = i /\ y = j ) -> ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) = ( t e. N |-> ( ( i ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) ) ) )
6	5	oveq2d 6312	. . . . . . . 8 |- ( ( x = i /\ y = j ) -> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) = ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( i ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) ) ) ) )
7	6	mpteq2dv 4544	. . . . . . 7 |- ( ( x = i /\ y = j ) -> ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) = ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( i ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) ) ) ) ) )
8	7	oveq2d 6312	. . . . . 6 |- ( ( x = i /\ y = j ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( i ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) ) ) ) ) ) )
9	8	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( x = i /\ y = j ) ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( i ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) ) ) ) ) ) )
10		simprl 756	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> i e. N )
11		simprr 757	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> j e. N )
12		ovex 6324	. . . . . 6 |- ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( i ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) ) ) ) ) ) e. _V
13	12	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( i ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) ) ) ) ) ) e. _V )
14	1, 9, 10, 11, 13	ovmpt2d 6429	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) ) ) j ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( i ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) ) ) ) ) ) )
15		decpmatmul.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- C = ( N Mat P )
16		decpmatmul.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- B = ( Base ` C )
17	15, 16	matrcl 19041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( U e. B -> ( N e. Fin /\ P e. _V ) )
18	17	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U e. B -> N e. Fin )
19	18	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. B /\ W e. B ) -> N e. Fin )
20	19	anim2i 569	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) ) -> ( R e. Ring /\ N e. Fin ) )
21	20	ancomd 451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) )
22	21	3adant3 1016	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) )
23		decpmatmul.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A = ( N Mat R )
24		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R maMul <. N , N , N >. ) = ( R maMul <. N , N , N >. )
25	23, 24	matmulr 19067	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( R maMul <. N , N , N >. ) = ( .r ` A ) )
26	22, 25	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) -> ( R maMul <. N , N , N >. ) = ( .r ` A ) )
27	26	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( R maMul <. N , N , N >. ) = ( .r ` A ) )
28	27	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( R maMul <. N , N , N >. ) = ( .r ` A ) )
29	28	eqcomd 2465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( .r ` A ) = ( R maMul <. N , N , N >. ) )
30	29	oveqd 6313	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) = ( ( U decompPMat k ) ( R maMul <. N , N , N >. ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) )
31		eqid 2457	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
32		eqid 2457	. . . . . . . . . 10 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
33		simp1 996	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) -> R e. Ring )
34	33	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> R e. Ring )
35	34	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> R e. Ring )
36	22	simpld 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) -> N e. Fin )
37	36	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> N e. Fin )
38	37	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> N e. Fin )
39		simpl2l 1049	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> U e. B )
40	39	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> U e. B )
41		elfznn0 11797	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... K ) -> k e. NN0 )
42	41	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> k e. NN0 )
43	35, 40, 42	3jca 1176	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( R e. Ring /\ U e. B /\ k e. NN0 ) )
44		decpmatmul.p	. . . . . . . . . . . . 13 |- P = (Poly1 ` R )
45		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` A ) = ( Base ` A )
46	44, 15, 16, 23, 45	decpmatcl 19395	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ U e. B /\ k e. NN0 ) -> ( U decompPMat k ) e. ( Base ` A ) )
47	43, 46	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( U decompPMat k ) e. ( Base ` A ) )
48	23, 31, 45	matbas2i 19051	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U decompPMat k ) e. ( Base ` A ) -> ( U decompPMat k ) e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
49	47, 48	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( U decompPMat k ) e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
50		simpl2r 1050	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> W e. B )
51	50	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> W e. B )
52		fznn0sub 11742	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... K ) -> ( K - k ) e. NN0 )
53	52	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( K - k ) e. NN0 )
54	35, 51, 53	3jca 1176	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( R e. Ring /\ W e. B /\ ( K - k ) e. NN0 ) )
55	44, 15, 16, 23, 45	decpmatcl 19395	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ W e. B /\ ( K - k ) e. NN0 ) -> ( W decompPMat ( K - k ) ) e. ( Base ` A ) )
56	54, 55	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( W decompPMat ( K - k ) ) e. ( Base ` A ) )
57	23, 31, 45	matbas2i 19051	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W decompPMat ( K - k ) ) e. ( Base ` A ) -> ( W decompPMat ( K - k ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
58	56, 57	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( W decompPMat ( K - k ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
59	24, 31, 32, 35, 38, 38, 38, 49, 58	mamuval 19015	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( ( U decompPMat k ) ( R maMul <. N , N , N >. ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) = ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) )
60	30, 59	eqtrd 2498	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) = ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) )
61	60	mpteq2dva 4543	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) ) = ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) ) )
62	61	oveq2d 6312	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( A gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) ) ) = ( A gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) ) ) )
63		eqid 2457	. . . . . . 7 |- ( 0g ` A ) = ( 0g ` A )
64		ovex 6324	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... K ) e. _V
65	64	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( 0 ... K ) e. _V )
66		ringcmn 17356	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. Ring -> R e. CMnd )
67	33, 66	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) -> R e. CMnd )
68	67	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> R e. CMnd )
69	68	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> R e. CMnd )
70	69	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> R e. CMnd )
71	38	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> N e. Fin )
72	35	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> R e. Ring )
73	72	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) /\ t e. N ) -> R e. Ring )
74		simpl2 1000	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) /\ t e. N ) -> x e. N )
75		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) /\ t e. N ) -> t e. N )
76	43	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( R e. Ring /\ U e. B /\ k e. NN0 ) )
77	76	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) /\ t e. N ) -> ( R e. Ring /\ U e. B /\ k e. NN0 ) )
78	77, 46	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) /\ t e. N ) -> ( U decompPMat k ) e. ( Base ` A ) )
79	23, 31, 45, 74, 75, 78	matecld 19055	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) /\ t e. N ) -> ( x ( U decompPMat k ) t ) e. ( Base ` R ) )
80		simpl3 1001	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) /\ t e. N ) -> y e. N )
81	56	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( W decompPMat ( K - k ) ) e. ( Base ` A ) )
82	81	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) /\ t e. N ) -> ( W decompPMat ( K - k ) ) e. ( Base ` A ) )
83	23, 31, 45, 75, 80, 82	matecld 19055	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) /\ t e. N ) -> ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) e. ( Base ` R ) )
84	31, 32	ringcl 17339	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ ( x ( U decompPMat k ) t ) e. ( Base ` R ) /\ ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) e. ( Base ` R ) )
85	73, 79, 83, 84	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) /\ t e. N ) -> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) e. ( Base ` R ) )
86	85	ralrimiva 2871	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> A. t e. N ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) e. ( Base ` R ) )
87	31, 70, 71, 86	gsummptcl 17121	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
88	23, 31, 45, 38, 35, 87	matbas2d 19052	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) e. ( Base ` A ) )
89		eqid 2457	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) ) = ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) )
90		fzfid 12086	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( 0 ... K ) e. Fin )
91		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. Fin /\ P e. _V ) -> N e. Fin )
92	91, 91	jca 532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ P e. _V ) -> ( N e. Fin /\ N e. Fin ) )
93	17, 92	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. B -> ( N e. Fin /\ N e. Fin ) )
94	93	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. B /\ W e. B ) -> ( N e. Fin /\ N e. Fin ) )
95	94	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) -> ( N e. Fin /\ N e. Fin ) )
96	95	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( N e. Fin /\ N e. Fin ) )
97	96	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( N e. Fin /\ N e. Fin ) )
98		mpt2exga 6875	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ N e. Fin ) -> ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) e. _V )
99	97, 98	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) e. _V )
100		fvex 5882	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` A ) e. _V
101	100	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( 0g ` A ) e. _V )
102	89, 90, 99, 101	fsuppmptdm 7858	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) ) finSupp ( 0g ` A ) )
103	23, 45, 63, 37, 65, 34, 88, 102	matgsum 19066	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( A gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) ) ) = ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) ) ) )
104	62, 103	eqtrd 2498	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( A gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) ) ) = ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) ) ) )
105	104	oveqd 6313	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( A gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) ) ) j ) = ( i ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) ) ) j ) )
106		simpl2 1000	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( U e. B /\ W e. B ) )
107		simpl3 1001	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> K e. NN0 )
108	44, 15, 16	decpmatmullem 19399	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N /\ K e. NN0 ) ) -> ( i ( ( U ( .r ` C ) W ) decompPMat K ) j ) = ( R gsumg ( t e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( ( (coe1 ` ( i U t ) ) ` k ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W j ) ) ` ( K - k ) ) ) ) ) ) ) )
109	37, 34, 106, 10, 11, 107, 108	syl213anc 1247	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( ( U ( .r ` C ) W ) decompPMat K ) j ) = ( R gsumg ( t e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( ( (coe1 ` ( i U t ) ) ` k ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W j ) ) ` ( K - k ) ) ) ) ) ) ) )
110		simpll1 1035	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( t e. N /\ k e. ( 0 ... K ) ) ) -> R e. Ring )
111		simplrl 761	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( t e. N /\ k e. ( 0 ... K ) ) ) -> i e. N )
112		simprl 756	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( t e. N /\ k e. ( 0 ... K ) ) ) -> t e. N )
113	16	eleq2i 2535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U e. B <-> U e. ( Base ` C ) )
114	113	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. B -> U e. ( Base ` C ) )
115	114	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. B /\ W e. B ) -> U e. ( Base ` C ) )
116	115	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) -> U e. ( Base ` C ) )
117	116	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> U e. ( Base ` C ) )
118	117	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( t e. N /\ k e. ( 0 ... K ) ) ) -> U e. ( Base ` C ) )
119		eqid 2457	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
120	15, 119	matecl 19054	. . . . . . . . 9 |- ( ( i e. N /\ t e. N /\ U e. ( Base ` C ) ) -> ( i U t ) e. ( Base ` P ) )
121	111, 112, 118, 120	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( t e. N /\ k e. ( 0 ... K ) ) ) -> ( i U t ) e. ( Base ` P ) )
122	41	ad2antll 728	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( t e. N /\ k e. ( 0 ... K ) ) ) -> k e. NN0 )
123		eqid 2457	. . . . . . . . 9 |- (coe1 ` ( i U t ) ) = (coe1 ` ( i U t ) )
124	123, 119, 44, 31	coe1fvalcl 18378	. . . . . . . 8 |- ( ( ( i U t ) e. ( Base ` P ) /\ k e. NN0 ) -> ( (coe1 ` ( i U t ) ) ` k ) e. ( Base ` R ) )
125	121, 122, 124	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( t e. N /\ k e. ( 0 ... K ) ) ) -> ( (coe1 ` ( i U t ) ) ` k ) e. ( Base ` R ) )
126		simplrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( t e. N /\ k e. ( 0 ... K ) ) ) -> j e. N )
127	50	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( t e. N /\ k e. ( 0 ... K ) ) ) -> W e. B )
128	15, 119, 16, 112, 126, 127	matecld 19055	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( t e. N /\ k e. ( 0 ... K ) ) ) -> ( t W j ) e. ( Base ` P ) )
129	52	ad2antll 728	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( t e. N /\ k e. ( 0 ... K ) ) ) -> ( K - k ) e. NN0 )
130		eqid 2457	. . . . . . . . 9 |- (coe1 ` ( t W j ) ) = (coe1 ` ( t W j ) )
131	130, 119, 44, 31	coe1fvalcl 18378	. . . . . . . 8 |- ( ( ( t W j ) e. ( Base ` P ) /\ ( K - k ) e. NN0 ) -> ( (coe1 ` ( t W j ) ) ` ( K - k ) ) e. ( Base ` R ) )
132	128, 129, 131	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( t e. N /\ k e. ( 0 ... K ) ) ) -> ( (coe1 ` ( t W j ) ) ` ( K - k ) ) e. ( Base ` R ) )
133	31, 32	ringcl 17339	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( (coe1 ` ( i U t ) ) ` k ) e. ( Base ` R ) /\ ( (coe1 ` ( t W j ) ) ` ( K - k ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( (coe1 ` ( i U t ) ) ` k ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W j ) ) ` ( K - k ) ) ) e. ( Base ` R ) )
134	110, 125, 132, 133	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( t e. N /\ k e. ( 0 ... K ) ) ) -> ( ( (coe1 ` ( i U t ) ) ` k ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W j ) ) ` ( K - k ) ) ) e. ( Base ` R ) )
135	31, 68, 37, 90, 134	gsumcom3fi 19029	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( R gsumg ( t e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( ( (coe1 ` ( i U t ) ) ` k ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W j ) ) ` ( K - k ) ) ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( (coe1 ` ( i U t ) ) ` k ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W j ) ) ` ( K - k ) ) ) ) ) ) ) )
136	43	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ t e. N ) -> ( R e. Ring /\ U e. B /\ k e. NN0 ) )
137	10	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> i e. N )
138	137	anim1i 568	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ t e. N ) -> ( i e. N /\ t e. N ) )
139	44, 15, 16	decpmate 19394	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Ring /\ U e. B /\ k e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ t e. N ) ) -> ( i ( U decompPMat k ) t ) = ( (coe1 ` ( i U t ) ) ` k ) )
140	136, 138, 139	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ t e. N ) -> ( i ( U decompPMat k ) t ) = ( (coe1 ` ( i U t ) ) ` k ) )
141	54	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ t e. N ) -> ( R e. Ring /\ W e. B /\ ( K - k ) e. NN0 ) )
142		simplrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> j e. N )
143	142	anim1i 568	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ t e. N ) -> ( j e. N /\ t e. N ) )
144	143	ancomd 451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ t e. N ) -> ( t e. N /\ j e. N ) )
145	44, 15, 16	decpmate 19394	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Ring /\ W e. B /\ ( K - k ) e. NN0 ) /\ ( t e. N /\ j e. N ) ) -> ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) = ( (coe1 ` ( t W j ) ) ` ( K - k ) ) )
146	141, 144, 145	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ t e. N ) -> ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) = ( (coe1 ` ( t W j ) ) ` ( K - k ) ) )
147	140, 146	oveq12d 6314	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ t e. N ) -> ( ( i ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) ) = ( ( (coe1 ` ( i U t ) ) ` k ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W j ) ) ` ( K - k ) ) ) )
148	147	eqcomd 2465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ t e. N ) -> ( ( (coe1 ` ( i U t ) ) ` k ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W j ) ) ` ( K - k ) ) ) = ( ( i ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) ) )
149	148	mpteq2dva 4543	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( t e. N |-> ( ( (coe1 ` ( i U t ) ) ` k ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W j ) ) ` ( K - k ) ) ) ) = ( t e. N |-> ( ( i ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) ) ) )
150	149	oveq2d 6312	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( (coe1 ` ( i U t ) ) ` k ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W j ) ) ` ( K - k ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( i ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) ) ) ) )
151	150	mpteq2dva 4543	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( (coe1 ` ( i U t ) ) ` k ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W j ) ) ` ( K - k ) ) ) ) ) ) = ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( i ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) ) ) ) ) )
152	151	oveq2d 6312	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( (coe1 ` ( i U t ) ) ` k ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W j ) ) ` ( K - k ) ) ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( i ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) ) ) ) ) ) )
153	109, 135, 152	3eqtrd 2502	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( ( U ( .r ` C ) W ) decompPMat K ) j ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( i ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) ) ) ) ) ) )
154	14, 105, 153	3eqtr4rd 2509	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( ( U ( .r ` C ) W ) decompPMat K ) j ) = ( i ( A gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) ) ) j ) )
155	154	ralrimivva 2878	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) -> A. i e. N A. j e. N ( i ( ( U ( .r ` C ) W ) decompPMat K ) j ) = ( i ( A gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) ) ) j ) )
156	44, 15	pmatring 19321	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. Ring )
157	21, 156	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) ) -> C e. Ring )
158		simprl 756	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) ) -> U e. B )
159		simprr 757	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) ) -> W e. B )
160		eqid 2457	. . . . . . 7 |- ( .r ` C ) = ( .r ` C )
161	16, 160	ringcl 17339	. . . . . 6 |- ( ( C e. Ring /\ U e. B /\ W e. B ) -> ( U ( .r ` C ) W ) e. B )
162	157, 158, 159, 161	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) ) -> ( U ( .r ` C ) W ) e. B )
163	162	3adant3 1016	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) -> ( U ( .r ` C ) W ) e. B )
164	44, 15, 16, 23, 45	decpmatcl 19395	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( U ( .r ` C ) W ) e. B /\ K e. NN0 ) -> ( ( U ( .r ` C ) W ) decompPMat K ) e. ( Base ` A ) )
165	163, 164	syld3an2 1275	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( U ( .r ` C ) W ) decompPMat K ) e. ( Base ` A ) )
166	23	matring 19072	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Ring )
167	22, 166	syl 16	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) -> A e. Ring )
168		ringcmn 17356	. . . . 5 |- ( A e. Ring -> A e. CMnd )
169	167, 168	syl 16	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) -> A e. CMnd )
170		fzfid 12086	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) -> ( 0 ... K ) e. Fin )
171	167	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> A e. Ring )
172	33	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> R e. Ring )
173		simpl2l 1049	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> U e. B )
174	41	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> k e. NN0 )
175	172, 173, 174	3jca 1176	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( R e. Ring /\ U e. B /\ k e. NN0 ) )
176	175, 46	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( U decompPMat k ) e. ( Base ` A ) )
177		simpl2r 1050	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> W e. B )
178	52	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( K - k ) e. NN0 )
179	172, 177, 178	3jca 1176	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( R e. Ring /\ W e. B /\ ( K - k ) e. NN0 ) )
180	179, 55	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( W decompPMat ( K - k ) ) e. ( Base ` A ) )
181		eqid 2457	. . . . . . 7 |- ( .r ` A ) = ( .r ` A )
182	45, 181	ringcl 17339	. . . . . 6 |- ( ( A e. Ring /\ ( U decompPMat k ) e. ( Base ` A ) /\ ( W decompPMat ( K - k ) ) e. ( Base ` A ) ) -> ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) e. ( Base ` A ) )
183	171, 176, 180, 182	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) e. ( Base ` A ) )
184	183	ralrimiva 2871	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) -> A. k e. ( 0 ... K ) ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) e. ( Base ` A ) )
185	45, 169, 170, 184	gsummptcl 17121	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) -> ( A gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) ) ) e. ( Base ` A ) )
186	23, 45	eqmat 19053	. . 3 |- ( ( ( ( U ( .r ` C ) W ) decompPMat K ) e. ( Base ` A ) /\ ( A gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) ) ) e. ( Base ` A ) ) -> ( ( ( U ( .r ` C ) W ) decompPMat K ) = ( A gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) ) ) <-> A. i e. N A. j e. N ( i ( ( U ( .r ` C ) W ) decompPMat K ) j ) = ( i ( A gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) ) ) j ) ) )
187	165, 185, 186	syl2anc 661	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( U ( .r ` C ) W ) decompPMat K ) = ( A gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) ) ) <-> A. i e. N A. j e. N ( i ( ( U ( .r ` C ) W ) decompPMat K ) j ) = ( i ( A gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) ) ) j ) ) )
188	155, 187	mpbird 232	1 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( U ( .r ` C ) W ) decompPMat K ) = ( A gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109   <.cotp 4040   |-> cmpt 4515   X. cxp 5006   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   |-> cmpt2 6298   ^m cmap 7438   Fincfn 7535   0cc0 9509   - cmin 9824   NN0cn0 10816   ...cfz 11697   Basecbs 14644   .rcmulr 14713   0gc0g 14857   gsum_g cgsu 14858  CMndccmn 16925   Ringcrg 17325  Poly₁cpl1 18343  coe₁cco1 18344   maMul cmmul 19012   Mat cmat 19036   decompPMat cdecpmat 19390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-ot 4041  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-hom 14736  df-cco 14737  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-prds 14865  df-pws 14867  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-subrg 17554  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-psr 18132  df-mpl 18134  df-opsr 18136  df-psr1 18346  df-ply1 18348  df-coe1 18349  df-dsmm 18890  df-frlm 18905  df-mamu 19013  df-mat 19037  df-decpmat 19391

This theorem is referenced by:  decpmatmulsumfsupp  19401  pm2mpmhmlem1  19446  pm2mpmhmlem2  19447