Theorem decpmatmul 19808

Description: The matrix consisting of the coefficients in the polynomial entries of the product of two polynomial matrices is a sum of products of the matrices consisting of the coefficients in the polynomial entries of the polynomial matrices for the same power. (Contributed by AV, 21-Oct-2019.) (Revised by AV, 3-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
decpmatmul.p	|- P = (Poly1 ` R )
decpmatmul.c	|- C = ( N Mat P )
decpmatmul.b	|- B = ( Base ` C )
decpmatmul.a	|- A = ( N Mat R )

Assertion

Ref	Expression
decpmatmul	|- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( U ( .r ` C ) W ) decompPMat K ) = ( A gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   B, k   k, K   k, N   P, k   R, k   U, k   k, W   A, k

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem decpmatmul

Dummy variables t i j x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2454	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) ) ) = ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) ) ) )
2		oveq1 6302	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = i -> ( x ( U decompPMat k ) t ) = ( i ( U decompPMat k ) t ) )
3		oveq2 6303	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = j -> ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) = ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) )
4	2, 3	oveqan12d 6314	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = i /\ y = j ) -> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) = ( ( i ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) ) )
5	4	mpteq2dv 4493	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = i /\ y = j ) -> ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) = ( t e. N |-> ( ( i ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) ) ) )
6	5	oveq2d 6311	. . . . . . . 8 |- ( ( x = i /\ y = j ) -> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) = ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( i ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) ) ) ) )
7	6	mpteq2dv 4493	. . . . . . 7 |- ( ( x = i /\ y = j ) -> ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) = ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( i ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) ) ) ) ) )
8	7	oveq2d 6311	. . . . . 6 |- ( ( x = i /\ y = j ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( i ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) ) ) ) ) ) )
9	8	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( x = i /\ y = j ) ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( i ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) ) ) ) ) ) )
10		simprl 765	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> i e. N )
11		simprr 767	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> j e. N )
12		ovex 6323	. . . . . 6 |- ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( i ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) ) ) ) ) ) e. _V
13	12	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( i ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) ) ) ) ) ) e. _V )
14	1, 9, 10, 11, 13	ovmpt2d 6429	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) ) ) j ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( i ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) ) ) ) ) ) )
15		decpmatmul.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- C = ( N Mat P )
16		decpmatmul.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- B = ( Base ` C )
17	15, 16	matrcl 19449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( U e. B -> ( N e. Fin /\ P e. _V ) )
18	17	simpld 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U e. B -> N e. Fin )
19	18	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. B /\ W e. B ) -> N e. Fin )
20	19	anim2i 573	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) ) -> ( R e. Ring /\ N e. Fin ) )
21	20	ancomd 453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) )
22	21	3adant3 1029	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) )
23		decpmatmul.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A = ( N Mat R )
24		eqid 2453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R maMul <. N , N , N >. ) = ( R maMul <. N , N , N >. )
25	23, 24	matmulr 19475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( R maMul <. N , N , N >. ) = ( .r ` A ) )
26	22, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) -> ( R maMul <. N , N , N >. ) = ( .r ` A ) )
27	26	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( R maMul <. N , N , N >. ) = ( .r ` A ) )
28	27	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( R maMul <. N , N , N >. ) = ( .r ` A ) )
29	28	eqcomd 2459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( .r ` A ) = ( R maMul <. N , N , N >. ) )
30	29	oveqd 6312	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) = ( ( U decompPMat k ) ( R maMul <. N , N , N >. ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) )
31		eqid 2453	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
32		eqid 2453	. . . . . . . . . 10 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
33		simp1 1009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) -> R e. Ring )
34	33	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> R e. Ring )
35	34	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> R e. Ring )
36	22	simpld 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) -> N e. Fin )
37	36	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> N e. Fin )
38	37	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> N e. Fin )
39		simpl2l 1062	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> U e. B )
40	39	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> U e. B )
41		elfznn0 11894	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... K ) -> k e. NN0 )
42	41	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> k e. NN0 )
43	35, 40, 42	3jca 1189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( R e. Ring /\ U e. B /\ k e. NN0 ) )
44		decpmatmul.p	. . . . . . . . . . . . 13 |- P = (Poly1 ` R )
45		eqid 2453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` A ) = ( Base ` A )
46	44, 15, 16, 23, 45	decpmatcl 19803	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ U e. B /\ k e. NN0 ) -> ( U decompPMat k ) e. ( Base ` A ) )
47	43, 46	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( U decompPMat k ) e. ( Base ` A ) )
48	23, 31, 45	matbas2i 19459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U decompPMat k ) e. ( Base ` A ) -> ( U decompPMat k ) e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( U decompPMat k ) e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
50		simpl2r 1063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> W e. B )
51	50	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> W e. B )
52		fznn0sub 11838	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... K ) -> ( K - k ) e. NN0 )
53	52	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( K - k ) e. NN0 )
54	35, 51, 53	3jca 1189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( R e. Ring /\ W e. B /\ ( K - k ) e. NN0 ) )
55	44, 15, 16, 23, 45	decpmatcl 19803	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ W e. B /\ ( K - k ) e. NN0 ) -> ( W decompPMat ( K - k ) ) e. ( Base ` A ) )
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( W decompPMat ( K - k ) ) e. ( Base ` A ) )
57	23, 31, 45	matbas2i 19459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W decompPMat ( K - k ) ) e. ( Base ` A ) -> ( W decompPMat ( K - k ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( W decompPMat ( K - k ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
59	24, 31, 32, 35, 38, 38, 38, 49, 58	mamuval 19423	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( ( U decompPMat k ) ( R maMul <. N , N , N >. ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) = ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) )
60	30, 59	eqtrd 2487	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) = ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) )
61	60	mpteq2dva 4492	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) ) = ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) ) )
62	61	oveq2d 6311	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( A gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) ) ) = ( A gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) ) ) )
63		eqid 2453	. . . . . . 7 |- ( 0g ` A ) = ( 0g ` A )
64		ovex 6323	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... K ) e. _V
65	64	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( 0 ... K ) e. _V )
66		ringcmn 17823	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. Ring -> R e. CMnd )
67	33, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) -> R e. CMnd )
68	67	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> R e. CMnd )
69	68	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> R e. CMnd )
70	69	3ad2ant1 1030	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> R e. CMnd )
71	38	3ad2ant1 1030	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> N e. Fin )
72	35	3ad2ant1 1030	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> R e. Ring )
73	72	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) /\ t e. N ) -> R e. Ring )
74		simpl2 1013	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) /\ t e. N ) -> x e. N )
75		simpr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) /\ t e. N ) -> t e. N )
76	43	3ad2ant1 1030	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( R e. Ring /\ U e. B /\ k e. NN0 ) )
77	76	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) /\ t e. N ) -> ( R e. Ring /\ U e. B /\ k e. NN0 ) )
78	77, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) /\ t e. N ) -> ( U decompPMat k ) e. ( Base ` A ) )
79	23, 31, 45, 74, 75, 78	matecld 19463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) /\ t e. N ) -> ( x ( U decompPMat k ) t ) e. ( Base ` R ) )
80		simpl3 1014	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) /\ t e. N ) -> y e. N )
81	56	3ad2ant1 1030	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( W decompPMat ( K - k ) ) e. ( Base ` A ) )
82	81	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) /\ t e. N ) -> ( W decompPMat ( K - k ) ) e. ( Base ` A ) )
83	23, 31, 45, 75, 80, 82	matecld 19463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) /\ t e. N ) -> ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) e. ( Base ` R ) )
84	31, 32	ringcl 17806	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ ( x ( U decompPMat k ) t ) e. ( Base ` R ) /\ ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) e. ( Base ` R ) )
85	73, 79, 83, 84	syl3anc 1269	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) /\ t e. N ) -> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) e. ( Base ` R ) )
86	85	ralrimiva 2804	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> A. t e. N ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) e. ( Base ` R ) )
87	31, 70, 71, 86	gsummptcl 17611	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
88	23, 31, 45, 38, 35, 87	matbas2d 19460	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) e. ( Base ` A ) )
89		eqid 2453	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) ) = ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) )
90		fzfid 12193	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( 0 ... K ) e. Fin )
91		simpl 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. Fin /\ P e. _V ) -> N e. Fin )
92	91, 91	jca 535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ P e. _V ) -> ( N e. Fin /\ N e. Fin ) )
93	17, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. B -> ( N e. Fin /\ N e. Fin ) )
94	93	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. B /\ W e. B ) -> ( N e. Fin /\ N e. Fin ) )
95	94	3ad2ant2 1031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) -> ( N e. Fin /\ N e. Fin ) )
96	95	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( N e. Fin /\ N e. Fin ) )
97	96	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( N e. Fin /\ N e. Fin ) )
98		mpt2exga 6874	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ N e. Fin ) -> ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) e. _V )
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) e. _V )
100		fvex 5880	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` A ) e. _V
101	100	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( 0g ` A ) e. _V )
102	89, 90, 99, 101	fsuppmptdm 7899	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) ) finSupp ( 0g ` A ) )
103	23, 45, 63, 37, 65, 34, 88, 102	matgsum 19474	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( A gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) ) ) = ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) ) ) )
104	62, 103	eqtrd 2487	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( A gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) ) ) = ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) ) ) )
105	104	oveqd 6312	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( A gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) ) ) j ) = ( i ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( x ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) y ) ) ) ) ) ) ) j ) )
106		simpl2 1013	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( U e. B /\ W e. B ) )
107		simpl3 1014	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> K e. NN0 )
108	44, 15, 16	decpmatmullem 19807	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N /\ K e. NN0 ) ) -> ( i ( ( U ( .r ` C ) W ) decompPMat K ) j ) = ( R gsumg ( t e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( ( (coe1 ` ( i U t ) ) ` k ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W j ) ) ` ( K - k ) ) ) ) ) ) ) )
109	37, 34, 106, 10, 11, 107, 108	syl213anc 1288	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( ( U ( .r ` C ) W ) decompPMat K ) j ) = ( R gsumg ( t e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( ( (coe1 ` ( i U t ) ) ` k ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W j ) ) ` ( K - k ) ) ) ) ) ) ) )
110		simpll1 1048	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( t e. N /\ k e. ( 0 ... K ) ) ) -> R e. Ring )
111		simplrl 771	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( t e. N /\ k e. ( 0 ... K ) ) ) -> i e. N )
112		simprl 765	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( t e. N /\ k e. ( 0 ... K ) ) ) -> t e. N )
113	16	eleq2i 2523	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U e. B <-> U e. ( Base ` C ) )
114	113	biimpi 198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. B -> U e. ( Base ` C ) )
115	114	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. B /\ W e. B ) -> U e. ( Base ` C ) )
116	115	3ad2ant2 1031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) -> U e. ( Base ` C ) )
117	116	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> U e. ( Base ` C ) )
118	117	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( t e. N /\ k e. ( 0 ... K ) ) ) -> U e. ( Base ` C ) )
119		eqid 2453	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
120	15, 119	matecl 19462	. . . . . . . . 9 |- ( ( i e. N /\ t e. N /\ U e. ( Base ` C ) ) -> ( i U t ) e. ( Base ` P ) )
121	111, 112, 118, 120	syl3anc 1269	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( t e. N /\ k e. ( 0 ... K ) ) ) -> ( i U t ) e. ( Base ` P ) )
122	41	ad2antll 736	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( t e. N /\ k e. ( 0 ... K ) ) ) -> k e. NN0 )
123		eqid 2453	. . . . . . . . 9 |- (coe1 ` ( i U t ) ) = (coe1 ` ( i U t ) )
124	123, 119, 44, 31	coe1fvalcl 18817	. . . . . . . 8 |- ( ( ( i U t ) e. ( Base ` P ) /\ k e. NN0 ) -> ( (coe1 ` ( i U t ) ) ` k ) e. ( Base ` R ) )
125	121, 122, 124	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( t e. N /\ k e. ( 0 ... K ) ) ) -> ( (coe1 ` ( i U t ) ) ` k ) e. ( Base ` R ) )
126		simplrr 772	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( t e. N /\ k e. ( 0 ... K ) ) ) -> j e. N )
127	50	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( t e. N /\ k e. ( 0 ... K ) ) ) -> W e. B )
128	15, 119, 16, 112, 126, 127	matecld 19463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( t e. N /\ k e. ( 0 ... K ) ) ) -> ( t W j ) e. ( Base ` P ) )
129	52	ad2antll 736	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( t e. N /\ k e. ( 0 ... K ) ) ) -> ( K - k ) e. NN0 )
130		eqid 2453	. . . . . . . . 9 |- (coe1 ` ( t W j ) ) = (coe1 ` ( t W j ) )
131	130, 119, 44, 31	coe1fvalcl 18817	. . . . . . . 8 |- ( ( ( t W j ) e. ( Base ` P ) /\ ( K - k ) e. NN0 ) -> ( (coe1 ` ( t W j ) ) ` ( K - k ) ) e. ( Base ` R ) )
132	128, 129, 131	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( t e. N /\ k e. ( 0 ... K ) ) ) -> ( (coe1 ` ( t W j ) ) ` ( K - k ) ) e. ( Base ` R ) )
133	31, 32	ringcl 17806	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( (coe1 ` ( i U t ) ) ` k ) e. ( Base ` R ) /\ ( (coe1 ` ( t W j ) ) ` ( K - k ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( (coe1 ` ( i U t ) ) ` k ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W j ) ) ` ( K - k ) ) ) e. ( Base ` R ) )
134	110, 125, 132, 133	syl3anc 1269	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( t e. N /\ k e. ( 0 ... K ) ) ) -> ( ( (coe1 ` ( i U t ) ) ` k ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W j ) ) ` ( K - k ) ) ) e. ( Base ` R ) )
135	31, 68, 37, 90, 134	gsumcom3fi 19437	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( R gsumg ( t e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( ( (coe1 ` ( i U t ) ) ` k ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W j ) ) ` ( K - k ) ) ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( (coe1 ` ( i U t ) ) ` k ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W j ) ) ` ( K - k ) ) ) ) ) ) ) )
136	43	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ t e. N ) -> ( R e. Ring /\ U e. B /\ k e. NN0 ) )
137	10	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> i e. N )
138	137	anim1i 572	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ t e. N ) -> ( i e. N /\ t e. N ) )
139	44, 15, 16	decpmate 19802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Ring /\ U e. B /\ k e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ t e. N ) ) -> ( i ( U decompPMat k ) t ) = ( (coe1 ` ( i U t ) ) ` k ) )
140	136, 138, 139	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ t e. N ) -> ( i ( U decompPMat k ) t ) = ( (coe1 ` ( i U t ) ) ` k ) )
141	54	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ t e. N ) -> ( R e. Ring /\ W e. B /\ ( K - k ) e. NN0 ) )
142		simplrr 772	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> j e. N )
143	142	anim1i 572	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ t e. N ) -> ( j e. N /\ t e. N ) )
144	143	ancomd 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ t e. N ) -> ( t e. N /\ j e. N ) )
145	44, 15, 16	decpmate 19802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Ring /\ W e. B /\ ( K - k ) e. NN0 ) /\ ( t e. N /\ j e. N ) ) -> ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) = ( (coe1 ` ( t W j ) ) ` ( K - k ) ) )
146	141, 144, 145	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ t e. N ) -> ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) = ( (coe1 ` ( t W j ) ) ` ( K - k ) ) )
147	140, 146	oveq12d 6313	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ t e. N ) -> ( ( i ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) ) = ( ( (coe1 ` ( i U t ) ) ` k ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W j ) ) ` ( K - k ) ) ) )
148	147	eqcomd 2459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) /\ t e. N ) -> ( ( (coe1 ` ( i U t ) ) ` k ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W j ) ) ` ( K - k ) ) ) = ( ( i ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) ) )
149	148	mpteq2dva 4492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( t e. N |-> ( ( (coe1 ` ( i U t ) ) ` k ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W j ) ) ` ( K - k ) ) ) ) = ( t e. N |-> ( ( i ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) ) ) )
150	149	oveq2d 6311	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( (coe1 ` ( i U t ) ) ` k ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W j ) ) ` ( K - k ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( i ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) ) ) ) )
151	150	mpteq2dva 4492	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( (coe1 ` ( i U t ) ) ` k ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W j ) ) ` ( K - k ) ) ) ) ) ) = ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( i ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) ) ) ) ) )
152	151	oveq2d 6311	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( (coe1 ` ( i U t ) ) ` k ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W j ) ) ` ( K - k ) ) ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( i ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) ) ) ) ) ) )
153	109, 135, 152	3eqtrd 2491	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( ( U ( .r ` C ) W ) decompPMat K ) j ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( R gsumg ( t e. N |-> ( ( i ( U decompPMat k ) t ) ( .r ` R ) ( t ( W decompPMat ( K - k ) ) j ) ) ) ) ) ) )
154	14, 105, 153	3eqtr4rd 2498	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( ( U ( .r ` C ) W ) decompPMat K ) j ) = ( i ( A gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) ) ) j ) )
155	154	ralrimivva 2811	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) -> A. i e. N A. j e. N ( i ( ( U ( .r ` C ) W ) decompPMat K ) j ) = ( i ( A gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) ) ) j ) )
156	44, 15	pmatring 19729	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. Ring )
157	21, 156	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) ) -> C e. Ring )
158		simprl 765	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) ) -> U e. B )
159		simprr 767	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) ) -> W e. B )
160		eqid 2453	. . . . . . 7 |- ( .r ` C ) = ( .r ` C )
161	16, 160	ringcl 17806	. . . . . 6 |- ( ( C e. Ring /\ U e. B /\ W e. B ) -> ( U ( .r ` C ) W ) e. B )
162	157, 158, 159, 161	syl3anc 1269	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) ) -> ( U ( .r ` C ) W ) e. B )
163	162	3adant3 1029	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) -> ( U ( .r ` C ) W ) e. B )
164	44, 15, 16, 23, 45	decpmatcl 19803	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( U ( .r ` C ) W ) e. B /\ K e. NN0 ) -> ( ( U ( .r ` C ) W ) decompPMat K ) e. ( Base ` A ) )
165	163, 164	syld3an2 1316	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( U ( .r ` C ) W ) decompPMat K ) e. ( Base ` A ) )
166	23	matring 19480	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Ring )
167	22, 166	syl 17	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) -> A e. Ring )
168		ringcmn 17823	. . . . 5 |- ( A e. Ring -> A e. CMnd )
169	167, 168	syl 17	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) -> A e. CMnd )
170		fzfid 12193	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) -> ( 0 ... K ) e. Fin )
171	167	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> A e. Ring )
172	33	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> R e. Ring )
173		simpl2l 1062	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> U e. B )
174	41	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> k e. NN0 )
175	172, 173, 174	3jca 1189	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( R e. Ring /\ U e. B /\ k e. NN0 ) )
176	175, 46	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( U decompPMat k ) e. ( Base ` A ) )
177		simpl2r 1063	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> W e. B )
178	52	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( K - k ) e. NN0 )
179	172, 177, 178	3jca 1189	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( R e. Ring /\ W e. B /\ ( K - k ) e. NN0 ) )
180	179, 55	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( W decompPMat ( K - k ) ) e. ( Base ` A ) )
181		eqid 2453	. . . . . . 7 |- ( .r ` A ) = ( .r ` A )
182	45, 181	ringcl 17806	. . . . . 6 |- ( ( A e. Ring /\ ( U decompPMat k ) e. ( Base ` A ) /\ ( W decompPMat ( K - k ) ) e. ( Base ` A ) ) -> ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) e. ( Base ` A ) )
183	171, 176, 180, 182	syl3anc 1269	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) e. ( Base ` A ) )
184	183	ralrimiva 2804	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) -> A. k e. ( 0 ... K ) ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) e. ( Base ` A ) )
185	45, 169, 170, 184	gsummptcl 17611	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) -> ( A gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) ) ) e. ( Base ` A ) )
186	23, 45	eqmat 19461	. . 3 |- ( ( ( ( U ( .r ` C ) W ) decompPMat K ) e. ( Base ` A ) /\ ( A gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) ) ) e. ( Base ` A ) ) -> ( ( ( U ( .r ` C ) W ) decompPMat K ) = ( A gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) ) ) <-> A. i e. N A. j e. N ( i ( ( U ( .r ` C ) W ) decompPMat K ) j ) = ( i ( A gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) ) ) j ) ) )
187	165, 185, 186	syl2anc 667	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( U ( .r ` C ) W ) decompPMat K ) = ( A gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) ) ) <-> A. i e. N A. j e. N ( i ( ( U ( .r ` C ) W ) decompPMat K ) j ) = ( i ( A gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) ) ) j ) ) )
188	155, 187	mpbird 236	1 |- ( ( R e. Ring /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( U ( .r ` C ) W ) decompPMat K ) = ( A gsumg ( k e. ( 0 ... K ) |-> ( ( U decompPMat k ) ( .r ` A ) ( W decompPMat ( K - k ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 986   = wceq 1446   e. wcel 1889   A.wral 2739   _Vcvv 3047   <.cotp 3978   |-> cmpt 4464   X. cxp 4835   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   |-> cmpt2 6297   ^m cmap 7477   Fincfn 7574   0cc0 9544   - cmin 9865   NN0cn0 10876   ...cfz 11791   Basecbs 15133   .rcmulr 15203   0gc0g 15350   gsum_g cgsu 15351  CMndccmn 17442   Ringcrg 17792  Poly₁cpl1 18782  coe₁cco1 18783   maMul cmmul 19420   Mat cmat 19444   decompPMat cdecpmat 19798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-ot 3979  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-ofr 6537  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-sup 7961  df-oi 8030  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-hash 12523  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-hom 15226  df-cco 15227  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-prds 15358  df-pws 15360  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-mhm 16594  df-submnd 16595  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-sbg 16687  df-mulg 16688  df-subg 16826  df-ghm 16893  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-abl 17445  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-subrg 18018  df-lmod 18105  df-lss 18168  df-sra 18407  df-rgmod 18408  df-psr 18592  df-mpl 18594  df-opsr 18596  df-psr1 18785  df-ply1 18787  df-coe1 18788  df-dsmm 19307  df-frlm 19322  df-mamu 19421  df-mat 19445  df-decpmat 19799

This theorem is referenced by:  decpmatmulsumfsupp  19809  pm2mpmhmlem1  19854  pm2mpmhmlem2  19855