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Theorem decpmatmul 19808
 Description: The matrix consisting of the coefficients in the polynomial entries of the product of two polynomial matrices is a sum of products of the matrices consisting of the coefficients in the polynomial entries of the polynomial matrices for the same power. (Contributed by AV, 21-Oct-2019.) (Revised by AV, 3-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
decpmatmul.p Poly1
decpmatmul.c Mat
decpmatmul.b
decpmatmul.a Mat
Assertion
Ref Expression
decpmatmul decompPMat g decompPMat decompPMat
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem decpmatmul
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2454 . . . . 5 g g decompPMat decompPMat g g decompPMat decompPMat
2 oveq1 6302 . . . . . . . . . . 11 decompPMat decompPMat
3 oveq2 6303 . . . . . . . . . . 11 decompPMat decompPMat
42, 3oveqan12d 6314 . . . . . . . . . 10 decompPMat decompPMat decompPMat decompPMat
54mpteq2dv 4493 . . . . . . . . 9 decompPMat decompPMat decompPMat decompPMat
65oveq2d 6311 . . . . . . . 8 g decompPMat decompPMat g decompPMat decompPMat
76mpteq2dv 4493 . . . . . . 7 g decompPMat decompPMat g decompPMat decompPMat
87oveq2d 6311 . . . . . 6 g g decompPMat decompPMat g g decompPMat decompPMat
98adantl 468 . . . . 5 g g decompPMat decompPMat g g decompPMat decompPMat
10 simprl 765 . . . . 5
11 simprr 767 . . . . 5
12 ovex 6323 . . . . . 6 g g decompPMat decompPMat
1312a1i 11 . . . . 5 g g decompPMat decompPMat
141, 9, 10, 11, 13ovmpt2d 6429 . . . 4 g g decompPMat decompPMat g g decompPMat decompPMat
15 decpmatmul.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Mat
16 decpmatmul.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1715, 16matrcl 19449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1817simpld 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1918adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2019anim2i 573 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2120ancomd 453 . . . . . . . . . . . . . . 15
22213adant3 1029 . . . . . . . . . . . . . 14
23 decpmatmul.a . . . . . . . . . . . . . . 15 Mat
24 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . 15 maMul maMul
2523, 24matmulr 19475 . . . . . . . . . . . . . 14 maMul
2622, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 maMul
2726adantr 467 . . . . . . . . . . . 12 maMul
2827adantr 467 . . . . . . . . . . 11 maMul
2928eqcomd 2459 . . . . . . . . . 10 maMul
3029oveqd 6312 . . . . . . . . 9 decompPMat decompPMat decompPMat maMul decompPMat
31 eqid 2453 . . . . . . . . . 10
32 eqid 2453 . . . . . . . . . 10
33 simp1 1009 . . . . . . . . . . . 12
3433adantr 467 . . . . . . . . . . 11
3534adantr 467 . . . . . . . . . 10
3622simpld 461 . . . . . . . . . . . 12
3736adantr 467 . . . . . . . . . . 11
3837adantr 467 . . . . . . . . . 10
39 simpl2l 1062 . . . . . . . . . . . . . 14
4039adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13
41 elfznn0 11894 . . . . . . . . . . . . . 14
4241adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13
4335, 40, 423jca 1189 . . . . . . . . . . . 12
44 decpmatmul.p . . . . . . . . . . . . 13 Poly1
45 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . 13
4644, 15, 16, 23, 45decpmatcl 19803 . . . . . . . . . . . 12 decompPMat
4743, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 decompPMat
4823, 31, 45matbas2i 19459 . . . . . . . . . . 11 decompPMat decompPMat
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . 10 decompPMat
50 simpl2r 1063 . . . . . . . . . . . . . 14
5150adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13
52 fznn0sub 11838 . . . . . . . . . . . . . 14
5352adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13
5435, 51, 533jca 1189 . . . . . . . . . . . 12
5544, 15, 16, 23, 45decpmatcl 19803 . . . . . . . . . . . 12 decompPMat
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 decompPMat
5723, 31, 45matbas2i 19459 . . . . . . . . . . 11 decompPMat decompPMat
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . 10 decompPMat
5924, 31, 32, 35, 38, 38, 38, 49, 58mamuval 19423 . . . . . . . . 9 decompPMat maMul decompPMat g decompPMat decompPMat
6030, 59eqtrd 2487 . . . . . . . 8 decompPMat decompPMat g decompPMat decompPMat
6160mpteq2dva 4492 . . . . . . 7 decompPMat decompPMat g decompPMat decompPMat
6261oveq2d 6311 . . . . . 6 g decompPMat decompPMat g g decompPMat decompPMat
63 eqid 2453 . . . . . . 7
64 ovex 6323 . . . . . . . 8
6564a1i 11 . . . . . . 7
66 ringcmn 17823 . . . . . . . . . . . . 13 CMnd
6733, 66syl 17 . . . . . . . . . . . 12 CMnd
6867adantr 467 . . . . . . . . . . 11 CMnd
6968adantr 467 . . . . . . . . . 10 CMnd
70693ad2ant1 1030 . . . . . . . . 9 CMnd
71383ad2ant1 1030 . . . . . . . . 9
72353ad2ant1 1030 . . . . . . . . . . . 12
7372adantr 467 . . . . . . . . . . 11
74 simpl2 1013 . . . . . . . . . . . 12
75 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12
76433ad2ant1 1030 . . . . . . . . . . . . . 14
7776adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13
7877, 46syl 17 . . . . . . . . . . . 12 decompPMat
7923, 31, 45, 74, 75, 78matecld 19463 . . . . . . . . . . 11 decompPMat
80 simpl3 1014 . . . . . . . . . . . 12
81563ad2ant1 1030 . . . . . . . . . . . . 13 decompPMat
8281adantr 467 . . . . . . . . . . . 12 decompPMat
8323, 31, 45, 75, 80, 82matecld 19463 . . . . . . . . . . 11 decompPMat
8431, 32ringcl 17806 . . . . . . . . . . 11 decompPMat decompPMat decompPMat decompPMat
8573, 79, 83, 84syl3anc 1269 . . . . . . . . . 10 decompPMat decompPMat
8685ralrimiva 2804 . . . . . . . . 9 decompPMat decompPMat
8731, 70, 71, 86gsummptcl 17611 . . . . . . . 8 g decompPMat decompPMat
8823, 31, 45, 38, 35, 87matbas2d 19460 . . . . . . 7 g decompPMat decompPMat
89 eqid 2453 . . . . . . . 8 g decompPMat decompPMat g decompPMat decompPMat
90 fzfid 12193 . . . . . . . 8
91 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . 15
9291, 91jca 535 . . . . . . . . . . . . . 14
9317, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
9493adantr 467 . . . . . . . . . . . 12
95943ad2ant2 1031 . . . . . . . . . . 11
9695adantr 467 . . . . . . . . . 10
9796adantr 467 . . . . . . . . 9
98 mpt2exga 6874 . . . . . . . . 9 g decompPMat decompPMat
9997, 98syl 17 . . . . . . . 8 g decompPMat decompPMat
100 fvex 5880 . . . . . . . . 9
101100a1i 11 . . . . . . . 8
10289, 90, 99, 101fsuppmptdm 7899 . . . . . . 7 g decompPMat decompPMat finSupp
10323, 45, 63, 37, 65, 34, 88, 102matgsum 19474 . . . . . 6 g g decompPMat decompPMat g g decompPMat decompPMat
10462, 103eqtrd 2487 . . . . 5 g decompPMat decompPMat g g decompPMat decompPMat
105104oveqd 6312 . . . 4 g decompPMat decompPMat g g decompPMat decompPMat
106 simpl2 1013 . . . . . 6
107 simpl3 1014 . . . . . 6
10844, 15, 16decpmatmullem 19807 . . . . . 6 decompPMat g g coe1coe1
10937, 34, 106, 10, 11, 107, 108syl213anc 1288 . . . . 5 decompPMat g g coe1coe1
110 simpll1 1048 . . . . . . 7
111 simplrl 771 . . . . . . . . 9
112 simprl 765 . . . . . . . . 9
11316eleq2i 2523 . . . . . . . . . . . . . 14
114113biimpi 198 . . . . . . . . . . . . 13
115114adantr 467 . . . . . . . . . . . 12
1161153ad2ant2 1031 . . . . . . . . . . 11
117116adantr 467 . . . . . . . . . 10
118117adantr 467 . . . . . . . . 9
119 eqid 2453 . . . . . . . . . 10
12015, 119matecl 19462 . . . . . . . . 9
121111, 112, 118, 120syl3anc 1269 . . . . . . . 8
12241ad2antll 736 . . . . . . . 8
123 eqid 2453 . . . . . . . . 9 coe1 coe1
124123, 119, 44, 31coe1fvalcl 18817 . . . . . . . 8 coe1
125121, 122, 124syl2anc 667 . . . . . . 7 coe1
126 simplrr 772 . . . . . . . . 9
12750adantr 467 . . . . . . . . 9
12815, 119, 16, 112, 126, 127matecld 19463 . . . . . . . 8
12952ad2antll 736 . . . . . . . 8
130 eqid 2453 . . . . . . . . 9 coe1 coe1
131130, 119, 44, 31coe1fvalcl 18817 . . . . . . . 8 coe1
132128, 129, 131syl2anc 667 . . . . . . 7 coe1
13331, 32ringcl 17806 . . . . . . 7 coe1 coe1 coe1coe1
134110, 125, 132, 133syl3anc 1269 . . . . . 6 coe1coe1
13531, 68, 37, 90, 134gsumcom3fi 19437 . . . . 5 g g coe1coe1 g g coe1coe1
13643adantr 467 . . . . . . . . . . . 12
13710adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13
138137anim1i 572 . . . . . . . . . . . 12
13944, 15, 16decpmate 19802 . . . . . . . . . . . 12 decompPMat coe1
140136, 138, 139syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11 decompPMat coe1
14154adantr 467 . . . . . . . . . . . 12
142 simplrr 772 . . . . . . . . . . . . . 14
143142anim1i 572 . . . . . . . . . . . . 13
144143ancomd 453 . . . . . . . . . . . 12
14544, 15, 16decpmate 19802 . . . . . . . . . . . 12 decompPMat coe1
146141, 144, 145syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11 decompPMat coe1
147140, 146oveq12d 6313 . . . . . . . . . 10 decompPMat decompPMat coe1coe1
148147eqcomd 2459 . . . . . . . . 9 coe1coe1 decompPMat decompPMat
149148mpteq2dva 4492 . . . . . . . 8 coe1coe1 decompPMat decompPMat
150149oveq2d 6311 . . . . . . 7 g coe1coe1 g decompPMat decompPMat
151150mpteq2dva 4492 . . . . . 6 g coe1coe1 g decompPMat decompPMat
152151oveq2d 6311 . . . . 5 g g coe1coe1 g g decompPMat decompPMat
153109, 135, 1523eqtrd 2491 . . . 4 decompPMat g g decompPMat decompPMat
15414, 105, 1533eqtr4rd 2498 . . 3 decompPMat g decompPMat decompPMat
155154ralrimivva 2811 . 2 decompPMat g decompPMat decompPMat
15644, 15pmatring 19729 . . . . . . 7
15721, 156syl 17 . . . . . 6
158 simprl 765 . . . . . 6
159 simprr 767 . . . . . 6
160 eqid 2453 . . . . . . 7
16116, 160ringcl 17806 . . . . . 6
162157, 158, 159, 161syl3anc 1269 . . . . 5
1631623adant3 1029 . . . 4
16444, 15, 16, 23, 45decpmatcl 19803 . . . 4 decompPMat
165163, 164syld3an2 1316 . . 3 decompPMat
16623matring 19480 . . . . . 6
16722, 166syl 17 . . . . 5
168 ringcmn 17823 . . . . 5 CMnd
169167, 168syl 17 . . . 4 CMnd
170 fzfid 12193 . . . 4
171167adantr 467 . . . . . 6
17233adantr 467 . . . . . . . 8
173 simpl2l 1062 . . . . . . . 8
17441adantl 468 . . . . . . . 8
175172, 173, 1743jca 1189 . . . . . . 7
176175, 46syl 17 . . . . . 6 decompPMat
177 simpl2r 1063 . . . . . . . 8
17852adantl 468 . . . . . . . 8
179172, 177, 1783jca 1189 . . . . . . 7
180179, 55syl 17 . . . . . 6 decompPMat
181 eqid 2453 . . . . . . 7
18245, 181ringcl 17806 . . . . . 6 decompPMat decompPMat decompPMat decompPMat
183171, 176, 180, 182syl3anc 1269 . . . . 5 decompPMat decompPMat
184183ralrimiva 2804 . . . 4 decompPMat decompPMat
18545, 169, 170, 184gsummptcl 17611 . . 3 g decompPMat decompPMat
18623, 45eqmat 19461 . . 3 decompPMat g decompPMat decompPMat decompPMat g decompPMat decompPMat decompPMat g decompPMat decompPMat
187165, 185, 186syl2anc 667 . 2 decompPMat g decompPMat decompPMat decompPMat g decompPMat decompPMat
188155, 187mpbird 236 1 decompPMat g decompPMat decompPMat
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 986   wceq 1446   wcel 1889  wral 2739  cvv 3047  cotp 3978   cmpt 4464   cxp 4835  cfv 5585  (class class class)co 6295   cmpt2 6297   cmap 7477  cfn 7574  cc0 9544   cmin 9865  cn0 10876  cfz 11791  cbs 15133  cmulr 15203  c0g 15350   g cgsu 15351  CMndccmn 17442  crg 17792  Poly1cpl1 18782  coe1cco1 18783   maMul cmmul 19420   Mat cmat 19444   decompPMat cdecpmat 19798 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-ot 3979  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-ofr 6537  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-sup 7961  df-oi 8030  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-hash 12523  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-hom 15226  df-cco 15227  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-prds 15358  df-pws 15360  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-mhm 16594  df-submnd 16595  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-sbg 16687  df-mulg 16688  df-subg 16826  df-ghm 16893  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-abl 17445  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-subrg 18018  df-lmod 18105  df-lss 18168  df-sra 18407  df-rgmod 18408  df-psr 18592  df-mpl 18594  df-opsr 18596  df-psr1 18785  df-ply1 18787  df-coe1 18788  df-dsmm 19307  df-frlm 19322  df-mamu 19421  df-mat 19445  df-decpmat 19799 This theorem is referenced by:  decpmatmulsumfsupp  19809  pm2mpmhmlem1  19854  pm2mpmhmlem2  19855
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