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Theorem decpmatmul 19400
Description: The matrix consisting of the coefficients in the polynomial entries of the product of two polynomial matrices is a sum of products of the matrices consisting of the coefficients in the polynomial entries of the polynomial matrices for the same power (Contributed by AV, 21-Oct-2019.) (Revised by AV, 3-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
decpmatmul.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
decpmatmul.c  |-  C  =  ( N Mat  P )
decpmatmul.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
decpmatmul.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
Assertion
Ref Expression
decpmatmul  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( U ( .r `  C
) W ) decompPMat  K )  =  ( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K )  |->  ( ( U decompPMat  k ) ( .r
`  A ) ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, k    k, K    k, N    P, k    R, k    U, k   
k, W    A, k
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem decpmatmul
Dummy variables  t 
i  j  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2458 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  N , 
y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) ) ) )
2 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  (
x ( U decompPMat  k ) t )  =  ( i ( U decompPMat  k ) t ) )
3 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  j  ->  (
t ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) y )  =  ( t ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) j ) )
42, 3oveqan12d 6315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) )  =  ( ( i ( U decompPMat  k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) j ) ) )
54mpteq2dv 4544 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) )  =  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) j ) ) ) )
65oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) j ) ) ) ) )
76mpteq2dv 4544 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... K
)  |->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U decompPMat  k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) j ) ) ) ) ) )
87oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) j ) ) ) ) ) ) )
98adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( x  =  i  /\  y  =  j ) )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K )  |->  ( R 
gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) j ) ) ) ) ) ) )
10 simprl 756 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
i  e.  N )
11 simprr 757 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
j  e.  N )
12 ovex 6324 . . . . . 6  |-  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) j ) ) ) ) ) )  e.  _V
1312a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) j ) ) ) ) ) )  e.  _V )
141, 9, 10, 11, 13ovmpt2d 6429 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( i ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) ) ) j )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K )  |->  ( R 
gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) j ) ) ) ) ) ) )
15 decpmatmul.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  C  =  ( N Mat  P )
16 decpmatmul.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  B  =  ( Base `  C
)
1715, 16matrcl 19041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( U  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  P  e.  _V ) )
1817simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U  e.  B  ->  N  e.  Fin )
1918adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  N  e.  Fin )
2019anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  ->  ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin ) )
2120ancomd 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring ) )
22213adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring ) )
23 decpmatmul.a . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A  =  ( N Mat  R )
24 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
2523, 24matmulr 19067 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( .r `  A ) )
2622, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( .r `  A ) )
2726adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( .r `  A ) )
2827adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( .r `  A ) )
2928eqcomd 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( .r `  A )  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) )
3029oveqd 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
( U decompPMat  k ) ( .r `  A ) ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) )  =  ( ( U decompPMat  k ) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) ) )
31 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
32 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
33 simp1 996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  R  e.  Ring )
3433adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  ->  R  e.  Ring )
3534adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  R  e.  Ring )
3622simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  e.  Fin )
3736adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  ->  N  e.  Fin )
3837adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  N  e.  Fin )
39 simpl2l 1049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  ->  U  e.  B )
4039adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  U  e.  B )
41 elfznn0 11797 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 0 ... K )  ->  k  e.  NN0 )
4241adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  k  e.  NN0 )
4335, 40, 423jca 1176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( R  e.  Ring  /\  U  e.  B  /\  k  e.  NN0 ) )
44 decpmatmul.p . . . . . . . . . . . . 13  |-  P  =  (Poly1 `  R )
45 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
4644, 15, 16, 23, 45decpmatcl 19395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  U  e.  B  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( U decompPMat  k )  e.  (
Base `  A )
)
4743, 46syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( U decompPMat  k )  e.  (
Base `  A )
)
4823, 31, 45matbas2i 19051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U decompPMat  k )  e.  (
Base `  A )  ->  ( U decompPMat  k )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( U decompPMat  k )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
50 simpl2r 1050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  ->  W  e.  B )
5150adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  W  e.  B )
52 fznn0sub 11742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 0 ... K )  ->  ( K  -  k )  e.  NN0 )
5352adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( K  -  k )  e.  NN0 )
5435, 51, 533jca 1176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( R  e.  Ring  /\  W  e.  B  /\  ( K  -  k )  e.  NN0 ) )
5544, 15, 16, 23, 45decpmatcl 19395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  W  e.  B  /\  ( K  -  k )  e.  NN0 )  ->  ( W decompPMat  ( K  -  k
) )  e.  (
Base `  A )
)
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( W decompPMat  ( K  -  k
) )  e.  (
Base `  A )
)
5723, 31, 45matbas2i 19051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W decompPMat  ( K  -  k
) )  e.  (
Base `  A )  ->  ( W decompPMat  ( K  -  k ) )  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) ) )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( W decompPMat  ( K  -  k
) )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
5924, 31, 32, 35, 38, 38, 38, 49, 58mamuval 19015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
( U decompPMat  k ) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) )  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) )
6030, 59eqtrd 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
( U decompPMat  k ) ( .r `  A ) ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) )  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  ( R 
gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) )
6160mpteq2dva 4543 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( U decompPMat  k ) ( .r `  A
) ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... K )  |->  ( x  e.  N , 
y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) ) )
6261oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( U decompPMat  k ) ( .r `  A
) ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) ) ) )  =  ( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) ) ) )
63 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  A )  =  ( 0g `  A
)
64 ovex 6324 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... K )  e. 
_V
6564a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( 0 ... K
)  e.  _V )
66 ringcmn 17356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
6733, 66syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  R  e. CMnd )
6867adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  ->  R  e. CMnd )
6968adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  R  e. CMnd )
70693ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  ->  R  e. CMnd )
71383ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  ->  N  e.  Fin )
72353ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  ->  R  e.  Ring )
7372adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  /\  t  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
74 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  /\  t  e.  N )  ->  x  e.  N )
75 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  /\  t  e.  N )  ->  t  e.  N )
76433ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  ->  ( R  e.  Ring  /\  U  e.  B  /\  k  e.  NN0 ) )
7776adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  /\  t  e.  N )  ->  ( R  e.  Ring  /\  U  e.  B  /\  k  e.  NN0 ) )
7877, 46syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  /\  t  e.  N )  ->  ( U decompPMat  k )  e.  (
Base `  A )
)
7923, 31, 45, 74, 75, 78matecld 19055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  /\  t  e.  N )  ->  (
x ( U decompPMat  k ) t )  e.  (
Base `  R )
)
80 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  /\  t  e.  N )  ->  y  e.  N )
81563ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  ->  ( W decompPMat  ( K  -  k ) )  e.  ( Base `  A ) )
8281adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  /\  t  e.  N )  ->  ( W decompPMat  ( K  -  k
) )  e.  (
Base `  A )
)
8323, 31, 45, 75, 80, 82matecld 19055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  /\  t  e.  N )  ->  (
t ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) y )  e.  (
Base `  R )
)
8431, 32ringcl 17339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x ( U decompPMat  k ) t )  e.  (
Base `  R )  /\  ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) )  e.  ( Base `  R ) )
8573, 79, 83, 84syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  /\  t  e.  N )  ->  (
( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) )  e.  ( Base `  R ) )
8685ralrimiva 2871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  ->  A. t  e.  N  ( (
x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) y ) )  e.  ( Base `  R
) )
8731, 70, 71, 86gsummptcl 17121 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  ->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
8823, 31, 45, 38, 35, 87matbas2d 19052 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
x  e.  N , 
y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) )  e.  ( Base `  A
) )
89 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... K )  |->  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  ( R 
gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... K )  |->  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  ( R 
gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) )
90 fzfid 12086 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( 0 ... K
)  e.  Fin )
91 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  P  e.  _V )  ->  N  e.  Fin )
9291, 91jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  P  e.  _V )  ->  ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )
)
9317, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin ) )
9493adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )
)
95943ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( N  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin ) )
9695adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )
)
9796adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin ) )
98 mpt2exga 6875 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) )  e.  _V )
9997, 98syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
x  e.  N , 
y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) )  e.  _V )
100 fvex 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  A )  e. 
_V
101100a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( 0g `  A
)  e.  _V )
10289, 90, 99, 101fsuppmptdm 7858 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  A ) )
10323, 45, 63, 37, 65, 34, 88, 102matgsum 19066 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  N , 
y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) ) ) )
10462, 103eqtrd 2498 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( U decompPMat  k ) ( .r `  A
) ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) ) ) )  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) ) ) )
105104oveqd 6313 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( i ( A 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( U decompPMat  k ) ( .r `  A
) ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) ) ) ) j )  =  ( i ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( x ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) y ) ) ) ) ) ) ) j ) )
106 simpl2 1000 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( U  e.  B  /\  W  e.  B
) )
107 simpl3 1001 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  ->  K  e.  NN0 )
10844, 15, 16decpmatmullem 19399 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N  /\  K  e. 
NN0 ) )  -> 
( i ( ( U ( .r `  C ) W ) decompPMat  K ) j )  =  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( (coe1 `  (
i U t ) ) `  k ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W j ) ) `  ( K  -  k ) ) ) ) ) ) ) )
10937, 34, 106, 10, 11, 107, 108syl213anc 1247 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( i ( ( U ( .r `  C ) W ) decompPMat  K ) j )  =  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( (coe1 `  (
i U t ) ) `  k ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W j ) ) `  ( K  -  k ) ) ) ) ) ) ) )
110 simpll1 1035 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  ->  R  e.  Ring )
111 simplrl 761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  -> 
i  e.  N )
112 simprl 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  -> 
t  e.  N )
11316eleq2i 2535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e.  B  <->  U  e.  ( Base `  C )
)
114113biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  B  ->  U  e.  ( Base `  C
) )
115114adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  U  e.  ( Base `  C ) )
1161153ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  U  e.  (
Base `  C )
)
117116adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  ->  U  e.  ( Base `  C ) )
118117adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  ->  U  e.  ( Base `  C ) )
119 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
12015, 119matecl 19054 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  e.  N  /\  t  e.  N  /\  U  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( i U t )  e.  ( Base `  P ) )
121111, 112, 118, 120syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  -> 
( i U t )  e.  ( Base `  P ) )
12241ad2antll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
123 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  (coe1 `  (
i U t ) )  =  (coe1 `  (
i U t ) )
124123, 119, 44, 31coe1fvalcl 18378 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( i U t )  e.  ( Base `  P )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
(coe1 `  ( i U t ) ) `  k )  e.  (
Base `  R )
)
125121, 122, 124syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  -> 
( (coe1 `  ( i U t ) ) `  k )  e.  (
Base `  R )
)
126 simplrr 762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  -> 
j  e.  N )
12750adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  ->  W  e.  B )
12815, 119, 16, 112, 126, 127matecld 19055 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  -> 
( t W j )  e.  ( Base `  P ) )
12952ad2antll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  -> 
( K  -  k
)  e.  NN0 )
130 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  (coe1 `  (
t W j ) )  =  (coe1 `  (
t W j ) )
131130, 119, 44, 31coe1fvalcl 18378 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( t W j )  e.  ( Base `  P )  /\  ( K  -  k )  e.  NN0 )  ->  (
(coe1 `  ( t W j ) ) `  ( K  -  k
) )  e.  (
Base `  R )
)
132128, 129, 131syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  -> 
( (coe1 `  ( t W j ) ) `  ( K  -  k
) )  e.  (
Base `  R )
)
13331, 32ringcl 17339 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
(coe1 `  ( i U t ) ) `  k )  e.  (
Base `  R )  /\  ( (coe1 `  ( t W j ) ) `  ( K  -  k
) )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( (
(coe1 `  ( i U t ) ) `  k ) ( .r
`  R ) ( (coe1 `  ( t W j ) ) `  ( K  -  k
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
134110, 125, 132, 133syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( t  e.  N  /\  k  e.  ( 0 ... K
) ) )  -> 
( ( (coe1 `  (
i U t ) ) `  k ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W j ) ) `  ( K  -  k ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
13531, 68, 37, 90, 134gsumcom3fi 19029 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( (coe1 `  (
i U t ) ) `  k ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W j ) ) `  ( K  -  k ) ) ) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( (coe1 `  (
i U t ) ) `  k ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W j ) ) `  ( K  -  k ) ) ) ) ) ) ) )
13643adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  t  e.  N
)  ->  ( R  e.  Ring  /\  U  e.  B  /\  k  e.  NN0 ) )
13710adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  i  e.  N )
138137anim1i 568 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  t  e.  N
)  ->  ( i  e.  N  /\  t  e.  N ) )
13944, 15, 16decpmate 19394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  U  e.  B  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  t  e.  N
) )  ->  (
i ( U decompPMat  k ) t )  =  ( (coe1 `  ( i U t ) ) `  k ) )
140136, 138, 139syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  t  e.  N
)  ->  ( i
( U decompPMat  k ) t )  =  ( (coe1 `  ( i U t ) ) `  k
) )
14154adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  t  e.  N
)  ->  ( R  e.  Ring  /\  W  e.  B  /\  ( K  -  k )  e.  NN0 ) )
142 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  j  e.  N )
143142anim1i 568 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  t  e.  N
)  ->  ( j  e.  N  /\  t  e.  N ) )
144143ancomd 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  t  e.  N
)  ->  ( t  e.  N  /\  j  e.  N ) )
14544, 15, 16decpmate 19394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  W  e.  B  /\  ( K  -  k
)  e.  NN0 )  /\  ( t  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  (
t ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) j )  =  ( (coe1 `  ( t W j ) ) `  ( K  -  k
) ) )
146141, 144, 145syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  t  e.  N
)  ->  ( t
( W decompPMat  ( K  -  k ) ) j )  =  ( (coe1 `  ( t W j ) ) `  ( K  -  k )
) )
147140, 146oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  t  e.  N
)  ->  ( (
i ( U decompPMat  k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) j ) )  =  ( ( (coe1 `  (
i U t ) ) `  k ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W j ) ) `  ( K  -  k ) ) ) )
148147eqcomd 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... K ) )  /\  t  e.  N
)  ->  ( (
(coe1 `  ( i U t ) ) `  k ) ( .r
`  R ) ( (coe1 `  ( t W j ) ) `  ( K  -  k
) ) )  =  ( ( i ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) j ) ) )
149148mpteq2dva 4543 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
t  e.  N  |->  ( ( (coe1 `  ( i U t ) ) `  k ) ( .r
`  R ) ( (coe1 `  ( t W j ) ) `  ( K  -  k
) ) ) )  =  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U decompPMat  k )
t ) ( .r
`  R ) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) j ) ) ) )
150149oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( (coe1 `  (
i U t ) ) `  k ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W j ) ) `  ( K  -  k ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) j ) ) ) ) )
151150mpteq2dva 4543 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( (coe1 `  (
i U t ) ) `  k ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W j ) ) `  ( K  -  k ) ) ) ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... K
)  |->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U decompPMat  k ) t ) ( .r
`  R ) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) j ) ) ) ) ) )
152151oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( (coe1 `  (
i U t ) ) `  k ) ( .r `  R
) ( (coe1 `  (
t W j ) ) `  ( K  -  k ) ) ) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( R  gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) j ) ) ) ) ) ) )
153109, 135, 1523eqtrd 2502 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( i ( ( U ( .r `  C ) W ) decompPMat  K ) j )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K )  |->  ( R 
gsumg  ( t  e.  N  |->  ( ( i ( U decompPMat  k ) t ) ( .r `  R
) ( t ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) j ) ) ) ) ) ) )
15414, 105, 1533eqtr4rd 2509 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( i ( ( U ( .r `  C ) W ) decompPMat  K ) j )  =  ( i ( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( U decompPMat  k ) ( .r `  A
) ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) ) ) ) j ) )
155154ralrimivva 2878 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i ( ( U ( .r `  C ) W ) decompPMat  K ) j )  =  ( i ( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( U decompPMat  k ) ( .r `  A
) ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) ) ) ) j ) )
15644, 15pmatring 19321 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  C  e.  Ring )
15721, 156syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  ->  C  e.  Ring )
158 simprl 756 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  ->  U  e.  B )
159 simprr 757 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  ->  W  e.  B )
160 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  C )  =  ( .r `  C
)
16116, 160ringcl 17339 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Ring  /\  U  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( U ( .r `  C ) W )  e.  B )
162157, 158, 159, 161syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )
)  ->  ( U
( .r `  C
) W )  e.  B )
1631623adant3 1016 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( U ( .r `  C ) W )  e.  B
)
16444, 15, 16, 23, 45decpmatcl 19395 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U ( .r `  C ) W )  e.  B  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
( U ( .r
`  C ) W ) decompPMat  K )  e.  (
Base `  A )
)
165163, 164syld3an2 1275 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( U ( .r `  C
) W ) decompPMat  K )  e.  ( Base `  A
) )
16623matring 19072 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
16722, 166syl 16 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  A  e.  Ring )
168 ringcmn 17356 . . . . 5  |-  ( A  e.  Ring  ->  A  e. CMnd
)
169167, 168syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  A  e. CMnd )
170 fzfid 12086 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 0 ... K )  e.  Fin )
171167adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  A  e.  Ring )
17233adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  R  e.  Ring )
173 simpl2l 1049 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  U  e.  B )
17441adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  k  e.  NN0 )
175172, 173, 1743jca 1176 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( R  e.  Ring  /\  U  e.  B  /\  k  e.  NN0 ) )
176175, 46syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( U decompPMat  k )  e.  (
Base `  A )
)
177 simpl2r 1050 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  W  e.  B )
17852adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( K  -  k )  e.  NN0 )
179172, 177, 1783jca 1176 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( R  e.  Ring  /\  W  e.  B  /\  ( K  -  k )  e.  NN0 ) )
180179, 55syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( W decompPMat  ( K  -  k
) )  e.  (
Base `  A )
)
181 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  A )  =  ( .r `  A
)
18245, 181ringcl 17339 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Ring  /\  ( U decompPMat  k )  e.  (
Base `  A )  /\  ( W decompPMat  ( K  -  k ) )  e.  ( Base `  A
) )  ->  (
( U decompPMat  k ) ( .r `  A ) ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) )  e.  ( Base `  A ) )
183171, 176, 180, 182syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
( U decompPMat  k ) ( .r `  A ) ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) )  e.  ( Base `  A ) )
184183ralrimiva 2871 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  ( 0 ... K ) ( ( U decompPMat  k ) ( .r `  A
) ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) )  e.  ( Base `  A ) )
18545, 169, 170, 184gsummptcl 17121 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K )  |->  ( ( U decompPMat  k ) ( .r
`  A ) ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) ) ) )  e.  ( Base `  A ) )
18623, 45eqmat 19053 . . 3  |-  ( ( ( ( U ( .r `  C ) W ) decompPMat  K )  e.  ( Base `  A
)  /\  ( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K )  |->  ( ( U decompPMat  k )
( .r `  A
) ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) ) ) )  e.  ( Base `  A
) )  ->  (
( ( U ( .r `  C ) W ) decompPMat  K )  =  ( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K )  |->  ( ( U decompPMat  k ) ( .r
`  A ) ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) ) ) )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i ( ( U ( .r `  C ) W ) decompPMat  K ) j )  =  ( i ( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( U decompPMat  k ) ( .r `  A
) ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) ) ) ) j ) ) )
187165, 185, 186syl2anc 661 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( ( U ( .r `  C ) W ) decompPMat  K )  =  ( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K ) 
|->  ( ( U decompPMat  k ) ( .r `  A
) ( W decompPMat  ( K  -  k ) ) ) ) )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
( ( U ( .r `  C ) W ) decompPMat  K )
j )  =  ( i ( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K )  |->  ( ( U decompPMat  k ) ( .r
`  A ) ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) ) ) ) j ) ) )
188155, 187mpbird 232 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( U ( .r `  C
) W ) decompPMat  K )  =  ( A  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... K )  |->  ( ( U decompPMat  k ) ( .r
`  A ) ( W decompPMat  ( K  -  k
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109   <.cotp 4040    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298    ^m cmap 7438   Fincfn 7535   0cc0 9509    - cmin 9824   NN0cn0 10816   ...cfz 11697   Basecbs 14644   .rcmulr 14713   0gc0g 14857    gsumg cgsu 14858  CMndccmn 16925   Ringcrg 17325  Poly1cpl1 18343  coe1cco1 18344   maMul cmmul 19012   Mat cmat 19036   decompPMat cdecpmat 19390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-ot 4041  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-hom 14736  df-cco 14737  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-prds 14865  df-pws 14867  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-subrg 17554  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-psr 18132  df-mpl 18134  df-opsr 18136  df-psr1 18346  df-ply1 18348  df-coe1 18349  df-dsmm 18890  df-frlm 18905  df-mamu 19013  df-mat 19037  df-decpmat 19391
This theorem is referenced by:  decpmatmulsumfsupp  19401  pm2mpmhmlem1  19446  pm2mpmhmlem2  19447
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