MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decnncl Structured version   Unicode version

Theorem decnncl 10755
Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
decnncl.1  |-  A  e. 
NN0
decnncl.2  |-  B  e.  NN
Assertion
Ref Expression
decnncl  |- ; A B  e.  NN

Proof of Theorem decnncl
StepHypRef Expression
1 df-dec 10743 . 2  |- ; A B  =  ( ( 10  x.  A
)  +  B )
2 10nn0 10591 . . 3  |-  10  e.  NN0
3 decnncl.1 . . 3  |-  A  e. 
NN0
4 decnncl.2 . . 3  |-  B  e.  NN
52, 3, 4numnncl 10750 . 2  |-  ( ( 10  x.  A )  +  B )  e.  NN
61, 5eqeltri 2503 1  |- ; A B  e.  NN
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1755  (class class class)co 6080    + caddc 9272    x. cmul 9274   NNcn 10309   10c10 10366   NN0cn0 10566  ;cdc 10742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-ltxr 9410  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-7 10372  df-8 10373  df-9 10374  df-10 10375  df-n0 10567  df-dec 10743
This theorem is referenced by:  11prm  14124  13prm  14125  17prm  14126  19prm  14127  23prm  14128  37prm  14130  43prm  14131  83prm  14132  139prm  14133  163prm  14134  317prm  14135  631prm  14136  1259lem1  14137  1259lem2  14138  1259lem3  14139  1259lem4  14140  1259lem5  14141  1259prm  14142  2503lem1  14143  2503lem2  14144  2503lem3  14145  2503prm  14146  4001lem1  14147  4001lem2  14148  4001lem3  14149  4001lem4  14150  4001prm  14151  ocndx  14321  ocid  14322  dsndx  14323  dsid  14324  unifndx  14325  unifid  14326  odrngstr  14327  ressds  14334  homndx  14335  homid  14336  ccondx  14337  ccoid  14338  resshom  14339  ressco  14340  imasvalstr  14372  prdsvalstr  14373  oppchomfval  14635  oppcbas  14639  rescco  14727  catstr  14849  ipostr  15305  mgpds  16574  srads  17188  cnfldstr  17663  ressunif  19678  tuslem  19683  tmslem  19898  mcubic  22126  cubic2  22127  cubic  22128  quart1cl  22133  quart1lem  22134  quart1  22135  quartlem1  22136  quartlem2  22137  log2ub  22228  birthday  22232  bposlem8  22514  bposlem9  22515  pntlemd  22727  pntlema  22729  pntlemb  22730  pntlemf  22738  pntlemo  22740  itvndx  22785  lngndx  22786  itvid  22787  lngid  22788  trkgstr  22789  ttgval  22943  ttglem  22944  ttgds  22949  eengstr  23048  log2le1  26319
  Copyright terms: Public domain W3C validator