MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decnncl Structured version   Unicode version

Theorem decnncl 10978
Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
decnncl.1  |-  A  e. 
NN0
decnncl.2  |-  B  e.  NN
Assertion
Ref Expression
decnncl  |- ; A B  e.  NN

Proof of Theorem decnncl
StepHypRef Expression
1 df-dec 10966 . 2  |- ; A B  =  ( ( 10  x.  A
)  +  B )
2 10nn0 10809 . . 3  |-  10  e.  NN0
3 decnncl.1 . . 3  |-  A  e. 
NN0
4 decnncl.2 . . 3  |-  B  e.  NN
52, 3, 4numnncl 10973 . 2  |-  ( ( 10  x.  A )  +  B )  e.  NN
61, 5eqeltri 2544 1  |- ; A B  e.  NN
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1762  (class class class)co 6275    + caddc 9484    x. cmul 9486   NNcn 10525   10c10 10582   NN0cn0 10784  ;cdc 10965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-ltxr 9622  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-dec 10966
This theorem is referenced by:  11prm  14447  13prm  14448  17prm  14449  19prm  14450  23prm  14451  37prm  14453  43prm  14454  83prm  14455  139prm  14456  163prm  14457  317prm  14458  631prm  14459  1259lem1  14460  1259lem2  14461  1259lem3  14462  1259lem4  14463  1259lem5  14464  1259prm  14465  2503lem1  14466  2503lem2  14467  2503lem3  14468  2503prm  14469  4001lem1  14470  4001lem2  14471  4001lem3  14472  4001lem4  14473  4001prm  14474  ocndx  14645  ocid  14646  dsndx  14647  dsid  14648  unifndx  14649  unifid  14650  odrngstr  14651  ressds  14658  homndx  14659  homid  14660  ccondx  14661  ccoid  14662  resshom  14663  ressco  14664  imasvalstr  14696  prdsvalstr  14697  oppchomfval  14959  oppcbas  14963  rescco  15051  catstr  15173  ipostr  15629  mgpds  16934  srads  17608  cnfldstr  18186  ressunif  20493  tuslem  20498  tmslem  20713  mcubic  22899  cubic2  22900  cubic  22901  quart1cl  22906  quart1lem  22907  quart1  22908  quartlem1  22909  quartlem2  22910  log2ub  23001  birthday  23005  bposlem8  23287  bposlem9  23288  pntlemd  23500  pntlema  23502  pntlemb  23503  pntlemf  23511  pntlemo  23513  itvndx  23557  lngndx  23558  itvid  23559  lngid  23560  trkgstr  23561  ttgval  23847  ttglem  23848  ttgds  23853  eengstr  23952  log2le1  27649
  Copyright terms: Public domain W3C validator