MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decnncl Structured version   Unicode version

Theorem decnncl 10760
Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
decnncl.1  |-  A  e. 
NN0
decnncl.2  |-  B  e.  NN
Assertion
Ref Expression
decnncl  |- ; A B  e.  NN

Proof of Theorem decnncl
StepHypRef Expression
1 df-dec 10748 . 2  |- ; A B  =  ( ( 10  x.  A
)  +  B )
2 10nn0 10596 . . 3  |-  10  e.  NN0
3 decnncl.1 . . 3  |-  A  e. 
NN0
4 decnncl.2 . . 3  |-  B  e.  NN
52, 3, 4numnncl 10755 . 2  |-  ( ( 10  x.  A )  +  B )  e.  NN
61, 5eqeltri 2508 1  |- ; A B  e.  NN
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1756  (class class class)co 6086    + caddc 9277    x. cmul 9279   NNcn 10314   10c10 10371   NN0cn0 10571  ;cdc 10747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-ltxr 9415  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-dec 10748
This theorem is referenced by:  11prm  14134  13prm  14135  17prm  14136  19prm  14137  23prm  14138  37prm  14140  43prm  14141  83prm  14142  139prm  14143  163prm  14144  317prm  14145  631prm  14146  1259lem1  14147  1259lem2  14148  1259lem3  14149  1259lem4  14150  1259lem5  14151  1259prm  14152  2503lem1  14153  2503lem2  14154  2503lem3  14155  2503prm  14156  4001lem1  14157  4001lem2  14158  4001lem3  14159  4001lem4  14160  4001prm  14161  ocndx  14331  ocid  14332  dsndx  14333  dsid  14334  unifndx  14335  unifid  14336  odrngstr  14337  ressds  14344  homndx  14345  homid  14346  ccondx  14347  ccoid  14348  resshom  14349  ressco  14350  imasvalstr  14382  prdsvalstr  14383  oppchomfval  14645  oppcbas  14649  rescco  14737  catstr  14859  ipostr  15315  mgpds  16591  srads  17247  cnfldstr  17800  ressunif  19817  tuslem  19822  tmslem  20037  mcubic  22222  cubic2  22223  cubic  22224  quart1cl  22229  quart1lem  22230  quart1  22231  quartlem1  22232  quartlem2  22233  log2ub  22324  birthday  22328  bposlem8  22610  bposlem9  22611  pntlemd  22823  pntlema  22825  pntlemb  22826  pntlemf  22834  pntlemo  22836  itvndx  22881  lngndx  22882  itvid  22883  lngid  22884  trkgstr  22885  ttgval  23089  ttglem  23090  ttgds  23095  eengstr  23194  log2le1  26435
  Copyright terms: Public domain W3C validator