MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decnncl Structured version   Unicode version

Theorem decnncl 10997
Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
decnncl.1  |-  A  e. 
NN0
decnncl.2  |-  B  e.  NN
Assertion
Ref Expression
decnncl  |- ; A B  e.  NN

Proof of Theorem decnncl
StepHypRef Expression
1 df-dec 10985 . 2  |- ; A B  =  ( ( 10  x.  A
)  +  B )
2 10nn0 10826 . . 3  |-  10  e.  NN0
3 decnncl.1 . . 3  |-  A  e. 
NN0
4 decnncl.2 . . 3  |-  B  e.  NN
52, 3, 4numnncl 10992 . 2  |-  ( ( 10  x.  A )  +  B )  e.  NN
61, 5eqeltri 2527 1  |- ; A B  e.  NN
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1804  (class class class)co 6281    + caddc 9498    x. cmul 9500   NNcn 10542   10c10 10599   NN0cn0 10801  ;cdc 10984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-ltxr 9636  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-dec 10985
This theorem is referenced by:  11prm  14477  13prm  14478  17prm  14479  19prm  14480  23prm  14481  37prm  14483  43prm  14484  83prm  14485  139prm  14486  163prm  14487  317prm  14488  631prm  14489  1259lem1  14490  1259lem2  14491  1259lem3  14492  1259lem4  14493  1259lem5  14494  1259prm  14495  2503lem1  14496  2503lem2  14497  2503lem3  14498  2503prm  14499  4001lem1  14500  4001lem2  14501  4001lem3  14502  4001lem4  14503  4001prm  14504  ocndx  14675  ocid  14676  dsndx  14677  dsid  14678  unifndx  14679  unifid  14680  odrngstr  14681  ressds  14688  homndx  14689  homid  14690  ccondx  14691  ccoid  14692  resshom  14693  ressco  14694  imasvalstr  14726  prdsvalstr  14727  oppchomfval  14986  oppcbas  14990  rescco  15078  catstr  15200  ipostr  15657  mgpds  17025  srads  17706  cnfldstr  18296  ressunif  20638  tuslem  20643  tmslem  20858  mcubic  23050  cubic2  23051  cubic  23052  quart1cl  23057  quart1lem  23058  quart1  23059  quartlem1  23060  quartlem2  23061  log2ub  23152  birthday  23156  bposlem8  23438  bposlem9  23439  pntlemd  23651  pntlema  23653  pntlemb  23654  pntlemf  23662  pntlemo  23664  itvndx  23708  lngndx  23709  itvid  23710  lngid  23711  trkgstr  23712  ttgval  24050  ttglem  24051  ttgds  24056  eengstr  24155  log2le1  27896  uhgrepe  32216
  Copyright terms: Public domain W3C validator